一年真题-普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)文科数学试卷 (3)
2020年全国卷(3)文科数学
2020年全国卷(3)文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。
2 B。
3 C。
4 D。
52.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。
$1-i$ B。
$1+i$ C。
$-i$ D。
$i$3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。
0.01 B。
1 C。
100 D。
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。
当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。
60 B。
63 C。
66 D。
695.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。
$\frac{3}{4}$ B。
$\frac{1}{4}$ C。
$-\frac{1}{4}$ D。
$-\frac{3}{4}$6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。
圆 B。
椭圆 C。
抛物线 D。
直线7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅰ卷)含解析
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅰ卷）1.已知集合，，则( ).{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = A. B. C. D.{1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-2.若，则( ).1i 1zz =+-z =A. B. C. D.1i--1i-+1i-1i+3.已知向量，，若，则( ).(0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- x =A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=A. B. C.D.3m-3m -3m 3m5.，则圆锥的体积为( ).A. B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ).22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩A. B. C. D.(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞7.当时，曲线与的交点个数为( ).[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A.3B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2.1X =20.01S =，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z 服从()21.8,0.1N ()2,N X S 正态分布，则）()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈A. B. C. D.(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><10.设函数，则( ).2()(1)(4)f x x x =--A.是的极小值点B.当时，3x =()f x 01x <<()2()f x f x <C.当时， D.当时，12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).(2,0)F (0)x a a =<A.2a =-B.点在C上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，()00,x y 0042y x ≤+12.设双曲线的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F C 于A ，B 两点，若，，则C 的离心率为_________.113F A =||10AB =13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.e xy x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，ABC △sin C B =.222a b c +-=（1）求B ；（2）若的面积为，求c .ABC △3+16.已知和为椭圆上两点.(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.ABP △17.如图，四棱锥中，底面，，，.P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =（1）若，证明：平面PBC ；AD PB ⊥//AD（2）若，且二面角，求AD .AD DC ⊥A CP D --18.已知函数.3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若，且，求a 的最小值；0b =()0f x '≥（2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.()2f x >-12x <<19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和1a 2a 42m a +i a 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，()j a i j <1a ，…，是——可分数列.2a 42m a +(,)i j （1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j （2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足—42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j —可分数列的概率为，证明.m P 18m P >答案1.A解析：，选A.{1,0}A B =- 2.C 解析：3.D解析：，，，，，选D.4(2,4)b a x -=-(4)b b a ⊥-(4)0b b a ∴-=4(4)0x x ∴+-=2x ∴=4.A解析：，，cos cos sin sin sin sin 2cos cos mαβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，选A.cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=，选B.1π93V =⋅⋅=6.B解析：在R 上↗，，，选B.()f x 0e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>，，，(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>，，，(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>，，，(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>，，，(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：，，，()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+，A 错.(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，B 对.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，，C 对.2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，D 错，所以选BC.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>10.ACD解析：A 对，因为；()3(1)(3)f x x x '=--B 错，因为当时且，所以；01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <C 对，因为，，2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，时，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，x a =a -2OF =所以有，那么曲线的方程为.242a a -⋅=⇒=-(4x +=B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >最大值一定大于1；D 对，因为.()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12.32解析：由知，即，而，所以，即||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =，代回去解得，所以.6c =4a =32e =13.ln 2解析：14.12解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、18-32-54-76-得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，16-32-54-78-（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，14-32-58-76-18-32-56-74-，，，16-32-58-74-（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；12-38-54-76-14-38-52-76-，，，；，，，；，，，；18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-，，，；，，，38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B =（2）c =解析：（1）已知，根据余弦定理，222a b c +-=222cos 2a b c C ab+-=可得.cos C ==因为，所以.(0,π)C ∈π4C =又因为，即，解得.sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =因为，所以.(0,π)B ∈π3B =（2）由（1）知，，则.π3B=π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=已知的面积为，ABC △31sin 2ABCS ab C =△则，.1πsin 324ab =132ab =+2(3ab =+又由正弦定理，可得.sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b Cc A B==则，，同理.π5πsin sin412c a =5πsin12πsin 4c a=πsin 3πsin 4c b =所以2225ππsin sin 421232(3π1sin42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将、代入椭圆，则(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩.c=12ce a ∴===（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =此时不满足条件.1933922ABP S =⨯⨯=≠△②当L 的斜率存在时，设，令、，3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y ，消y 可得223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）面，平面，PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥又，，平面PABAD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂面，平面，AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥，B ，C ，D 四点共面，A //AD BC∴又平面，平面PBCBC ⊂ PBC AD ⊄平面PBC .//AD ∴（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz-令，则，，，，AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C 设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设，，1x =1y t =10z =)1,0n t =设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =不妨设，则，，2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- 二面角A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===.t ∴=AD ∴=18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立0b =()ln2x f x ax x =+-11()02f x a x x '=++≥-02x ∀<<而，11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--当且仅当时取“=”，1x =故只需，即a 的最小值为-2.202a a +≥⇒≥-（2）方法一：，(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-关于中心对称.()f x ∴(1,)a 方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a 回去关于中心对称.()f x ⇒(1,)a （3）当且仅当，()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-对恒成立3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令，必有（必要性）2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-当时，对，23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对恒成立，符合条件，(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-综上.23b ≥-19.（1），，(1,2)(1,6)(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)其余，，按连续4个为一组即可k a 1542k m ≤≤+（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 易知：1，2，…，是可分的42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤因为可分为，…，与(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---，…，(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++此时共种211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++再证：1，2，…，是可分的42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤易知与是可分的1~4k 42~42r m ++只需考虑，，，…，，，41k +43k +44k +41r -4r 42r +记，只需证：1，3，5，…，，，可分*N p r k =-∈41p -4p 42p +去掉2与1~42p +41p +观察：时，1，3，4，6无法做到；1p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，143p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，184p =，，，满足(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)故，可划分为：2p ∀≥，，，(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++，…，，，共p 组(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++事实上，就是，，且把2换成(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-，，…，不可行(0,1)(1,2)(1,)m m -综上，可行的与至少组(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++故，得证！()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。
2019年全国卷Ⅰ文科数学高考试题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅰ卷）文科数学试题一、选择题：1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生7．tan255°= A ．-23B ．-3C ．23D ．38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 15．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．三、解答题：17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818．（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．。
2020年全国卷一文科数学高考试题(word版+详细解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D解析：2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，则交集的定义可得，{13}，A B =，故选D 2．若312i i z =++，则||z =A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：因为312i i 12i (i)1i z =++=++-=+，所以22||=112z +=，故选C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．14 B．12C．14 D．12 答案：C解析：如图，P ABCD -是正四棱锥，过P 作PO ABCD ⊥平面，O 为垂足，则O 是正方形ABCD 的中心，取BC 的中点E ，则OE BC ⊥，因为PO ABCD ⊥平面，所以BC PO ⊥，又PO OE O =，所以BC POE ⊥平面，因为PE POE ⊂平面，所以PE BC ⊥，设BC a =，PO h =，由勾股定理得PE =1122PBCS BC PE =⋅=212h =，所以221142PE a aPE -=，解得PE =或PE =（舍去)，故选CE OPA B C D4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．45答案：A解析：O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的取法用集合表示有{,,}O A B ，{,,}O A C ，{,,}O A D ，{,,}O B C ，{,,}O B D ，{,,}O C D ，{,,}A B C ，{,,}A B D ，{,,}A C D ，{,,}B C D ，共有10种取法，其中3点共线的取法有{,,}O A C ，{,,}O B D ，共2种，故取到的3点共线的概率为21105=，故选AODCBA5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A．y a bx=+B．2y a bx=+C．e xy a b=+D．lny a b x=+答案：D解析：本题考查回归方程及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象，观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数函数的图象，故选D。
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷,文)数学试卷及答案
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷,文)数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N=()A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}2.设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-13.已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2B.3C.4D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.若x,y满足约束条件{x+y≥2,x+2y≤4,y≥0,则z=2x-y的最大值是()A.-2B.4C.8D.126.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.2√2C.3D.3√27.执行下边的程序框图,输出的n=()A.3B.4C.5D.68.右图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像, 则该函数是( )A.y=-x 3+3x x 2+1B.y=x 3-xx 2+1C.y=2xcosxx 2+1D.y=2sinxx 2+19.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为AB ,BC 的中点,则( ) A.平面B 1EF ⊥平面BDD 1 B.平面B 1EF ⊥平面A 1BD C.平面B 1EF ∥平面A 1AC D.平面B 1EF ∥平面A 1C 1D 10.已知等比数列{a n }的前3项和为168,a 2-a 5=42,则a 6=( ) A.14 B.12C.6D.311.函数f (x )=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为( ) A.-π2,π2 B.-3π2,π2C.-π2,π2+2D.-3π2,π2+212.已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O ,底面的四个顶点均在球O 的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( ) A.13B.12C.√33D.√22二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若2S 3=3S 2+6,则公差d= .14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 . 15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 . 16.若f (x )=ln |a +11−x |+b 是奇函数,则a= ,b= .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C sin(A-B )=sin B sin(C-A ). (1)若A=2B ,求C ; (2)证明:2a 2=b 2+c 2.18.(本小题满分12分)如图,四面体ABCD 中,AD ⊥CD ,AD=CD ,∠ADB=∠BDC ,E 为AC 的中点. (1)证明:平面BED ⊥平面ACD ;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F 在BD 上,当△AFC 的面积最小时,求三棱锥F-ABC 的体积.19.(本小题满分12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m 2)和材积量(单位:m 3),得到如下数据:样本号i12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得∑i=110x i 2=0.038,∑i=110y i 2=1.615 8,∑i=110x i y i =0.247 4.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附:相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2∑i=1n(y i -y)2,√1.896≈1.377.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax-1x -(a+1)ln x. (1)当a=0时,求f (x )的最大值;(2)若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点.(1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t,y =2sint(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m=0. (1)写出l 的直角坐标方程;(2)若l 与C 有公共点,求m 的取值范围. 23.(本小题满分10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a ,b ,c 都是正数,且a 32+b 32+c 32=1,证明:(1)abc ≤19; (2)ab+c +ba+c +ca+b ≤2√abc.参考答案1.A 本题主要考查集合的运算.∵集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6}, ∴M ∩N={2,4}.故选A .2.A 本题主要考查复数的运算. 由(1+2i)a+b=2i,得a+b+2a i =2i .∵a ,b ∈R,∴{a +b =0,2a =2,解得{a =1,b =−1.故选A .3.D 本题主要考查向量模的运算.由题设得a-b=(4,-3),则|a-b|=√42+(−3)2=5.故选D .4.C 本题主要考查统计中样本的数字特征及用频率估计概率.由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4,故A 正确; 甲同学有6周的课外体育运动时长大于8,由频率估计概率,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616<0.4,故C 错误;观察乙同学16周的各周课外体育运动时长数据,∵6.3+10.12>8,7.4+9.02>8,7.6+9.22>8,∴乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,故B正确;乙同学仅有3周的课外体育运动时长小于8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为16−316>0.6,故D正确.5.C本题主要考查线性规划求最值.画出不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示.要求z=2x-y的最大值,即求直线y=2x-z在y轴上的截距-z的最小值.数形结合可知,当直线y=2x-z过点A时直线在y轴上的截距最小,即z取得最大值.由{x+2y=4,y=0,得点A的坐标为(4,0).故z的最大值为2×4-0=8.6.B本题主要考查抛物线的性质.设点A(x A,y A),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x A+1,又|AF|=|BF|,所以x A+1=2,即x A=1,所以yA2=4.所以|AB|=√(x A-3)2+yA2=2√2.7.B本题主要考查流程图的计算.依题意,第1次,b=1+2×1=3,a=3-1=2,n=2,|b2a2-2|>0.01;第2次,b=3+2×2=7,a=7-2=5,n=3,|b2a2-2|>0.01;第3次,b=7+2×5=17,a=17-5=12,n=4,|b2a2-2|<0.01,结束循环,输出n=4.8.A本题主要考查函数的图像和性质.对于选项B,由y=x3-xx2+1=0,得x=0或x=±1,与图像不符合,故排除B;对于选项C,当x>0时,y=2xcosxx2+1=2cosxx+1x,而当x>0时,x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号),所以0<2x+1x≤1,又-1≤cos x≤1,所以,当x>0时,y≤1,与图像不符,故排除C;对于选项D,当x=3时,y=2sin332+1>0,与图像不符,故排除D.9.A本题主要考查平面与平面的位置关系.如图,对于A,∵E ,F 分别为AB ,BC 的中点,∴EF ∥AC.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC ⊥BD ,DD 1⊥AC ,又BD ∩DD 1=D ,∴AC ⊥平面BDD 1,∴EF ⊥平面BDD 1.又EF ⊂平面B 1EF ,∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1.故A 正确.对于B,连接AC 1,易证AC 1⊥平面A 1BD.假设平面B 1EF ⊥平面A 1BD ,又AC 1⊄平面B 1EF ,∴AC 1∥平面B 1EF.又AC ∥EF ,AC ⊄平面B 1EF ,EF ⊂平面B 1EF ,∴AC ∥平面B 1EF.又AC 1∩AC=A ,∴平面AA 1C 1C ∥平面B 1EF.又平面AA 1C 1C ∩平面AA 1B 1B=AA 1,平面B 1EF ∩平面AA 1B 1B=B 1E ,∴AA 1∥B 1E ,显然不成立,∴假设不成立,即平面B 1EF 与平面A 1BD 不垂直.故B 错误.对于C,由题意知,直线AA 1与B 1E 必相交,故平面B 1EF 与平面A 1AC 必相交.故C 错误. 对于D,连接AB 1,CB 1,易证平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ,又平面B 1EF 与平面AB 1C 相交,∴平面B 1EF 与平面A 1C 1D 不平行.故D 错误. 10.D 本题主要考查等比数列的性质及运算.设公比为q (q ≠0),则a 1+a 2+a 3=a 1(1+q+q 2)=168,a 2-a 5=a 1q-a 1q 4=a 1q (1-q )(1+q+q 2)=42,所以q (1-q )=14,解得q=12,从而可得a 1=96,所以a 6=a 1q 5=96×(12)5=3.故选D . 11.D 本题主要考查利用导数求最值.函数f (x )的导数f'(x )=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x ,x ∈[0,2π].令f'(x )=0,得x=π2或x=3π2.当x ∈0,π2时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x ∈π2,3π2时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减;当x ∈3π2,2π时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增.故当x=π2时,函数f (x )有极大值f π2=π2+2;当x=3π2时,函数f (x )有极小值f 3π2=-3π2. 又因为f (0)=2,f (2π)=2,所以函数f (x )在区间[0,2π]上的最小值为-3π2,最大值为π2+2,故选D . 12.C 本题主要考查球的内接四棱锥的性质与导数的应用.设四棱锥的高为h ,体积为V ,则底面所在圆的半径为√1−ℎ2.要使四棱锥的体积最大,底面四边形必为正方形,此时V=13×(√2×√1−ℎ2)2·h=23(h-h 3),所以V'=23(1-3h 2).由题意可知0<h<1,令V'>0,得0<h<√33;令V'<0,得√33<h<1.所以V 在区间(0,√33)内单调递增,在区间(√33,1)内单调递减,所以当h=√33时,V 取得最大值. 13.2 本题主要考查等差数列的求和公式. 设等差数列的公差为d.由题意得2(3a 1+3d )=3(2a 1+d )+6,即3d=6,解得d=2.14.310 本题考查了用古典概型公式计算概率.设除甲、乙外,其余三名同学为A ,B ,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A ),(甲,乙,B ),(甲,乙,C ),(甲,A ,B ),(甲,B ,C ),(甲,A ,C ),(乙,A ,B ),(乙,B ,C ),(乙,A ,C ),(A ,B ,C ),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A ),(甲,乙,B ),(甲,乙,C ),有3个.由古典概型公式计算,得甲、乙都入选的概率为310.15.(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-432+y-732=659或x-852+(y-1)2=16925本题主要考查圆的方程的求解.(方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1), 则设圆心为(a 1,b 1),半径为r 1,∴{a 12+b 12=r 12,(a 1-4)2+b 12=r 12,(a 1+1)2+(b 1-1)2=r 12,解得{a 1=2,b 1=3,r 12=13.∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 若圆过点(0,0),(-1,1),(4,2),则圆的方程为(x -43)2+(y -73)2=659. 若圆过点(4,0),(-1,1),(4,2),则圆的方程为(x -85)2+(y-1)2=16925. (方法二)设点A (0,0),B (4,0),C (-1,1),D (4,2),圆过其中三点共有四种情况.若圆过A ,B ,C 三点,则线段AB 的垂直平分线方程为x=2,线段AC 的垂直平分线方程为y-12=x+12,即y=x+1,联立两方程得,圆心坐标为(2,3),从而半径r=√(2-0)2+(3−0)2=√13. 故圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,若圆过点A ,B ,D ,则圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 若圆过点A ,C ,D ,则圆的方程为(x -43)2+(y -73)2=659. 若圆过点B ,C ,D ,则圆的方程为(x -85)2+(y-1)2=16925. 16.-12ln 2 本题主要考查函数的定义域及性质.由题设得函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域中x≠1,∴将x=-1代入必有a+11−(−1)=0,即a=-12.∵x=0在定义域内,∴f(0)=ln 12+b=0,∴b=ln 2.17.命题意图本题考查解三角形,正弦定理、余弦定理的应用.(1)解∵sin C sin(A-B)=sin B sin(C-A),A=2B,∴sin C sin B=sin B sin(C-A).又sin B>0,∴sin C=sin(C-A).∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C=π+A2,又A+B+C=π,∴π+4A2=π,解得A=π4.∴C=5π8.(2)证法一∵sin C sin(A-B)=sin B sin(C-A),∴sin C(sin A cos B-cos A sin B)=sin B(sin C·cos A-cos C sin A),即sin C sin A cos B-sin C cos A sin B=sin B sin C·cos A-sin B cos C sin A, 即sin A(sin C cos B+cos C sin B)=2sin B sin C·cos A,即sin A sin(B+C)=2sin B sin C cos A,即sin2A=2sin B sin C cos A.由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc·b2+c2-a22bc,即a2=b2+c2-a2,故2a2=b2+c2.证法二∵sin C sin(A-B)=sin B sin(C-A),∴sin C sin A cos B-sin C sin B cos A=sin B·sin C cos A-sin B sin A cos C,由正弦定理及余弦定理,得ca·a2+c2-b22ac -cb·b2+c2-a22bc=bc·b2+c2-a22bc-ba·a2+b2-c22ab,化简整理,得2a2=b2+c2.18.命题意图本题考查线面、面面垂直的判定及棱锥体积的运算.(1)证明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解∵AB=BC=2,∠ACB=60°,∴△ABC 为等边三角形. ∴AC=2,BE=√3.∵AD ⊥CD ,AD=CD ,∴△ACD 为等腰直角三角形, ∴DE=1.又BD=2,∴BE 2+DE 2=BD 2,即DE ⊥BE.连接EF ,∵点F 在棱BD 上,∴EF ⊂平面BED.由(1)知,AC ⊥平面BED ,从而AC ⊥EF ,于是S △AFC =12AC ·EF=EF. 故当EF ⊥BD 时,EF 最小,△AFC 的面积最小,此时EF=DE·BE BD =√32. 由(1)知,AC ⊥平面BED ,所以AC ⊥BD. 又EF ∩AC=E ,∴BD ⊥平面AFC.在Rt △BEF 中,BF=√BE 2-EF 2=√3−34=32. ∴三棱锥F-ABC 的体积V=13S △ACF ·BF=13×12×2×√32×32=√34. 19.命题意图 本题主要考查样本的平均数、相关系数及用样本估计总体.解 (1)依题意,x =0.610=0.06,y =3.910=0.39, 故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.610=0.06,平均一棵的材积量为3.910=0.39. (2)依题意,所求样本相关系数r=∑i=110x i y i -10xy√(∑i=110x i 2-10x 2)(∑i=110y i 2-10y 2)=0.2474−10×0.06×0.39(0.038-10×0.06)(1.6158-10×0.39)≈0.97.(3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为0.390.06×186=1 209(m 3). 20.命题意图 本题考查利用导数研究函数的最值及零点等问题. 解 (1)当a=0时,f (x )=-1x-ln x ,x ∈(0,+∞). f'(x )=1x 2-1x =1−x x 2,令f'(x )=0,得x=1. 当x ∈(0,1)时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减. 因此,当x=1时,f (x )有最大值f (1)=-1.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=a+1x 2-a+1x=ax 2-(a+1)x+1x 2=(ax -1)(x -1)x2. 由(1)知,当a=0时,f (x )max =-1<0,故f (x )无零点. 当a<0时,ax-1<0.f'(x ),f (x )的变化情况如下表所示.x(0,1) 1 (1,+∞) f'(x) +0 -f(x) 单调递增a-1单调递减∴∀x>0,f(x)≤f(1)=a-1<0,故f(x)无零点.当a>0时,f'(x)=ax 2x-1a(x-1).①当0<a<1时,1a>1.f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.x(0,1) 1 1,1a 1a1a,+∞f'(x) +0 -0 +f(x) 单调递增a-1单调递减1-a+(a+1)ln a单调递增∴∀x∈0,1a,f(x)≤f(1)=a-1<0.又当x→+∞,f(x)→+∞,∴f(x)恰有一个零点.②当a=1时,∵f'(x)=(x-1)2x2≥0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(1)=a-1=0,知f(x)恰有一个零点.③当a>1时,0<1a<1.f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.x0,1a 1a1a,11 1,+∞f'(x) +0 -0 +f(x) 单调递增1-a+(a+1)ln a单调递减a-1单调递增∴∀x∈1a,+∞,f(x)≥f(1)=a-1>0.又当x→0时,f(x)→-∞,∴f(x)恰有一个零点.综上,若f(x)恰有一个零点,则a的取值范围为(0,+∞).21.命题意图本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系.(1)解 设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0),则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x23+y 24=1.(2)证明 由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2. 当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =−2√63, 则点M (1,−2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6, 则点T (3−√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5−2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635−2√6-1(x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k(x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0, 则Δ>0,x 1+x 2=6k(k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k(k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2), 则点T (32(y 1+2),y 1). 又MT⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1). 所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*)因为x 1+x 2=6k(k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k(k+4)4+3k 2, 所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k 4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2, 所以(*)式左边=12-12k(k+2)4+3k 2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k 2--24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立. 所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).22.命题意图 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线与曲线的位置关系. 解 (1)∵ρsin (θ+π3)+m=0, ∴12ρsin θ+√32ρcos θ+m=0, ∴l 的直角坐标方程为12y+√32x+m=0, 即√3x+y+2m=0.(2)∵x=√3cos 2t=√3(1-2sin 2t ),y=2sin t ,∴x=√3[1−2(y 2)2]=√3-√32y 2,-2≤y ≤2. 由{x =√3-√32y 2,√3x +y +2m =0,消去x ,得3y 2-2y-6=4m ,∵-2≤y ≤2,∴-193≤3y 2-2y-6≤10, ∴-193≤4m ≤10,即-1912≤m ≤52. ∴m 的取值范围为(-1912,52). 23.命题意图 本题主要考查三个正数的算术-几何平均不等式与基本不等式. 证明 (1)∵a>0,b>0,c>0,∴a 32+b 32+c 32≥3a 12b 12c 12,即3√abc ≤1,∴abc ≤19,当且仅当a=b=c 时,等号成立. (2)∵a>0,b>0,c>0,∴b+c ≥2√bc ,a+c ≥2√ac ,a+b ≥2√ab ,∴a b+c +b a+c +c a+b ≤a 2√bc +b 2√ac +c 2√ab =a 322√abc +b 322√abc +c 322√abc =12√abc, 当且仅当a=b=c 时,等号成立.∴a b+c +b a+c +c a+b ≤2√abc.。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷及答案 (3)
普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．准线方程为3=x 的抛物线的标准方程为（）A ．xy 62-=B ．x y 122-=C ．xy 62=D ．xy 122=2．函数x y 2sin =是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数3.有下列命题①AC BC AB ++＝0；②(c b a ++)＝c b c a ⋅+⋅；③若a ＝(m ,4),则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若AB 的起点为)1,2(A ,终点为)4,2(-B ,则BA 与x 轴正向所夹角的余弦值是54,其中正确命题的序号是()A.①②B.②③C.②④D.③④4、等差数列{}n a 中，已知112a =-，13S=，使得0n a >的最小正整数n 为()A ．7B ．8C ．9D ．105、为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A不患疾病A 合计男20525女101525合计302050请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：（）0.050.0100.0050.001k3.841 6.6357.87910.828A.95%B.99%C.99.5%D.99.9%6.集合A={x|x=2k,k ∈Z},B={x|x=2k+1,k ∈Z},C={x|x=4k+1,k ∈Z},又a ∈A,b ∈B,则有（）A.a+b ∈AB.a+b ∈BC.a+b ∈CD.a+b 不属于A ，B ，C 中的任意一个7.已知f(x)=sin(x+2π,g(x)=cos(x －2π),则f(x)的图象（）A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y 轴对称C.向左平移2π个单位，得到g(x)的图象D.向右平移2π个单位，得到g(x)的图象8.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A.y=3xB.y=－3xC.y=33xD.y=－33x9.函数y=1－11-x ,则下列说法正确的是（）A.y 在(－1,+∞)内单调递增B.y 在(－1,+∞)内单调递减C.y 在(1,+∞)内单调递增D.y 在(1,+∞)内单调递减10.已知直线m,n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是（）A.m ∥α,n ∥αB.m ⊥α,n ⊥αC.m ∥α且n ⊂αD.m,n 与α成等角11.设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是()则当a 在（0,1）内增大时，A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大12.设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则()A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.2.记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.3．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B ===，则ABC △的面积为__________.4．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.三、大题：(满分70分)1、甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．2、已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，求g(x)3.已知点M 是离心率是22226:1(0)3x y C a b a b +=>>上一点：过点M 作直线MA 、MB 交椭圆C 于A ：B 两点：且斜率分别为12,.k k （1）若点A ：B 关于原点对称：求12k k ⋅的值：（2）若点M 的坐标为（0：1）：且123k k +=：求证：直线AB 过定点：并求直线AB 的斜的取值范围。
(完整版)2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己の姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目の答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出の四个选项中，只有一项是符合题目要求の。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年の新农村建设，农村の经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村の经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村の经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确の是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入の总和超过了经济收入の一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=の一个焦点为(20)，，则C の离心率为A ．13B ．12C ．22D ．2235．已知圆柱の上、下底面の中心分别为1O ，2O ，过直线12O O の平面截该圆柱所得の截面是面积为8の正方形，则该圆柱の表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处の切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上の中线，E 为AD の中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x の最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x の最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x の最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x の最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱の高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上の点M 在正视图上の对应点为A ，圆柱表面上の点N 在左视图上の对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N の路径中，最短路径の长度为 A ．217 B ．25 C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成の角为30︒，则该长方体の体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角αの顶点为坐标原点，始边与x 轴の非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且 2cos 23α=，则a b -=A ．15BCD ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<のx の取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+の最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．16．△ABC の内角A B C ，，の对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC の面积为________．三、解答题：共70分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ数学文科试题及答案(河北、河南、山西、广西)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ：河北、河南、山西、广西）文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题 1．函数y =）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．14．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．在A B C △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ ） A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +6．2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数7．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64B ．81C ．128D ．2438．若函数()y f x =的图象与函数1y =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．22e x -B ．2e xC ．21e x +D ．2+2e x9．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位10．若直线1x y ab+=与圆221x y +=有公共点，则（ ）A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111ab+≤ D ．2211ab+≥111．已知三棱柱111A B C A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．3C ．3D ．2312．将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在A B C △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．已知菱形A B C D 中，2A B =，120A ∠=，沿对角线B D 将ABD △折起，使二面角A B D C --为120 ，则点A 到BC D △所在平面的距离等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若A B C △的面积10S =，求A B C △的周长l ．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A B C D E -中，底面B C D E 为矩形，侧面A B C ⊥底面B C D E ，2B C =，CD =A B A C =．（Ⅰ）证明：AD C E ⊥；（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C A D E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+．（Ⅰ）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．DE AB（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ：河北、河南、山西、广西）文科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B二、13．9 14．1215．12162三、17．解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：3cos cos cos cot 4sin sin sin a BaBbBB b A A b B b ====又通过cos 3a B =知：cos 0B >， 则3cos 5B =，4sin 5B =，则5a =． （2）由1sin 2S ac B =，得到5c =．由222cos 2a c bB ac+-=，解得：b =最后10l =+．18．解：（1）取B C 中点F ，连接D F 交C E 于点O ， A B A C =， ∴AF BC ⊥，又面A B C ⊥面B C D E ， ∴A F ⊥面B C D E ，∴AF C E ⊥．tan tan 2C ED FD C ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即C E D F ⊥，C E ∴⊥面AD F ， CE A D ∴⊥．（2）在面A C D 内过C 点做A D 的垂线，垂足为G ． C G A D ⊥，C E AD ⊥，A D ∴⊥面C EG ，E G A D ∴⊥，则C G E ∠即为所求二面角．3AC C D C G AD==，3D G =，3EG ==，C E =则222cos 210C G G E C EC G E C G G E+-∠==-πarccos 10C G E ⎛∴∠=-⎪⎝⎭． 19．解：（1）122nn n a a +=+，11122n n nn a a +-=+，11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=．（2）01211222(1)22n n n S n n --=+++-+ 12121222(1)22n nn S n n -=+++-+两式相减，得1121222221nn n nn S n n -=---=-+ ．20．解：依方案甲所需化验次数ξ为：1、2、3、4； P(ξ＝1)＝15；P(ξ＝2)＝142515A A =；P(ξ＝3)＝243515A A=；P(ξ＝4)＝32155-=(第4次是，结束，不是时，就是最后的哪一个，也结束)；依方案乙所需化验次数η为：2、3. P(η＝2)＝32114411331553315C C C A C C A ⨯⨯+⨯=；(3只血液混在一起化验结果呈阴性,另两只再化验一次就可以了，或者3只血液混在一起化验结果呈阳性, 再逐个化验时的第一次查出)P(η＝3)＝21141131532(1)5C C A CA ⨯⨯-= （3只血液混在一起化验结果呈阳性, 再逐个化验时的第一次没有查出，第二次是，结束，不是时，就是最后的哪一个，也结束)依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率：P(ξ≥η)＝P(ξ＝2) ×P(η＝2) +[P(ξ＝3)+ P(ξ＝4)][ P(η＝2)+ P(η＝3)] =33255+.1825=＝0.72（由于标准答案不好看懂，我特用用此法与提供的标准答案的方法不一致，但结论是一致的！――――王新敞）21．解：（1）32()1f x x ax x =+++ 求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=即()f x在3⎛-∞ ⎝⎭递增，33⎝⎭递减，3⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩，且23a >解得：74a ≥22．解：（1）设O A m d =-，AB m =，O B m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b A O F a∠=，4tan tan 23A B A O B A O F O A∠=∠==由倍角公式∴22431b ab a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a=则离心率2e =．（2）过F 直线方程为()a y x c b =--与双曲线方程22221x y ab-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b =最后求得双曲线方程为：221369xy-=．点评：本次高考题目难度适中，第12道选择题是2007年北京市海淀区第二次模拟考试题，新东方在2008年寒假强化班教材的220页33题选用此题进行过详细讲解，在2008年春季冲刺班教材30页33题也选用此题，新东方的老师曾在多种场合下对此题做过多次讲解．第19道计算题也是一个非常典型的题型，在2007年12月31日，新东方在石家庄的讲座上曾经讲过这类问题的解法，在2008年的讲课中也多次提过此题型是重点．其他的题型也都很固定，没有出现偏题怪题，应该说，本次高考题的难度，区分度都非常恰当．。
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一年高考
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I
（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}
（2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=
（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
（A ）13（B ）12（C ）13（D ）5
6
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.
已知a =
2c =，2cos 3
A =，则b=
（A
（B
C ）2（
D ）3
（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，
则该椭圆的离心率为
（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34
（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为
（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)
（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的
半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
（8）若a>b>0，0<c<1，则
（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b
（9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为
（A ）（B ）
（C ）（D ）
（10）执行右上面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足
（A ）2y x =
（B ）3y x =
（C ）4y x =
（D ）5y x =
（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为
（A ）32（B ）22（C ）33（D ）13
（12）若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是
（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
第II 卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =.
（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4
)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
学.科网该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求{}n b 的前n 项和.
18.（本题满分12分）
如图，在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影
为点E，连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若n=19，求y与x的函数解析式；
（II）若要求学科&网“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .
（I ）求OH ON
； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点，求a的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.
(I)证明：直线AB与O相切；
(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；
（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。