江苏省高邮市车逻镇九年级数学上册 2 对称图形—圆小结与思考学案苏科版 精
苏科(部审)版九年级数学上册《2章 对称图形—圆 小结与思考》优课导学案_8
《圆中的相似三角形》教案一．教学目标：1.根据圆的性质，了解圆中找相等角的方法，能在圆中运用三种方法判断三角形相似.2.掌握圆中相似三角形四种基本模型，并能够加以应用解决相关问题.3.通过变式探究，让学生经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式，提升解决问题的能力和培养学生探索精神.二．教学重点：根据圆的性质，在圆中寻找三角形相似的条件；掌握圆中相似三角形四种基本模型.三．教学难点：在圆中寻找三角形相似的条件.四．教学过程：（一）复习回顾，激发兴趣如图1，在ΔABC中，点D是AB上的一点，连接CD，请添加一个条件，使ΔBCD∽ΔBAC. 你添加的条件是______________.图1师生行为：①教师依次请多名学生添加条件并说出添加依据，引导学生回顾三角形相似的判定方法. ②教师总结判断两个三角形相似的三种方法.设计意图：通过一道条件开放式填空题，不仅能激活学生已有经验，更便于营造出多样化的开放式课堂、激发学生思维的火花、提高学生积极参与的兴趣.（二）变式探究，拓展提升问题1：如图2，ΔABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AG⊥BC于点G，求证：2.=AB∙BGBC图2 图3变式：如图3，△ABC内接于⊙O，请利用直尺和圆规在线段BC上找一点G,连接AG.2.使得BC=BGAB∙师生行为：①教师出示问题1，学生很快由直角三角形相似得到结果. 接着教师将直角三角形改为一般三角形，要求学生先独立作出点G，然后小组交流，每一组选一位代表展示作图痕迹并说明作图依据. 下面四幅图形中，前三幅是三位学生代表在实物投影上展示的图形，第四幅是学生课后和教师分享的图形.学生1：作等弧找等角 学生2：构造圆内接四边形找等角学生3：利用垂径定理找等角 学生4：构造直径配垂直找等角②教师学法指导：此类问题可以从结论出发，将乘积式转化为比例式，推出需要证明的相似三角形，最后再根据题目条件寻找判断三角形相似的条件.变式题采用同样的方法进行转换，然后通过寻找等角构造三角形相似，引导学生思考在圆中会产生等角的情况.设计意图：（1）问题1及其变式旨在引导学生利用圆的性质从多角度、多方位寻找“等角”并归纳方法，体会转化思想：“角等”意味“弧等”意味“弦等”;（2）通过问题1及其变式，归纳出圆中相似三角形的第一种基本模型“”;（3）教师在学生熟知的“双垂图”基础上，通过改变三角形的形状引导学生探究相同的数量关系，旨在让学生体会一般与特殊的关系.交流环节能让学生大胆展示思维活动，将知识问题化，问题之间关联化，这对激发学生的学习兴趣、培养发散思维具有十分重要的意义.问题2：如图4，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 与BD 相交于点E .（1）图中有哪些相似三角形？（2）若延长BA 和CD 交于点F . 你还能找到其它相似三角形吗？（3）若BD 平分线段AC ，.2AB AC 求证：△ABE ∽△ACB .图4师生行为：①教师依次出示问题2当中的三个小题，学生独立思考并回答问题. ②教师学法指导：判断两个三角形相似可以利用圆的性质找等角，也可以根据题目中已给的线段关系通过两边对应成比例且夹角相等来证明两个三角形相似.设计意图：问题2中的（1）和（2），引导学生利用圆的性质寻找判断三角形相似的条件，并归纳出另两种圆中的相似基本模型“”﹑“”;问题2的（3），旨在考察学生在特定条件下，利用“两边对应成比例且夹角相等”判断两三角形相似.问题3：如图5，AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的两条切线，,90 =∠DOC 图中有哪些相似三角形？图5 图6变式：如图6，⊙O 的直径AB = 4，AD 、BC 是⊙O 的两条切线，AD =1，BC =4， 图中有哪些相似的三角形？想一想：CD 是⊙O 的切线吗？师生行为：①对于问题3，学生提供了两种不同的方法证明了△DOC ∽△OBC.学生1：利用旋转，构造全等三角形 学生2：利用△ADO ∽△BOC 得到边的对应关系对于变式题，有一位同学利用边的关系证明了△ADO ∽△BOC ，进而得,90 =∠DOC 转换成问题3. 课下又有一位同学发现△ADO 和△ODC 三边对应成比例，可以直接证明这两个三角形相似.②教师学法指导：引导学生从不等角度寻找三角形相似的条件，可以利用旋转构造等腰三角形寻找等角，也可以在已有的两个相似三角形基础上，根据对应边成比例，巧妙地找到与它们相似的三角形.设计意图：(1)通过问题3归纳出第四种相似基本型“ ”，考察了学生判断三角形相似的能力，很多同学能容易地找到△ADO ∽△BOC ，却忽视了△DOC 也与它们相似;（2）变式题中没有了有关角度的条件，需要学生通过已给边长寻找相似的三角形，难度有所加大，同样容易出现遗漏的情况，考察了学生利用“两边对应成比例且夹角相等”﹑“三边对应成比例”判断两个三角形相似；（3）想一想环节旨在培养学生利用相似三角形的性质解决简单问题的能力.（三）巩固练习，深化认知1. 如图7，在⊙O 中，弦AB 、CE 交于点D ，点C 是弧AB 的中点.（1）若CD ·CE =16，则CB = ______.（2）若移动点E ，使BE 为⊙O 的直径，CD = 2，BC = 4，则BE = ______.图72. 如图8，P 是等边△ABC 外接圆的弧BC 上一点，CP 的延长线和AB 的延长线相交于D 点，连接BP ．求证：（1）∠D =∠CBP ；（2）;2CD CP AC ∙=图83．如图9，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC ．（1）求证：;2BD AB BC ∙=（2）若 P A = 6，PC =.的长，求BD 26图9设计意图：三道练习题由浅入深，极具代表性，旨在加深和强化学生课堂所学的内容.第一题考察学生对相似基本型“”的运用以及圆中寻找等角的方法;第二题考察学生对圆中相似基本型“”和“”的运用和圆内接四边形的性质;第三题考察学生对圆中相似基本型“”的用运用﹑圆中寻找等角的方法以及利用相似三角形性质解决问题.（四）反思总结，归理评价谈谈本节课你的收获和困惑.师生行为：请多位学生总结本堂课的收获，教师适时补充，提升高度.设计意图：本环节是师生对课堂教学中所涉及的知识、技能、方法、思想的盘点.教师要给学生一个充分展示自我的平台，让学生自己总结解题方法、分享探索经验、表达独特见解、感悟数学思想,以形成自己的知识体系,同时提高其归纳概括能力和语言表达能力.五．作业完成《圆中的相似三角形》练习卷.六．板书设计圆中找等角方法：等弧、同弧、圆内接四边形、直径配垂直圆中相似基本型：、、、基本思路：圆的性质三角形相似解决相关问题（判定）（性质）数学思想：特殊到一般、转化、数形结合问题2：问题3：七．教学反思圆与相似三角形的综合问题有一定的难度，部分学生并没有把圆和相似三角形的知识有机的结合在一起. 为此，“圆中的相似三角形”这节课较好的解决了上述问题. 本节课通过三个探究问题，由浅入深，总结了圆中寻找等角的方法,并归纳出圆中相似三角形的四种基本模型，为接下来解决圆与相似三角形的综合题做好铺垫.美中不足，倘若三个探究问题之间存在某些联系，能够串联在一起，可能会更具整体感和连贯性.。
九年级数学上册第二章对称图形圆小结与思考学案(新版)苏科版
第二章对称图形圆小结与思考学习目标：1．系统复习圆的知识，熟练利用圆的有关知识解决实际问题；2．在实际问题的解决过程中，发展逻辑思维能力．学习重、难点：系统复习圆的知识；熟练利用圆的有关知识解决实际问题．学习过程：一、回顾思考1．圆上各点到圆心的距离都等于_________．2．圆是________对称图形，任何一条__________________都是它的对称轴；圆又是_________对称图形，_____________是它的对称中心．3．垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分________________；4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别______．5．同弧或等弧所对的圆周角_______，都等于它所对的圆心角的________．6．直径所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________．7．点与圆的位置关系共有三种：①_________，②_________，③__________；对应的点到圆心的距离d 和半径r之间的数量关系分别为：①d_______r，②d______r，③d______r．8．直线与圆的位置关系共有三种：①________，②________，③_________．对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d_______r，②d______r，③d______r．9．切线的判定：经过_______的外端，并且_____这条________的直线是圆的切线；切线的性质：圆的切线_________于经过切点的半径．10．切线长定理：从圆外一点可以向圆引_____条切线，且切线长_______．11．三角形的三个顶点确定_____个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫_______，是三角形三条边的____________的交点．12．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，其圆心是三角形三条____________的交点，叫做三角形的______，其到三角形三条边的距离________．13．弧长公式：l＝__________；扇形面积公式：S＝__________或S＝__________；圆锥侧面积计算公式S＝_____________．二、精讲点拨活动1：如图，⊙O是△ABC外接圆，AD⊥BC于D，交⊙O于N，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OAD．活动2：如图，△ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点． 求证：DE 是⊙O 的切线．A ．2.5或6.5B ．2.5C ．6.5D ．5或132．已知AB 、CD 是⊙O 两条直径，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10，最短弦为8，那么OM 为（ ）A ．3B ．6C ．41D ．9 4．如图，P （x ，y ）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆点的一点，若x 、y 都为整数，则这样的点有（ ）个A ．4B ．8C ．12D ．165．⊙O 的半径为6，，弦长为一元二次方程0652=--x x 的两根，则弦心距及弦所对的圆心角的度数分别是（ ）A ．3和30°B ．3和60°C ．33和30°D ．33和60°6．正三角形的边长是6 cm,则内切圆与外接圆组成的环形面积是____________cm 2． 7．已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20π,则扇形面积＝____________． 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，CA ＝CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交与点D ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB ＝120°，OA ＝2，求CD 的长．三、当堂检测1．一个点与定圆的最近距离为4，最远点为9，则圆的半径为（）四、课后反馈A组题：1．弦AB分圆为1：5两部分，则弦所对的圆周角为___________．2．在半径为5 cm的圆中，有一点P满足OP＝3 cm，则过点P的最长弦为_________cm，最短弦为_______cm．3．在⊙O中，弦AB＝24 cm，弦CD＝10 cm，若圆心O到AB的距离为5 cm，则点O到弦CD的距离为__________cm．4．如图，AB为⊙O的直径，则∠1+∠2＝_______°．5．一条弦分圆的直径为2的6两部分，若此弦与直径的夹角为45°，则该弦长为_______．6．如图，PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA＝8 cm，则△PDE的周长为________．7．如图，半径为3的⊙O切AC于B，AB＝3，BC＝3，则∠AOC＝_______°．8．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D为优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，则∠BDC＝_______°．第4题第6题第7题第8题9．巳知圆柱母线长是5 cm，侧面展开图的面积为20πcm2，则该圆底面半径为________cm．10．底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥侧面展开图面积为________cm2．11．巳知圆锥的底面直径为80 cm，母线长为90 cm，则它的侧面展开图的圆心角是_____°．B组题：12．圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．C组题：13．如图：BD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，直线AE交BD的延长线于A，BC⊥AE于点C，且∠CBE＝∠DBE．（1）求证：AC是⊙O的切线；4，求DE的长．（2）若⊙O的半径为2，AE＝2。
苏科版九年级第二章 《对称图形--圆》小结与复习(2)
第二章《对称图形—圆》小结与复习（2）康进成一、知识梳理（四）直线与圆相切（1）圆的切线的性质:（2）圆的切线的判定方法:①切线的定义②d=r ③切线的判定定理（3）切线长定理:注：常作辅助线4：（1）在已知切线时，常作过切点的半径.应用切线的性质定理解决问题.（2）在证明切线，直线与圆的公共点又不确定时，常过圆心作垂直于这条直线的垂线段，证明d=r 解决问题.（3）在证明切线，直线与圆的公共点已确定时，常作过这点的作半径. 应用切线的判定定理解决问题.基础练习：1、已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线上一点的距离为6cm，则直线与⊙O的公共点的个数为（）A．1 B．0或1 C．1或2 D．0或22、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．53、如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M•的坐标是_______．4、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=．（五）、三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆、内切圆的定义、画法.2、外心、内心的性质：（1）三角形的外心是_________________________的交点，到____________________距离相等.（2）三角形的内心是_________________________的交点，到____________________距离相等.3、外心、内心性质的应用(与圆心角、圆周角相结合)4、求外接圆和内切圆的半径（1）在△ABC中，三边对应为a、b、c，则内切圆的半径为：2Sra b c∆=++（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边对应为a 、b 、c ，则外接圆的半径为：2c r =，内切圆的半径为：ab r a b c =++或2a b c r +-= 5、基本图形及结论:（1）如图1，点O 为△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（2）如图2，点O 为△ABC 的内心，则∠BOC=90°+21∠A （3）如图3，点O 为△ABC 的内心，M 为⊙0上一动点（与DF 不重合），则①∠DOF=180°-∠A ②∠DMF =90°-21∠A 或∠DMF =90°+21∠A6、圆的内接四边形、外切四边形的性质（1）圆的内接四边形的对角互补；（2）圆的外切四边形的对边和相等.7、正多边形与圆（1）正多边形的定义、画法、轴对称性、中心对称性（边数是奇数或偶数）.（2）正多边形的外接圆、中心、半径的定义.（3）用直尺和圆规画一些特殊的正多边形：正方形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形等.（4）、三个常见的正多边形：正三角形、正方形、正六边形、其中正六边形的半径和边长相等. 注：常作辅助线5：作正多边形的半径、边心距，和正多边形的边构成直角三角形解决.基础练习：1、钝角三角形的外心在三角（ ）．A ．内部B ．一边上C ．外部D ．可能在内部也可能在外部2、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )．A ．多边形；B ．边数为奇数的正多边形；C ．正多边形；D ．边数为偶数的正多边形． 3、已知直角三角形两直角边长为5、12，则它的外接圆半径R ＝ ，内切圆半径r ＝ ．4、下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）.①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形.5、正十二边形的每一个外角为°，每一个内角是°， 该图形绕其中心至少旋转°和本身重合．（六）弧长和扇形的面积1、圆周长和弧长公式（1）圆周长公式:；（2）弧长公式：.2、扇形的面积E（1）圆面积公式：.（2）扇形面积公式：①；②.（七）圆锥的侧面积和全面积1、圆锥的侧面展开图是，这个的弧长就是圆锥的，半径是这个圆锥的.2、圆锥的轴截面是。
九年级数学上册 2 对称图形—圆小结与思考导学案1(新版)苏科版
圆学习目标：掌握圆的基本性质，与圆有关的位置关系，有关圆的计算.学习重点：垂经定理，有关圆的计算.学习难点：圆的对称性，与有关圆的计算.学习过程：复习引入1．圆的概念．2．点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则（1）点A在⊙O上⇔；（2）点A在⊙O内⇔；（3）点A在⊙O外⇔．3．圆的旋转不变性与对称性（垂径定理）4．圆周角定理及其推论5．圆的确定条件【新知探究】师生互动、揭示通法问题1 如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交⋂AB于C，交弦AB于D.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AB ＝24cm ，CD ＝8cm ，求(1)中所作圆的半径.问题2. 如图所示，⊙O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、． （1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．问题3. 如图，⊙O 中，直径MN=10 ，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM = 45°，求AB 长．拓展提升. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD∥BC，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠D=70°，求∠CAD 的度数； （2）若AC=8，DE=2，求AB 的长．【回扣目标】学有所成、悟出方法通过本节课的复习，你对本章内容又有哪些新的认识，谈谈你的体会. 当堂反馈1、已知：△ABC （如图）,（1）求作：作△ABC 的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）． （2） 在题（1）已经作好的图中，若∠B AC=88°，求∠B IC 的度数.2、如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD 、CB 的延长线相交于P ，则∠P＝°．3. 如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧AB 上不同于点B 的任意一点，则∠BPC=度．BAC。
苏科版九上 圆的小结与思考 导学案2
第二章 圆小结与思考（2）班级 姓名一．自主研读初步学 （一）方法指导知识点1：（1）正多边形各边相等、各角相等；（2）当正多边形的边数是n 时，（3）正多边形形的中心是它的外接圆的圆心.1．正多边形都是_______对称图形，一个正27边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是___________图形，又是___________图形． 2．正十二边形的每一个外角为_______，每一个内角是_______，该图形绕其中心至少旋转_______才能和本身重合．3.已知正六边形的边长为2cm ，则此正六边形的外接圆半径为______ cm ，内切圆半径是 ______ cm ．知识点2：弧长及扇形的面积公式：180R n l π=弧； R l R n S ⋅==弧扇形213602π3.已知扇形的圆心角为60°，半径为3cm ，则扇形的弧长是__________cm ，扇形的面积是_________cm 2．4. 已知扇形的半径为2cm ，面积是24cm 3π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心角为 °.5. 已知一个扇形的半径长为8cm ，弧长为 cm ，则扇形的圆心角为 . 知识点3：圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积S 侧 =rl π； 圆锥的全面积2r rl S S S ππ+=+=母底侧全6. 已知圆锥的母线长为6，侧面积是15π，则这个圆锥的底面圆半径r= ______ ．7. 已知圆锥的底面圆半径长为4cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的全面积是 . 知识点4：圆锥的侧面展开图（扇形）与圆锥的关系圆锥的母线长=其侧面展开图扇形的半径；底面周长=侧面展开图扇形的弧长；S 侧 = S 扇形8. 某圆锥的底面半径为2，母线长为8，则此圆锥侧面积为 ，圆锥展开侧面扇形的圆心角为 °9. 如图，要制作一个母线长为10cm ，高为8cm 的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 .π316⎩⎨⎧.边形具有轴对称性为奇数时，正心对称性；边形具有轴对称性、中为偶数时，正n n n n第9题第10题10.如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为_________ cm2．（二）自主检测1.弦长等于半径的圆弧所对的圆心角为 .2.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6 cm，则扇形AOB的面积为 .3.若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是 .4.如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为.第4题第5题第7题第8题5．如图，从一个直径为43dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为dm．6. 如右图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧．（1）圆弧所在圆的圆心P的坐标为______（2）圆弧所在圆的半径为______（3）扇形PAC的面积为______（4）把扇形PAC围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径为______ ．7.如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第______ 秒．8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为_________．.9．如右图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．10．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．①则这个正六边形的边长为_______，边心距为_______．②设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形（Q ） 是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB 划过的面积．二、合作探究深化学 （一）检查建构1.交流自主学习中的收获，解决存在的疑惑.2. 如果一个扇形的半径是1，弧长是 π3，那么此扇形的圆心角的大小为 ，此扇形的面积为 .3. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为3的“等边扇形”的面积为 ．4.半径为4的圆内接正八边形的一边所对的圆心角为 ，该八边形面积为 .（二）深度探究问题1 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________． （提示：要求动点运动的长度，首先判断这个动点运动的轨迹是怎样的图形——线段、圆弧、折线，并画出草图，然后运用相关公式进行计算）问题2 观察思考:某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米． 解决问题（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．（2）如图3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？HlO图3P图1连杆滑块滑道HlOPQ图2（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l 距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，则这个扇形面积最大时圆心角的度数为 .三、检测总结巩固学1．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．第1题第2题第3题第4题2.如图，⊙C经过正六边形ABCDEF的顶点A、E，则弧AE所对的圆周角∠APE等于（）A．15°B．25°C．30°D．45°．3. 如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了______圈．4.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为．5. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：①写出点的坐标：C（）；D（）；⊙D的半径=（结果保留根号）；②若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为.（结果保留π）第5题第6题第7题6.当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接（不能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，则雨刷AB扫过的面积是_________．7．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．18.圆小结与思考（2）当堂检测1.半径为6cm，弧长为9π的扇形的面积为，圆心角为．2.已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积为．3.圆锥的底面半径为3cm，高长为4cm，则它的侧面积为，全面积为．4.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是 .第4题第5题5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3 cm，BC＝4cm．将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时针旋转至A1B1C1D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，若∠EDF＝30°，则点B的运动路径长为cm．（结果保留π）6 . 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．若图中阴影部分的面积是34πcm2，OA=2cm，求OC的长．。
九年级数学上册 2 对称图形—圆小结与思考导学案2(新版)苏科版
课题：第二章学习目标1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系与数量关系，并会进行有关推理和计算证明.2.掌握弧长和扇形面积公式并会有关计算.学习重点：直线与圆相切的有关计算和证明.学习难点：直线与圆相切的有关计算和证明.学习过程：知识回顾1．直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则（1）直线与⊙O相切⇔；（2）直线与⊙O相交⇔；（3）直线与⊙O相离⇔．2．圆的切线的性质与判定;.3．切线长定理.4.Rt△ABC，∠C=90°，三边长为a、b、c，它的外接圆半径等于它的内切圆半径等于 .5．弧长计算公式：扇形面积公式： .圆锥侧面积公式：【例题探究】师生互动、揭示通法问题1如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 作 QR 与OA 延长线交于点R , 且PR=QR. （1）求证：QR 是⊙O 的切线； （2）若OP ＝PA ＝1，试求RQ 的长.问题2. 如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC 、BD ． （1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是2 43cm π，OA=2cm ，求OC 的长．问题3. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．O RQP BA问题4. 如图是一个圆锥的三视图，求它的母线长和侧面积．（结果保留π）问题5. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．问题6如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为多少？（结果保留π）．拓展提升. 已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【回扣目标】学有所成、悟出方法通过本节课的复习，你能更深入地了解圆这一章的内容吗？谈谈你的体会.当堂反馈1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一交点为D，则线段BD的长为．PQBOAC2、如图∠PAQ是直角，半径为5的圆O与AP相切于点T，与AQ相交于点B、C两点.(1)BT是否平分∠OBA? 证明你的结论；(2)若已知AT=4,试求AB的长.3、小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB=3cm，高OC=4cm，这个圆锥漏斗的侧面积是多少？侧面展开图所对的圆心角是多少度？4、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．。
苏科版九年级数学上册第2章 对称图形—圆 学案
【知识梳理】知识点一、圆的有关概念1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．3.确定圆的条件确定一个圆有两个基本条件①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．经过不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念1. 弦与直径：①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.2. 弧与半圆①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做，②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系1. 圆的旋转不变性把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点四、垂径定理1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，用符号语言叙述为：∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E∴AE＝EB，，3.垂径定理基本图形的性质：4.（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD 与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．（3）有3对弧相等：，，．（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．知识点五．圆周角定理1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，3. 圆周角定理的推论①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．②圆内接四边形的对角互补．定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。
苏科版九年级上册数学 2.10对称图形 圆 小结与思考 教案
课题圆-小结与思考（分类讨论在圆中的应用）课型 复习 时间教学目标1. 复习分类讨论数学思想2. 复习圆中相关基础知识，重点是点与圆，直线与圆的位置关系重 难 点分类讨论思想在圆中的应用 学习过程 二次备课课前热身： 1. ⊙O 的半径为5，点A 在直线l 上，已知OA=5，则直线l 与⊙O 的位置关系是 ▲ 。
2.设AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6,则AB 与CD 之间的距离是 ▲ 。
例题讲解 【例1】已知点P 到⊙O 的最近距离为3cm ，最远距离为13cm ，求⊙O 的半径. 【变式】A 、B 是⊙O 上的两点，且∠AOB ＝136°，C 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠ACB 的度数是 ▲ ． 点与圆的位置关系不确定要分类讨论 【例2】⊙O 的直径AB ＝2，过点A 有两条弦AC ＝ ，AD ＝ ，引入分类讨论思想 考察学生点与圆的位置关系 当题目没有图的时候要有分类讨论意识O O P P A A B B C 1 C 2A B O求∠CAD 的度数【变式】△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，若⊙O 的半径为5，圆心到BC 的距离为3，则AB 的长度为 ▲弦与圆心位置关系的不确定要分类讨论【例3】（1）如图，在平面直角坐标系中，⊙C 的直径AB ＝12，圆心C 点的坐标为(－8，0)，⊙C 以每秒2个单位长度的速度从C 沿x 轴正半轴方向运动．当t 为何值时，⊙C 与y 轴相切？（2）如图，在平面直角坐标系中，圆C 的直径AB ＝12，C 点坐标为(－8，0)，直线DE 经过点D （12，0），E （0，4 ），圆C 以每小组讨论总结结论圆中弦对应的圆周角有两类小组讨论 总结结论直线与圆A AB BC CD DB C A B C A CO y x C C2教学反思通过本节课学习，由于点与圆，直线与圆有三种关系，学生意识到圆中存在分类讨论思想，在同圆中，一条弦把圆弧分成2段，优弧和劣弧。
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对称图形—圆
课题: 小结与思考
学习目标：
1．理解、掌握圆的有关性质、直线和圆的位置关系、正多边形和圆的关系.
2．探索、总结、归纳与圆有关的各种问题，进行知识梳理，构建圆的知识体系.
3．渗透数形结合和分类的数学思想，并逐步学会用数学的眼光认识世界、解决问题，学会有条理的表达、推理.
学习重点：与圆有关的知识的梳理.
学习难点：会用圆的有关知识解决问题.
学习过程：
一．【复习指导】
1. 圆上各点到圆心的距离都等____ _______ .
2. 圆是_ _______对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的_____ ___；圆又是___ ____对称图形，____ ___ 是它的对称中心.
3. 垂直于弦的直径平分____ ___，并且平分______________ ；
平分弦（不是直径）的_______垂直于弦，并且平______________.
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中
有一组量____ ___ ，那么它们所对应的其余各组量都分别___ ____ .
5. 同弧或等弧所对的圆周角____都等于它所对的圆心角的__ .
6. 直径所对的圆周角是____ __，90°所对的弦是____ ___ .
二.【问题探究】
问题1：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．
（1）求证：∠ADB＝∠E；（2）当AB＝5，BC＝6，求⊙O的半径．
问题2：如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。
问题3：如图，半圆O 的直径20AB =，将半圆O 绕点B 顺针旋转45°得到半圆O '，与
AB 交于点P .
(1)求AP 的长；
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).
三.【拓展提升】
问题4：)如图①，AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，P
是⊙O 上半部分的一个动点，连接,OP CP .
(1)求OPC ∆的最大面积；
(2)求OCP ∠的最大度数；
(3)如图②，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当C P D B =时，求证：CP 是⊙O 的
切线.
四.【课堂小结】
本节课你有哪些收获？
课题：§小结与思考 班级_________ 姓名_______________。