第三章恒定磁场

Q r >> a
−1 1 2 2 ∴ = ( r + a − 2ar sin θ cos ϕ ′ ) 2 R
⎞ 1 ⎛ a 2a = ⎜1 + 2 − sin θ cos ϕ ′ ⎟ r⎝ r r ⎠
2
−1
2
1⎛ a ⎞ ′ ≈ ⎜1 + sin θ cos ϕ ⎟ r⎝ r ⎠
µ 0 Ia π ⎛ a ⎞ ′ + Aϕ ≈ 1 sin θ cos ϕ ⎜ ⎟ cos ϕ ′d ϕ ′ ∫ 0 2π r ⎝ r ⎠ µ0 Iπ a 2 = sin θ 2 4π r
s
u r u r ∫J •dS
上式表明：恒定磁场是有旋场。产生该旋度的源就是该 u r 点的电流密度 J r r ∫ l H • dl = I 安培环路定律的微分和积分表 达式，描述了恒流磁场的有旋 u r r 性，产生恒定磁场旋度的源是 ∇×H = J 电流。
3.2矢量磁位和标量磁位 r 1.矢量磁位 A
r r u ∴ ∫ B×dS = 0
s
s
v
上式表明，通过任何闭合曲面的磁通量总是等于零。
3恒流磁场的旋度方程
（1）恒流磁场环流量的积分形式，即安培环路定律。 利用毕奥-萨伐尔定律，得到真空中长直导线的磁场强 度，对该磁场强度进行闭合线积分，即可得到安培环路 定律。
∫
l
r r H • dl =
∴
∫
l
（1）恒定磁场磁通连续性方程的微分形式，即磁场的 无散性方程。 r r
r ∇•B = 0
上式描述了恒定磁场 的无散性，恒定磁场是无散度源的场。
（2）磁通连续性的积分形式
r 由磁通连续性的微分形式∇ • B = 0 r r u r 散度定理： ∫ B × d S = ∫ ∇ • Bdv, 此处体积分为零，
r Idl
r R
7
r r r r I ∞ dl × e R eϕ I ∞ sin α dz = H= 2 ∫ 2 ∫ −∞ R −∞ 4 π 4 π R r 2 2 ∞ eϕ I r/ r +z = dz 2 2 4π ∫−∞ r + z r I = eϕ 2π r
例. 一无限长直导线，其电流为I，求距离导线的垂 直具体为r的P点的磁场强度
uur ur ur µ π a I uu r µ P ×e 0 0 m r A= θ e sin = ϕ 4π r 2 4π r 2 uur µ P ⎛1⎞ = − 0 m ×∇⎜ ⎟ 4π ⎝r⎠
2
3. 磁偶极子的标量位
在无源区:
u r u r 由B = ∇ × A，可以推出
uu r ∇×H =0 uu r H = −∇ ϕ m
ur Q∇ • B = 0
ur 我们定义 A 为矢量磁位（矢量位）
ur ur ur 由矢量特性可知，总有一个 A 使 B = ∇ × A
或
Wb/m (韦/米）
单位： T.m (特.米）
ur 做规定，在恒定磁场中规定 ∇ • A = 0
(
ur A
ur ur 为使 A 唯一确定，引入库仑规范，即对∇ A
值可以相差常矢量）
2. 矢量位的泊松方程与拉普拉斯方程
⎧ ⎪∇ ⎨ ⎪ ⎩∇
2 2
证明：
可以推导出
uu r ur ⎧∇ × H = J uu r ⎪ ur ⎪B = µ0 H 由 ⎨ ur ur ⎪B = ∇ × A ur ⎪ ⎩ ∇ • A = 0 u r u r uu v B 1 ∇× H = ∇× = ∇× ∇× A µ0 µ0 u r u r 1 = ∇×∇× A = J µ0
2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∇2 = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
此时
为标量算符
ρ 与静电场的泊松方程 ∇ 2ϕ = − ε0 为：
相比较，可知其解
µ0 Ax = 4π µ0 Ay = 4π µ0 Az = 4π
ur µ0 A = 4π
∫τ ∫τ ∫τ
∫
Jx ⎫ dτ + C x ⎪ R ⎪ Jy ⎪ dτ + C y ⎬ R ⎪ Jz ⎪ dτ + C z ⎪ R ⎭
毕奥-萨伐尔定律：
将磁感应强度写成更一般的形式： r r r µ0 I dl × e R B= 2 ∫ 4π l R
r aB
R
r Idl
θ
如果是电流分布在表面S ′上，则 r r r µ0 J S × e R r B= dS ′ 式中J S 表示面电流密度 2 ∫ 4π S R
分布于体积V ′中 r r r µ0 J × e R B= dV ′ 2 ∫ 4π V R
磁位的泊松方程
3.3 磁偶极子
1. 磁偶极子的磁矩
uu r u r 磁偶极子的磁矩，即 Pm = I S
S为小圆电流包围的面积.
一个小圆电流环为一个磁偶极子，
，
P ( r , θ , 0)
uu r u r Pm = I S
2. 磁偶极子的矢量位
uu r ur u r µ πa I uu r µ P ×e r 0 0 m A= θ e sin = ϕ 4π r 2 4π r 2 uu r µ0 Pm ⎛1⎞ =− ×∇ ⎜ ⎟ 4π ⎝r⎠
z
u r r ur R = r −r'
r dB
r eR
x
ur r'
r r
y
磁场强度单位： 1. T (特[斯拉])：Tesla 2. Wb/m2 (韦[伯]/ 米2) 3. Gauss
例. 一无限长直导线，其电流为I，求距离导线的垂 直具体为r的P点的磁场强度 r r r µ ⋅ I dl × e R 解法1由毕奥‐萨伐定 B= 2 ∫ π R 4 C 律：
合并为
ur ur J dτ + C R
同理可知体分布、面分布、和线分布电流产生的矢量位分 别为：
ur µ0 A= 4π ur µ0 A= 4π ur µ0 A= 4π
∫τ ∫
S
∫τ
u r ur J dτ + C R uu r ur Js ds + C R r I d l ur +C R
3.标量磁位定义
µ0 4π
l2 l1
∫∫
r r r I 2 dl2 × ( I1dl1 × e R ) 2 R
C1
r r1
r r dl1 R
r dl2
C2
r r2
r µ0 F12 = 4π
l2 l1
∫∫
r r r I 2 dl2 × ( I1dl1 × e R ) 2 R
−7
真空中磁导率：
µ 0 = 4 π ⋅ 10
ur A = −µ ur A = 0
0
ur J
(
)
(
)
而
u r u r u r u r 2 ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ • A − ∇ A = µ0 J
(
)
u r 由库仑规范可知 ∇ • A = 0 u r u r u r 2 ∴ ∇ × ∇ × A = −∇ A = µ0 J
∴ u r u r ∇ A = −µ0 J
r 将F12改写成 r F12 = r ⎡µ 0 I dl × ⎢ 2 2 ∫ ⎢ l2 ⎣ 4π r = ∫ dF12
l2
(H / m )
∫
l1
r r ( I1dl1 × e R ) ⎤ ⎥= 2 R ⎥ ⎦
l2
r r u ∫ I 2dl2 ×B
ur r r 式中：d F = I dl × B
安培力：磁场给运动电荷的作用力。可以写成：
由斯托克斯定理，有 ∫
l
u r r r r H • dl = ∫ ∇ × H • d S
s l s
r r 积分形式的安培环路定律， ∫ H • dl = I = u r r ∴ ∫∇× H •dS = u r 因 为 面 积 S是 任 意 的 ， ∴
s
u r u r ∫J •dS
r r u ∇× H = J
2
a
磁偶极子矢量位推导：
r u r µ 0 Idl dA= 4π R
由对称性可知 A = Aϕ = ∫ 2dAϕ ' = 2∫ dA cos ϕ ′
l l
π µ Ia µ0 Idl cos ϕ ′ = 2∫ 0 cos ϕ ′dϕ ′ = 2∫ 0 4π R l 4π R
Q R 2 = z 2 + x 2 + a 2 − 2ax cos ϕ ′ 其中： z = r cos θ , x = r sin θ ∴ R 2 = r 2 + a 2 − 2ar sin θ cos ϕ ′
第三章 恒定磁场
3.1 恒定磁场的散度方程和旋度方程
1 安培（力）定律和毕奥-萨伐尔定律
安培力定律：描述两个恒定电流回路之间存在的作用力。 表明真空中电流为 I 1 的 l1 回路， r 对电流为 I 2 的 l 2 回路产生一个力 F12
r F12 =
u r r r ur r r O ur R = eR R = r − r ' = eR r − r ' 式中：
2
泊松方程
u r 若 J = 0, 则
ur ∇ A=0
2
拉普拉斯方程
证毕
注意：上式中 ∇ 2为矢量算符，对直角坐标系有三个分量。
对泊松方程 有
ur u r ∇ A = −µ0 J
2
⎧∇ 2 Ax = − µ 0 J x ⎪ 2 ⎨∇ Ay = − µ 0 J y ⎪ 2 ⎩∇ Az = − µ 0 J z
⎜ ⎟ R2 ⎝R⎠ Q∇ •(A× F) = F •∇ × A − A•∇ × F r ⎛ 1 r⎞ r ⎛1⎞ ⎛1⎞ ∴∇ •⎜∇ × J ⎟ = J •∇ ×∇ ⎜ ⎟ − ∇ ⎜ ⎟•∇ × J ⎝ R ⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ r ⎛1⎞ 又 Q ∇ × ∇ ⎜ ⎟ = 0, 而 且 ∇ × J = 0 ⎝R⎠ ⎛ 1 r⎞ ∴ ∇ •⎜∇ × J ⎟ = 0 ⎝ R ⎠