江苏省江阴市第二中学、澄西中学2016届高三数学上学期第二次阶段性反馈试题 (1)

C2015-2016学年度第一学期第二次阶段性反馈高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1、若(1−i)2+a为純虚数，则实数a的值为．2、为了抗震救灾，现要在学生人数比例为5:3:2的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n= .3、如图是一个算法的伪代码，则输出i的值为4、从3,2,1,0这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 .5、已知集合}111|{≥-+=xxxM，集合{}032>+∈=xNxN，则=⋂NMC R)( .6、ABC∆中，若53-sin=）（Aπ，512tan=+）（Bπ，则=Ccos．7、若函数f(x)=mx2+ln x−2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是8、已知,,A B F分别是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M，若直线MB∥x轴，则该椭圆的离心率e= .9、已知函数)()1|(|)(axxxf+⋅-=为奇函数，则)(xf的减区间为．10、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=5，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为11、如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧EF上的动点，则PDPC⋅的最小值为．12、已知函数322301()51x x m xf xmx x⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为．13、在平面直角坐标系xOy中，过点P（ 5，a）作圆x2+y2 2ax+2y 1 0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且211221122y y x xx x y y-+-+=-+，则实数a的值为．14、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．iWhileEndiiiSSSWhileiSintPr12110+←-←≥←←二、解答题（本大题共6小题，计90分）15、已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ， b ，c ，且满足 (2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．16、如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EFAB，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点． （1）求证：直线//OG 平面EFCD ；（2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17、强度分别为,a b 的两个光源,A B 间的距离为d ．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为(0,)k k k >为常数．线段AB 上有一点P ，设AP x=，P 点处总照度为y ．试就8,1,3a b d ===时回答下列问题．（注：P 点处的总照度为P 受,A B 光源的照度之和） （1）试将y 表示成关于x 的函数，并写出其定义域； （2）问：x 为何值时，P 点处的总照度最小？18、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．⑴求直线OP 的方程； ⑵求1PQQA 的值； ⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19、已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+.（1）求证：142n n aa n ++=+（*n N ∈）； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在实数a ，使不等式212111(1)(1)(1)n a a a --- 对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20、已知函数x x f ln )(=.（1）求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程；（2）若函数x k x f y +=)(在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,12e 上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； （3）是否存在实数k ，使得对任意的),21(+∞∈x ，都有函数x kx f y +=)(的图象在xe x g x =)(的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由. （参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）.2015-2016学年度第一学期第二次阶段性反馈试卷Ⅱ(附加题)1.已知矩阵⎥⎤⎢⎡=a M 112的一个特征值是3，求直线032=--y x 在M 作用下的直线方程. 2. 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨=αsin 2y （α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22)4cos(=+πθρ．求C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．3．已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 . （1） 求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；（2） 记X 为选出的4名选手的人数，求X 的概率分布和数学期望.4.已知nx )211(+展开式的各项依次记为).(),(),...,(),(121x a x a x a x a n n +设函数 =)(x F ).()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++（1） 若)(),(),(321x a x a x a 的系数依次成等差数列，求正整数n 的值； （2） 求证：],2,0[,21∈∀x x 恒有.1)2(2|)()(|121-+≤--n x F x F n参考答案一、填空题： 1、0 2、30 3、5 4、5/9 5、{0,1} 6、16/65 7、[1/2, +∞) 8、2/2 9、()2/1,2/1- 10、3 11、525- 12、(-5 , 0) 13、3或－２ 14、92 二、解答题：15、（１）21- （２）)1()(23，∈A f 16、（１）略 （２）17、18、（１）x y 3= （２）43 （３）2244142kk k a+⋅+19.解：（1）证明：∵212n n S n a =+（*n N ∈）①∴ 2111(1)2n n S n a ++=++（n N ∈）②由②-①得221111[(1)]()22n n n n S S n a n a ++-=++-+1112122n n n a a +=++-（*n N ∈），∴142n na a n ++=+（*n N ∈）. ……4分 （2）解：方法1，∵142n na a n ++=+（*n N ∈）……③ ∴2146n n a a n +++=+（n N ∈）， ……④④—③，得2 4.n na a +-=（*n N ∈） …6分从而 数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，且首项为12a =，公差为4；数列{}n a 的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a ，公差为4.在①中令1n =得 211112S a =+，又∵11Sa =，∴11111 2.2a a a =+⇒= 在③中令1n =得 2242a+=+，∴ 24.a= (7)分∴当21n k =-（*k N ∈）时，12n k +=，2114(1)422nk a a a k k n-==+-=-=；8分∴当2n k =（*k N ∈）时，2n k =，224(1)42nk aa a k k n ==+-==； (9)分综上所述，2na n =（*n N ∈）. ……10分 方法2，由③式知，1(22)(2)n na n a n +-+=--（*n N ∈）， ……7分 记2n n b a n =-（*n N ∈），则1.n nb b +=-（*n N ∈），在①中令1n =得 211112S a =+，又∵11Sa =，∴11111 2.2a a a =+⇒= 从而12210b =-⨯=，∴0nb =（*n N ∈） 即2na n =（*n N ∈）. ……10分（3）解：令12111()(1)(1)(1)nf n a a a =--- （*n N ∈），则()0f n >且1(1)1(1()n f n f n a ++=-1=< (12)分（或(1)()f n f n +-121121111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n na a a a a a a +=--⋅⋅-⋅---⋅⋅-1111(1)(1)(1)(1)02462n =---⋅-<…12分）∴(1)()f n f n +<，∴()f n 单调递减，∴max [()(1)f n f ==. …13分∴不等式212111(1)(1)(1)na a a ---< 对一切正整数n 都成立等价于3()2f n a a<-对一切正整数n 都成立等价于max [()]f n a <3.2a a <-14分0<0>，解之得 0.a a >-<<或综上所述，存在实数a 适合题意，a 的取值范围是().+∞ ………16分20. 解：（1）因为1()f x x'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1，……2分 又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为1y x =-................4分（2）因为()ln k k f x x x x +=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的根.由ln 0kx x+=，得ln k x x -=，……6分 令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1x e=. 当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x e =时，()g x 取得最小值为11()g e e =-.……8分 又2212()g e e =-，(1)0g =（图象如右图所示），所以212k e e -<-≤-，解得221k e e≤<. …10分（3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x+<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln x k e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln x h x e x x =-，则()ln 1x h x e x '=--， ……12分令()ln 1x r x e x =--，则1()xr x e x'=-， 因为()r x '在1(,)2+∞上单调递增，121()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x '=，即0010xe x -=，则00ln x x =-， 所以当01(,)2x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增， 则()r x 取到最小值000001()ln 11xr x e x x x =--=+-110≥=>，14分 所以()0h x '>，即()h x 在区间1(,)2+∞内单调递增.所以11221111()ln ln 2 1.995252222k h e e ≤=-=+=，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1.……16分数 学Ⅱ (附加题)1.【解析】∵矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a M 112的一个特征值是3，设a f ----=λλλ112)(,01))(2(=---=a λλ则,01)3)(23(=---a 解得,2=a ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112M .设直线032=--y x 上任一点),(y x 在M 作用下对应的点为),','(y x 则有,''2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 整理得⎩⎨⎧=+=+'2'2y y x x y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-='31'32'31'32x y y y x x ，代入032=--y x ，整理得 09'5'4=--y x .∴所求直线方程为0954=--y x .2. 解：将消去参数α，得（x ﹣2）2+y 2=4，所以C 1的普通方程为：x 2+y 2﹣4x=0． 由ρcos （θ+）=2，即为（ρcos θ﹣ρsin θ）=2，则曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x ﹣y ﹣4=0． 由，解得或，所以C 1与C 2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．3．（（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为1121233321C C C C ⋅⋅+=种．3分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3． …………5分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， 11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯，(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=． …………8分 X179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………10分 4.（1）由题意知.1...,3,2,1,)21()(11+==--n k x C x a k k n k∵)(),(),(321x a x a x a 的系数依次为,10=n C ,8)1()21(,221221-=⋅=⋅n n C n C n n∴,8)1(122-+=⨯n n n 解得.8=n （2）=)(x F )()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++=.)21()1()21(....)21(3)21(2112210nn n n n n n n n x C n x nC x C x C C ++++++--令,2=x =)2(F .)1(....321210nn n n n n n C n nC C C C ++++++-令,0=x 1)0(=F设.)1(....321210n n n n n n n n C n nC C C C S ++++++=-则.23....)1(0121n n n n n n n n C C C nC C n S ++++++=-考虑到,k n n k n C C -=将以上两式相加得 ).....)(2(21210n n n n n n n n C C C C C n S +++++=-∴.2)2(1-+=n n n S又当]2,0[∈x 时，0)('≥x F 恒成立，从而)(x F 是]2,0[上的单调增函数， ∴],2,0[,21∈∀x x .1)2(2)0()2(|)()(|121-+=-≤--n F F x F x F n。