【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修1-1课时跟踪检测(十) 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(十八) 空间向量运算的坐标表示 含解析
课时跟踪检测（十八） 空间向量运算的坐标表示层级一 学业水平达标1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：选C 因为a 与b 共线，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA 与BO的夹角是( )A ．0B ．π C.π2 D.2π3解析：选B ∵OA ·OB＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA |＝33，|OB|＝63，∴cos 〈OA ，OB 〉＝5433×63＝1，∵〈OA ，OB 〉∈[0，π]，∴〈OA ，OB 〉＝0.∴〈OA ，BO〉＝π.3．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AB＝(3,4，－8)，AC ＝(5,1，－7)， BC＝(2，－3,1)， ∴|AB|＝32＋42＋82＝89， |AC|＝52＋12＋72＝75， |BC|＝22＋32＋1＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝75＋14＝89＝|AB |2.∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ＋λOB 与OB的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66D ．±6解析：选C ∵OA ＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)， ∴OA ＋λOB＝(1，－λ，λ)，∴(OA ＋λOB )·OB ＝λ＋λ＝2λ， |OA ＋λOB |＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB |＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16.又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66.6．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：37．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． 解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.答案：3559．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积；(2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)因为AB＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)， AC＝(2,0，－8)， AB ·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且|AB|＝14，|AC |＝217，所以cos 〈AB ，AC 〉＝－1414×217＝－7238，sin 〈AB ，AC 〉＝2734， S △ABC ＝12|AB |·|AC|sin 〈AB ，AC 〉＝1214×217×2734＝321. (2)| AB|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321，∴h ＝3 6.10.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A P 1 ＝λA B 1，且PC ⊥AB .求：(1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0，1,2)，于是AB ＝(3，1,0)，CA 1 ＝(0，－2,2)，A B 1＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP ·AB＝0，即(CA 1 ＋A P 1 )·AB＝0，也即(CA 1 ＋λA B 1 )·AB ＝0.故λ＝－CA 1 ·AB A B 1·AB ＝12. (2)由(1)知CP ＝⎝⎛⎭⎫32，－32，1，AC 1 ＝(0,2,2)，cos 〈CP ，AC 1 〉＝CP ·AC 1| CP ||AC 1 |＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28. 层级二 应试能力达标1．已知两个非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( ) A.1|a |a ＝1|b |b B ．a 1·b 1＝a 2·b 2＝a 3·b 3 C ．a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 D ．存在非零实数k ，使a ＝kb解析：选D 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.2．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．(0,5)解析：选B 由题意知，|AB|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋(1－1)2＝13－12cos (α－θ)，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析：选D ∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb ，即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2)＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎨⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657. 4．已知a ＝(3,2－x ，x )，b ＝(x,2,0)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4,0) C ．(0,4)D ．(4，＋∞)解析：选A ∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0，∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0，此方程组无解，故选A.5．若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，2，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________．解析：由题意，知AB ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，AC ＝(－1,0,0)，所以|AB |＝1，|AC |＝1.则cos A ＝AB ·AC| AB ||AC |＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.答案：30°6．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M M 12＝4MM 2，则向量OM 的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M M 12＝(1，－7，－2)， MM 2＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M M 12 ＝4MM 2 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝4(3－x )，－7＝4(－2－y )，－2＝4(－5－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎫114，－14，－92 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1是A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在B 1C 1上，并且B 1E 1＝13B 1C 1，求BE 1与CO 1所成的角的余弦值． 解：不妨设AB ＝1，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴建立直角坐标系，则B (1,0，0)，E 1⎝⎛⎭⎫1，13，1，C (1,1,0)，O 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，BE 1＝⎝⎛⎭⎫0，13，1，CO 1 ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，BE 1·CO 1 ＝⎝⎛⎭⎫0，13，1·⎝⎛⎭⎫－12，－12，1＝56， | BE 1|＝ 103，|CO 1 |＝ 62.∴cos 〈BE 1，CO 1〉＝56103× 62＝156.即BE 1与CO 1所成角的余弦值为156.8．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且向量a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)，c ＝a ＋tb .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的情况下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)∵关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根， ∴Δ＝(t －2)2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，即－4≤t ≤－43.又c ＝a ＋tb ＝(－1＋t,1,3－2t )， ∴|c |＝(－1＋t )2＋12＋(3－2t )2＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. ∵当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，关于t 的函数y ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减的， ∴当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)由(1)，知当t ＝－43时，c ＝⎝⎛⎭⎫－73，1，173， |b |＝12＋02＋(－2)2＝5，|c |＝3473， ∴cos b ，c ＝b·c |b |·|c |＝－41 1 7351 735.。
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(九)直线与椭圆的位置关系Word版含解析
课时跟踪检测（九）直线与椭圆的位置关系层级一学业水平达标1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B．2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是()A．22B．233C．922D．2327解析：选A由mx2＋ny2＝1，y＝1－x消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝2nm＋n，∴x0＝nm＋n，代入y＝1－x得y0＝mm＋n．由题意y0x0＝22，∴mn＝22，选A．3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1) B．0，1 2C．0，22D．22，1解析：选C∵MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，∴c2a2<12，即ca<22．又e>0，∴0<e<22．4．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝() A．2B．2 C． 3 D．3 解析：选A设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)．由FA＝3FB得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．∴x0＝43，y0＝13n．将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×432＋13n2＝1．解得n2＝1，∴|AF|＝2－12＋n2＝1＋1＝2．5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．x245＋y236＝1 B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1 D．x218＋y29＝1解析：选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．所以E的方程为x218＋y29＝1．6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为______．解析：由x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0．设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6．∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35．答案：357．已知动点P(x ，y)在椭圆x 225＋y216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0，∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3．答案：38．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x 24＋y23＝1可得F (－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP ·FP ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋31－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6．答案：6 9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB的长．解：∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴右焦点F(3，0)，∴直线l 的方程y ＝x －3．由y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0．设直线l 与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝28352－4×85＝85，即弦AB 的长为85．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4．又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y216＝1．(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为32，－65．层级二应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A由题意，得4m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m<2，－2<n<2，所以点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1内，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1有2个交点．故选A．2．若直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A．－54，54B．54，－54C．－∞，－54∪54，＋∞D．－∞，－54∪－54，54解析：选C由y＝kx＋3，x216＋y24＝1得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>54或k<－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C．3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则yx－2的最小值为()A．1 B．－1C．－233D．以上都不对解析：选C设yx－2＝k，则y＝k(x－2)．由4x2＋y2＝4，y＝k x－2消去y，整理得(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，解得k＝±233，∴k min＝－233．选C．4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足PF1·PF2＝c2，则椭圆离心率的取值范围是()A．33，1B．13，12C．33，22D．0，22解析：选C由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2．①又PF1·PF2＝c2，∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝c2，②由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·c os∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2，③由①②③，得cos∠F1PF2＝c22a2－3c2<1，所以2c<a，即e<2 2．又|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝a2，∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥3 3，则椭圆离心率的取值范围是33，22，故选C．5．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得y1－y2x1－x2＝－12，所以所求直线的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0．答案：x＋2y－4＝06．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且y1－y2x1－x2＝－12，所以2a2＋2b2×－12＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以ca＝22，即e＝22．答案：227．已知F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解：显然直线x ＝0不满足题设条件，故设直线l ：y ＝kx ＋2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝－4kk 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14．由Δ＝(4k)2－12k 2＋14＝4k 2－3>0，得k>32或k<－32．①又0°<∠AOB<90°?cos ∠AOB>0?OA ·OB >0，所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0．又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝3k 2k 2＋14＋－8k2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，所以3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0，即k 2<4，所以－2<k<2．②综合①②，得直线l 的斜率k 的取值范围为－2，－32∪32，2．8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD |＝534，求直线l 的方程．解：(1)由题设知b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y23＝1．(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m|5，由d＜1得|m|＜52．(*)∴|CD|＝21－d2＝21－45m2＝255－4m2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－12x＋m，x24＋y23＝1得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．∴|AB|＝1＋－122[m2－4m2－3]＝1524－m2．由|AB||CD|＝534得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33．。
高一数学 课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修
高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABCA′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCDA1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ABCDEF 的直观图六棱锥P A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。
人教版高中数学配套课时作业(三维设计版)课时跟踪检测(三)集合间的基本关系
课时跟踪检测（三）集合间的基本关系 层级一 学业水平达标1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．4解析：选C ∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，∴m ＝2或m ＝－1.2．已知集合A ＝{x |－1－x <0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析：选D 集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，∅⊆A ，D 正确．3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆BB ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D解析：选B 由已知x 是正方形，则x 必是矩形，所以C ⊆B ，故选B.4．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.5．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．答案：{(1,2)}，{(－3,4)}7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪ y x ＝1，则A ，B 的关系是________． 解析：因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪ y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .答案：B A8．已知集合A ＝{x |x <3}，集合B ＝{x |x <m }，且A ⊆B ，则实数m 满足的条件是________．解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.答案：m≥39．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，求a的值．解：∵B A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2为所求．层级二应试能力达标1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()A．0B．1C．2 D．－1解析：选C由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C有4个．3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是() A．A⊆B B．A＝BC．A B D．A B解析：选D对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x ＝6m －3(m ∈Z)．由此可知A B .4．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,1解析：选D 因为集合A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，故a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．综上所述，a ＝0，或a ＝±1.5．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1,1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________．解析：由题意，得1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，符合题意；当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合题意．所以a 的值为－1或13. 答案：－1或 136．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}，∴NM . 答案：N M7．已知A ＝{x ∈R|x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R|a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种．①当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a ≤2a －1成立， 解得a >3；②当B ＝∅时，由a >2a －1，得a <1.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a <1或a >3}．8．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
高中数学选修一课时跟踪检测(一) 空间向量及其线性运算
课时跟踪检测（一） 空间向量及其线性运算[A 级 基础巩固]1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB ―→与CD ―→满足AB ―→＋CD ―→＝0，则AB ―→∥CD ―→D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：选C A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，∵AB ―→＋CD ―→＝0，∴AB ―→＝－CD ―→，∴AB ―→与CD ―→共线，故AB ―→∥CD ―→正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb .2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A ．AB ―→＋BC ―→＝AC ―→ B ．AB ―→－BC ―→＝AC ―→ C ．AB ―→＝BC ―→ D ．|AB ―→|＝|BC ―→|解析：选C 对于空间中的任意向量，都有AB ―→＋BC ―→＝AC ―→，选项A 错误；若AB ―→－BC ―→＝AC ―→，则AC ―→＋BC ―→＝AB ―→，而AC ―→＋CB ―→＝AB ―→，据此可知BC ―→＝CB ―→，即B ，C 两点重合，选项B 错误；AB ―→＝BC ―→，则A ，B ，C 三点共线，选项C 正确；|AB ―→|＝|BC ―→|，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A ，B ，C 三点共线，选项D 错误．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO―→＋OB―→＝DO―→＋OC ―→，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选A ∵AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→，∴AB ―→＝DC ―→. ∴AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 4.(多选)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD1―→的是( )A ．(A1D1―→－A1A ―→)－AB ―→ B ．(BC ―→＋BB1―→)－D1C1―→ C ．(AD ―→－AB ―→)＋DD1―→ D ．(B1D1―→－A1A ―→)－DD1―→解析：选ABC 对于选项A ，(A1D1―→－A1A ―→)－AB ―→＝AD1―→－AB ―→＝BD1―→；对于选项B ，(BC ―→＋BB1―→)－D1C1―→＝BC1―→＋C1D1―→＝BD1―→；对于选项C ，(AD ―→－AB ―→)＋DD1―→＝BD ―→＋DD1―→＝BD1―→；对于选项D ，(B1D1―→－A1A ―→)－DD1―→＝(B1D1―→－B1B ―→)－DD1―→＝BD1―→＋D1D ―→＝BD ―→，故选A 、B 、C.5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A1E ―→＝14A1C1―→，若AE ―→＝x AA1―→＋y (AB ―→＋AD ―→)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：选D 因为AE ―→＝AA1―→＋A1E ―→＝AA1―→＋14A1C1―→＝AA1―→＋14(AB ―→＋AD ―→)，所以x ＝1，y ＝14.6．如图所示，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ―→与A′C′――→是________向量，AB ―→与B′A′――→是________向量．(用相等、相反填空)解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC ―→与A′C′――→是相等向量，AB ―→与B′A′――→是相反向量．答案：相等 相反7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1＋k e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD―→＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ―→与BD ―→共线，即存在λ∈R ，使得AB ―→＝λBD ―→.∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.答案：－88．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD .若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→的化简结果为________．解析：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，则DF ―→＝32DE ―→.∴AB ―→＋12BC―→－32DE ―→－AD ―→＝AB ―→＋BF ―→－DF ―→＋DA ―→＝AF ―→＋FD ―→＋DA ―→＝0.答案：09．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB ―→＋BA1―→； (2)AC ―→＋CB ―→＋12AA1―→；(3)AA1―→－AC ―→－CB ―→. 解：(1)CB ―→＋BA1―→＝CA1―→.(2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM ―→＝12BB1―→.又AA1―→＝BB1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→.(3)AA1―→－AC ―→－CB ―→＝CA1―→－CB ―→＝BA1―→. 向量CA1―→，AM ―→，BA1―→如图所示．10.如图，在四面体A -BCD 中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3Q C .证明：PQ ∥平面BCD .证明：法一：过P ，Q 分别作PS ∥AD 交BD 于点S ，QT ∥AD 交CD 于点T ，连接ST (图略)，则PS ―→＝12MD ―→，QT ―→＝14AD ―→.因为MD ―→＝12AD ―→，所以PS ―→＝QT ―→，所以四边形PQTS 是平行四边形，则PQ ―→＝ST ―→. 又PQ ⊄平面BCD ，ST ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . 法二：由图形易得PQ ―→＝PB ―→＋BC ―→＋CQ ―→＝12MB ―→＋BC ―→＋14CA ―→ ＝12(MA ―→＋AB ―→)＋BC ―→＋12CA ―→＋14AC ―→ ＝12(AB ―→＋BC ―→＋CA ―→)＋12MA ―→＋12BC ―→＋14AC ―→ ＝14(DA ―→＋AC ―→)＋12BC ―→ ＝14DC ―→＋12BC ―→. 根据空间向量共面的定义，PQ ―→，DC ―→，BC ―→共面， 又因为PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .[B 级 综合运用]11．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：选A 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP ―→＝(1－n )OA ―→＋n OB ―→， 即OP ―→－OA ―→＝n (OB ―→－OA ―→)， 即AP ―→＝n AB ―→，所以AP ―→与AB ―→共线． 又AP ―→，AB ―→有公共起点A ， 所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .12．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM ―→＝3OA ―→－2OB ―→－OC ―→ B ．OM ―→＋OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0 C ．MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0 D ．OM ―→＝14OB ―→－OA ―→＋12OC ―→解析：选C ∵MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0， ∴MA ―→＝－MB ―→－MC ―→， ∴M 与A ，B ，C 必共面．13．已知空间四边形ABCD 中，AB ―→＝b ，AC ―→＝c ，AD ―→＝d ，若MD ―→＝2CM ―→，且BM ―→＝x b ＋y c ＋z d (x ，y ，z ∈R)，则y ＝________.解析：如图所示，BM ―→＝BC ―→＋CM ―→＝AC ―→－AB ―→＋13CD ―→＝AC ―→－AB ―→＋13(AD ―→－AC ―→)＝－AB ―→＋23AC ―→＋13AD ―→＝－b ＋23c ＋13d .∵BM ―→＝xb ＋yc ＋zd ，∴y ＝23.答案：2314．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面．(1)OB ―→＋OM ―→＝3OP ―→－OA ―→； (2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.解：法一：(1)原式可变形为OP ―→＝OM ―→＋(OA ―→－OP ―→)＋(OB ―→－OP ―→)＝OM ―→＋PA ―→＋PB ―→. 由共面向量定理的推论知，点P 与点A ，B ，M 共面．(2)原式可变形为OP ―→＝2OA ―→＋(OA ―→－OB ―→)＋(OA ―→－OM ―→)＝2OA ―→＋BA ―→＋MA ―→.由共面向量定理的推论，可知点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP ―→＝OA ―→＋x BA ―→＋y MA ―→. 而OP ―→＝2OA ―→＋BA ―→＋MA ―→， ∴点P 与点A ，B ，M 不共面．法二：(1)原式可变形为OB ―→＝3OP ―→－OA ―→－OM ―→. ∵3＋(－1)＋(－1)＝1， ∴点B 与点P ，A ，M 共面， 即点P 与点A ，B ，M 共面． (2)由OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→，得 4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， ∴点P 与点A ，B ，M 不共面．[C 级 拓展探究]15．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若有OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋z OC ―→，则“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x ＋y ＋z ＝1，则OP ―→＝(1－y －z )·OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，即AP ―→＝y AB ―→＋z AC ―→，由共面向量定理可知向量AP ―→，AB ―→，AC ―→共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当点O 与点A 重合时，OA ―→＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．16．有下列命题：①若AB ―→∥CD ―→，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB ―→∥AC ―→，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB ―→∥CD ―→，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB ―→∥AC ―→且AB ―→，AC ―→有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－e1＋110e2＝－4b ，所以a ∥b ，故③正确；易知④正确．答案：②③④。
【人教版】2016-2017学年高中数学选修2-1课时跟踪检测 汇编130页(含答案)
命题是( )
A．若 a∥b，则 α∥β
B．若 α⊥β，则 a⊥b
C．若 a，b 相交，则 α，β 相交
D．若 α，β 相交，则 a，b 相交
解析：选 D 由已知 a⊥α，b⊥β，若 α，β 相交，a，b 有可能异面．
4．给出命题“方程 x2＋ax＋1＝0 没有实数根”，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是( )
x2＋y2＝12的圆心(0,0)到直线
x＋y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，等于圆的半径，
所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：选 C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．(陕西高考)设 z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )
A．若 z2≥0，则 z 是实数
B．若 z2＜0，则 z 是虚数
C．若 z 是虚数，则 z2≥0
D．若 z 是纯虚数，则 z2＜0
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解析：选 C 对于命题①，设球的半径为 R，则43πR23＝18·43πR3，故体积缩小到原来的18，命题
正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5 和 3,3,3
的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆
D．在△ABC 中，若 AB ·BC >0，则 B 为锐角
2016届三维设计第四章课时跟踪检测及答案..
2016届三维设计第四章课时跟踪检测及答案课时跟踪检测(十一)曲线运动运动的合成与分解对点训练：合运动的轨迹与性质判断1．下面说法中正确的是()A．做曲线运动的物体速度方向必定变化B．速度变化的运动必定是曲线运动C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动D．加速度变化的运动必定是曲线运动2.光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图1所示)，与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力F x和沿y轴正方向的恒力F y，则()图1A．因为有F x，质点一定做曲线运动B．如果F y＞F x，质点向y轴一侧做曲线运动C．质点不可能做直线运动D．如果F y＜F x tan α，质点向x轴一侧做曲线运动对点训练：运动的合成与分解3．(2015·吉林重点中学模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图2所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()图2A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关4．(2015·保定一中检测)物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是()图3A．物体在0～3 s做直线运动B．物体在3～4 s做直线运动C．物体在3～4 s做曲线运动D．物体在0～3 s做变加速运动5．(多选)(2015·洛阳联考)如图4所示，起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起，同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动，关于货物的运动下列表述正确的是()图4A．货物的实际运动速度为v1＋v2B．货物的实际运动速度为v12＋v22C．货物相对地面做曲线运动D．货物相对地面做直线运动6．如图5所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。
【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习：2.1.1 椭圆及其标准方程(含答案解析)
课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D ．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝23，|CA|＋|CF|＝23，便可求得△ABC 的周长为43．3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB|时，P 点轨迹是线段AB ；当2a<|AB|时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a>3B ．a<－2C ．a>3或a<－2D ．a>3或－6<a<－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<－2或a>3，a>－6，所以a>3或－6<a<－2．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝3． ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23．∴b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1． ∴m －4＝1，m ＝5．当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1， ∴m ＝3． 答案：3或57．已知椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16．所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3． 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25． ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．答案：x 225＋y 29＝19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得 3 2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C 与椭圆x 2＋37y 2＝37的焦点F 1，F 2相同，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫572，－6．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P ∈C ，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)因为椭圆x 237＋y 2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－36＝1(a 2>36)．将点⎝⎛⎭⎫572，－6的坐标代入整理得4a 4－463a 2＋6 300＝0，解得a 2＝100或a 2＝634(舍去)，所以椭圆C 的标准方程为x 2100＋y 264＝1．(2)因为P 为椭圆C 上任一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 由(1)知c ＝6，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12， 所以由余弦定理得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|， 所以122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|． 所以122＝202－3|PF 1||PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝32×83＝2563．S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433．所以△F 1PF 2的面积为6433．层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M(5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为 5＋4 2＋32＋ 5－4 2＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C ．2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1 ·PF 2 ＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1 ·PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ② ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为 S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9．3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2B ．⎝⎛⎦⎤0，π4 C ．⎝⎛⎭⎫0，π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1．因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0．又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2． 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132．答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN|＋|BN|＝________．解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN|，|GF 2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12．答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3， 2c 2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F 1，F 2．由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4． 在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y|＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x|＝b 2a ．依题意有b 2a＝3，得b 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．8． 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A(1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA ．由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．又A(1,0)，C(－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1．。
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课时跟踪检测（十） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ． ∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k <0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215． 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小， 由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m )2＝5． 故m ＝±1．层级二 应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b ．设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2．答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0． 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ， 所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4． 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43．又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2且k ≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2．因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62． 由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。