人教版2017高中数学(选修2-2)习题课1.3.3函数的最大(小)值与导数PPT课件
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 1.3.3函数的最大(小)值与导数
选修2-2 第一章 1.3 1.3.3一、选择题1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1；x ＝－1时y ＝12；x ＝1时y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在(1,3)上f (x )是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值[答案] C[解析] 由导函数y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x ＝4是f (x )的极小值点，故A 、B 、D 错误，选C.3．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)<e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0) D ．f (2)>e 2f (0)[答案] D[分析] 所给四个选项实质是比较f (2)与e 2f (0)的大小，即比较f (2)e 2与f (0)e 0的大小，故构造函数F (x )＝f (x )ex 解决．[解析] 设F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)，∴f (2)e 2>f (0)e 0， 即f (2)>e 2f (0)．4．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239. 5．(2014·河南淇县一中模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13[答案] B[解析] y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax ＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a <1，∴a <－3.6．(2014·开滦二中期中)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎨⎧b >02b <1，∴0<b <12.7．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案] D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．二、填空题8．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－1(2x－1)2|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案] 6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．三、解答题10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： x －3 (－3，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )8增极大值减极小值增4∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题11．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( )A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.12．(2013·海淀区高二期中)函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象可能为()[答案] C[解析]由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C.13．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3<k<－1或1<k<3C．－2<k<2 D．不存在这样的实数[答案] B[解析]因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.14．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立， 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3， ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题15．(2013·苏州五中高二期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是________．[答案] (－1,0)∪(1，＋∞) [解析] 令g (x )＝f (x )x (x ≠0)，∵x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2>0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答题16．(2013·陕西师大附中一模)设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．17．(2014·沈阳市模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )的图像在x ＝－1处的切线方程； (2)若函数f (x )在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由f ′(1)＝0， 得a ＝－2，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，y ＝－3， 即切点(－1，－3)，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＋1令x 0＝－1得k ＝8， ∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f (x )在区间(12，1)内不单调，即f ′(x )＝0在(12，1)有解，所以3x 2＋2ax ＋1＝0,2ax ＝－3x 2－1，由x ∈(12，1)，2a ＝－3x －1x ，令h (x )＝－3x －1x，∴h ′(x )＝－3＋1x 2<0，知h (x )在(33，1)单调递减，在(12，33]上单调递增，所以h (1)<h (x )≤h (33)， 即h (x )∈[－4，－23]，－4≤2a ≤－23， 即－2<a ≤－3，而当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，∴舍去， 综上a ∈(－2，－3)．。
高中数学选修2-2课时作业9_ 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e22．函数y ＝ln xx 的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D.1033．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－324．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5D ．以上都不对5．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l 1：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2,2]时，函数y ＝f (x )的图象恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－6) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，0)6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52D.227．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题8．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为________．9．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2ex 的值域是________．10．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________．11．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的命题：x －1 0 2 4 5 其中说法正确的是①函数f (x )的值域为[1,2]； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点；④如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4. 三、解答题12．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围．13.已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[答案]精析1．B 2.A 3.C 4.A 5．B [直线l ：y ＝－92x －c2，由题意知：f (x )－(－92x －c2)<0在[－2,2]上恒成立，即13x 3－x 2＋32x ＋43＋c2<0在x ∈[－2,2]上恒成立． 令g (x )＝13x 3－x 2＋32x ＋43＋c 2，g ′(x )＝x 2－2x ＋32＝(x －1)2＋12>0，故g ′(x )在[－2,2]上单调递增， g (x )max ＝g (2)＝3＋c2<0，c <－6.]6．D [由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2(t ＋22)(t －22)t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值．] 7．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增， φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2， ∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.] 8．(0,1)[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . 又∵x ∈(0,1)，要使f (x )在(0,1)内有最小值， 只需0<a <1，即0<a <1.9．[0，e][解析] 由f ′(x )＝2x e x －x 2e x(e x )2＝2x －x 2e x ＝0，得x ＝0或2(应舍去)， f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e ，∴f (x )的值域为[0，e]． 10.3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33， a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， a ＝3－1. 11．①②③12．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e ，f ′(x )<0，解得0<x <1e，所以当x ＝1e 时取得最小值，为－1e.(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1， 故a 的取值范围为(－∞，1]． 13．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时， f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1)．。
人教新课标版数学高二-人教选修2-2练习1-3-3函数的最大(小)值与导数
选修2-2 1.3.3一、选择题3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227 B ．2 C ．－1D ．－4[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C.5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0D ．不存在[答案] A[解析] y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上 y ′<0.∴x ＝12时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2.7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12 C ．－12D.12或－32[答案] C[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题13．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．[答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去) 当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a＝33，解得a ＝3－1.14．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.[答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8， f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题15．求下列函数的最值： (2)f (x )＝x ＋1－x 2. (2)∵函数f (x )有意义，∴必须满足1－x 2≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．f ′(x )＝1＋12(1－x 2)－12·(1－x 2)′＝1－x 1－x2.令f ′(x )＝0，得x ＝22 . ∴f (x )在[－1,1]上的极值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析](1)解：由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x ＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 18．已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]．(1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．[解析] (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝72.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0，12) 12 (12，1) 1 f ′(x ) － 0 ＋f (x )－72－4－3所以，当x ∈(0，12)时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]．又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]．任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．即⎩⎨⎧1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32. 又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32.。
2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课件：第一章 1.3 1.3.3 函数的最大值与导数
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲
线，那么它必有最大值和最小值． [点睛] 对函数最值的三点说明
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数
不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有
首页
上一页
下一页 末 页 第二十五页，编辑于星期五：十五点 四十分。
结束
恒成立问题向最值转化的方法 (1)要使不等式 f(x)<h 在区间[m，n]上恒成立，可先在 区间[m，n]上求出函数的最大值 f(x)max，只要 h>f(x)max， 则上面的不等式恒成立． (2)要使不等式 f(x)>h 在区间[m，n]上恒成立，可先在 区间[m，n]上求出函数 f(x)的最小值 f(x)min，只要 f(x)min>h， 则不等式 f(x)>h 恒成立．
结束
首页
上一页
下一页 末 页 第十四页，编辑于星期五：十五点 四十分。
结束
(2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40. f(0)>f(2)>f(－2)， 所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3. 所以当x＝0时，f(x)max＝3.
首页
上一页
下一页 末 页 第三页，编辑于星期五：十五点 四十分。
结束
[点睛] 函数极值与最值的关系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最 大值和最小值是一个整体性概念． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得 出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的 极值可以有多个，但最值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有 极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最 值，最值不在端点处取得时必定是极值．
高中数学选修2-2学案6：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值． 知识导学知识点一 函数最值的概念如果在函数f (x )定义域I 内存在一点x 0，使得对任意的x ∈I ，总有__________，那么称f (x 0)为函数的定义域上的最大值．如果在函数f (x )定义域I 内存在一点x 0，使得对任意的x ∈I ，总有__________，那么称f (x 0)为函数在定义域上的最小值．思考 函数的极值与最值的区别是什么？知识点二 求函数的最值1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________． 2．函数在开区间(a ，b )的最值在开区间(a ，b )内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f (x )在开区间I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f (x )在区间I 上的最大(小)值． 思考 (1)函数f (x )＝1x 在(1,2)上有最值吗？(2)函数f (x )＝ln x 在[1,2]上有最值吗？ 题型探究题型一求函数的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．跟踪训练1设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．题型二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练2a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．题型三 函数最值问题的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围； (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围． 易错易混求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误例4 求函数f (x )＝x 3－2x 2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．错解 由已知得f ′(x )＝3x 2－4x ， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝43.当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，43，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴函数f (x )在x ＝0处取得最大值f (0)＝1， 在x ＝43处取得最小值f ⎝⎛⎭⎫43＝－527. 错因分析 求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误．正解 由已知得f ′(x )＝3x 2－4x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， ∴函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1， 在x ＝43处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫43＝－527. 又f (－1)＝－2，f (2)＝1，∴函数f (x )的最大值是1，最小值是－2.防范措施 若连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在[a ，b ]上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得． 当堂检测1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17D ．9，－193．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值4．函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，e π2 B.⎝⎛⎭⎫0，e π2 C.⎣⎡⎭⎫0，e π2 D.⎝⎛⎦⎤0，e π2 5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2,2]上有最小值3，那么f (x )在[－2,2]上的最大值是__________．——★参考答案★——知识梳理知识点一f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)思考函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．知识点二1．(2)最大值最小值．思考(1)没有．(2)有最大值ln 2，最小值0.题型探究例1解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.跟踪训练1 解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， 故a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，列表如下：∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82， f (－2)＝－f (2)＝82，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值为－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值为18. 例2 解 f ′(x )＝3x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3. ①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2)，0 (a >2).跟踪训练2 解 f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0.若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .∵x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况．(1)若0＜a ＜1，即0＜a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1. 例3 解 (1)对f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝－23或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]．当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )＜c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2＞f (2)＝2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2. ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．当堂检测1．[答案]A[解析]据题f(x)为常数函数，故f′(x)＝0.2．[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝－1处取得极大值，f(x)极大值＝3，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.3．[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4．[答案]43[解析]令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0；当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，x＝－2，0,2对应的f(x)的值分别为a－40，a，a－8.因为a－40＜a－8＜a，所以a－40为最小值，a为最大值，则a－40＝3，a＝43，故f(x)在[－2,2]上的最大值是43.。
( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-2：1.3.3函数的最大(小)值与导数课件 (共38张PPT)
求函数的最值的方法： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．
1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2， 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18. (2)f′(x)＝2cos 2x－1， 令 f′(x)＝0，－π2≤x≤π2，得 x＝－π6或 x＝π6.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴－1＋3＝23a， －1×3＝b3，
∴ab＝ ＝3－，9.
(2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
＋
0－
0
＋
f(x)
c＋5
c－27
而 f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴x∈[－2,6]时 f(x)的最大值为 c＋54， 要使 f(x)<2|c|恒成立，只要 c＋54<2|c|即可， 当 c≥0 时，c＋54<2c，∴c>54； 当 c<0 时，c＋54<－2c，∴c<－18， ∴c 的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
怎样求解已知函数的最值求参数的问题？ (1)如果已知在给定区间上的最值，应先确定在区间上函数的单调性及极 值点是极大值还是极小值，如果不能确定，往往是分类讨论的依据． (2)在用参数表示最值情况时，往往利用作差的方法比较含参最值的大 小，此时也往往进行分类讨论．
人教版a版高中数学选修2-2第一章1.3.3《函数的最大(小)值与导数》【练习】(教师版)
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、选择题1．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )有最小值f (x 0)B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)D ．函数f (x )不一定有最小值【答案】A【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值，最小值分别是( )A ．12，－8B ．1，－8C ．12，－15D ．5，－16 【答案】A【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A ．3．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的奇函数【答案】D【解析】求导可得f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x ，当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．4．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最。
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数【学习目标】1.理解函数的最大值和最小值的观点，认识其与函数的极值的差别与联系；2.会求可导函数 f x 在闭区间a, b 的最大（或最小）值.【新知自学】知识回首：1.鉴别 f(x0)是极大、极小值的方法 :若x 0 知足0，且在0 的双侧 f ( x) 的导数异号，则x0是 f ( x) 的极值点，0f ( x ) 0x f ( x )是极值，而且假如 f ( x) 在x0双侧知足“”，则 x0是f (x)的极大值点，f ( x0)是极大值；假如 f(x) 在 x0双侧知足“”，则 x0是 f (x) 的极小值点， f ( x0 )是极小值 .新知梳理：1.最值与极值的差别与联系:⑴“最值”是整体观点，是比较 _____________ 的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较________函数值得出的，拥有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是______的；而极值不必定独一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⑷极值只好在_____部获得，而最值能够在区间的_____处获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只需不在端点必然是极值．2.函数的最大值与最小值（ 1）函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性观点，最大值必是整个区间上全部函数值中的，最小值一定是整个区间上的全部函数值中的.（ 2）一般地，假如在区间a,b 上函数的图象是____，那么它必有最大值和最小值.3.求函数y f x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤以下：（1）求 _________________内的极值；（2）将f x的各极值与 _______ 比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .对点练习：1. 函数f ( x)的定义域为( a, b) ，其导函数f (x)在(a,b) 内的图象以下图，则函数 f (x)在区间 (a,b) 内极小值点的个数是（）A.1B.2C.3D.42.以下说法中正确的选项是（）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B. 闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之如有极值，则必定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但如有极值，则可有多个极值3.函数 y=sinx+1 在区间-,上的最小值是__________,极小值 __________.224.求函数 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3 在区间 [-1,3] 内的极值和最值．【合作研究】典例精析：例 1. 求函数f(x)=e x(3-x2)在区间[2,5]上的最大值和最小值.换成一个不但一有极值比较的状况或扩大区间为 -4— 4 即可变式练习：求函数 f x x 2 x 在区间 [0,4] 上的最大值与最小值.例 2.已知a是实数，函数f(x)=x 2(x-a).（1）若f (1) 3，求 a 的值及曲线 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；（2）求函数 f(x) 在区间 [0,2] 上的最大值 .增添条件a=-3/2变式练习：在本例中，区间[0,2] 改为 [-1,0] 结果怎样？增添条件a=-3/2规律总结：（ 1）函数在闭区间上的最值点必在以下各样点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；（2）函数 f(x)在闭区间上连续，是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件；（3）闭区间上的连续函数必定有最值；开区间 (a ， b)内的可导函数不必定有最值，如有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．【讲堂小结】【当堂达标】1.连续函数f x在a,b上有最大值是有极大值的（）A. 充足条件C.充要条件B.必需条件D.既非充足又非必需条件．函数32 2时有极值，则 a,b 的值为（）f ( x) xax bx a，在x 1102A ． a 3,b3或 a -4,b 11B.a -4,b 1或a -4, b 11C. a-1,b 5D. 以上都不正确 3.函数 f(x)=x 3-3x(|x|<1)()A. 有最大值但无最小值B. 有最大值也有最小值D. 无最大值也无最小值4.求函数 f(x)= 1 x sin x, x [ 0,2 ] 的最值 .2【课时作业】1.函数 y=x-sinx,x[ ,] 的最大值是（）2A. -1B.12C. D.+1x）2.函数 f(x)=e sinx 在区间[0, ]上的值域是（2A. [0，e2]B. (0，e2)C. [0，e2)D. (0，e2]3.若函数f ( x)x33x a 在区间0,3 上的最大值、最小值分别为M,N,则M N=.4.求函数 f x x 1 x 2 2在区间0,3 上的最小值.5.设函数 f(x)=tx 2+2t2x+t-1(x R，t>0).（1）求 f(x) 的最小值 h(t) ；（2）若 h(t)<-2t+m 对t（0,2）恒建立，务实数 m 的取值范围 .26．已知函数f(x)＝ x － 1(1)若 f(x)， g(x)的图象在点 (1,0) 处有公共的切线，务实数 a 的值；(2) 设 F(x)＝ f(x)－ 2g(x)，求函数F(x)的极值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
首页
课前预习案
课堂探究案
1.利用导数研究方程的根或函数零点 (1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横 坐标. (2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与 直线y=a交点的横坐标. (3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与 g(x)图象交点的横坐标. 2.利用导数解决不等式恒成立问题 (1)不等式λ≥f(x)恒成立,则λ≥[f(x)]max. (2)不等式λ≤f(x)恒成立,则λ≤[f(x)]min.
时,它的极小值也小于 0,因此曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,它在 (1,+∞)上. 当 f(x)的极小值 a-1>0,即 a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于 0,因 此曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,它在 -∞,故当 a∈ -∞,5 27 1 3
上.
∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,
f(x)至少有一个零
首页
课前预习案
课堂探究案
做一做4 设函数f(x)= 2 x2ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
1
解: (1)f' (x)=xe 由 f' 由 f' (-2,0). 而 是(-∞,-2)和(0,+∞);
(1,+∞) + ↗
0 极大值
1 3
↘
5 27
所以 f(x)的极大值是 f -
= +a,极小值是 f(1)=a-1.
首页 探究一 探究二 规范解答 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
(2)由函数解析式可知,当 x 取足够大的正数时,有 f(x)>0,当 x 取 足够小的负数时有 f(x)<0,所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 再结合 f(x)的单调性可知:当 f(x)的极大值 +a<0,即 a∈ -∞,5 27 5 27
首页
课前预习案
课堂探究案
m 的取值范围是
做一做 3 若函数 f(x)=x2-2ex- ������ +m 至少有一个零点,则实数
.
ln������
f'(x)=0,得 x=e,且 f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,从而 f(x) 在 x=e 取得极小值亦即最小值 f(e)=-e
方程 f(x)=0 只有一个实数根.
首页 探究一 探究二 规范解答 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
首页 探究一 探究二 规范解答 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
变式训练1 已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R),当x=1时f(x)取得极 值. (1)求a的值; (2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(k∈R)的图象的交点个数.
1 点时,应满足-e - +m≤0,解得 e 2 1 答案: m≤e + e
2 2
1-ln������ 解析: 函数定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2e- 2 ������
=
2������2 (������-e)-(1-ln������) ,令 ������2
m≤e
2
1 + . e
1 - +m,因此 e
首页
课前预习案
课堂探究案
做一做1 方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的 单调性,通过数形结合可得. 答案:C 1 2 3 做一做2 已知函数f(x)=x - 2 x -2x+5,若当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒 成立,则实数m的取值范围为 ( ) A.[7,+∞) B.(7,+∞) C.(-∞,7) D.(-∞,7] 解析:利用导数可求得x∈[-1,2]时,f(x)max=7,故实数m的取值范围 为m>7. 答案:B
首页 探究一 探究二 规范解答 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
解: (1)由已知得 f' (x)=3x2-2x-1,令 f' (x)=0,得 x=- 或 x=1,当 x 变 化时,f' (x),f(x)变化情况如下表: x f'(x) f(x) + ↗ -∞,1 3 1 3
1 3
-
- ,1
3
11 0 极小值源自习题课——导数的综合应用-1-
首页
课前预习案
课堂探究案
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握利用导数研究 方程的根或函数零点 导数的综合应用 的一般方法. 研究方程的根或函数的零点 2.掌握利用导数解决 不等式恒成立问题的 解决不等式恒成立问题 基本方法. 研究函数综合问题 3.掌握利用导数研究 函数综合问题的方法.
x
e������ (x)= x(x+2)>0,解得 x>0 或 x<-2,所以 f(x)的单调递增区间 2 e������ (x)= x(x+2)<0,解得-2<x<0,所以 2
x
1 2 x e������ + x e = x(x+2), 2 2
f(x)的单调递减区间是 x=0 和 x=-2 为极值点,
首页 探究一 探究二 规范解答 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
解:(1)函数f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=2x- ������ . 因为当x=1时,f(x)取得极值,所以f'(1)=2-a=0,即a=2. (2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln x+x2-2x-k=2x2-2ln x-2k-k,
(2)令 f' (x)=xe 故 m<0.
2 f(-2)= 2,f(2)=2e2,f(0)=0,所以 e
1 2 x e������ + x e = x(x+2)=0,所以 2 2
f(x)∈[0,2e2],
首页 探究一 探究二 规范解答 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
利用导数研究方程的根(函数的零点) 【例1】 设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值;(2)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值 范围. 分析:方程f(x)=0只有一个实数根就是函数f(x)的图象与x轴仅有 一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件 建立关于a的不等式求解.
������
所以 F'(x)=4x- -2= . ������ ������ 因为x>0,所以2x+1>0. 令F'(x)=0,则x=1,当x∈(0,1)时,F'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0. 因此函数F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 所以F(x)min=F(1)=-k. ①当-k>0,即k<0时,两图象交点个数为0; ②当-k=0,即k=0时,两图象交点个数为1; ③当-k<0,即k>0时,两图象交点个数为2.