湘教版九年级数学上册测试题_4.3 解直角三角形
湘教版九年级数学上册同步练习4.3解直角三角形
第 4 章锐角三角形函数4.3解直角三角形知识点 1已知一边一角解直角三角形1．如图 4－3－1，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°.(1)已知∠ A 和 c，则 a＝________，b＝ ________；(2)已知∠ B 和 b，则 a＝________，c＝________．2．在直角三角形ABC 中，已知∠ C＝90°，∠ A＝40°，BC＝ 3，则 AC＝()A．3sin40 °B．3sin50 °C．3tan40 °D．3tan50 °图4－3－1图 4－3－23．如图 4－3－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC的长是()4 3A. 3B．4 C．8 3 D．4 34．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a＝8，∠ B＝60°，求∠ A，b，c.知识点 2已知两边解直角三角形5．已知在Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，BC＝ 2， AC＝6，则 AB ＝________，∠ A＝______°，∠ B＝________°.6．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a，b，c 分别是∠ A，∠ B，∠C 的对边，假如 a＝2，b＝2 3，求 c 及∠ B.知识点 3已知一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt△ABC中，∠C＝°，sinB＝3， BC＝ 5，则∠ B＝902________°，AB＝________．8．2019·岳阳如图 4－3－3 是教课用三角尺，边 AC＝30 cm，∠C3＝90°，tan∠BAC＝3，则边 BC 的长为 ()A．30 3 cm B．20 3 cmC．10 3 cm D．5 3 cm．在△ABC 中，已知∠＝°，＝，＝2，那么 AC 边9C90BC4sinA3的长是 ()A．6B．25C．3 5 D．213图4－3－3图 4－3－4知识点 4“双直角三角形”问题10．如图 4－3－4，在△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝ 8，∠ABD ＝30°，∠CAD＝45°，则 BC 的长为 ()A．4 3 B．4 3＋4C．4 3－4 D．411．教材习题 4.3 第 3 题变式如图 4－3－5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知∠ BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20，求∠A 的度数．图 4－3－512．如图 4－3－6 所示，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠ BAC 的平3分线．已知 AB＝10，tanB＝4，则 BC 的长为 ()A．6 B．8 C．12 D．16图4－3－6图 4－3－713．如图 4－3－7，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，则 tan∠EAF＝ ________．14．如图 4－3－8，在△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一点，∠ BDC＝45°，AD＝4.求 BC 的长． (结果保存根号 )图 4－3－815．如图 4－3－9，在 Rt△AOB 中，∠ AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，OA 与 x 轴的正方向的夹角为 30°，求 A，B 两点的坐标．图 4－3－916．如图 4－3－10，在四边形 ABCD 中，AD∥ BC，∠ ABC＝90°，∠BCD＝45°，点 E 在 BC 上，且∠ AEB＝60°，若 AB＝2 3，AD＝1，求 CD 和 CE 的长． (结果保存根号 )图 4－3－1017．如图 4－3－11，已知 Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD， AE 与 CD，CB 分别订交于点 H，E，AH＝2CH.(1)求 sinB 的值；(2)假如 CD＝5，求 BE 的长．图 4－3－11详解详析1．(1)c·sinA c·cosAb b(2)tanB sinB2．D[ 分析 ] ∵∠ C＝90°，∠A＝40°，∴∠ B＝90°－∠ A＝90°－40°＝50°.AC又∵ tanB＝BC，∴ AC＝BC·tanB＝3tan50 °.应选 D.3．D [ 分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝8，cosB ＝BC，即 cos30°＝BC，AB83∴BC＝8×2＝4 3.应选 D.4．解：∠ A＝90°－∠ B＝30°，ac＝sinA＝16， b＝a·tanB＝8 3.5．2 2 30606．解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋(23)2＝42，∴ c＝4.b233∵sinB＝c＝ 4＝2，∴∠ B＝60°. 7．60108．C[分析 ] ∵在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，BC∴tan ∠ BAC ＝AC .3又∵ AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝ 3 ，3∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×3 ＝103(cm)．应选 C.2 BC9．B[分析 ] ∵在 △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sinA ＝3＝ AB＝ 4，∴ AB ＝6，∴ AC ＝ 36－16＝2 5.AB10．B[ 分析 ] 第一解 Rt △ ABD ，求出 AD ， BD 的长，再解Rt △ADC ，求出 DC 的长，而后由 BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在 Rt △BDC 中，∠ BDC ＝45°，BD ＝10 2，2∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×2 ＝10.∵在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AB ＝20，BC 10 1∴sinA ＝ AB ＝20＝2，∴∠ A ＝30°.12．D [分析 ] ∵AB ＝AC ，AD 是∠ BAC 的均分线，∴ AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴ tanB ＝AD BD ＝34，∴ AD ＝34BD.∵AD 2＋BD 2＝ AB 2，∴ (34BD)2＋BD 2＝102，∴ BD ＝8，∴ BC ＝16.应选 D.1第5页/共8页BC＝10 cm.∵折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，∴A F＝AD＝10 cm，DE＝EF，∠ AFE＝∠ D＝90°.在 Rt△ABF 中， BF＝ AF2－AB2＝6 cm，∴FC＝BC－BF＝4 cm.设 EF＝x cm，则 DE＝x cm，CE＝CD－DE＝ (8－x)cm.在 Rt△CEF 中，∵ CF2＋CE2＝EF2，2∴42＋(8－x)＝x2，解得 x＝5，即 EF＝5 cm.在 Rt△AEF 中，EF 5 1tan∠EAF＝AF＝10＝2.14．解：设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，∠DBC＝90°，∠BDC＝45°，∴B D＝BC＝x.∵A D＝4，∴ AB＝4＋x.在 Rt△ABC 中，∠ ABC＝90°，∠ A＝30°，BC＝x，AB＝4＋ x.BC3x∵tanA＝AB，即3＝4＋x，解得 x＝23＋2，∴BC 的长为 23＋ 2.15．解：过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.在 Rt△AOC 中， AC＝2sin30 °＝1，OC＝2cos30°＝ 3，因此点 A 的坐标为 ( 3，1)．由于∠ AOB＝90°，∠ AOC＝30°，因此∠ BOC＝60°.31.由于点 B 在第四象限，1 3因此点 B 的坐标为 (2，－2 )．16．解：过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F.∵AD∥BC，∠ ABC＝ 90°，DF⊥BC，∴∠ BAD＝∠ ABC＝∠ DFB＝90°，∴四边形 ABFD 为矩形，∴DF＝AB＝2 3，BF＝AD＝1.∵在 Rt△DFC 中，∠ C＝45°，∴D F＝FC＝2 3，CD＝ 2DF＝2 6，∴B C＝FC＋BF＝AB＋AD＝2 3＋1.在 Rt△ABE 中， BE＝AB＝2，tan60 °∴C E＝BC－BE＝2 3＋1－2＝2 3－1.即 CD＝2 6， CE＝2 3－1.17．解： (1)在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB＝90°，∴∠ CAB＋∠ B＝90°.∵A E⊥ CD，∴∠ CAH＋∠ ACH＝90°.∵C D 是斜边 AB 上的中线，∴ CD＝AD，∴∠ DAC＝∠ ACD，∴∠ B＝∠ CAH，∴sinB＝sin∠CAH.又∵ AH＝2CH，∴ AC＝5CH，CH5∴sinB＝sin∠CAH＝AC＝5 .(2)∵CD＝5，∴ AB＝2 5.5∵sinB＝5，∴A C＝2，∴ BC＝4.CE5又∵ sinB＝sin∠CAH＝AE＝5，AC＝2，∴C E＝1，∴B E＝BC－CE＝4－1＝3.。
湘教版九年级数学上册(同步导练)：4.3 解直角三角形
4.3 解直角三角形基础导练1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，∠B=30°，则c和tan A的值分别为( )A.12，33B.12，3C.43，33D.22，32.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是( )A.c=a sin AB.c=a/sin AC.c=a cos AD.c=a/cos A3.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( )4. A.3sin40° B.3sin50° C.3ta n40° D.3tan50°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知∠A和c，则a= ，b= ；(2)已知∠B和b，则a= ，c= .5.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，∠B=30°；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9，c=63.能力提升6.如图是教学用直角三角板，边AC=30 cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33，则边BC 的长为( ) A.303 cmB.203 cmC.103 cmD.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为( ) A.2B.334 C.23 D.438.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sin A=35，则斜边上的高等于( )A.6425 B.4825 C.165 D.1259.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sin B=32，a=5，则∠B= °，c= . 10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=30，b=20； (2)∠B=72°，c=14.11.∠C=90°，c=0.832 8，b=0.295 4，解这个直角三角形.12.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=25，求BC 的长和tan B 的值.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=3.点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC=60°，求△ABC 的周长（结果保留根号）.14.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长.参考答案1.D2.B3.D4.(1)c sin A c cos A (2)b tanB b s i n B5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴a=22105-=53.∴∠A=90°-∠B=60°.(2)∵∠C=90°，b=9，c=63，∴a=22(63)927-==33.∵sin A=a c =3363=12，∴∠A=30°，∠B=60°.6.C7.B8.B9.60°1010.(1)c=222230201013a b +=+=，tan A=303202==1.5，∴∠A ≈56.3°. ∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即c=1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°. (2)∠A=90°-72°=18°.又sin B=b c ，∴sin72°=14b.∴b=14×sin72°≈13.3.∵sin A=ac，∴a=14×sin18°≈4.3.即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.∵sin B=b c =0.29540.8326≈0.354 7，∴∠B ≈20°47′.∴∠A=90-∠B ≈90°-20°47′=69°13′.a=22220.83280.2954c b -=-≈0.778 6. 12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=BC AB =2105BC =，∴BC=4. 根据勾股定理得：AC=22221AB BC -=，则tan B=AC BC =2214=212. 13.在Rt △ACD 中，AC=3,∠ADC=60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B 作BM ⊥FD 于点M.在△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC ×tan60°=103.∵AB ∥CF ，∴BM=BC ×sin30°=103×1/2=53，CM=BC ×cos30°=15.在△EFD 中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM-MD=15-53.。
九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 4.3 解直角三角形练习 (新版)湘教版
4.3 解直角三角形知|识|目|标1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．2．通过阅读、自学，掌握已知2个元素(至少有1个是边)求3个未知元素的解法．3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．目标一理解解直角三角形的定义与依据例1 教材补充例题在Rt△ABC中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是( ) A．已知a＝5，∠C＝90°B．已知∠B＝48°，∠C＝90°C．已知a＝5，∠B＝48°D．已知∠B＝48°，∠A＝42°[全品导学号：90912121]例2 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠B和a，则有( )A．c＝a cos B B．c＝a sin BC．c＝asin BD．c＝acos B【归纳总结】解直角三角形的条件和依据1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有1个是边．2．解直角三角形的依据：(1)直角三角形两个锐角的互余关系；(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理)；(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数)．目标二会解直角三角形例3 教材例1针对训练如图4－3－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝5，解这个直角三角形．图4－3－1例4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝6，解这个直角三角形．【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1．解直角三角形的基本方法：2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．例5 教材补充例题如图4－3－2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB 上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长(结果保留根号)．图4－3－2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解例6 教材补充例题如图4－3－3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin C ＝35，D 是BC 上一点，且DC ＝AC .(1)求BD 的长的值； (2)求tan ∠BAD .图4－3－3【归纳总结】 非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高)，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点一 解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是______)，就可以求出其余的3个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．如图4－3－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2； (2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝1tan B ＝ab.图4－3－4知识点二 解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用______求出斜边，用______求出对边； (2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边； (3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角． [点拨] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法． 问题：在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝6，AC ＝2 3，求AB 的长．解：如图4－3－5，作出符合题意的几何图形，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22，∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.图4－3－5详解详析【目标突破】例1 [解析] C A ．已知一边和一角，一角是直角，Rt △ABC 不可解，不符合题意；B ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意；C ．已知一边和一角，一角不是直角，Rt △ABC 可解，符合题意；D ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意．例2 [解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵cos B ＝a c ，∴c ＝acos B.例3 解：∵∠C ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠A ＝90°－45°＝45°， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ＝BC ＝5. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos45°＝BCAB，∴AB ＝BCcos45°＝5 2，∴∠A ＝45°，AC ＝5，AB ＝5 2.例4 解：∵a＝2 3，b ＝6， ∴tan A ＝a b ＝2 36＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－30°＝60°，c ＝2a ＝4 3.例5 解：设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠ABC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4＋x ， ∴tan A ＝BC AB ，即33＝x4＋x ，解得x ＝2 3＋2.∴BC 的长为2 3＋2.例6 解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE .在Rt △ACE 中，AC ＝10，sin C ＝35，∴AE ＝6，从而CE ＝AC 2－AE 2＝8， ∴BC ＝2CE ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝BC －AC ＝6.(2)如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F . 在Rt △BDF 中，BD ＝6，sin B ＝sin C ＝35，∴DF ＝185，从而BF ＝BD 2－DF 2＝245，∴AF ＝AB －BF ＝265，∴tan ∠BAD ＝DF AF ＝913.备选题型 解非直角三角形例 如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝3＋3 3，求AB 的长．[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，将特殊角∠B ，∠C 放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ，AB ＝2BD . 设AD ＝BD ＝x ，在Rt △ADC 中， ∵tan C ＝ADDC ，即x DC ＝33， ∴DC ＝3x . 又∵BC ＝BD ＋DC ， ∴x ＋3x ＝3＋3 3， 解得x ＝3， ∴AB ＝3 2.[归纳总结] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑． (2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．【总结反思】 [小结] 知识点一 边知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦[反思] 解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形(1)见题中所给解答，情形(2)如下：过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，∴∠ADC ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝12，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.又sin ∠CBD ＝CD BC＝36＝22， ∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD －BD ＝3－ 3.综合情形(1)与(2)，得AB 的长为3＋3或3－ 3.。
湘教版九年级数学上册4.3解直角三角形及其应用 同步练习
4.3解直角三角形及其应用〖预习练习〗1 a B 2.）(A)asin 2α (B)acos 2α (C)asin αcos α (D)asin αtan α3．半径为10cm 的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为4.已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 5.已知△ABC 中，∠B ＝30°，a ＝2，c ＝3，则S △ABC ＝6.等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m8.一锥形零件的大头直径为20cm ，小头直径为5cm ，水平距离为35cm ，则该锥形零件的锥度为 考点训练：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( ) (A) c=asinA ( B) c= a sinA (C) c=acosA (D) c= acosA2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 ∠A=30°，则b=（ ）(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 5 (D) 103. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的坡度i=1：2,则BC ：CA ：AB 等于( )(A) 1：2：1 (B) 1： 3 ：2 (C) 1： 3 ： 5 (D) 1：2： 54.从1.5m 高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为( )A 34.65mB 36.14mC 28.28mD 29.78m5.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为 ，面积为 。
6.在平行四边形ABCD 中，AD ：AB=1：2,∠A=60°,AB=4cm,则四边形面积为7.一锥形零件的表面如图，图纸上规定锥度k=3：8，则斜角a 的正切值为8.在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)若∠A=60°,a+b=3+ 3 ,求a 、b 、c 及S △ABC (2)若△ABC 的周长为30,面积为30,求a 、b 、c9.如图四边形ABCD中, ∠A=60°, ∠B=∠D=90, CD=2, BC=11,求AC的长10.从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.解题指导(1)1.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4,求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB2．已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，求OP的长3．一个圆内接正三角形面积为16 3 cm2,求(1)这个圆的半径；(2)这个圆的外切正三角形面积?4．如图,已知⊙O中弦AB=2,弓形高CD=2- 3 ,求弓形ABC的面积5.若a、b、c是△ABC的三边, a+c=2b,且方程a(1-x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等的实数根,求sinA+sinB+sinC的值6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=Rt ∠,AC=2,tan 2A+ tan 2B= 103 ,∠A>∠B,点P 在斜边AB 上移动,连结PC,(1)求∠A 的度数(2)设AP 为x,CP 2为y,求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围,(3)求证：AP=1时,CP ⊥AB解题指导（2）1.（1）已知锥体轴截面(如图)，斜角α,tan α=18 ，求锥度K=（2）一锥形零件锥度为18，小头直径为20mm ，长为64mm,求这个零件侧面积；（3）如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，测得距深为2m ，上口宽为3.5m ，求渠道底宽。
2019-2020年九年级数学上册 4.3 解直角三角形同步练习 (新版)湘教版
2019-2020年九年级数学上册 4.3 解直角三角形同步练习 （新版）湘教版要点感知 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作______.解直角三角形常见类型及求法：预习练习1-1 (兰州中考)△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是( )A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b1-2如图，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a=6，解这个直角三角形.知识点 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a=6，∠B=30°，则c 和tanA 的值分别为( )A.12，33B.12，3C.43，33D.22，32.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( )A.c=asinAB.c=a/sinAC.c=acosAD.c=a/cosA3.(杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( )A.3sin40°B.3sin50°C.3ta n40°D.3tan50°4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°.(1)已知∠A 和c ，则a=______ ，b=______ ；(2)已知∠B 和b ，则a=______，c= ______.5.在△ABC 中，∠C=90°.(1)若c=10，∠B=30°，求a ，b ，∠A ；(2)若b=9，c=63，求a ，∠A ，∠B.6.如图是教学用直角三角板，边AC=30 cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33，则边BC 的长为( ) A.303 cm B.203 cm C.103 cm D.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为( )A.2B.334C.23D.438.在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°].若点Q 的极坐标为[4，60°]，则点Q 的坐标为( )A.(2，23)B.(2，-23)C.(23，2)D.(2，2)9.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=23，a=5，则∠B=______，c=______. 10.在△ABC 中，∠C=90°. (1)若a=30，b=20，求c ，∠A ，∠B ；(2)若∠B=72°，c=14，求a ，b ，∠A.11.(无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=52，求BC 的长和tanB 的值.12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=9，BC=6.(1)求sinC ； (2)求AC 边上的高BD.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=3.点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC=60°，求△ABC 的周长（结果保留根号）.挑战自我14.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长.参考答案要点感知 解直角三角形预习练习1-1 A1-2 ∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A=30°.∵tanA=ba ，∴b=a/tanA=23.c=a/sinA=43.1.D2.B3.D4.(1)csinA ccosA (2)b/tanB b/sinB5.(1)∵∠C=90°，c=10，∠B=30°，∴b=5.∴a=53.∴∠A=90°-∠B=60°.(2)∵∠C=90°，b=9，c=63，∴a=33.∵sinA=1/2，∴∠A=30°，∠B=60°.6.C7.B8.A9.60°10 10.(1)c=1013，tanA=1.5，∴∠A ≈56.3°.∴∠B=90°-∠A ≈33.7°，即c=1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°.(2)∠A=90°-72°=18°.b=14×sin72°≈13.3.∴a=14×sin18°≈4.3.即∠A=18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinA=2/5，∴BC=4.根据勾股定理得：AC=221，则tanB=221. 12.(1)作AE ⊥BC 交BC 于点E.∵AB=AC ，∴BE=EC=3，在Rt △AEC 中，AE=62，∴sinC=322.(2)在Rt △BDC 中，∴BD=42.13.在Rt △ACD 中，AC=3,∠ADC=60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=103.∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=103×1/2=53，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=53，∴CD=CM-MD=15-53.。
2018年秋湘教版九年级数学上册同步练习4.3 解直角三角形
4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( ) A ．已知一直角边和一锐角 B ．已知一斜边和一锐角 C ．已知两边 D ．已知两角2．如图K －34－1是教学用的三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )图K －34－1A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．103 cm D ．53 cm3．2016·牡丹江如图K －34－2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 的长为( )图K －34－2A ．2B ．3C ．32 D ．234．如图K －34－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( )图K －34－3A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为( ) A ．60 B ．30 C ．240 D ．1206．如图K －34－4，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝10，tan B ＝34，则BC 的长为( )图K －34－4A ．6B ．8C ．12D ．16 二、填空题7．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，BC ＝12，那么AC ＝________．8．如图K －34－5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是 ________ .图K －34－59．已知△ABC ，O 为AC 的中点，点P 在AC 上，若OP ＝52，tan A ＝12，∠B ＝120°，BC ＝2 3，则AP 的长为________．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝8 3，∠A＝60°；(2)已知b＝2 2，c＝4；(3)已知c＝4，a＝b.11．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝33，AB＝8 cm.求△ABC的面积．12．如图K－34－6，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.图K －34－613．如图K －34－7，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝35.(1)求∠B 的度数及AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．图K －34－714．如图K －34－8所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K －34－815．如图K －34－9，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点． (1)求点A 到BM 的距离．(2)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________．(填写所有符合条件的序号) ①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝125；③连接AC ，△ABC 的面积为126. (3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC 的长． (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)图K －34－916探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K －34－10，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt△ADC中，CD＝b sin A，AD＝b cos A，∴BD＝c－b cos A.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(b sin A)2＋(c－b cos A)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A.通过学习上述材料，解答下列问题：(1)直接写出你探究得出的结论：b2＝________，c2＝________；(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a和∠C；(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.图K－34－101．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．2．[答案] C3． [解析] A ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC ·sin45°＝6 2×22＝6. ∵tan ∠ABC ＝ADBD ＝3，∴BD ＝AD3＝2.4．[解析] A ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8cm.∵cos ∠BDC ＝CD BD ＝35，∴CD 8－CD ＝35，解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.5．[解析] D 如图所示，由tan A ＝125，设BC ＝12x ，AC ＝5x ，根据勾股定理，得AB＝13x .由题意得12x ＋5x ＋13x ＝60，解得x ＝2，∴BC ＝24，AC ＝10，则△ABC 的面积为120.故选D.6．[解析] D ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD ＝CD .∵tan B ＝AD BD ＝34，∴AD＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.故选D. 7．[答案]14458．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，∴△ADE 是直角三角形，∴sin A ＝DE AD ＝35， 即AD ＝10. ∵菱形的四条边都相等， ∴菱形ABCD 的周长＝10×4＝40.9．[答案] 2 5或 5[解析] 过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，∵∠ABC ＝120°， ∴∠CBD ＝60°.∵BC ＝2 3， ∴DC ＝BC ·sin60°＝2 3×32＝3.∵tan A ＝12，∴AD ＝2DC ＝6，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝3 5.∵O 是AC 的中点，∴AO ＝32 5.∵OP ＝52，∴AP 的长为2 5或 5.10．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3. (2)a ＝2 2，∠A ＝∠B ＝45°. (3)∠A ＝∠B ＝45°，a ＝b ＝2 2.11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB 求未知边AC ，再用勾股定理求BC . 解：∵在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝33，∴AC ＝AB ·cos A ＝8 33(cm)．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝8 63(cm)．∴S △ABC ＝12×8 33×8 63＝32 23(cm 2)．12．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝x ·tan60°＝3x . 在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝3x .∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3， 解得x ＝1，即BD ＝1.在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BDAB ，∴AB ＝BD cos B ＝1cos60°＝2.13．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x ，在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3， ∴CE ＝3，AE ＝6. 在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3， ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.即∠B 的度数为45°，AB 的长为9.(2)∵CD 为中线，∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5，∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2.14．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F .∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝37°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ，∴AB ＝BE sin37°≈240.60＝40 (mm)．在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DF AD ，∴AD ＝DF cos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．15．解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝37°，∴AD ＝AB ·sin B ＝12.(2)①以点A 为圆心、13为半径画圆，与直线BM 有两个交点，点C 不唯一； ②由tan ∠ACB ＝125知∠ACB 的大小确定，在△ABC 中，∠ACB ，∠B 及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AB 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的．故答案为②③.(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD ＝12，BD ＝AB ·cos B ＝16.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴CD ＝AD tan ∠ACB ＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝21.方案二：选③，过点C 作CE ⊥AB于点E ，则∠BEC ＝90°，由S △ABC ＝12AB ·CE ，得CE ＝12.6.在Rt △BEC 中，∵∠BEC ＝90°，∴BC ＝CEsin B＝21.16解：(1)a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍 (3)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4， ∴a ＝2，∴a 2＋c 2＝22＋22＝8，b 2＝(2 2)2＝8， ∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形，且a ＝c ＝2，2018年秋湘教版九年级数学上册同步练习4.3 解直角三角形 11 / 11 ∴∠C ＝45°.(4)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6±22. ∵c ＞a ＞b ，∴c ＝6＋22.。
湘教版九年级上册数学4.3 解直角三角形2同步练习
ABCD 4.3 解直角三角形1（北京市丰台区期末）5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB于点D ，如果AC =3， AB =6，那么AD 的值为 A.32 B. 92 C. D. 2（北京市昌平区期末）5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ， AC ＝3，则CD 的长为A ．1B ．32 C ．2 D ．523（北京市怀柔区期末）7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ，AC ＝3，则CD 的长为A ．1B ．32C ．2D ．524（北京市延庆县期末）18. 已知：AD 是△ABC 的高，AD =AB =4，tan ACD ∠=，求BC 的长.5（北京市门头沟区期末）19．如图，在锐角△ABC 中，AB =AC ，BC =10，sin A =35． （1）求tan B 的值； （2）求AB 的长．CA DCBAAB CD第 2 页 共 2 页3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．7（北京市昌平区期末）18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数； （2）求AB 及BC 的长．8（北京市怀柔区期末）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin BDC ∠=，AD ＝4．求DC 的长．DCBACBA。
湘教版九年级数学上册第4章4.3《解直角三角形》练习题
4.3 解直角三角形一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（）A. B. C. D.2.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形3.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（）A. B. C. D.4.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AC=3，那么AB的长为（）A. 3sinαB. 3cosαC.D.6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 17.在△ABC中，若|sinA-|+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题8.如图，已知tanO=，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=________．9.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=________ ．10.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为________ ．11.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC=________．三、解答题12.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.13.如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的长．参考答案一、选择题1.A2.D3. C4. B5.D6.D7.D二、填空题8.9.10.7或17 11. 2m三、解答题12.解：设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理，得所以x+4x+90°=180°，解得x=18°.所以4x=72°.答：这个直角三角形各个角的度数分别为18°，72°，90°.13.解：∵∠A=105°，∠B=30°，∴∠C=45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2，∴∠DAC═∠C=45°．∵sinC= ，∴AD= ．∴AD=CD= ．在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．∵AD= ，∴AB=2 ．∴由勾股定理，得BD= ．∴BC=BD+CD= ．。
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4.3 解直角三角形
01 基础题
知识点1 已知两边解直角三角形
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C) A ．根据tanA 的值求出 B ．根据sinA 的值求出 C ．根据cosA 的值求出
D ．先根据sinB 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝3，则cosA 的值是(A) A.35 B.45 C.43 D.54
3．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶3，则顶角为(A) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝20． 5．在△ABC 中，∠C ＝90°.
(1)若a ＝30，b ＝20，求c ，∠A ，∠B ； (2)若b ＝9，c ＝63，求a ，∠A ，∠B. 解：(1)c ＝a 2＋b 2＝302＋202＝1013， tanA ＝3020＝3
2＝1.5，
∴∠A ≈56.3°.
∴∠B ＝90°－∠A ≈33.7°. (2)∵∠C ＝90°，b ＝9，c ＝63， ∴a ＝（63）2－92＝27＝3 3. ∵sinA ＝a c ＝3363＝12，
∴∠A ＝30°，∠B ＝60°.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a 和∠A ，则下列关系中正确的是(B) A ．c ＝asinA B ．c ＝a sinA
C ．c ＝acosA
D ．c ＝
a cosA
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝6，∠B ＝30°，则c 和tanA 的值分别为(D) A ．12，
3
3
B ．12， 3
C ．43，
3
3
D ．22， 3 8．在△ABC 中，∠C ＝90°.
(1)若c ＝10，∠B ＝30°，求a ，b ，∠A ； (2)若∠B ＝72°，c ＝14，求a ，b ，∠A. 解：(1)∵∠C ＝90°，c ＝10，∠B ＝30°， ∴b ＝5.
∴a ＝102－52＝5 3. ∴∠A ＝90°－∠B ＝60°. (2)∠A ＝90°－72°＝18°.
∵sinB ＝b
c ，∴b ＝14×sin72°≈13.3.
∵sinA ＝a
c ，∴a ＝14×sin18°≈4.3.
9．(无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sinA ＝2
5
，求BC 的长和tanB 的值．
解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10， sinA ＝BC AB ＝BC 10＝2
5
，∴BC ＝4.
根据勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝221， 则tanB ＝AC BC ＝2214＝21
2.
02 中档题
10．(兰州中考)△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论
正确的是(A)
A ．csinA ＝a
B ．bcosB ＝c
C ．atanA ＝b
D ．ctanB ＝b
11．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC ＝4，则BD 的长为(B) A ．8 3 B ．4 3 C ．2 3 D ．8
12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于(A)
A ．2
B ．3
C ．3 2
D ．2 3
13．(福州中考)如图，以圆O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵
上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C) A ．(sinα，sinα) B ．(cosα，cosα) C ．(cosα，sinα) D ．(sinα，cosα)
14．(河池中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sinA ＝23，则tanB ＝4
3
．
15．(攀枝花中考)如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA ＝3
5，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值
是2．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB ＝1
2
，则CD ∶DB ＝5∶5．
17．(包头中考)如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.
(1)若∠A ＝60°，求BC 的长； (2)若sinA ＝4
5
，求AD 的长．
解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6， 又∵tanA ＝
BE
AB
， ∴BE ＝6·tan60°＝6 3.
在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°，CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.
∴BC ＝BE －CE ＝63－8.
(2)在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，sinA ＝45，
∴BE AE ＝45
. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x ， ∵AE 2－BE 2＝AB 2， ∴(5x)2－(4x)2＝62. ∴x ＝2.∴BE ＝8，AE ＝10. 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°， CD ＝4，tanE ＝CD ED
，
而在Rt △ABE 中，tanE ＝AB BE ＝3
4，
∴CD ED ＝34
. ∴ED ＝43CD ＝16
3.
∴AD ＝AE －ED ＝14
3.
03 综合题
18．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，试求CD 的长．
解：过点B 作BM ⊥FD 于点M.
在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°，BC ＝AC·tan60°＝10 3. ∵AB ∥CF ，
∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.
∴BM ＝BC·sin30°＝103×12＝53，
CM ＝BC·cos30°＝15.
在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.
∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.。