高中高三理科数学数列求和复习课件2
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2025届高中数学一轮复习课件《数列求和》ppt
高考一轮总复习•数学
由③－④得12Tn＝1211－－1212n－n·12n＋1， ∴Tn＝2－(2＋n)·12n.
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高考一轮总复习•数学
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1．一般地，如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和 时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
解析：①当 n 为偶数时，an＋2＝an＋2，则偶数项是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 故 a2＋a4＋…＋a100＝50×1＋50×2 49×2＝2 500.②当 n 为奇数时，an＋2＝－an＋2，即 an＋ an＋2＝2，故 a1＋a3＋…＋a99＝2×25＝50.综上，S100＝2 550.
高考一轮总复习•数学
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第七章 数 列
第4讲 数列求和
高考一轮总复习•数学
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01 重难题型 全线突破 02 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
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重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
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题型
分组求和法
典例 1(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足a21＋a222＋…＋a2nn＝2nn. 从结构特点分析，属于由 Sn 求 an 的类型，应用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)的运算，求通项公式． (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意的 n∈N*，令 bn＝a2na，n，n为n为奇偶数数，， 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解：(1)由 2an＋1－an＝16an＋1an 可得an1＋1＝a2n－16，于是an1＋1－16＝2a1n－16，即 bn＋1＝ 2bn，
而 b1＝a11－16＝2，所以{b×2n－1＝2n.
高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的求和问题课件 理
12/8/2021
第十二页，共五十一页。
解答
热点(rè diǎn)二 错位相减法求和
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式(gōngshì)时所用的方法，这种方 法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比 数列.
12/8/2021
第十三页，共五十一页。
例2
n
项和为
n
Sn，a3＝3，S4＝10，则
k＝1
S1k＝
__n_2＋_n_1_(n_∈__N__*)_.
12/8/2021
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解析 答案
2.(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等 比数列，且公比(ɡōnɡ bǐ)大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式；
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解答
(2)求数列(shùliè){a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*).
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第四十三页，共五十一页。
解答
押题预测 1.已知数列{an}的通项公式为 an＝2nnn＋n＋2 1(n∈N*)，其前 n 项和为 Sn，
若存在 M∈Z，满足对任意的 n∈N*，都有 Sn<M 恒成立，则 M 的最小 值为___1_____.
板块(bǎn kuài) 三 专题突 破核心考点
专题(zhuāntí)二 数 列
第2讲 数列的求和(qiúhé)问题
12/8/2021
第一页，共五十一页。
[考情考向分析(fēnxī)]
高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化 (zhuǎnhuà)、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化 (zhuǎnhuà)与化归的思想.
高三理科数学数列求和裂项相消法.ppt
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 a 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
2n 2n b 2n1 b
1 1 2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
1 22
b
1 23 b
1 2n b
1 2n1 b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、 第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
高考专题复习数学数列求和精选课件
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn tan an tan an1, 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
高三理科数学培养课件：第2部分_专题2_第4讲_数列求和与综合问题
真
(2)叠乘法
题
好 题 ·
形如aan－n 1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，an＝a1·aa21·aa23·…·aan－n1＝
演
练 场
a1·f(2)·f(3)…f(n)(积可求)．
返 首 页
典
例
研
析
· 提
(3)待定系数法
素
养
形如 an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式，
(2)(2018·锦州市模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，an≠0，a1＝1，且 2anan
真 题
＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
好 题
①求 a2 的值并证明：an＋2－an＝2；
·
演 练
②求数列{an}的通项公式．
场
返 首 页
典
例 研
(1)Sn＝3n－2n [∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，
返 首 页
②由①可知：数列 a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为 2，首项
典 例
为
1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即
n
为奇数时，an＝n.
研
析 · 提 素
数列 a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为 2，首项为12，
养
∴a2k＝12＋2(k－1)＝2k－32，
＝1＋2＋…＋n＝nn＋ 2 1，
真 题 好 题
∴bn＝nn2＋1＝21n－n＋1 1，
·
演 练 场
∴b1＋b2＋…＋b2 018＝21－12＋12－13＋…＋2 0118－2 0119＝42 003169，故选 D．]
返 首 页
高三总复习数学课件 数列求和
数列求和
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和 法；(2)掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
重点一 公式法 1．等差数列{an}的前n项和Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d． 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， 2．等比数列{an}的前n项和Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法．
[逐点清]
1．(选择性必修第二册24页习题1题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4
＝1，则S4＝
()
A．12
B．1
C．2
D．3
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4＝1，∴aa11＋ ＋d3＝d＝0，1，
∴an＝2n－1，n∈N *． (2)由[a1]＝1，[a2]＝2，[a3]＝4，[a4]＝8，[a5]＝6，[a6]＝2，[a7]＝4，…，易知，从 第二项起是周期为 4 的周期数列，∴S100＝1＋24×(2＋4＋8＋6)＋2＋4＋8＝495．
答案：A
3．(易错题)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋fn1＋…＋fn－n 1＋f(1)(n∈N *)，则数列
{an}的通项公式为________．
解析：由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f
1 n
＋f
n－1 n
＝4，所以2an
＝(f(0)＋f(1))＋fn1＋fn－n 1＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1)．
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和 法；(2)掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
重点一 公式法 1．等差数列{an}的前n项和Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d． 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， 2．等比数列{an}的前n项和Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法．
[逐点清]
1．(选择性必修第二册24页习题1题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4
＝1，则S4＝
()
A．12
B．1
C．2
D．3
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4＝1，∴aa11＋ ＋d3＝d＝0，1，
∴an＝2n－1，n∈N *． (2)由[a1]＝1，[a2]＝2，[a3]＝4，[a4]＝8，[a5]＝6，[a6]＝2，[a7]＝4，…，易知，从 第二项起是周期为 4 的周期数列，∴S100＝1＋24×(2＋4＋8＋6)＋2＋4＋8＝495．
答案：A
3．(易错题)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋fn1＋…＋fn－n 1＋f(1)(n∈N *)，则数列
{an}的通项公式为________．
解析：由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f
1 n
＋f
n－1 n
＝4，所以2an
＝(f(0)＋f(1))＋fn1＋fn－n 1＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1)．
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
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证 明 ： 2 b n a 4 n 3 , n 1, 2 , 3
课练习
作业手册：P259
题型三、数列与数学归纳法
例 3、 已 知 数 列 a n 的 各 项 都 是 正 数 ， 且 满 足 a 0 1, a n 1 1 2 a n ( 4 a n ), n N
(1) 证 明 ： a n a n 1 2， n N ( 2 )证 明 ： g 1 lo
5.1
数列的综合应用
知识回顾
1.数列的概念
2.数列的分类
3.数列的通项公式 4.数列的递推公式 5.数列的表示方法 6.数列与函数之间的关系
基础自测
1、C
2、B
3、C
4、3
m 1
3( n 1)
题型一、数列的实际应用题
例 1、 分 析 ： 甲 ： 一 次 性 贷 款 10万 元 ； 第 一 年 可 获 利 1万 元 ， 以 后 每 年 比 前 一 年 增 加 30%的 利 润 ； 乙 ： 每 年 贷 款 1万 元 ； 第 一 年 获 利 1万 元 ， 以 后 每 年 都 比 前 一 年 增 加 利 润 5千 元 两 种 方 案 试 用 期 都 是 10年 ， 到 时 一 次 性 还 本 付 息 ， 年 利 息 10%的 复 利 计 算 .
题型二、已知递推关系求数列的通项公式
例 2： 已 知 数 列 a n 满 足 a 1 1, a n 3 (n 2) (1) 求 a 2 , a 3 ( 2 )证 明 : a n 3 1
n n 1
a n 1
2
变 式 2： 已 知 数 列 a n 满 足 ： a 1 1, a 2 3 a n 2 3 a n 1 2 a n ( n N )
*
(1) 证 明 ： 数 列 a n 1 a n 是 等 比 数 列 ； ( 2 )求 数 列 a n 的 通 项 公 式 ； (3) 若 数 列 b n 满 足 4
b1 1
4
b2 1
4
bn 1
( a n 1)
bn
证 明 ：b n 是 等 差 数 列 .
2
2 an 2
为 等 比 数 列.
(3) 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 a n .
变 式 3： 已 知 数 列 a n 中 a 1 2 , a n 1 ( 2 1)( a n 2 ) n 1, 2 , 3, (1) 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 ； ( 2 ) 若 数 列 b n 中 b1 2 , b n 1 3bn 4 2 bn 3 , n 1, 2 , 3,