2016高三第三次调研测试试题 数学(理)

015—2016学年度高中毕业班第三次调研测试数学（理科）一、选择题：1. 设全集={1,2,3,4,5,6,7,8}U ，集合={1,2,3,5}A ，={2,4,6}B ，则右图中的阴影部分表示的集合为 A ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}2．复数131ii+=- A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．已知数列{}n a 为等差数列，若123,,a a a 成等比数列，且11a =，则公差d = A ．0B ．1C ．2D ．44．设2()2f x ax bx =++是定义在[1,1]a +上的偶函数，则()0f x >的解集为A ．(2,2)-B ．∅C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．下列有关命题的说法错误的是A ．函数()sin cos f x x x =的最小正周期为π；B ．函数1()ln 22f x x x =+-在区间（2，3）内有零点; C ．已知函数2()log (22)a f x x x =-+，若1()02f >，则01a <<；D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4.6．运行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A. 3- B. 2- C. 4D. 87．某综艺节目固定有3名男嘉宾，2名女嘉宾．现要求从中选取3人组成一个娱乐团队，要求男女嘉宾都有，则不同的组队方案共有多少种A ．9B ．15C ．18D ．218．1|1|x dx -=⎰A ．1B ．2C ．3D ．129． 函数tan()42xy ππ=-(04)x <<的图象如图所示，A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数图象交于,B C 两点．则()OB OC OA +⋅=A ．23B ．4C ．163D ．810．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2016S =A ．20152B ．1006C ．1007D ．100811．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题：椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其焦距为2，且过点2(1,)2．点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD ∆面积的最小值为A ．22B ．2C ．3D ．212．已知()y f x =是(0,)+∞上的可导函数，满足[](1)2()()0x f x xf x '-+>（1x ≠）恒成立，(1)2f =，若曲线()f x 在点(1,2)处的切线为()y g x =，且()2016g a =，则a 等于A ．500.5-B ．501.5-C ．502.5-D ．503.5-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．设[]2,5()(6),5x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)f = .14．已知,x y 满足14210x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 .15．三棱锥S ABC -的直观图及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB 的长为 .16．如图，四边形,,OABC ODEF OGHI 是三个全等的菱形，COD FOG ∠=∠=3IOA π∠=，设,,OD a OH b ==已知点P 在各菱形边上运动，且OP xa yb =+，,x y R ∈，则x y +的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2()sincos 3cos 222x x xf x =+，当()f B 取最大值时，判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分12分）吉林市某中学利用周末组织教职员工进行了一次冬季户外健身活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频开始结束n = 1,S = 1n 5?输出S n = n + 1S=S+( 1) nn是否6题图UAB1题图xyOABC9题图ABCS42223正视图 侧视图abABCO D EFG H I率分布直方图如下图所示．已知[35,40)之间的参加者有8人． （Ⅰ）求N 和[30,35)之间的参加者人数1N ；（Ⅱ）已知[30,35)和[35,40)两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率；（Ⅲ）组织者从[45,55)之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3,5AB BC == （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111C A B C --的大小；（Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 上是否存在点E ，使得DE ∥面11AA C C ？若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说 明理由.20．（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点,A B .若直线,AR BR 分别交直线:22l y x =+于,M N 两点，求||MN 最小时直线AB 的方程．21．（本小题满分12分）设()ln ()1x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若[1,),()(1)x f x m x ∀∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：421ln 21(*)41ni in n N i =+<∈-∑．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，C D A B ⊥于D ，B E A C ⊥于E ，BE 交CD 于点F ，若3,2B F F C D F E F ====．（Ⅰ）求证：AD AB AE AC = ； （Ⅱ）求线段BC 的长度．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为c o s ,(0,s i nx a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且曲线1C 上的点(2,3)M 对应的参数3πϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线4πθ=与曲线2C 交于点(2,)4D π．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若1(,),A ρθ2(,)2B πρθ+是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()2|2||1f x x x =-++ （Ⅰ）求不等式()6f x <的解集；（Ⅱ）设,,m n p 为正实数，且(2)m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤．普通中学2015—2016学年度高中毕业班第三次调研测试数学（理科）参考答案与评分标准1．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCADCBADDDBC2．填空题0.010.020.030.042025303540455055频率组距岁数xyAOMNRB Q ADEABCA B C D11113．3 14．7 15．42 16．4 3．解答题17．（Ⅰ）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==……2分而(0,)A π∈，所以3A π=……4分（Ⅱ）解：2()sin cos 3cos222x x x f x =+所以133()sin cos 222f x x =++……6分即3()sin()32f x x π=++，则3()sin()32f B B π=++，……8分因为(0,)B π∈……9分所以当32B ππ+=，即6B π=时……11分)(B f 取最大值，此时易知道是直角三角形.……12 分18．（Ⅰ）解：设频率分布直方图中7个组的频率分别为1234567,,,,,,P P P P P P P ，40.0450.2P =⨯=，所以8400.2N ==……2分由题意12345671P P P P P P P ++++++=，而31245671()15(0.010.030.040.030.020.01)0.3P P P P P P P =-+++++=-+++++= 所以，之间的志愿者人数1340400.312N P =⨯=⨯=人……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知之间有400.312⨯=人设从之间取2人担任接待工作，其中至少有1名数学教师的事件为事件B ；从)40,35[之间取2人担任接待工作其中至少有1名数学教师的事件为事件C ，因为两组的选择互不影响，为相互独立事件2102127()1()122C P B P B C =-=-=262813()1()128C P C P C C =-=-=所以13()()()88P BC P B P C ==……6分 [)45,55之间共有5(0.010.02)406⨯+⨯=人，其中4名女教师，2名男教师，从中选取3人，则女教师的数量为ξ的取值可为1,2,3……8分所以1242361(1)5C C P C ξ===；2142363(2)5C C P C ξ===；3042361(3)5C C P C ξ=== …10分 所以分布列为ξ的数学期望为2E ξ=，……12分19．（Ⅰ）因为四边形11AAC C 是边长为4的正方形，所以1AA AC ⊥，……1分因为平面ABC ⊥平面11AAC C 且平面ABC 平面11AAC C AC =，……2分所以1AA ⊥平面ABC……3分（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以1,,AC AB AA所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：(图略) 则111,,,,,A B C A B C 点坐标分别为：(0,0,0)A ；(0,3,0)B ；(4,0,0)C ；1(0,0,4)A ；1(0,3,4)B ；1(4,0,4)C……5分则3(2,,0)2D设平面11CA B 的法向量'''(,,)m x y z =所以111,m AC m A B ⊥⊥ 且 ，所以'''44030x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩……6分令'1x =，所以(1,0,1)m = ，又易知平面111A B C 的法向量为(0,0,1)n =……7分所以2cos 2||||m n m n θ⋅==所以二面角111C A B C --的大小为45︒……8分（Ⅲ）设111(,,)E x y z ；平面11AAC C 的法向量(,,)u x y z =．因为点E 在线段1AB 上，所以假设1AE AB λ=，所以111034x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ (01)λ<≤即(0,3,4)E λλ，所以3(2,3,4)2DE λλ=-- ．……10分又因为平面11AAC C 的法向量易知(0,3,0)u =．而//DE 面11AAC C ，所以0DE u ⋅= ，所以12λ=……11分所以点E 是线段1AB 的中点．……12分若采用常规方法并且准确，也给分。