浙江省黄岩中学高中数学《2.2.1向量的加法及其几何意义》练习题 新人教版必修4
高中数学：2.2.1 向量加法运算及其几何意义 Word版含答案
2．2.1向量加法运算及其几何意义[教材研读]预习课本P80～83，思考以下问题1．向量的加法如何定义？2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？3．向量加法的运算律有哪两条？[要点梳理]1．向量加法的定义及运算法则2.向量加法的运算律[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．两个向量相加结果可能是一个数量．()2．两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()3．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) [★答案★] 1.× 2.× 3.×题型一 向量加法及其几何意义思考：如图，已知向量a ，b ，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b .提示：作法1：在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .作法2：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，连接OC ，则OC→＝OA →＋OB →＝a ＋b .如图1，图2，图3所示，求作向量和．[思路导引]作向量和时既可用三角形法则也可用平行四边形法则，注意三角形法则是首尾相接，而平行四边形法则需有相同的始点．[解]如图中①，②所示，→＝a，然后作AB＝b，首先作OA→＝a＋b.则OB如图③所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC→＋CD →＝(a ＋b )＋c ， 即AD →＝a ＋b ＋c .应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单． 【温馨提示】 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．(1)区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．(2)联系：①当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；②三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．[跟踪训练]如图，已知a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，如图所示．作OA→＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c . 题型二 向量加法运算思考：式子AB→＋BA →＝0正确吗？ 提示：AB→＋BA →的和为零向量，即AB →＋BA →＝0，0不能写成0，故式子AB→＋BA →＝0不正确． 化简下列各式：(1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB→＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →. [思路导引] 利用三角形法则首尾相接．[解] (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋(DF →＋F A →)＝AD→＋DA →＝0. (2)(AB→＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA → ＝(AB→＋BC →)＋(CD →＋DE →)＋EA → ＝AC →＋CE →＋EA → ＝AE →＋EA → ＝0.解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义作业 含解析高中数学人教A版必修4
[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 为矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D. 2．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.3. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反解析：选A.a ∥b 且|a |＞|b |＞0，所以当a ，b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a ，b 反向时，因为|a |＞|b |，所以a ＋b 的方向仍与a 相同．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.解析：因为|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长，所以|a ＋b |＝3 2.答案：328．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________． 解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形9．2014年12月28日在搜救亚航失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升飞机对婆罗洲和勿里岛之间的气象条件进行实地侦察，该飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD ―→|2＋|DC ―→|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →.∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．[B.能力提升]1．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →解析：选C.因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.3．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.答案：82 北偏东45°4．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③5．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30° ＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值． 解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)． 由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。
【精品】高中数学 2.2.1向量的加法及其几何意义优秀学生寒假必做作业练习二 新人教A版必修4
2．2．1向量的加法及其几何意义 练习二一、 选择题1、以下命题〔1〕如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；〔2〕三角形ABC 中，必有AB ＋BC ＋CA ＝0；〔3〕假设AB ＋BC ＋CA ＝0，那么A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；〔4〕假设a 、b 均为非零向量，那么｜a ＋b ｜与｜a ｜＋｜b ｜一定相等. 其中真命题的个数为〔 〕A 、0B 、1C 、2D 、32、河中水流自西向东每小时10ｋｍ，小船自南岸沿正北方向行驶，每小时走，那么该船实际行驶方向及速度为〔 〕A 、北偏东30度方向，速度为20/km hB 、东偏北30度方向，速度为20/km hC 、东偏北30度方向，速度为/hD 、北偏东30度方向，速度为/h3、向量〔AB ＋MB 〕＋〔BO ＋BC 〕＋OM 化简后等于〔 〕A 、CB B 、ABC 、ACD 、AMC4、假设｜AB ｜＝8，｜AC ｜＝5，那么｜BC ｜的取值范围是〔 〕A 、[]3,8B 、〔3，8〕C 、[]3,13D 、〔3，13〕5、,,A B C 不共线,230OA OB OC ++=，那么AOB BOC COA ∠∠∠、、中〔 〕A. 至少有一个是锐角B. 至少有两个是钝角C. 至多有一个是钝角D. 三个都是钝角6、如图，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，那么EF 等于〔 〕A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +7、在ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-8、在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，那么 MC MB MA -+等于〔 〕A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4二、填空题9、假设向量a 、b 满足｜a ｜＝8，｜b ｜＝12，那么｜a ＋b ｜的最小值是 .当非零向量a 、b 〔a 、b 不共线〕满足 时，能使a ＋b 平分a 、b 间的夹角.10、在四边形ABCD 中，假设||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,那么四边形ABCD 的形状是.11、c b a ,,的模分别为1、2、3，那么||c b a ++的最大值为三、解答题12、O 为正三角形ABC 的中心，求证：OA ＋OB ＋OC ＝013、求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.14、在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF ＝b ，求AC ，AD ，AE .15、△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++答案：一、选择题1、B；2、D；3、C；4、C；5、B；6、C；7、B；8、C二、填空题9、4；｜a｜＝｜b｜10、菱形11、6三、解答题12、证明：根据平行四边形法那么，作出OE＝OB＋OC，易知OBFC是菱形，OE平分∠BOC.由正三角形性质得∠AOC＝∠BOC＝120O，故∠EOC＝60O.∴∠AOE＝180O，∴A、O、E三点共线.∴｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝｜OE｜.∴OE＋OA＝0∴OA＋OB＋OC＝013、证明：设四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO＝OC，DO＝OB.由向量加法的三角形法那么知：AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC，又AO＝OC，DO＝OB，所以AB＝DC.即AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形.14、解：如图，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO 均是平行四边形.〔解法一〕根据向量的平行四边形法那么有AO ＝AB ＋AF ＝a ＋b .在平行四边形ABCO 中， AC ＝AO ＋AB ＝a ＋b ＋a ＝2a ＋b ，又由于AO ＝BC ，∴BC ＝a ＋b .或由向量加法的三角形法那么，可得 AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ；由正六边形的知识知，AD ＝2AO ＝2a ＋2b ；又AE ＝AD DE +且DE ＝－AB ，∴AE ＝AD －AB ＝2a ＋2b －a ＝a ＋2b . 〔解法二〕∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ，AD ＝2AO ，AO ＝BC ，CD ＝AF ， ∴AD ＝2BC ，2BC ＝AB ＋BC ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD ＝AB ＋AF ＝a ＋b .∴AC ＝AB ＋BC ＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ；AD ＝AC ＋CD ＝2a ＋2b ； AE ＝AF ＋FE ＝AF ＋BC ＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b .〔解法三〕∵AC ＝AF ＋FC ，而FC ＝2AB ，∴AC ＝AF ＋2AB ＝2a ＋b ； AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋AF ＝2a ＋2b ； AE ＝AF ＋FC CD DE ++＝AF ＋2AB ＋AF －AB ＝2AF ＋AB ＝a ＋2b .15、解：设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，那么 00000121212,,,3333330.,,0,30,OA CB BA OB AC CB OC BA AC OA OB OC BA AC CB O O A O B O C OO OA OB OC O =+=+=+++=++=++==++=故反之设为重心则可知故0.O 与重合。
课时作业9：2．2.1 向量加法运算及其几何意义
§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2 C. 3D.55．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形D ．等腰直角三角形6．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →7．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →，则四边形ABCD 为( ) A ．正方形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．菱形二、填空题9．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.10．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 11．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°， 则|OA →＋OB →|＝________.12．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________________________. 三、解答题13．如图所示，试用几何法分别作出向量BA →＋BC →，CA →＋CB →.答案精析1．A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8．C [AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∵AO →＝OC →，DO →＝OB →， ∴AB →＝DC →.] 9．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0. 10．1解析 在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1， |BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 11．32解析 以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ， 由∠AOB ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝3，所以该四边形为正方形，则|OA →＋OB →|＝32＋32＝3 2. 12．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.13．解 以BA ，BC 为邻边作▱ABCE ，根据平行四边形法则，可知BE →就是BA →＋BC →.以CB ，CA 为邻边作▱ACBF ，根据平行四边形法则，可知CF →就是CA →＋CB →.。
课时作业6：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
必修四第二章 平面向量2．2．1 向量的加法1．【题目】对任意向量a 、b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a ＋b |≤|a |＋|b |，恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 【题目】正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( )A ．0 B.2 C ．3 D ．223．【题目】当非零向量a ，b 满足__________时，a ＋b 平分a 与b 的夹角．4.【题目】1.在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13B ．22C ．3D ．55.【题目】已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →；④AB →＋CA →＋BD →＋DC →.其中结果为0的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46.【题目】①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么，a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③ 若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37..【题目】已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________．．8.【题目】下列等式不正确的是( )．①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →.A ．②③B ．②C ．①D ．③9.【题目】下列等式不成立的是( )．A ．a ＋0 ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB →D.AB →＋BC →＝AC →10.【题目】已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( )．A.AB →＋BC →＝CA →B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →参考答案：1. 因为向量加法满足交换律，结合律，所以①，②恒成立，|a ＋b |＝|a |＋|b |仅有a 与b 同向时成立，所以③不恒成立．由向量模的几何定义知④恒成立．【答案】C2. |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.【答案】D3.当以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，所以应填|a |＝|b |.【答案】|a |＝|b |.4.由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13【答案】A5.①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋MB →＋BM →＝AM →＋MB →＝AB →≠0.③OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝OA →＋BO →≠0.④AB →＋CA →＋BD →＋DC →＝AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0.其中结果为0的有两个．【答案】B6.①不正确，当a ＋b ＝0时，不成立．②正确，③不正确．当A 、B 、C 共线时，不成立．④不正确．因为|a ＋b |≤|a |＋|b |.【答案】B7.|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.【答案】228.①满足向量加法的交换律与结合律，①正确．AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确．DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD →＝AD →＋DC →＝AC →，③正确．【答案】B°9.显然A 、B 正确对于D ，利用加法三角形法则可知AB →＋BC →＝AC →正确【答案】C10.对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →【答案】C。
向量加法运算及其几何意义专题训练
向量加法运算及其几何意义专题训练2.2.1向量加法运算及其几何意义一、选择题（共10小题,每题5分,共50分） 1.下列等式错误的是( ) A.a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →2.如图所示,在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形3.如图所示,在平行四边形ABCD 中,BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →4.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC →＋BA →＝2BP →,则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝05.在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则( )A.四边形ABCD 一定是矩形B.四边形ABCD 一定是菱形C.四边形ABCD 一定是正方形D.四边形ABCD 一定是平行四边形6.如图,正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →7.向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC → D.AM →8.在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于( ) A ．2 5 B ．45 C ．12 D ．69.已知平行四边形ABCD,设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a,且b 是一非零向量,则下列结论:△a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是( )A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△10.若向量a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，( )A ．a △b 且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量，且方向相反C ．a ＋b ＝0D ．无论什么关系都可以二、填空题（共4小题,每题5分,共20分）11.设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量,则下列结论正确的有________.(将正确答案的序号填在横线上) △a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |．12.在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．13.已知OA → ＝3，OB → ＝3，△AOB ＝90°，则OA →＋OB →＝________.14.若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________. 三、解答题（共2小题,每题15分,共30分） 15.已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N，求F1和F2的合力．16.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.向量加法运算及其几何意义答案与解析一、选择题（共10小题,每题5分,共50分） 1.下列等式错误的是( )A.a ＋0＝0＋a ＝aB.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0 D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．答案 B2.如图所示,在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形解析△AC →＝AB →＋AD →，△DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →，即DC →＝AB →．△四边形ABCD 为平行四边形．答案 C3.如图所示,在平行四边形ABCD 中,BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →解析BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →．答案 C4.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC →＋BA →＝2BP →,则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0解析因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，则PC →＋P A →＝0. 答案 B5.在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则( )A.四边形ABCD 一定是矩形B.四边形ABCD 一定是菱形C.四边形ABCD 一定是正方形D.四边形ABCD 一定是平行四边形解析由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD 必为平行四边形．答案 D6.如图,正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →解析BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝BF →＋CB →＝CF →，所以选D. 答案 D7.向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC → D.AM →解析(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BO →)＋OM →＋MB →＋BC →＝AO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AM →＋MB →＋B C →＝AB →＋BC →＝AC →.故选C. 答案 C8.在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD→＋AC →的长度等于( ) A ．2 5 B ．45 C ．12 D ．6解析因为AB →＋AD →＝AC →,所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍,故答案是4 5. 答案 B9.已知平行四边形ABCD,设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a,且b 是一非零向量,则下列结论:△a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是( )A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△解析△在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，△a 为零向量，△零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，△△△正确，△△错误．答案 A 10.若向量a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，( )A ．a △b 且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量，且方向相反C ．a ＋b ＝0D ．无论什么关系都可以解析因为|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以由向量加法的三角形法则知，a △b 且a 与b 方向相同．答案 A 二、填空题（共4小题,每题5分,共20分）11.设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量,则下列结论正确的有________.(将正确答案的序号填在横线上) △a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |．解析由条件得：(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝0＝a ，故填△△．答案△△12.在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．解析易知|AB →＋BC →|＝|AC →|＝1，所以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则|AB →＋AC →|＝|AD →|＝2|AB →|×sin 60°＝2×1×32＝3．答案 1 313.已知OA → ＝3，OB → ＝3，△AOB ＝90°，则OA →＋OB →＝________.解析△ OA → ＝OB → ，且△AOB ＝90°，△ OA →＋OB → 是以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线长，△ OA →＋OB →＝3 2. 答案 3214.若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________. 解析延长AG 至E 交BC 于D 使得AG ＝GE ，则由重心性质知D 为GE 中点,又为BC 中点,故四边形BGCE为平行四边形．△GE →＝GB →＋GC →.又GA →＝－GE →，△GA →＋GB →＋GC →＝0. 答案 0三、解答题（共2小题,每题15分,共30分） 15.已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力 F 1 ＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力 F 2 ＝12N ，求F 1和F 2的合力．解如图所示,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中, F 1 ＝24,AC →＝12,△OAC ＝60°,△△OCA ＝90°.△ OC →＝12 3. △F 1与F 2的合力为12 3N,与F 2成90°角竖直向上． 16.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证 A B →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明:AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，△AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →和QC →大小相等、方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.。
浙江省黄岩中学高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》练习题 新人教版必修4
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标、细解考纲】1、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2、了解两个向量共线的含义。
3、理解和应用向量数乘的运算律。
【知识梳理、双基再现】1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λr =___________________________________; （2）当________________时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当____________时，a λr 的方向与a r 方向相反，当_____________时，a λr =O u r 。
2、向量数乘和运算律，设,λμ为实数。
（1）()a λμ=r _____________________________________________；（2）()a λμ+=r __________________________________________；（3）()a b λ+=r r __________________________________________；（4）()a λ=r ____________________=________________________；（5）()a b λ-=r r _________________________________________；3、⎧⎪⎨⎪⎩向量的加法向量的线性运算向量的减法向量的数乘对于任意向量a r ,b r ，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμr r 1（+）=_________________________。
4、两个向量共线（平行）的等价条件，如果(0)a a b ≠r r r 与共线，那么_________________。
【小试身手、轻松过关】1、(4) 2.5a -⨯r =___________。
高中数学 2_2_1 向量的加法运算及其几何意义(A卷)试题 新人教A版必修4
2.2.1向量加法运算及其几何意义一、选择题1. 【题文】如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC DC BA ++等于 ()A. BDB. DBC. BCD. CB2．【题文】在△ABC 中，AB a = ，BC b = ，则a b +等于（ ）A ．CAB ．BCC ．ABD ．AC3．【题文】在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形4．【题文】若四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是（ ）A ．AB BC AC += B ．AB AC BC += C ．AC BA BD += D ．AC AD DC +=5．【题文】已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则+a b 表示( )AB ．向东南航行2 km CD ．向东北航行2 km6.【题文】已知 a ，b 为非零向量，且+=+a b a b ，则( )A ．a b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．=a bD ．a ，b 无论什么关系均可7．【题文】如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP OQ +=（ ）A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO8. 【题文】如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD BC ，则OA+BC AB +=()A.CDB.OCC.DAD.CO二、填空题9．【题文】在平行四边形ABCD 中，若BC BA BC AB +=+，则四边形ABCD 是________．10．【题文】已知3=a ，5=b ，则向量+a b 模长的最大值是____．11．【题文】已知3AB = ，5BC = ，则AC的取值范围是________三、解答题12．【题文】设表示“向东走19km ”，表示“向西走5km ”，表示“向北走10 km ”，d表示“向南走5km ”，试说明下列向量的意义．（1）a a + ；（2）a b + ；（3）a c + ；（4）b d + ；（5）b c b ++ ；（6）d a d ++ ．13．【题文】在水流速度为10 km/h的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．14．【题文】求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．2.2.1向量加法运算及其几何意义参考答案与解析1.【答案】C【解析】()0BC DC BA BC DC BA BC BC ++=++=+=.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易2.【答案】D【解析】∵在△ABC 中，AB a = ，BC b = ，∴a b AB BC AC +=+=．故选D ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易3.【答案】D【解析】在四边形ABCD 中，∵AC AB AD =+ ，AC AB BC =+，∴AD BC =，∴AD BC ，AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选D ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易4.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB BC AC += ，AB AC BC +≠，AC BA BD +≠ ，AC AD DC +≠，故选A ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易5.【答案】A【解析】如图所示，设AD = a ，AB =b ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形ABCD 为正方形，且AC =+= a b ，π4BAC ∠=，故选A.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般6.【答案】A【解析】由+=+a b a b 可知，a 与b 必共线且方向相同，故选A.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般7.【答案】C【解析】设a OP OQ =+，以OP 、OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP 、OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a OP OQ =+ ，由于和FO长度相等，方向相同，∴a FO =，故选 C ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般8.【答案】B【解析】=OA+BC AB OA+AB BC OC +=+.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般9.【答案】矩形【解析】由图知BC BA BD +=.又BC AB AD AB AC +=+= ，∴BD =AC .∴四边形ABCD 为矩形． 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般10.【答案】【解析】∵358≤++==+a b a b ，∴+a b 的最大值为. 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】较易11.【答案】[]2,8【解析】8AC AB BC AB BC =+≤+=，且2AC AB BC AB BC =+≥-=. ∴28AC ≤≤.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般12.【答案】详见解析【解析】表示“向东走19km ”，表示“向西走5km ”，表示“向北走10 km ”，d表示“向南走5km ”，故（1）a a +表示“向东走了38km ”；（2）a b +表示“向东走了14km ”；（3）a c +表示“先向东走了19km ，再向北走了10 km ”；（4）b d +表示“先向西走了5km ，再向南走了5km ”；（5）b c b ++表示“先向西走了10 km ，再向北走了10 km ”； （6）d a d ++表示“先向东走了19km ，再向南走了10 km ”.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易13.【答案】船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向成120︒角【解析】如图，OA 表示水流方向，OB 表示垂直于对岸横渡的方向，OC表示船行驶的方向，由OB OC OA =+ ，及OA CB =且90OBC ∠=︒，知20OC = ，120AOC ∠︒＝，即船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向成120︒角．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易14.【答案】详见解析【解析】证明：要证明三个向量首尾相连构成三角形，只要证明三个向量的和为即可．如图所示：设△ABC 的三边对应的向量为BC = a ，CA = b ，AB =c ，那么+a b 0+=c ，设D 、E 、F 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，于是中线对应的向量分别为12AD AB BD =+=+ c a ，12BE BC CE =+=+ a b ， CF CA AF =+ 12=+b c ，∴()102AD BE CF ++=+++++= a b c a b c .∴AD BE CF ++=，故结论得证，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】一般。
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§2．2.1向量的加法及其几何意义
【学习目标、细解考纲】
1 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则则其几何意义。
2 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
3 通过本节学习，培养多角度思考问题的习惯，提高探索问题的能力。
【知识梳理、双基再现】
1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量v v ,a b ，在平面内任取一点A ，作==u u v v u u u v v ,AB a BC b ，则向量
__________叫做v a 与v b 的和，记作_____________，即+v v
a b =_______=__________这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则 以同一点O 为起点的两个已知向量v a ，v b （==u u v v u u v u v ,OA a OB B ）为邻边作四边形OACB ，则以O 为起点对
角线___________，就是v a 与v b 的和。
这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
3、对于零向量与任一向量v a ，我们规定v a +v
o =___________=_______.
4、我们知道，数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数a,b ，有a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)那么对于任意向量v a ，v
b 向量加法的交换律是：______________________
结合律____________________________。
【小试身手、轻松过关】 1、已知正方形ABCD 的边长为1，===u u v v u u u v v u u u v v ,, AB a AC c BC b ，则++v v v ||a b c 为（ ）
A ．0
B ．3
C ．2
D ．22
2、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ）
A ．+=u u v u u u v u u v A
B B
C CA B ．+=u u v u u u v u u u v AB AC BC
C ．+=u u u v u u v u u v AC BA A
D D ．+=u u u v u u v u u u v
AC AD DC 3、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++u u v u u u v u u v 32AB BC CA =（ ）
A 、u u v AD
B 、u u v 3AB
C 、u v O
D 、u u v 2AD
4、若C 是线段AB 的中点，则+u u u v u u u v
AC BC =（ ） A 、u u v AB B 、u u v BA C 、v O D 、O
【基础训练、锋芒初显】
5、在平行四边形ABCD 中，++u u u v u u v u u v
BC CD DA 等于（ ）
A ．u u v BD
B ．u u u v A
C C ．u u v AB
D ．u u r BA
6、向量++++u u r u u r u u r u u u r u u r
()()AB MB BO BC OM 化简后等于（ ）
A ．u r BC
B ．u u r AB
C ．u u u r
AC D ．u u u v AM
7、在矩形ABCD 中，u u u v AC 等于（ ）
A ．+u u u v u u v BC BA
B ．+u u v u u v AB DA
C ．+u u v u u v A
D CD D ．
8、在矩形ABCD ，==u u v u u u v ||4,||2AB BC ，则向量++u u v u u v u u u v AB AD AC 的长度等于（ ） A ．25 B ．45 C ．12 D ．6
9、已知向量v v //a b 且，>>v v ||||0a b ，则a b +r r
的方向（ ）
A ．与向量v a 方向相同
B ．向量v a 方向相反
C ．与向量v b 方向相反
D ．与向量v b 方向相反
10、向量v a ，v b 皆为非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A ．向量v a 与v b 反向，且>v v ||||a b ，则向量+v v a b 的方向与v a 的方向相同。
B ．向量v a 与v b 反向，且>v v ||||a b ，则向量方向相同。
C ．向量v a 与v b 同向，则向量+v v a b 与v a 的的方向相同。
D ．向量v a 与v b 同向，则向量+v v a b 与v b 的方向相同。
【举一反三、能力拓展】
11、化简
++=++=+++=++=uu v
uu v uu u v
uu u v uu v uu u v
uu v
uu v uu v uu v uu v uu u v uu v ____________
____________
___________
_______________
MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA
12、当向量v a 与v b _______________________时，+=+v v v v ||||||a b a b
当向量v a 与v b ________________________时，+=-v v v v ||||||a b a b
当向量v a 与v b ________________________时，+=-v v v v ||||||a b b a
当向量v a ，v b 不共线时，+v v ||a b _______________-v v ||||a b ，因
此我们有
+v v ||a b ______________+v v ||a b 。
13、设v a 表示“向东走3km ” v b 表示“向北走3km ”则v a +v b 表示什么意义？
【名师小结、感悟反思】
1、两个向量的加法的定义表明，两个向量的和仍是一个向量。
2、用向量加法的三角形法则作出两个向量的和，关键是掌握两个向量是首尾相连的，两个向量v a 与v b 相加，以v a 的终点作为v b 的起点，则由v a 的起点指向v b 的终点的有向线段就表示+v v a b 。
即比如设=v u u v a AB ,=v u u u v b BC ，则+++=v v u u v u u u v u u u v a b AB BC AC 。
3、当两个向量共线（平行）时，三角形法则同样适用。
4、向量加法的平行四边形法则与三角法则在本质上一致的，但当两个向量共线（平行）时，平行四边形法则就不适用了。
5、向量a b +r r 与向量v a ，v
b 的模及方向的关系。
①当两个非零向量v a 与v b 不共线时，+<+v v v v ||||||a b a b （由基角形法则可知），+v v a b 的方向与v
a ，v
b 都不相同。
②当v a 与v b 共线时，又同向与反向两种情况。
当v a 与v b 方向相同时，+=
+v v v v ||||||a b a b ，+v v a b 的方向与v a ，v b 都相同。
当v a 与v
b 方向相反时 若>v v ||||a b ，则+=-v v v v
||||||a b a b +v v a b 的方向与v a 相同；<v v ||||a b 则+=-v v v v
||||||a b b a
+v v a b 的方向与v b 相同。
综上，可以得到性质。
+≤+v v v v
||||||a b a b
§2 .2 平面向量的线性运算
§2．2.1向量的加法及其几何意义
【小试身手、轻松过关】
1．D 2．C 3．D 4．C
【基础训练、锋芒初显】
5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B
【举一反三、能力拓展】 11．,,,MC O BA AC u u u u r u r u u u r u u u r 12．同向，反向且||||a b >r r ，反向且||||,,a b <<≤r r
13．向东偏北45°走。