高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式单元整合课件新人教A版选修4_5
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4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所 以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k kk－1 k2＋k ＝ ＋k＝ 2 2 kk＋1 k＋1[k＋1－1] ＝ ＝ . 2 2 ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 成立．
1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立． 由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．
[悟一法] (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准 确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题 成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归 纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可 以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数 也都成立．Fra bibliotek[研一题]
[例 1] 1 1 1 1 1 用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2n－1 2n
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝ －(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
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[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x
＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
2＋3d＋2q3＝27， 条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3， 解得 q＝2.
人教版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
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1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
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1，命题成立.
2 假设当n
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时，命题成立，即
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所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
1)· [2(k＋1)－1]．
即n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．
用数学归纳法证明几何问题
例2 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于
两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主 要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多 少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来 的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分 分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
1 1 1 1 1 1 那么 ＋ 2＋ 3＋„＋ k－1＋ k＋ k＋1 2 2 2 2 2 2 1 1 k＋1 [1－ ] 2 2 1 ＝ ＝1－ k＋1. 1 2 1－ 2 这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
【错因】 从形式上看，会认为以上的证明是正确 的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明 却是错误的． 错误的原因在第(2)步， 它是直接利用等比数列的求 1 1 1 和公式求出了当 n＝k＋1 时式子 ＋ 2＋ 3＋„＋ 2 2 2 1 1 1 k－1＋ k＋ k＋1的和，而没有利用“归纳假设”，这 2 2 2 是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误， 要引 以为戒，一定要引起同学们的足够重视．
＝(x＋1)[(x＋1)k＋1 ＋(x＋2)2k－1]＋(x2 ＋3x＋3)· (x ＋2)2k－1. 因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋ 3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2 ＋3x＋3整
除．
这就是说，当n＝k＋1时， (x＋1)(k＋1)＋1 ＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被x2 ＋3x＋3整 除． 根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
[研一题]
[例 3] 平面上有 n(n≥2，且 n∈N＋)条直线，其中任意两
条直线不平行，任意三条不过同一点， nn－1 求证：这 n 条直线共有 f(n)＝ 个交点． 2
[精讲详析]
本题考查数学归纳法在证明几何命题中的
应用，解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律，然后 采用数学归纳法证明． (1)当 n＝2 时， ∵符合条件是两直线只有 1 个交点， 1 又 f(2)＝ ×2×(2－1)＝1. 2 ∴当 n＝2 时，命题成立．
由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所 以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k kk－1 k2＋k ＝ ＋k＝ 2 2 kk＋1 k＋1[k＋1－1] ＝ ＝ . 2 2 ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n 2＝ 121－2n－1 ＋ ＋2n 2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 1－2 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－ 6n－10，故 Tn＋12＝ －2an＋10bn，n∈N*.
＋
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12
＝－2an＋10bn(n∈N*.)
[命题立意]
应用．
本题考查数学归纳法在证明数列问题中的
[解]
(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公
比为 q.由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由
(2)假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N＋)时命题成立， 就是该平面内 1 满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k)＝ k(k－1)， 则当 n 2 ＝k＋1 时，任取其中一条直线记为 l，如图，剩下的 k 条直线 为 l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为 f(k)＝ kk－1 . 2
[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课件新人教A版选修4_5
(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样 的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等 方法进行证明．
(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的 不等式然后再用数学归纳法证明．
根据(1)和(2)可知对任何 n∈N＋， n2＋n＜n＋1 都成 立．
则对上述证法的说法中： (1)过程全部正确．( ) (2)n＝1 验证不正确．( ) (3)归纳假设不正确．( ) (4)从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确．( )
解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正 确，(1)、(2)、(3)不正确．
时，应推证的目标不等式是_______________________．
解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．
答案：
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 （k＋1）2
＋
1 （k＋2）2
＞
1 2
－
1 k＋3
5．证明n＋2 2<1＋12＋13＋…＋21n<n＋1(n>1)，当n＝ 2时，要证明的式子为____________________．
[变式训练]
若不等式
1 n＋1
＋
1 n＋2
＋
1 n＋3
＋…＋
1 3n＋1
＞
a 24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大
值，并证明你的结论．
解：当n＝1时，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＞2a4，
则2264＞2a4，所以a＜26.
又a∈N＋，所以取a＝25.
下面用数学归纳法证明
1 n＋1
＋
答案：B
3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整