第三章 数据处理及结果分析3.3

e
x μ 2
2σ
2
dx 1
任何样本值x落在区间[a，b]的概率P （a≤x≤b）等于横坐标在x=a，x=b区间的曲 线和横坐标之间所夹的面积。即
概率P a x b
1 σ 2π

b
a
e

x μ 2
2σ 2
dx

2. 标准正态分布曲线N(0,1) 令

2
6. 方差
（表征随机变量分布的离散程度）
个别测定值与平均值的偏差的平方和除以测定
次数（n-1）得方差。
① 样本方差
S2
x
n i 1
i
x

2
n1
② 总体方差
σ2
x
i 1
n
i
μ
2
n
（n
∞）

7. 标准偏差(Standard Deviation) 方差的平方根为标准偏差（简称标准差） ① 样本标准差 n 2 xi x S i 1 n1
1、总体不同
2、同一总体，存在系统误差
图1
同一总体的测定值和随机误差具有相同的分布规律。
图2
测量值和随机ξ 误差的正态分布体现了随机误差的概率统计规 律
25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 15.80 15.90 16.00 16.10 16.20
平均值
y
x
1 2
( x )2 2 2 e
1 P1u1 2π
e
1
1
1 u2 2
du 0.683
误差范围与出现的概率之间的关系
xμ u σ
x-μ [-σ ,+σ ] [-1.96σ ,+1.96σ ] [-2σ ,+2σ ] [-3σ ,+3σ ] u [-1,1] [-1.96,+1.96] [-2,+2] [-3,+3] 概率 68.3% 95% 95.5% 99.7%

中位数 M=37.30% 0.0670 标准偏差 S 0.13% 5 1
• 相对标准偏差Sr% = 0.35%
• 平均偏差
0.11 0.04 0.14 0.16 0.09 d 0.11% 5 0.11 相对对平均偏差dr 100% 0.29% 37.34
解：查四师P.54表3-1，u=2时，面积为0.4773 ∴ 概率为：

2 0.4773 P 100% 95.5% 1
当u=3时，面积为0.4987，于是出现的概率为：
• •
例3-3 （题略）P.54 例3-4（题略）P.54
2 0.4987 P 100% 99.7% 1
㈢统计频数和计算相对频数
将组值范围、频数和相对频数列入表 中，即可得频数分布表
㈣ 绘直方图
若以组界值为横坐标，相对频数 (频率)为纵坐标作图，可得相对频数 分布直方图（P.49，图3-3）。 由于相对频数（概率）的总和为 1，所以相对频数直方图上长方形的总 面积为1。
测定值频率密度直方图
测定值频率密度分布图
y
结论：增加平行测量次数 可有效减小随机误差。
1、小误差出现的概率大，大误差出现的概率小；特别大的误 差出现的概率极小。 2、正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。
3、x = 时，y 值最大，体现了测量值的集中趋势。集中的 程度与 有关。
概率P x


1 f x dx 面积 σ 2π
6.00 4.00 2.00 0.00
15.8 15.9 16.0 16.1 16.2 16.3
² âÁ ¿Ö µ
âÁ ² ¿Ö µ
三、随机误差的正态分布 (Normal Distribution)N（μ，σ2）
随机误差有以下的规律性： ⑴偏差大小相等、符号相反的 测定值出现的概率大致相等； ⑵偏差小的测定值比偏差较大的测定值出现
• P.84 • 在相同条件下对某试样中镍的质量分数（%）进
行重复测定，共测定90次，其结果见书上（表）。90个 测定值，分为9组，其组距为：
最大值 最小值 1.74 1.49 组距 0.03 9 9
若要求第5组数据的概率密度，可先课本P.50 表求得第5组的相对频数（概率）= 0.244
3. 标准正态分布概率密度函数积分表
假定测定值出现在u=±∞ 范围，则几率为100%
如果测定值出现在u= -∞到u=0 或 u由0 +∞ 则在该范围内出现的几率分别为50%。
u=1时， 面积为0.3413，几率为34.1% u=3时， 面积为0.4987， 几率49.9%
如果u>1， 则面积为0.5-0.3413=0.1587，几率为15.9% 如果u>2.0, 则面积为0.5-0.4773=0.0226，几 率为2.3%
对于任何正态分布，测定值落在区间（a，b） 的概率P为：
Pa ub
或写成一般式：
1 2π
u2

b
a
e
1 u2 2
du
1 Pu1 uu2 2π

u1
e
1 u2 2
du

例3：某数值x落在平均值的2个标准偏差（σ）以内的 概率是多少？落在平均值的3个标准偏差以内的概率是 多少？Biblioteka xi 1ni
x
n
d 相对平均偏差 100% x
10. 极差R（全距）

在一组数据中最大值与最小值之差称为极 差（又叫全距），用R表示。即

R=X最大-X最小

例：某同学分析某铁矿试样中铁的含量， 得到下列数据：37.45%、37.30%、 37.20%、37.50%、37.25%，计算分析结 果的算术平均值、中位数、标准差、相对 标准差（变异系数）、平均偏差、相对平 均偏差和极差。数据列入下表：
xμ u σ
例1：有一系列Fe的分析数据， μ=53.78%Fe，σ=0.20%，计算 x=53.58%Fe时的u。

解：
x μ 53.58 53.78 u 1.0 σ 0.20

例2：某化学课程最终考试，平均成绩 μ=75分，总体标准偏差σ=10分，计算 x=100分时的u值。 解：
组距值表明：每组内两个数据间相差0.03。即 1.48~1.51， 1.485~1.515， 1.51~1.54， … 1.515~1.545， 1.545~1.575， …
频 分 组 1.485 1.515 1.515 1.545 1.545 1.575 1.575 1.605
数 频 2 6 6 17
的概率多，偏差很大的测定值出现的概率极小；
⑶各测定值的算术平均值比个别测定值的可靠性要大。 高斯正态分布的数学表达式：
1 y f ( x) e 2 ( x )2 2 2
总体平均值 相同，总体精密 度σ不同（σ1<σ2<σ3） 原因：
同一总体，精密度不同
若总体标准偏差（精 密度）σ相同，总体平均 值μ不同（μ1<μ2<μ3）原 因：
（3）式则为
1 y e 2π
1 2 u 2
1 e 2π
1 2 x 2
平均值μ=0，总体标准偏差σ=1的正态分布曲 线称为标准正态分布曲线，用N（0，1）表示。
P x


1 f(u)du 2π



e
1 u2 2
du 1
例如，u=±1时，样本值落在这个区间的概率为
µÂ Æ Êà ܶ È· Ö² ¼Í ¼
µÊ Æ Âà ܶ ÈÖ ±½ ·Í ¼
10.00 8.00
È Ü ¶ Ê Ã µ Â Æ
10.00 8.00
È Ü ¶ Ê Ã µ Â Æ
6.00 4.00 2.00 0.00
15 .83 15 .90 15 .96 16 .02 16 .09 16 .15 16 .21
§3-3 随机误差的正态分布
一、数据处理中常用名词 的含义
1. 总体、样本和个体 在统计学中，所研究对 象的全体称为总体（又叫母 体），其中的一个基本单元 称为个体。从总体中随机抽 取出来的部分个体的集合体 称为样本（又叫子样）。
2. 样本容量（样本大小） 样本中所含数据（如测定值）的个数称为样本 容量，用n表示。 3. 算术平均值 x （简称平均值） 算术平均值是一组精密度相等的测定值的平 均值。 n x ①样本平均值 x1 x 2 x n i 1 i

x
• ②总体平均值μ：当测定次数n
n

n
•
∞时， 样本平均值就等于总体平均值，即
μ
x
i 1
n
i
n
（n
∞）
4. 中位数（M）
中位数（M）是指将一组测定值按一定大小 顺序排列时的中间项的数值。
5. 差方和
测定值对平均值偏差的平方的加和叫差方 和。即
差 方 和 xi x
i 1
n

=37.34%；S=0.13%
• 极差R = 37.50%-37.20%=0.3%
• 分析结果报导如下：n=5； x
11. 频数 将平行测定次数足够多的数据划分为若 干组，落入每一个组内的数据个数叫该组数 据的频数。
12. 相对频数
频数与所测数据总个数（样本容量）之 比值，叫相对频数。
13. 概率密度 • 各组数据的相对频数（概率）除以组距就 是概率密度。 • 组距就是最大值与最小值之差除以组数。
x μ 100 75 u 2.5 σ 10