函数、极限与连续

函数 f ( x ) 在 X上有界, 否则称为无界.
由上述定义易见有下列结论:
f ( x ) 在 X 上有界
有下界.
f ( x ) 在 X 上既有上界又
例如, 在 ( , ) 内, 恒有 | sin x | 1 或
1 sin x 1,
函数的有界性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 数集 X D,
第1章
函数、极限与连续
区间 定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间,
这两个实数叫做区间的端点. 设 a , b R, 且 a b, 定义 (a , b) { x | a x b}; 开区间
闭区间 半开区间 无限区间
[a , b] { x | a x b}; [a , b) { x | a x b}, (a , b] { x | a x b}; [a , ) { x | a x }, ( , b) { x | x b}; ( , ) R.
f ( x ) 在 X 上有界
有下界.
f ( x ) 在 X 上既有上界又
1 y (0,1) 上无界, 因为可以取 又如, 函数 x 在区间 1 无限靠近于零的数, 使该函数的绝对值 x 大于任何
函数的有界性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 数集 X D,
f ( x ) 在 X 上有界
函数的表示法
1. 表格法 2. 图像法
自变量的值与对应的函数值列成表格 的方法 在坐标系中用图形来表示函数关系的
方法
3. 公式法(解析法) 将自变量和因变量之间的关系用
数学表达式(又称为解析表达式)来表示的方法.
根据函数的解析表达式的形式不同, 函数也可
分为以下三种:
函数的表示法
根据函数的解析表达式的形式不同, 函数也可
2
函数概念 例如,
y 1 x , D : [1,1]; y
2
1 , D : ( 1,1). 2 1 x
函数的表示法: 表格法、图形法、公式法(解析法). 函数的图形: 坐标平面上的点集
{( x , y ) | y f ( x ), x D}
称为函数 y f ( x ), x D 的图形.
分为以下三种:
函数的表示法 根据函数的解析表达式的形式不同, 函数也可 分为以下三种:
(1) 显函数 函数 y 由 x 的解析表达式直接表示.
例如 y x 2 1.
( 2) 隐函数 函数的自变量 x 与因变量 y 的对应
关系由方程 F ( x , y ) 0 来确定. 例如, ln y sin( x y ).
有下界.
f ( x ) 在 X 上既有上界又
1 y (0,1) 上无界, 因为可以取 又如, 函数 x 在区间 1 无限靠近于零的数, 使该函数的绝对值 x 大于任何
预先给定的正数 M . 但易见该函数在 1, 上有界.
函数的单调性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2 时,0定义域 Nhomakorabeax
D ( ,), 值域 R f { 2}.
x, x 0 例2 绝对值函数 y | x | 定义域 x, x 0 D ( , ), 值域 R f [0, ).
注: 常用绝对值的运算性质:
| xy || x || y |;
| x| x | | ; y | y|
义域.
解 要使 f ( x ) 有意义, 显然 x 要满足:
3 x 0 即 sin x 0 5 4 x x 2 0 所以 f ( x ) 的定义域为
x3 x k 1 x 5
( k 为整数)
Df {x | 1 x 3, x 0} [1,0) (0,3)
区间的长度
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
邻域
定义 设 a 与 是两个实数, 且 0, 数集
{ x | x a | }
称为点 a 的 邻域. 记为
U (a , ) { x | a x a }. 其中, 点 a 叫做该邻域的中心, 叫做该邻域的半
解 (2) 虽然它们的自变量与因变量所用的字母 不同, 但其定义域 ( , ) 和对应法则均相同
(如图), 所以这两个函数相同.
y 3 2 1 2 1 1 0 1
x
y 2x 1
2 x
3 2 1 2 1 1 0 1
x 2y 1
2 y
(a)
(b)
例4 解
求函数 y
径. 点 a 的去心的 邻域, 记为 U (a , ),
U (a , ) { x | 0 | x a | }. 以 a 为中心的任何开区间均是点 a 的邻域, 记为U ( a ).
即

函数概念 定义
设 x 和 y 是两个变量, D是一个给定的数集.
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定的法则总 有确定的数值和它对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作
特别地
区间
无限区间
[a , ) { x | a x }, ( , b) { x | x b}; ( , ) R.
特别地
区间 无限区间 特别地
[a , ) { x | a x }, ( , b) { x | x b}; ( , ) R.
y f ( x ), x D
因变量 自变量
其中, 数集 D 称为函数的定义域, 记为 D f , 即 D f D. 对 x0 D, 按照对应法则 f , 总有确定的值
y0 f ( x0 ) 与之对应, 称 f ( x0 ) 为函数在点 x0 处
函数概念
对 x0 D, 按照对应法则 f , 总有唯一确定的值
1,0 x 1 , 求函数 f ( x 3) 的 例6 设 f ( x ) 2,1 x 2
定义域. 解
1,0 x 1 f ( x) 2,1 x 2 1,0 x 3 1 f ( x 3) 2,1 x 3 2
解 (1)虽然这两个函数的表现形式不同, 但它们 的定义域 ( , ) 与对应法则均相同, 所以这 两个函数相同.
(2) 虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同,
但其定义域 ( , ) 和对应法则均相同(如图),
例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. 2 2 (1) y 1与 y sin x cos x;
( 3) 分段函数 函数在其定义域的不同范围内, 具
有不同的解析表达式.
分段函数举例
(1) 符号函数
1, 当 x 0 y sgn x 0, 当 x 0, x sgn x | x | . 1, 当 x 0
( 2) 取整函数 y [ x ], [ x ]表示不超过 x 的最大整数.
f ( x ) 在 X 上有界
有下界.
f ( x ) 在 X 上既有上界又
例如, 在 ( , ) 内, 恒有 | sin x | 1 或
1 sin x 1,
函数的有界性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 数集 X D,
f ( x ) 在 X 上有界
有下界.
f ( x ) 在 X 上既有上界又
1, 3 x 2 2, 2 x 1 故函数 f ( x 3) 的定义域: [3, 1].
函数的有界性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 数集 X D, 若 M 0, 使得 x X 恒有 | f ( x ) | M 成立, 则称
从函数的定义可见, 自变量在定义域内任取一个数 值, 对应的函数值总是只有一个, 这种函数称为单 值函数. 今后, 若无特别声明, 所研究的函数均为
函数概念
从函数的定义可见, 自变量在定义域内任取一个数 值, 对应的函数值总是只有一个, 这种函数称为单
值函数. 今后, 若无特别声明, 所研究的函数均为
函数的单调性 则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调减少函数; 例题分析:
例如, 在 ( , ) 内, 恒有 | sin x | 1 或
1 sin x 1, 故函数sin x有界, 且 1 是它的上界, 1是它的下界.
1 y (0,1) 上无界, 因为可以取 又如, 函数 x 在区间 1 无限靠近于零的数, 使该函数的绝对值 x 大于任何
函数的有界性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 数集 X D,
函数概念 从函数的定义可见, 自变量在定义域内任取一个数
值, 对应的函数值总是只有一个, 这种函数称为单
值函数. 今后, 若无特别声明, 所研究的函数均为 单值函数. 若自变量在定义域内任取一个数值, 对 应的函数值不总是唯一的, 称这种对应法则定义了 一个多值函数.
例 1 函数 y 2
y
y2
恒有
f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调增加函数; 如果对于区间 I上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2 时,
恒有
例题分析:
f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调减少函数;
函数的单调性
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调减少函数; 例题分析:
a x a;
| x | | y || x y || x | | y | .
设 a 0, 则 | x | a
| x | a
x a 或 x a.