【解析版】天津市河西区2014届高考二模数学理试题

2014年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2011•安徽）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2B．﹣2 C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（2013•河东区二模）“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．解答：解：2a＞2b⇔a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．∴“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．3．（5分）（2013•河东区二模）函数f（x）=e x+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（﹣2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案．解答：解：∵f（x）=e x+x2﹣2得f'（x）=e x+2xf''（x）=e x+2＞0从而f'（x）是增函数，f'（﹣2）=﹣4＜0f'（0）=1＞0从而f'（x）在（﹣2，1）内有唯一零点x0，满足则在区间（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数，在区间（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．因为f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0从而f（x）在（﹣2，1）上有两个零点．故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档．4．（5分）（2013•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．5．（5分）（2013•河东区二模）设，则二项式展开式中常数项是（）A．160 B．﹣160 C．180 D．﹣180考点：二项式定理；微积分基本定理．专题：计算题．分析：根据微积分基本定理求得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：由于=（sinx﹣cosx）=2，则二项式即，它的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•（2x）6﹣r•x﹣r=•x6﹣2r．令x的幂指数6﹣2r=0，解得r=3，故二项式展开式中常数项是=﹣160，故选B．点评：本题主要考查微积分基本定理，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6．（5分）（2013•河东区二模）如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D为直角，AB=3，AD=，E为BC中点，若=3，则的值是（）A．6B．﹣6 C．3D．﹣3考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据=3和=0，利用向量的加法运算求出，再由勾股定理求出AC的长，利用向量的加减法运算求出和，由向量的数量积运算性质求出的值．解答：解：由题意得，==3，∵AB∥CD，∠D为直角，∴=0，代入上式得，，即，得，则AC===∵E为BC中点，∴=，且=，∴=•（）=﹣（）=﹣（9﹣3）=﹣3，故选D．点评：本题考查向量数量积在几何中的应用，以及向量的加减法和数乘几何意义，解答关键是利用向量数量积的运算性质，属于中档题．7．（5分）（2013•河东区二模）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则∠A为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值，即可求出A的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，整理得：2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A为三角形的内角，∴∠A=．故选C点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8．（5分）（2013•河东区二模）定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设g（x）=xf（x），易知g（x）是偶函数，由f（x）+xf'（x）＜0，得g'（x）＜0，从而可判断g（x）在∈（﹣∞，0）及（0，+∞）上的单调性，而a，b，c可化为g（x）在（0，+∞）上的函数值，利用单调性即可作出大小比较．解答：解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，a=3f（3）=g（3），b=（logπ3）•f（logπ3）=g（logπ3），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g（2）．又logπ3＜1＜2＜3，故a＞c＞b．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•河东区二模）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7则成绩比较稳定的是乙．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：要估计两组数据的稳定性，则要比较两组数据的方差，先求出这两组数据的平均数，再利用方差的公式做出两组数据的方差，比较发现乙的稳定性好于甲的稳定性．解答：解：∵x甲=（7+8+…+4）=7，x乙=（9+5+…+7）=7．∴s甲2=[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4，s乙2=[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]=1.2．∴甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定．故答案为：乙．点评：本题考查两组数据的稳定性，即考查两组数据的方差，在包含两组数据的题目中，往往会通过求平均数考查其平均水平，通过方差判断其稳定性．10．（5分）（2013•河东区二模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为16πm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，根据柱体的体积公式得到结果．解答：解：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，∴几何体的体积是×22×π×3+22×π×3=16π．故答案为：16π．点评：本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键是看清各部分的数据，这样计算就不会出错．11．（5分）（2013•河东区二模）已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|（x﹣a）（x﹣6）＜0}，且M∩N=（2，b），则a+b=7．考点：绝对值不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义可求得M={x|0＜x＜5}，结合题意即可求得a，b的值，从而可得a+b．解答：解：∵|x﹣4|+|x﹣1|＜5，∴由绝对值的几何意义可知，到数轴上1与4的距离之和小于5，∵4﹣1=3，|5﹣1|+|5﹣4|=5，|0﹣1|+|0﹣4|=5，∴M={x|0＜x＜5}，又N={x|（x﹣a）（x﹣6）＜0}，且M∩N=（2，b），∴a=2，b=5．∴a+b=7．故答案为：7．点评：本题考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法，考查集合的运算，求得M={x|0＜x＜5}是关键，属于中档题．12．（5分）（2013•河东区二模）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|= 8．考点：抛物线的参数方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把抛物线的参数方程化为普通方程，求出焦点F的坐标和准线方程，根据AF的斜率为，求得点A的坐标，进而求得点P的坐标，利用两点间的距离公式，求得|PF|的值．解答：解：把抛物线C的参数方程（t为参数），消去参数化为普通方程为y2=8x．故焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，再由直线FA的斜率是﹣，可得直线FA的倾斜角为120°，设准线和x轴的交点为M，则∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°﹣120°=60°．∴AM=MF•tan60°=4，故点A（0，4），把y=4代入抛物线求得x=6，∴点P（6，4），故|PF|==8，故答案为8．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线的倾斜角和斜率的关系，抛物线的标准方程和简单性质的应用，属于中档题．13．（5分）（2013•河东区二模）已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．解答：解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=点评：本题考查的知识点是弦长公式，切割线定理，其中根据半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，求出BC的长，是解答本题的关键．14．（5分）（2013•河东区二模）对任意实数a，b，函数F（a，b）=，如果函数f（x）=﹣x2+2x+3，g（x）=x+1，那么函数H（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于3．考点：二次函数的性质．分析：由题意可得H（x）=F（f（x），g（x））=，根据一次函数与二次函数的性质可求函数的最大值解答：解：∵F（a，b）==∴H（x）=F（f（x），g（x））==∵当﹣1≤x≤2时，H（x）=x+1∈[0，3]当x＞2或x＜﹣1时，H（x）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4＜3综上可得，函数H（x）的最大值为3故答案为：3点评：本题主要考查了函数的最值的求解，解题的关键是根据题目中的定义求出函数H（x）的解析式三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=sinxcosϕ+cosxsinϕ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数的图象关于直线对称．（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若，求sin2α的值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出最小正周期，由确定出的函数解析式，利用对称轴公式列出关系式，将x=代入即可求出φ的值；（Ⅱ）由第一项确定的函数解析式，根据已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．解答：解：（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期为2π，∵y=f（2x+）=sin（2x++φ），y=sinx的对称轴为x=kπ+（k∈Z），∴令2x++φ=kπ+，将x=代入得：φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜π，∴φ=；（Ⅱ）∵f（α﹣）=sin（α﹣+）=sin（α+）=（sinα+cosα）=，∴sinα+cosα=，两边平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=，则sin2α=﹣．点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（13分）（2013•河东区二模）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．A小区低碳族非低碳族频率p 0.5 0.5B小区低碳族非低碳族频率p 0.8 0.2（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）利用表格数据，根据甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，即可求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）求出两周后非低碳族的概率、低碳族的概率，结合这25个人中低碳族人数服从二项分布，即可求出分布列．解答：解：（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．…（1分）=0.01+0.16+0.16=0.33．…（4分）答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33；…（5分）（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率．故低碳族的概率P=1﹣0.32=0.68．…（9分）随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即，故．…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查分布列，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（13分）（2005•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E 到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D 的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵，∴在Rt△DHE中，EH=x，．∴．∴．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（13分）（2013•河东区二模）已知有两个数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别记为S n，T n，且数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S m=26，前m项中数值最大的项的值为18，S2m=728，又（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式．（II）若数列{c n}满足c n=b n a n，求数列{c n}的前n项和P n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}，建立数列{a n}中关于首项a1 和公比q的方程组，解方程组得数列{a n}的通项公式（但不要忘记对公出数列{b n}的通项公式；（2）可直接利用错位相减法求数列{c n}的前n项和P n解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵a n＞0，∴q＞0若q=1时S m=ma1S2m=2ma1，此时2S m=S2m，而已知S m=26，S2m=728，∴2S m≠S2m，∴q=1不成立…（1分）若q≠1，由得…（2分）（1）÷（2）得：1+q m=28∴q m=27…（3分）∵q m=27＞1∴q＞1∴前m项中a m最大∴a m=18…（4分）由得，∴即把及q m=27代入（1）式得解得q=3把q=3代入得a1=2，所以…（7分）由（1）当n=1时b1=T1=2（2）当n≥2时=4n﹣2∵b1=2适合上式∴b n=4n﹣2…（9分）（Ⅱ）由（1）得记，d n的前n项和为Q n，显然P n=4Q n…①∴…（11分）①﹣②得：﹣2Q n=1+2×31+2×32+2×33+…2×3n﹣1﹣（2n﹣1）×3n==﹣2﹣（2n﹣2）×3n…（13分）∴，即…（14分）本题是一道很好的数列综合题，是历年高考中常考的一类数列题．对解题方法的熟练应用要求较高．点评：19．（14分）（2013•河东区二模）已知两圆C1：x2+y2﹣2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且|PC1|+|PC2|=2．（1）求动点P的轨迹M的方程；（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C1C|=|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆与圆的位置关系及其判定．专题：存在型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|可知动点P的轨迹是以C1和C2为焦点、长轴长为2a=的椭圆，从而易求椭圆方程即所求轨迹方程；（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则有△＞0，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=﹣1，解出方程的解k，再检验是否满足△＞0即可；解答：解：（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2（﹣1，0），∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|，∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C1（1，0）和C2（﹣1，0）为焦点，长轴长为2a=的椭圆，所以a=，c=1，b===1，∴椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为；（2）假设存在这样的直线l满足条件，当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x﹣2），由方程组得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0①，依题意△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，即﹣2k2+1＞0，解得﹣＜k＜，当﹣＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），方程①的解为，，则=，∴y0=k（x0﹣2）=k（﹣2）=，要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=﹣1，∴k=﹣1，化简得0=﹣1，显然不成立；所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的方程，考查存在性问题，存在性问题往往先假设存在，然后以此为条件进行推理论证，检验是否矛盾．20．（14分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）将k=e代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析函数的单调性，可得函数的极值．（2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（3）解法一：根据（2）中函数的单调性分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．解法二：根据函数的导函数，分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时，函数y=e x 与y=kx图象交点的个数（即函数零点的个数），最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（1）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．令f′（x）=0，得e x﹣e=0，解得x=1．由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值单调递增…（2分）所以当x=1时，f（x）有极小值为0，无极大值．…（3分）（2）由f（x）=e x﹣kx，x∈R，得f'（x）=e x﹣k．①当k≤0时，则f'（x）=e x﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）．…（4分）②当k＞0时，由f'（x）=e x﹣k＞0，得到x＞lnk，由f'（x）=e x﹣k＜0，得到x＜lnk，所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（6分）综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（7分）（3）解法一：①当k=0时，f（x）=e x＞0，对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）②当k＜0时，由（2）知，f'（x）=e x﹣k＞0对x∈R恒成立，函数f（x）在（﹣∞，4]上单调递增，又f（0）=1＞0，，…（9分）所以函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点．…（10分）③当k＞0时，令f'（x）=e x﹣k=0，得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk 时取得极小值，即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，则，解得；…（11分）（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，则f（4）＜0或，解得或k=e；…（12分）（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，解得k∈（0，e）．…（13分）综上所述，当时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（14分）解法二：∵f（x）=e x﹣kx，x∈R．当k=0时，f（x）=e x＞0对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）当k≠0时，f（x）=e x﹣kx在（﹣∞，4]上的零点就是方程e x=kx在（﹣∞，4]上的解，即函数y=e x与y=kx在（﹣∞，4]上的交点的横坐标．…（9分）①当k＜0时，如图1，函数y=e x与y=kx只在（﹣∞，0）上有一个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上有一个零点．…（10分）②当k＞0时，若y=e x与y=kx相切时，如图2，设切点坐标为，则，即切线的斜率是，所以，解得x0=1＜4，即当k=e时，y=e x与y=kx只有一个交点，函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点x=1；…（11分）由此，还可以知道，当0＜k＜e时，函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（12分）当y=kx过点（4，e4）时，如图3，，所以时，y=e x与y=kx在（﹣∞，4]上有两个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上有两个零点；时，y=e x与y=kx在（﹣∞，4]上只有一个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点．…（13分）综上所述，当时，函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当或k=e时，函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（14分）点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，根的存在性及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，特别是第（3）中分类比较复杂，难度较大．。