高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 理
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高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 理
椭圆的标准方程为________________． 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为y52＋x42＝1. 答案：x52＋y2＝1或y52＋x42＝1
|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋
|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
答案：4
2．若方程
x2 m－2
＋
y2 6－m
＝1表示一个椭圆，则实数m的取值
范围为________．
Hale Waihona Puke 解析：由题意，得 m－2>0， 6－m>0， m－2≠6－m，
F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________． 解析：依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案：10
2．设e是椭圆x42＋yk2＝1的离心率，且e＝23，则实数k
的取值是________． 解析：当k＞4 时，有e＝
1－4k
＝ 23
，解得k＝
36 5
；
当0＜k＜4时，有e＝ 1－k4＝23，解得k＝290.故实数
因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为△PF1F2 的中位线．
所以 OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|＝ |PF1|2－|PF2|2＝ 3|PF2|， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝
考点一 椭圆的定义及标准方程基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋
|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
答案：4
2．若方程
x2 m－2
＋
y2 6－m
＝1表示一个椭圆，则实数m的取值
范围为________．
Hale Waihona Puke 解析：由题意，得 m－2>0， 6－m>0， m－2≠6－m，
F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________． 解析：依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案：10
2．设e是椭圆x42＋yk2＝1的离心率，且e＝23，则实数k
的取值是________． 解析：当k＞4 时，有e＝
1－4k
＝ 23
，解得k＝
36 5
；
当0＜k＜4时，有e＝ 1－k4＝23，解得k＝290.故实数
因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为△PF1F2 的中位线．
所以 OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|＝ |PF1|2－|PF2|2＝ 3|PF2|， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝
考点一 椭圆的定义及标准方程基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案理(含解析)
第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M｜MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c,其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．（1)当2a＞F1F2时，P点的轨迹是椭圆;(2）当2a＝F1F2时，P点的轨迹是线段；（3）当2a＜F1F2时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）图形性质范围x∈［－a，a]，y∈［－b，b]x∈［－b，b],y∈［－a，a］［小题体验］1．已知椭圆错误!＋错误!＝1的两焦点为F1,F2，过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为________．答案：122．已知直线x－2y＋2＝0过椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为（－2,0),即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为（0,1），即为椭圆的顶点，故b＝1,所以a2＝b2＋c2＝5,故椭圆的方程为错误!＋y2＝1.答案：错误!＋y2＝13．已知椭圆的一个焦点为F(1，0),离心率为错误!，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）．因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e＝错误!,所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.答案:错误!＋错误!＝11．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）．2．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）上点的坐标为P(x，y）时，｜x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．［小题纠偏]1．（2019·无锡一中月考）已知椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为6，则m＝________.解析：∵椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为6，∴当焦点在x轴时，(13－m）－(m－2）＝9，解得m＝3；当焦点在y轴时，(m－2)－（13－m）＝9,解得m＝12。
2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆课件北师大版
解析
考向三 椭圆的几何性质
例 3 (1)(2019·云南保山期末)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点为 F1， 若椭圆上存在一点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段 的中点，则椭圆的离心率为( )
A．
2 2
B．23
C．95
D．
5 3
答案
解析 设线段 PF1 的中点为 M，另一个焦点为 F2，由 题意知，|OM|＝b，又 OM 是△F2PF1 的中位线，∴|OM| ＝12|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2| ＝2a－2b.
解析 答案
4．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于13，则椭圆
C 的方程是( )
A．x42＋y32＝1
B．x42＋ y23＝1
C．x42＋y22＝1
D．x92＋y82＝1
c＝1，
解析 依题意，设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，所以ac＝13，
c2＝a2－b2，
解析 取 MN 的中点为 G，点 G 在椭圆 C 上．设点 M 关于椭圆 C 的焦 点 F1 的对称点为 A，点 M 关于椭圆 C 的焦点 F2 的对称点为 B，则有|GF1| ＝12|AN|，|GF2|＝21|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
解析
考向二 椭圆的标准方程
例 2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过
F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程
为( )
A．x22＋y2＝1
考向三 椭圆的几何性质
例 3 (1)(2019·云南保山期末)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点为 F1， 若椭圆上存在一点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段 的中点，则椭圆的离心率为( )
A．
2 2
B．23
C．95
D．
5 3
答案
解析 设线段 PF1 的中点为 M，另一个焦点为 F2，由 题意知，|OM|＝b，又 OM 是△F2PF1 的中位线，∴|OM| ＝12|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2| ＝2a－2b.
解析 答案
4．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于13，则椭圆
C 的方程是( )
A．x42＋y32＝1
B．x42＋ y23＝1
C．x42＋y22＝1
D．x92＋y82＝1
c＝1，
解析 依题意，设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，所以ac＝13，
c2＝a2－b2，
解析 取 MN 的中点为 G，点 G 在椭圆 C 上．设点 M 关于椭圆 C 的焦 点 F1 的对称点为 A，点 M 关于椭圆 C 的焦点 F2 的对称点为 B，则有|GF1| ＝12|AN|，|GF2|＝21|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
解析
考向二 椭圆的标准方程
例 2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过
F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程
为( )
A．x22＋y2＝1
2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件文
x2 y 2 2.已知F1,F2是椭圆 + =1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点. 16 9
在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( A.6 B.5 C.4 D.3
)
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边
的长度为16-10=6. 3.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于
(
1 A. 2
) B.2
2
C.4
1 D. 4
答案 D
y2 1 由x + =1(m>0)及题意知,2 =2×2×1,解得m=1 ,故选D. 1 m 4 m
4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 (
A.
1 3
)
B.
2 2
3 3
C.
2 2
D.
1 2
x2 y 2 答案 B 2x +3y =m(m>0)⇒ + =1, m m 2 3 2 m m 2 m 1 ∴c = - = ,∴e = ,又0<e<1,∴e3 = .故选B. 2 3 6 3 3
考点突破
考点一 椭圆的定义及标准方程 典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且 和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (
x2 y 2 A. - =1 64 48
)
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B. + =1 C. - =1 D. + =1 48 64 48 64 64 48 x2 y 2 3 (2)已知椭圆C: + =1( a > b >0) 的左、右焦点为 F 、 F , 离心率为 ,过 1 2 2 2 a b 3 F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为
高考数学一轮复习 《第九章 平面解析几何》95椭圆课件
如 图所示， △ ABC的周 长为： |AC|＋ |AB|＋ |BC| ＝|AC|＋ |CF2|＋|AB|＋ |BF2|＝2a＋ 2a ＝4a＝ 4 3
答案 C
讲评 (1)椭圆定义式： |PF1|＋ |PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|) (2)如 此 类的三 角形周 长恒为 4a.
2．椭圆3x2＋ky2＝ 3的一个焦点是(0， ________.
线 ，恰好通 过椭圆的 左焦点 F1， 且它的 长轴端点A与 短 轴端点
又2a＝ 3×2b，∴a＝9，
y2 x2 ∴方程为81＋ 9 ＝1.
综
上所述，
椭圆方程
x2 为9＋
y2＝
1或
y2 x2 81＋ 9 ＝
1.
a＝ 2c， (2)由已知，有
a－ c＝ 3，
a＝ 2 3， 解得
c＝ 3，
从 而 b2＝ a2－ c2＝ 9，
x2 y2
x2 y2
∴所求椭圆方程为12＋ 9 ＝1，或 9 ＋12＝1.
F为焦
点的椭圆
，
a＝
1，
c＝
1 2
，
b2＝
3 4
，
所以
动点
P的轨迹方程为x2＋43y2＝ 1.
【答案】 x2＋ 43y2＝ 1
题型二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同 侧顶点的距离为 3； (3)经过点P (－ 2 3，1)， Q ( 3，－2)两点；
• (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． • 【分析】 (1)在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|＋|PF2|＝2a，可求
新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆课件文
线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则 该椭圆的离心率是( )
2
1
A. 4
B.2
2 C. 2
3 D. 2
第十九页，共50页。
解：左焦点为 F1(－c，0)，PF1⊥x 轴，
当 x＝－c 时，ac22＋yb2P2＝1⇒yP2＝b21－ac22＝ba42⇒yP＝ba2(负值不合
设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 因为所求椭圆过点 P(－3，2)，所以有a92＋b42＝1. 又 a2－b2＝c2＝5， 所以联立上述两式，解得ab22＝ ＝1150，. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
第十三页，共50页。
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
第十页，共50页。
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)过点 P(－3，2)，且与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点； (3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P 到两焦 点的距离分别为 5，3，过点 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的 一个焦点．
又因为 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°
＝12×43b2×
3 2
＝ 33b2＝3 3，所以 b＝3.故填 3.
第二十九页，共50页。
点 拨： 椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的 距离，焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于 其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、 长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
2
1
A. 4
B.2
2 C. 2
3 D. 2
第十九页，共50页。
解：左焦点为 F1(－c，0)，PF1⊥x 轴，
当 x＝－c 时，ac22＋yb2P2＝1⇒yP2＝b21－ac22＝ba42⇒yP＝ba2(负值不合
设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 因为所求椭圆过点 P(－3，2)，所以有a92＋b42＝1. 又 a2－b2＝c2＝5， 所以联立上述两式，解得ab22＝ ＝1150，. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
第十三页，共50页。
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
第十页，共50页。
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)过点 P(－3，2)，且与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点； (3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P 到两焦 点的距离分别为 5，3，过点 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的 一个焦点．
又因为 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°
＝12×43b2×
3 2
＝ 33b2＝3 3，所以 b＝3.故填 3.
第二十九页，共50页。
点 拨： 椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的 距离，焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于 其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、 长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆
数学表达式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 ,焦距的一半称为 半焦距
.
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为 2
2
.
常用结论
1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2
A.x2+25=1
2
2
B.x2+25=1 或25+y2=1
2 2
C.25+y =1
D.以上都不对
2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆
25
2
+ =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
9
)
.
答案 (1)A
2
2
(2)20 + 4 =1
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
和Q
4
- 5 ,3
的椭圆的标准方程为
第九章
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 ,焦距的一半称为 半焦距
.
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为 2
2
.
常用结论
1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2
A.x2+25=1
2
2
B.x2+25=1 或25+y2=1
2 2
C.25+y =1
D.以上都不对
2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆
25
2
+ =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
9
)
.
答案 (1)A
2
2
(2)20 + 4 =1
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
和Q
4
- 5 ,3
的椭圆的标准方程为
第九章
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第1课时
第九章 平面解析几何
第5讲 椭 圆
第 1 课时 椭圆的定义、标准方程及其几何性 质
1．椭圆的概念 (1)定义：在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 ． 这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 _焦__点___，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦__距___． (2)集合表示：若集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中 2a>2c>0，即 a>c>0，则 M 的轨迹是以 F1、F2 为两焦点 的椭圆，且|F1F2|＝2c 是椭圆的焦距．
＝x2＋4(1－x52)－1 ＝x52＋3． 因为－ 5≤x≤ 5， 所以当 x＝0 时， P→F1·P→F2取最小值为 3， 当 x＝± 5时，P→F1·P→F2取最大值 4． 所以P→F1·P→F2的范围为[3，4]． 答案：[3，4]
考点一 椭圆的定义与应用
(1)已知椭圆x42＋y22＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该
椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2 的面积是( )
A． 2
B．2
C．2 2
D． 3
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
标准方程为________．
【解析】 (1)由椭圆的方程可知 a＝2，c＝ 2，且|PF1|＋|PF2| ＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1． 又|F1F2|＝2c＝2 2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2 为直角三角形，且∠PF2F1 为直角， 所以 S△PF1F2＝12|F1F2||PF2|＝12×2 2×1＝ 2．
第5讲 椭 圆
第 1 课时 椭圆的定义、标准方程及其几何性 质
1．椭圆的概念 (1)定义：在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 ． 这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 _焦__点___，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦__距___． (2)集合表示：若集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中 2a>2c>0，即 a>c>0，则 M 的轨迹是以 F1、F2 为两焦点 的椭圆，且|F1F2|＝2c 是椭圆的焦距．
＝x2＋4(1－x52)－1 ＝x52＋3． 因为－ 5≤x≤ 5， 所以当 x＝0 时， P→F1·P→F2取最小值为 3， 当 x＝± 5时，P→F1·P→F2取最大值 4． 所以P→F1·P→F2的范围为[3，4]． 答案：[3，4]
考点一 椭圆的定义与应用
(1)已知椭圆x42＋y22＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该
椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2 的面积是( )
A． 2
B．2
C．2 2
D． 3
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
标准方程为________．
【解析】 (1)由椭圆的方程可知 a＝2，c＝ 2，且|PF1|＋|PF2| ＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1． 又|F1F2|＝2c＝2 2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2 为直角三角形，且∠PF2F1 为直角， 所以 S△PF1F2＝12|F1F2||PF2|＝12×2 2×1＝ 2．
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为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+
|BF2|)=4a=4. (3)由题意得a=3,b= 7 ,c= 2 , ∴|F1F2|=2 2 ,|AF1|+|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8, ∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
短轴长为 ( B )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B 因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a,因为P(5,2),F1(-6,0),F2 (6,0),所以|PF2|= 5 ,|PF1|=5 5 ,所以2a=6 5 ,a=3 5 ,又c=6,所以b2=9,所以 b=3,2b=6.
3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短
20 36
9或5
.
4k
3
答案 20 或 36
95
解析 当k>4时,有e= 1 4 = 2 ,解得k= 36 ;当0<k<4时,有e= 1 k = 2 ,解得
k3
5
43
k= 20 .故实数k的值为 20 或 36 .
9
95
5.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率为 1 ,则椭圆的标准方程为
x2
4+
考点一 椭圆的定义及标准方程
典例1 (1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆
的标准方程为 ( C )
A. x2 +y2=1
5
B. x2 + y2 =1
45
C. x2 +y2=1或 x2 + y2 =1
5
45
D.以上答案都不对
(2)(2016北京东城期末)过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于
∴|AF1|= 7 .
2
∴ = SVAF1F2
×1
2
7 ×2 2× 2 =7
2
22
.
方法技巧 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状 时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定 量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果 焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭 圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
1-1
已知椭圆C:
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率
为
3 3
,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4
3 ,则C的方程
为 ( A)
A. x2 + y2 =1
32
B. x+2 y2=1
3
C. y2 +
x
2
=1
8 12
D.
y2
+
x2 =1
4 12
y2 9
=1的两个焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两
点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( A )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边 的长度为16-10=6.
2.已知P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0)三点,那么以F1,F2为焦点且过点P的椭圆的
轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为
4
( B)
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3
2
3
4
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=
a·b ,所以e=c =1 .故选B.
2
a2
4.设e是椭圆 x2 + y2 =1的离心率,且e= 2 ,则实数k的值是
A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为 ( B )
A.2 B.4 C.8 D.2 2
(3)F1,F2是椭圆
x2 9
+y2
7
=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则
△AF1F2的面积为 ( C )
A.7 B. 7
C. 7
D7. 5
4
2
2
答案 (1)C (2)B (3)C
答案 A 由题意及椭圆的定义知4a=4 1,∴b2=2,∴C的方程为 x2 + y2 =1,选A.
32
3,则a=
3 ,又
c=
a
c 3
=
3 3
,∴c=
考点二 椭圆的几何性质
典例2
(1)已知椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆
解析 (1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴
上时,c=2,b=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为
x2 5
+y2=1.当焦点在y轴上
时,b=2,c=1,所以a2=5,所求椭圆#43;4
=1.
5
(2)因为椭圆方程为4x2+y2=1,所以a=1.根据椭圆的定义,知△ABF2的周长
2
y2
3 =1 .
答案 解析
x2 + y2 =1
43
设椭圆的标准方程为
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0),
c 1,
结合椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=
1 2
,得
c a
1 2
,
解得
a 2c b2 3,
2,
a2 b2 c2 ,
故椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1.
43
考点突破
第五节 椭圆
教材研读
总纲目录
1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程和几何性质
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
考点突破
考点一 椭圆的定义及标准方程
考点二 椭圆的几何性质 考点三 直线与椭圆的位置关系
教材研读
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做① 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的③ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若④ a>c ,则集合P表示椭圆; (2)若⑤ a=c ,则集合P表示线段; (3)若⑥ a<c ,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x02 a2
y02
+ b2
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔
x02 a2
y02
+ b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔
x02 a2
+
y02 b2
>1.
1.已知F1,F2是椭圆
x2 16
+