专升本《高等数学》考试中导数与微分部分内容解析
专转本微分知识点总结
专转本微分知识点总结微分学具有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等领域。
微分学可以帮助研究者分析和解决各种实际问题，例如研究函数的最大值和最小值、曲线的形状、速度和加速度等。
本文将从导数、微分、微分方程等方面总结微分学的知识点，帮助读者更加深入地了解微分学的概念和应用。
一、导数导数是微分学中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
设函数y=f(x)，如果这个函数在点x0处的导数存在，则称这个导数是函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
导数的几何意义是切线的斜率，即函数在某一点的局部变化率。
在代数上，导数可以通过极限的概念来定义。
如果函数f(x)在点x0处的导数存在，则它的导数可以表示为：f'(x0) = lim(h→0) (f(x0+h)-f(x0))/h导数的计算方法包括基本导数法则、和差积商法则、复合函数的导数等。
导数的应用包括判别函数的增减性、求曲线的凹凸性、求函数的极值点等。
例如，判别函数f(x)=x^2在点x0=1处的增减性，可以通过求导数f’(x)=2x然后分析函数的正负性来判别。
导数还可以用来研究曲线的切线和法线，通过切线和法线求斜率和法线方程，可以更加深入地研究函数曲线的性质。
二、微分微分是导数的一种应用，它是函数在某一点的局部线性近似。
设函数y=f(x)，如果这个函数在点x0处的导数存在，则在点x0处的微分可以表示为：dy = f'(x0)dx微分的几何意义是切线的增量，即函数在某一点的局部线性近似。
在代数上，微分可以通过导数来计算，例如如果函数f(x)的导数是f’(x)，则它的微分可以表示为：dy = f’(x0)(x-x0)微分的应用包括利用微分近似计算函数的增量，例如通过微分近似计算曲线上某一点的函数值，可以帮助研究者更加灵活地分析函数的性质。
另外，微分还可以用来求函数的极值点，通过求导后令导数等于零的方法求出函数的极值点，进而帮助研究者研究函数的最大值和最小值。
第二章导数与微分(专升本微积分)
(e x ) e x , de x e xdx
(4)
(loga
x)
1, x lna
1
d (loga
x)
dx x lna
(ln x) 1 , x
d(ln x) 1 dx x
(5) (sin x) cos x, d(sin x) cos xdx
(6) (cos x) sin x, d(cos x) sin xdx
y
x0
x
(1) f ( x) x 在x 0不可导，f ( x)
y
x x0 在x x0不可导；
x0 x
1, x 0
(2)
f
(
x)
1, 0,
x x
0 ,
0
f
(x)
0, 1,
x x
0 0
在x 0处不可导.
2.函数在点 x0 处可导的充要条件是其左、右
导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值
符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导
数法。即
f ( x0 )存在 f( x0 ) f( x0 ),其中
f (
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f (x0 ) x x0
f (
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
t x0
x00 f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
特征：导数是两个改变量比的极限，分子是
两点 x0与x0 x 函数值的改变量，其中有一项是 f ( x0 ) ；分母是两点 x0与x0 x 自变量的改变量，
专升本高数导数知识点归纳
专升本高数导数知识点归纳导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在专升本的高等数学课程中，导数的知识点是考试的重点之一。
以下是对专升本高数导数知识点的归纳：一、导数的定义导数是函数在某一点处的切线斜率，数学上通常用极限的概念来定义。
对于函数 \( f(x) \)，其在点 \( x = a \) 处的导数定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]如果这个极限存在，则称 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导。
二、基本初等函数的导数- 常数函数的导数为0。
- 幂函数 \( f(x) = x^n \) 的导数为 \( nx^{n-1} \)。
- 指数函数 \( f(x) = e^x \) 的导数为 \( e^x \)。
- 对数函数 \( f(x) = \ln x \) 的导数为 \( \frac{1}{x} \)。
- 三角函数的导数：正弦函数 \( f(x) = \sin x \) 的导数为\( \cos x \)，余弦函数 \( f(x) = \cos x \) 的导数为 \( -\sinx \)。
三、导数的运算法则- 和差法则：\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)。
- 乘积法则：\( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)。
- 商法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \)。
- 链式法则：\( (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \)。
四、高阶导数- 高阶导数是指一阶导数的导数，即 \( f''(x) \)，\( f'''(x) \) 等。
河南专升本高数知识点归纳
河南专升本高数知识点归纳河南专升本高数作为高等教育入学考试的重要组成部分，其知识点覆盖面广，难度适中，对于考生来说，掌握好高数的知识点至关重要。
以下是对河南专升本高数知识点的归纳总结：一、函数与极限1. 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 极限：数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量的概念。
3. 极限的运算法则：加减乘除、有理化、夹逼定理等。
二、导数与微分1. 导数的定义：导数的几何意义和物理意义。
2. 基本初等函数的求导公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 高阶导数：求导的运算法则、莱布尼茨公式。
4. 微分：微分的概念、微分的运算法则。
三、积分学1. 不定积分：换元积分法、分部积分法、有理函数积分。
2. 定积分：定积分的概念、定积分的性质、定积分的计算。
3. 定积分的应用：面积、体积、平均值等。
四、多元函数微分学1. 偏导数：偏导数的定义、计算方法。
2. 全微分：全微分的概念、计算方法。
3. 多元函数的极值问题。
五、常微分方程1. 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。
2. 高阶微分方程：特征方程、欧拉方程。
3. 微分方程的应用：物理、工程等领域。
六、级数1. 级数的概念：收敛级数、发散级数。
2. 正项级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法。
3. 幂级数：幂级数的收敛半径、泰勒级数。
七、空间解析几何1. 空间直角坐标系：空间点的坐标表示。
2. 空间直线与平面：直线的方程、平面的方程。
3. 空间曲面：曲面的方程、曲面的性质。
八、线性代数1. 矩阵：矩阵的运算、矩阵的秩、矩阵的逆。
2. 线性方程组：高斯消元法、克拉默法则。
3. 向量空间：向量空间的概念、基、维数。
结束语河南专升本高数的知识点繁多，但只要考生能够系统地复习，掌握好每个知识点的精髓，就能够在考试中取得优异的成绩。
希望以上的知识点归纳能够帮助考生更好地准备考试，顺利通过河南专升本的高数考试。
专升本内容导数与微分
二阶导数旳导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dn dx
y
n
或
d
n f( dx n
x
)
.
5、微分旳定义
若函数y f (x)的增量 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) ( A与x无关),则称A x为函数y f (x)在点x0处 的微分,记作 dy xx0 A x. 微分dy叫做函数增量 y的线性主部 .(微分旳实质)
d
(u) v
vdu udv v2
无论x是自变量还是中间变量 ,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
注：若x为中间变量，则dx x
导数的几何意义 :
(1) f (x0 ) 0 表示有不平行于x轴的切线
(2) f(x)在x0连续,f (x0 ) (此时f (x)在x0不可导) 切线 : x x0 ,法线 : y y0
(a 0且a 1)
(sin x)(n) sin(x n ) , (cos x)(n) cos( x n )
2
2
常见类型
导数旳概念；连续与可导旳关系、可导与 可微旳关系。变限积分旳导数。复合函数旳导 数(微分)；隐函数旳导数(微分)；参数方程旳 导数。分段函数旳可导性(待定常数)。简朴函 数旳n阶导数。求曲线旳切线与法线。
试卷题型分布
导数：约30分(选择、填空、计算)
3). f (x)、g (x)皆不可导时,不能推出 f (x) g(x)、f (x) g(x)不可导
专升本《高等数学》易错题解析-第二章：导数与微分
第二章 导数与微分导数与微分这一章的基本思想是用极限理论来研究函数。
这一章内容是高等数学微积分部分的基础，因此必须牢固地掌握其基本理论、基本方法和常用解题技巧。
在研究生入学考试中，本章是所有《高等数学》课程的必考内容之一，一些综合考试题往往也要涉及到此章内容。
通过这一章的学习，我们认为同学们应达到如下要求：1、熟练掌握导数的定义，特别是左导数、右导数概念。
知道导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（如速度、加速度等）以及经济意义（如边际成本、边际收入等）。
2、熟练掌握求导数的方法。
3、掌握高阶导数的定义，计算方法。
4、了解微分定义，可导与可微的关系，一阶微分不变性。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧可微一定可导可导一定可微导数与微分的关系几何意义定义微分计算方法基本公式导数定义）数定义、右导数定义、定义（一般定义、左导导数Dini 注：Dini 导数在控制理论与应用中有广泛的应用。
虽然高等数学教材上没有介绍，但计算机专业、电子专业的后继课程中有所涉及，因此我们认为还是有必要让学生知道。
定义：函数)(x f 在定义域D 内连续，)(x f 的四种Dini 导数定义为（1）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=+→+， （2）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=-→-， （3）hx f h x f x f D h )()(inf lim )(0-+=+→+， （4）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=-→-。
二、典型错误分析例1．设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求)(a f '。
[错解] 因为)()()(x g a x x f -=，则)()()()(x g a x x g x f '-+='。
专升本高等数学一教材内容
专升本高等数学一教材内容高等数学一是专升本考试中的重要科目之一，内容涵盖了微积分、数列、极限、导数、定积分、反常积分等多个重要知识点。
下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、微积分微积分是数学的重要分支，是研究函数变化规律的数学工具。
微积分主要包括导数和积分两个部分。
1. 导数导数是描述函数变化率的概念，常用符号为f'(x)或dy/dx。
导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率，并可以用于解决函数的最值、切线和曲线的问题等。
2. 积分积分是导数的逆运算，常用符号为∫f(x)dx。
积分可以表示函数的累积变化，求出曲线下的面积、求解曲线的弧长以及求解平均值等问题。
二、数列与极限数列是按照一定规律排列的一串数，而极限是数列中数值趋于无穷时的值。
数列与极限的概念在高等数学中有着重要的应用。
1. 数列数列是离散的数值排列，常用符号表示为{an}，其中an代表数列的第n个元素。
数列中的元素可以按照不同的规律进行排列，如等差数列、等比数列等。
2. 极限极限是数列中数值趋于无穷时的值，常用符号表示为lim(n→∞)an 或lim(an)。
极限的计算可以通过数列的递推公式、夹逼定理等方法进行。
三、导数与应用导数在实际问题中有着广泛的应用，例如描述物体运动的速度、解决最优化问题等。
1. 函数的导数函数的导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率，也可以用来求函数的最值和图像的切线等。
导数的计算可以通过求导法则、链式法则等方法进行。
2. 切线和法线导数可以用来求解函数图像上的切线和法线。
切线是在函数图像上与曲线相切的直线，而法线是与切线垂直的直线。
四、定积分与应用定积分也是微积分的重要内容之一，可以用于求解曲线下的面积、求解曲线的弧长等问题。
1. 定积分的概念定积分可以理解为曲线与x轴之间的面积，通常用∫f(x)dx表示。
定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式、定积分的基本性质等方法进行。
2. 曲线下的面积定积分可以用来求解曲线下的面积问题，例如梯形法则、黎曼和等方法可以帮助我们计算曲线下的面积。
专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总高等数学是专升本考试中的一门重要科目，主要包括微积分、数学分析、矩阵论、常微分方程等内容。
在备考过程中，我们需要掌握一定的数学知识点，下面将对此进行详细介绍。
一、微积分微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的导数和积分。
下面是微积分中一些重要的知识点：1. 函数极限与连续函数极限是微积分中最基本的概念之一，用极限定义可以准确描述函数在某一点的“趋于”情况。
函数在一个点连续，就是指这个点左右极限相等，并且函数值等于极限。
这两个概念在微积分中的应用非常广泛。
2. 导数导数是描述函数变化率的概念，也是微积分中的一个重要概念。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)可以用极限定义表示：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h ,其中h为一个趋于0的数。
导数的应用非常广泛，例如可以用它来求出函数的最值、判断函数的单调性等。
3. 积分积分是描述函数面积的概念，也是微积分中的重要概念之一。
在计算积分时，需要用到不定积分和定积分两个概念。
不定积分就是求函数的原函数，定积分则是求函数在一定区间内的面积。
积分也有很多应用，例如可以用它来求出曲线长度、质心坐标、转动惯量等。
4. 洛必达法则洛必达法则是微积分中一个非常重要的技巧，用来求导数时非常方便。
它的公式是：lim(f'(x)/g'(x))=lim(f(x)/g(x)) ,其中f(x)和g(x)都是函数。
5. 泰勒公式泰勒公式是微积分中常用的一种近似表达式，它能够将任意函数用多项式逼近。
泰勒公式的一般形式是：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!(x-a)^2+...+f^n(a)/n!(x-a)^n+Rn(x)，其中Rn(x)是余项。
二、数学分析数学分析是微积分的进一步推广，主要研究的是一些高阶函数和高维空间中的函数。
下面是数学分析中一些重要的知识点：1. 多元函数在数学分析中，我们主要研究的是多元函数，也就是函数有多个变量的情况。
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解析： 本题主要考察利用导数定义， 由已知的 导数值求极限值。利用导数定义求导数的解题步 骤如下： ①求增量 Δ y = f（ x0 + Δ x） － f（ x0 ） ； f （ x0 + Δ x ） － f （ x0 ） Δy = ； ②算比值 Δx Δx f （ x0 + Δ x ） － f （ x0 ） Δy = lim ， ③取极限 lim Δx→0 Δ x Δx→0 Δx 这里函数 的 改 变 量 （ 增 量 ） 为 Δ y = f（ x0 + 2 h ） － f （ x0 ） ， 自变量的改变量应为 Δ x = 2 h ， 应用 导数的定义， 则有 lim
复合函数的求导方法， 会求反函数的导数。 数方程所确定的函数的求导方法， 会求分段函数 的导数。 1． 5 1． 6 2 2． 1 理解高阶导数的概念， 会求简单函数的高阶 理解函数的微分概念， 掌握微分法则， 了解 研讨历年试题， 筛查考试热点 用导数的定义求函数在一点处的导数或求 导数。 可微与可导的关系， 会求函数的一阶微分。
算及复合函数求函数的一阶导数 、 二阶导数， 求函 数的一阶微分。 2． 3 3 求曲线上一点处的切线的斜率， 求曲线上一 典型试题解析 f （ x0 + 2 h ） － f （ x0 ） 1． 设 f' （ x0 ） = 1 ，则 lim h→0 h = （ A． 2 ） B． 1 C． 1 2 D． 0 点处的切线与法线方程。
= cosln（ x3 ） ·
x 上求一点 M0 ， 3． 在曲线 y = 槡 使过点 M0 的 切线垂直于直线 2 x + y + 1 = 0 ， 并求过点 M0 的 切线方程与法线方程。 解析： 设 M0 （ x0，y0 ） ，且 y' = 过点 M0 的切线斜率为 y' = 1 ， 则曲线上 x 2槡 1 2槡 x0
《高等数学》 真题后， 对近几年黑龙江省专升本 考试中导数与微分部分内容进行了全面的解读 ， 对热点中的典型问题进行 解析， 并预测今后考试趋势 ， 为专升本考生提供参考 。 关键词： 专升本； 考试热点； 导数与微分 中图分类号： O29 文献标识码： A 文章编码： 1672 － 0601 （ 2016 ） 11 － 0030 － 02
第 15 卷
第 11 期
职
业
技
术
Vol． 15
No． 11
2016 年 11 月
Vocational Technology
2016 November，
专升本《 高等数学 》 考试中导数与 微分部分内容解析
张春红
（ 黑龙江职业学院， 黑龙江 哈尔滨 150001 ）
摘 要： 统招专升本考试由它的权威性 ， 每年都吸引着一批优秀的专科学生报考 。通过全面研读考试大纲及多年专升本
连续性的关系， 掌握用定义求函数在一点处导数
收稿日期： 2016 － 10 － 12
极限。
作者简介： 张春红（ 1963 － ） ， 女。高级工程师。研究方向： 数学应用及教育理论。
— 70 —
《高等数学》 专升本 考试中导数与微分部分内容解析
第 11 期
2． 2
用基本初等函数的导数公式、 导alysis of the Content of the Derivative and the Differential in the Advanced Mathematics in Top － up Program
ZHANG Chunhong
（ Heilongjiang Vocational College，Harbin 150001 ，China） Abstract： Due to the authority，the top － up program attracts a number of outstanding college students to apply every year． Through a comprehensive study of the examination syllabus and past years’exam papers，a comprehensive analysis of the content of the derivative and the differential in the advanced mathematics in Heilongjiang province is made，and typical problems of exam hotspots are analyzed． And future exam trends are predicted to provide reference for students of the top － up program． Keywords： top － up program； exam hotspot； derivate and differential
= cosu·
1 1 ·3 x2 = cosln（ x3 ） · 3 ·3 x2 = v x
3 cosln（ x3 ） 。 x 解法Ⅱ cosln（ x3 ） · dy = y' = cosln（ x3） · ［ ' = ln（ x3） ］ dx 1 ·（ x3 ） ' x3 1 3 2 = cosln（ x3 ） 3 ·3 x x x
0
引言 统招专升本是指在普通高等学校专科应届毕
的方法。 1． 2 1． 3 1． 4 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程 。 熟练掌握导数的基本公式， 四则运算法则及 掌握隐函数的求导法， 对数求导法以及由参
业生中选择优秀学生升入本科进行两年制的深造 学习， 修完所需学分， 毕业时授予普通高等教育本 科学历证书和学位证书， 派发本科就业报到证。 享 统招专升本属于国家计划内统一招录 （ 统招 ） ， 受与普通四年制本科同等待遇， 报考人数众多。 “高等数学专升本 ” 本人开设 选修课多年， 一 直跟踪、 研究数学专升本考试， 现根据往年的出题 特点、 特征， 对考试中导数与微分部分内容进行 解析。 1 1． 1 精细解读教学大纲， 明确该部分的基本要求 理解导数的概念及几何意义， 了解可导性与