28.2 解直角三角形(4)(含答案)
28.2 解直角三角形(4)
班级 姓名 座号 月 日
主要内容:运用解直角三角形的知识解决航行、斜坡等问题 一、课堂练习:
1.(课本95页)海中有一个小岛A ,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60方向上,航行12海里到达D 点,这时测得小岛A 在北偏东30方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?
2.(课本95页)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD (图中13i =:是指坡面的铅直高度DE 与
水平宽度CE 的比),根据图中数据求:
(1)坡角α和β(精确到0.01)； (2)斜坡AB 的长(精确到0.1m ).
二、课后作业:
1.(课本96页)如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m .测得斜坡的倾斜角是24,求斜坡上相邻两树间的坡面距离(精确到0.1m ).
2.(课本97页)为方便行人,打算修建一座高5m 的过街天桥,已知天桥的斜面坡度为11.5:,计算斜坡AB 的长度(精确到1m ).
A C α
β
6m 13i =:11.5i =:
A B
C D E F 1.5
3.(课本97页)如图,某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A ,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向90海里的B 处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出了危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进了15海里到达C 处,此时哨所第二次发出紧急信号.
(1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北α度,求sin α的值.
(2)当轮船收到第二次信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为多少(精确到
0.01)？
4.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45方向的B 点生成,
测得OB =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西
60方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．
(1)台风中心生成点B 的坐标为________________,台风中心转折点C 的坐标为____________________；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？
km
参考答案
一、课堂练习:
1.(课本95页)海中有一个小岛A ,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60方向上,航行12海里到达D 点,这时测得小岛A 在北偏东30方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险? 解:过点A 作AC BD ⊥于点C ,由题意,得30ABC ∠=,60ADC ∠=
在Rt ABC ∆中,tan AC ABC ∠=
∴3tan tan30
AC AC BC ABC ===∠ 在Rt ADC ∆中,tan AC ADC
CD
∠=
∴tan tan60AC AC CD AC ADC =
==∠
又∵
12BC CD BD -=
=
12AC =
解得10.48AC => ∴没有触礁危险
2.(课本95页)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD (图中13i =:是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比),根据图中数据求: (1)坡角α和β(精确到0.01)； (2)斜坡AB 的长(精确到0.1m ).
解:(1)∵1tan 0.6667α=≈ 1tan 0.3333β=≈
∴33.69α≈ 18.43β≈
(2)∵1AF = ∴ 1.5 1.569BF AF ==⨯=
在Rt
ABF ∆中
,10.8()AB m =≈
答:坡角α约为3 3.69,坡角β约为18.43,斜坡AB 的长约为10.8m
.
二、课后作业:
1.(课本96页)如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m .测得斜坡的倾斜角是24,求斜坡上相邻两树间的坡面距离(精确到0.1m ).
解:由题意得,在Rt ABC ∆中,24B ∠=, 5.5BC =
∵cos BC B AB
= ∴ 5.5 6.0cos cos24
BC AB B ==≈
答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.0m .
2.(课本97页)为方便行人,打算修建一座高5m 的过街天桥,已知天桥的斜面坡度为11.5:,计算斜坡AB 的长度(精确到1m ). 解:∵11.5
AC BC = ∴ 1.5 1.557.5BC AC ==⨯
=
在Rt ABC
∆中
9AB ===≈ 答:斜坡AB 的长度约为9m .
A
C D α
β
6m 13i =:11.5i =:
A
B
C D E F 1.5
3.(课本97页)如图,某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A ,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向90海里的B 处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出了危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进了15海里到达C 处,此时哨所第二次发出紧急信号.
(1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北α度,求sin α的值.
(2)当轮船收到第二次信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为多少(精确到
0.01)？ 解:(1)如图①,作BP 切A 于点P ,连接PA ,则BP AP ⊥
在Rt ABP ∆中,151sin 906
PA B AB === ∴1sin 6
α=
(2)如图②,作CM 切A 于点M ,连接AM ,则CM AM ⊥
在Rt ACM ∆中,15sin 0.29015
AM ACM CM ∠=
==- ∴11.54ACM ∠≈
∴轮船航向改变的角度至少应为11.54
4.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45方向的B 点生成,
测得OB =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西
60方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)台风中心生成点B
的坐标为,台风中心转折点C
的坐标为- ；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？
解:过点C 作CD OA ⊥于点D ,
则CD =30ACD ∠= 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC
∠=
∴200cos CD AC ACD ==∠
∵20020630
-=,6511+=
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．
km。
解直角三角形练习题及答案经典
28.2 解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）(A)．1(B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( )（A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52）5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）．（A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin =（C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot =6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）．（A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( )（A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． A B CDE ︒15020米30米（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）1 二、填空题 11、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22， 则BC ＝ w12、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠F AE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．4．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tan C＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．5．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．（1）求AD的长；（2）求tan∠DAC的值．7．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tan C＝．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．8．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．9．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．10．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）11．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）12．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．（1）求点C到直线AB的距离；（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）13．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.28714．如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE ＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）15．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）16．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B 测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）17．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）18．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）19．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．20．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）参考答案1．（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．2．解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，∵sin∠BCD＝，∴，∴CD＝5x，CE＝4x，∵CD＝5，∴x＝1，∴CE＝4，∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x，∴BC＝BE+CE＝7x＝7．（2）过点A作AF⊥BC于点F，∴DE∥AF，∵D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴AF＝2DE，BF＝2BE，由（1）可知：DE＝BE＝3，∴AF＝6，BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝1，∴tan∠ACB＝6．3．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠F AC，∴∠ACF＝∠F AC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．4．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C为锐角且tan C＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sin C＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．5．解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC＝，∴，∴BC＝5，∴CD＝＝3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB＝＝＝．6．解：（1）∵△ABP≌△PCD，∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，AP＝PD，∠APB＝∠CDP，∵∠PCD＝90°，∴∠CPD+∠CDP＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∴∠APD＝90°，∴PD＝＝＝2，∴AD＝＝＝4；（2）过点D作DH∠AC于点H．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10．∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCH，∵∠B＝∠CHD＝90°，∴△ABC∽△CHD，∴＝＝，∴＝＝，∴CH＝，DH＝，∴AH＝AC﹣CH＝10﹣＝，∴tan∠DAC＝＝＝．7．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．∵AB＝AD，∴BH＝HD＝BD＝2．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝4．∴HC＝HD+CD＝6．∵＝，∴．∵＝＝．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．∵，∴．∴．∴点C到直线AB的距离为．8．解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝AB cos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．9．解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tan∠B＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．10．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5a米，则PH＝12a米，由勾股定理得，AP＝＝13a（米），∴13a＝39，解得a＝3，∴AH＝15米．答：坡顶A到地面PQ的距离为15米．（2）延长BC交PQ于点D，由题意得，CD＝AH＝15米，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x米，则BD＝PD＝（x+15）米，由（1）可得PH＝12×3＝36（米），∴AC＝HD＝PD﹣PH＝x+15﹣36＝（x﹣21）米，在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，解得x≈28，经检验，x≈28是原方程的解且符合题意．∴古塔BC的高度约为28米．11．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．12．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，在Rt△ACD中，sin30°＝，解得CD＝300，∴点C到直线AB的距离为300米．（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，解得AD＝，在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，∴BD＝300米，BC＝米，∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，∵600+﹣（300+）≈205（米），∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．13．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．14．解：（1）过点E作EF⊥地面DC，垂足为F，∵斜坡DE的坡度为i＝1：，∴＝＝，在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴EF＝ED＝2（米），∴E点到地面DC的距离为2米；（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，则EF＝GC＝2米，EG＝CF，∵＝，∴DF＝EF＝2（米），∵DC＝6米，∴EG＝FC＝DF+DC＝（2+6）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG•tan45°＝（2+6）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴BC＝CD•tan60°＝6（米），∴AB＝AG+GC﹣BC＝2+6+2﹣6＝（8﹣4）米，∴旗子的宽度AB为（8﹣4）米．15．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．16．解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△P AD中，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠P AD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．17．解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴，在Rt△BDE中，∴，∴（米），答：隧道AB的长为米．18．解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，∠AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．19．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．20．解：（1）过点B作BF⊥AD于点F，如图：在Rt△ABF中，BF：AF＝1：＝3：4，AB＝3米，设BF＝3x米，则AF＝4x米∴（3x）2+（4x）2＝32，解得x＝0.6，∴BF＝3×0.6＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝AB•cos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．。
人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用
课堂小结
解 直 角 三 角 形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至 少有一个是边），就可以求出余下的三个未 知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业 请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（ ） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。
28.2_解直角三角形_达标训练(含答案)
28.2 解直角三角形 达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )A.aB.2aC.a 23D.a 25图28.2－21 图28.2－22 (第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( ) A.52米 B.102米 C.54米 D.6米3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23 图28.2－24 5.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米图28.2－29 图28.2－30 图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.4千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.经测量得AB=3已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )图28.2－21A.aB.2aC.a 23 D.a 25 思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( )图28.2－22 A.52米 B.102米 C.54米 D.6米思路解析：坡度的定义ACBC i，所以BC ∶AC ∶AB=1∶3∶10. 答案：B3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt △AFC 中，sinA=AC CF ；在Rt △AEC 中，sinC=ACAE .所以sinA ∶sinC=ACAE AC CF :=CF ∶AE=2∶3. 答案：B 4.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt △ADC 中，AC=10，∠DAC=60°. 答案：55.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt △OBC 中，OB=OC ，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°. 答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt △ABC 中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB 的长.解：如图，在Rt △ABC 中，AC=BD=3米，tan ∠BCA=ACAB ， 所以AB=AC×tan ∠BCA=3×tan60°=3×3≈5.2 (米).答：树的高度AB 约为5.2米.二、综合•应用达标 7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD ⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x 米.在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD CD ，BD=x 33. 因为AB=AD －BD ，所以20=x －x 33.解得x≈47.3(米). 答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60°方向，C 点在B 点北偏东45°方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD 的长. (结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.由题意，知AD ⊥CD.因为四边形BFDE 为矩形，所以BF=ED.在Rt △ABE 中，AE=AB×cos ∠EAB ，在Rt △BCF 中，BF=BC×cos ∠FBC ，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×21+40×22=10+220， 即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB ＞BE ，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB 的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH ⊥AB ，在Rt △AHC 中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB 时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH ⊥AB ，垂足为H.在Rt △CDF 中，I=1:2 DF CF ，所以DF=21 CF=21×2=1(米). 所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米). 在Rt △AHC 中，tan ∠ACH=AC AH ， 所以AH=HC×tan ∠ACH=15×tan30°=15×33≈8.7(米). 因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD －DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )图28.2－29A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米 思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )图28.2－30A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s 的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P 的海拔高度为( )图28.2－31A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米 思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P 点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt △POM 中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，因为tanM=OM OP ，所以OP=OM×tan30°=3 000×33≈1 732(米). 答案：A13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m ，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于F.由条件，得CF=0.8 m ，BF=0.9 m.在Rt △CAF 中，∵tanA=AF CF ，∴AF≈16.08.0=5(m). ∴AB=AF －BF=5－0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A 到台阶前点B 的距离约为4.1 m.14.如图28.2－33，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P 到AB 的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，据题意知: AB=9×62=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt △PAC 中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=PCPC BC AB PC AC PC +=+=3, 即PC PC +=333.∴32333>+=PC . ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.2－34，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.图28.2－34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1 500米,750米.∴BF=EC=750米，AF=3设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=x3米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,750+x=750+3米.得x=750.即3750)米.∴CD=(750+3750)米.答：山高CD为(750+316.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=34千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°. 已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD 的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE .所以EF=1560 (千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动. 所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560= (小时). (3)当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为5.62011012=-(级). 17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.图28.2－36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD 中，过点B 作AD 边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD 的长也可以在△BCD 中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D 需铺设水下电缆.解：(1)过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F(如图)， 在Rt △ABF 中，AB=34,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°=2334⨯=6(千米)， AF=AB×cos60°=322134=⨯(千米). 在Rt △BDF 中，DF=BF=6(千米)，所以 BD=262/2645sin ==︒AB (千米).因此，河宽AD=DF －AF=6－32(千米).(2)作BH ⊥CD 于点H.在Rt △BDH 中，BH=HD=6千米，在Rt △CBH 中，86102222=-=-=BH BC CH (千米). 因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6－32)×4+34×2=40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋34×2=22＋38≈35.9(万元).。
28.2解直角三角形(方向角及坡比问题)2014年3月18日
解： (1 ) 过点 A 作 AD 垂直于
BC ，垂足为
D
ABC
30
0
, AB 160 米
AD 80 米 100 米 ,
在 Rt ABD 中，解得
所以受噪声影响。
以点 A 为圆心， 100 米长为半径画圆弧分别
线段 EF 为受影响的路段 .
交 BC 于 E ， F 两点
1 8 .4
沿水库拦河坝的背水坡将坝顶加宽2 米，坡度由原来的1：2改为1：2.5, 已知坝高6米，坝长50米。 (1)求加宽部分横断面AFEB (2)完成这一工程需要多少方土？
F
2
A D
6Leabharlann EBNM
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化
sin B PC PB
65° P
A C
34°
PB
PC sin B
72.8 sin 34
72.8 0.559
B
130.23
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为 点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 O B 1 0 0 6 k m ． 台 风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海 面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示 的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C的 坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如 果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移 动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 北
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形-仰角、俯角问题教案
另外，小组讨论和实践活动环节，学生的参与度很高，他们积极讨论，热烈交流，这让我很欣慰。但我也观察到，有些小组在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在整理思路和语言表达上还存在不足。在以后的教学中，我需要加强对学生表达能力的训练，鼓励他们更加自信、条理清晰地表达自己的观点。
（1）通过实际情境引入仰角、俯角的概念；
（2）掌握正切函数的定义，并应用于仰角、俯角问题的求解；
（3）通过例题讲解和练习，让学生熟练运用解直角三角形的方法解决实际生活中的仰角、俯角问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模素养；
2.通过对正切函数的运用，增强学生的数学运算和数据分析能力；
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了解直角三角形中的仰角、俯角问题。我发现学生们在理解仰角、俯角概念上并没有太大困难，他们对于这些新知识充满了好奇。但在实际应用上，特别是在构建直角三角形模型和运用正切函数时，部分学生遇到了一些挑战。
首先，我注意到在案例分析环节，有些学生在确定直角三角形的边长和角度时显得犹豫不决。这说明他们对于如何将实际问题转化为数学模型还不够熟练。在未来的教学中，我需要提供更多的实际例子，让学生有更多的机会去练习和体会这一过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角与俯角的基本概念。仰角是我们从水平线向上看时，视线与水平线所形成的角；俯角则是我们从水平线向下看时，视线与水平线所形成的角。它们在测量、建筑等领域有着广泛的应用。
28.2解直角三角形(4)
2、如何将这个三角形转化为两个直角三角形？
3、在 Rt△BCP 中，能直接求出 PB 吗？还缺什么元素？你认为求出哪条边最方便计算？
4、在 Rt△APC 中，求 PC 是，若用正弦函数求解应选用哪个关系式？若用余弦函数呢？
5、请你选择一种方法写出解题过程
三、学生展示——面对困难别退缩，相信自己一定行！！ ！ 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在 北偏西 30°，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测 得灯塔 M 在北偏西 45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短 距离是多少?(精确到 0.1 海里， 3 1.732 )
沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！
学法指导 合作交流、讨论、
一、自主先学————相信自己，你最棒！ 1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是怎样的？
北 B
2、方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角叫做方位角，如图所示目标方向线 OA、OB、 OD 的方向角分别是北偏东 60 、________20 、南偏西 45 、 _______60 ，比如我们习惯上所说的 “东南方”是指 目标线为南偏东 45 等等。
0 0 0 0 0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
20 O 450
0
A
0
60
东 60
0
D C
二、展示时刻——集体的智慧是无穷的，携手解决下面的问题吧！
O
例 5 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上 的 B 处.这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（精确到 0.01） 1、点 A、B、P 三点构成△ABP，你能写出这个三角形中已知那些元素，要 求的又是那一个元素？
28.2.4解直角三角形(4)
3.如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它的 横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现 考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变设 计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面 EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工 程的用土量不变,问:路面宽将增加多少? 12 5 (选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ , 13 13 5 tan 22°37′ ≈ 12 , D C G H 3 4 5 tan 32° ≈ )
8
A
1 E
M
N
F
2
B
2 如图, △在ABC中, ∠ A为锐角,sina= ,AB+AC=6cm, 3 设AC=xcm, △ABC的面积为ycm2.
(1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
C
1 S= ab sina 2
A
B
5、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点 C的仰角为60o，沿山坡向上走到P处再测得点C 的仰角为45o，已知OA=100米，山坡坡度i=1:2, 且O,A,B在同一条直线上．求电视塔OC的高度 以及此人所在位置P点的铅直高度．（测倾器高 度忽略不计，结果保留根号形式）
达险坦 到勇的 光 于大在 辉 攀道科 的 登，学 顶 的只上 点 人有从 马 ，不没 克 才畏有 思 能艰平
（1）测量工具 （2）示意图如右图 （3）CD=a ,BD=b √ （4）AB = a + 3 3 b 实际应用能力提升 C D
M
30°
N
Ｅ Ｂ
测量对象：一铁塔的高度，测量工具皮尺一根教学 三角板一副高度为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器） 一架。 请选择测量工具，并设计方案，写出必需的测量数据 （用字母表示），并画出测量图形，并用测量数据（用字母表 示）写出计算铁塔高度的算式。 A 方案2
人教版九年级数学下册28.2： 解直角三角形及其应 用同步练习(附答案)
人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．27．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（≈1.73，结果精确到0.1米）15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）参考答案一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选：B．11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为4﹣4米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为54.6米．（≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥P A于点D，∵∠PBC＝75°，∠P AB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40+40，∵a∥b，∴∠EP A＝∠P AB＝30°，∴AE＝AP＝20+20≈54.6，故答案为：54.615．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）【解答】解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，则CD＝＝100≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，则AE＝≈＝200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈566（米）故答案是：566．三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m。
历年初三数学中考辅导之—解直角三角形四及答案
中考数学辅导之—解直角三角形Ⅳ从本期开始,我们将学习初三几何第六章解直角三角形.它是继直角三角形中的三边之间的关系,即勾股定理、直角三角形两锐角间的关系、直角三角形两锐角互余后,又一关于直角三角形的知识.本章是三角学的起始部分,对很好的解直角三角形有极大用处.一、本次知识要点及说明的问题1.锐角三角函数是关于直角三角形两直角边及斜边和直角三角形的一个锐角间的关系,设α是直角三角形的一个锐角则围绕三边有六个比值,即①斜边的对边α∠;②斜边的邻边α∠;③的邻边的对边αα∠∠;④的对边的邻边αα∠∠;⑤的对边斜边α∠;⑥的邻边斜边α∠.而①②③④这四个线段的比就是初三所学习的正弦、斜弦、正切、余切函数,这四个函数是角α的变化而变化,而与边长无关.如,设α=30°,无论它的对边和斜边多长21=∠斜边的对边α.2.三角函数定义:我们规定①斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦.记作斜边的对边A A ∠=sin②斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦.记作斜边的邻边A A ∠=cosBα∠的对边α∠的邻边BA ∠的对边A ∠的邻边③的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切.记作的邻边的对边A A tgA ∠∠=④的对边的邻边A A ∠∠叫∠A 的余切.记作的对边的邻边A A tgA ∠∠=这四个三角函数定义是人们规定的,不能问为什么这样规定?这四个函数定义是本章重点中的重点,要达到①在直角三角形中,给我们一个锐角,我们知道这个角的正弦,余弦,正切,余切是哪两条线段的比.反之②在直角三角形中给我们两条线段的比,我们知道是哪个锐角的什么函数.a b ctgA b a tgA cb Ac a A ====,cos ,sin的什么函数是BDC BDCD∠因为CD 是∠BDC 的邻边,BD 是斜边,BD CD 是∠BDC 的邻边比斜边,所以BDCD是∠BDC 的余弦.3.特殊角的三角函数值①∠A=30°此时,设x AC x AB x BC 3,2,===则则2123030sin sin =====x x AB BC A 斜边的对边οο23233030cos cos =====x x AB AC A 斜边的邻边οο333303030=====xx AC BC tg tgA 的邻边的对边οοο33303030=====x xBCAC ctg tgA 的对边的邻边οοοB②∠A=45°此时,x AB x AC BC 2,=== 则22245sin sin ====x x AB BC A ο 22245cos cos ====xx AB AC A ο 145====x xAC BC tg tgA ο 145====xxBC AC ctg ctgA ο③∠A=60°此时设xBC x AB x AC 3,2,=== 则232360sin sin ====x x AB BC A ο 21260cos cos ====x x AB AC A ο 3360====xxAC BC tg tgA ο 33360====xx BC AC ctg ctgA ο4.互为余角的函数关系式:90°-∠A 与∠A 是互为余角.有A A cos )90sin(=-ο A A sin )90cos(=-ο ctgA A tg =-)90(ο tgA A ctg =-)90(ο通过这四个关系式,可以将正,余弦互化,正切与余切互化. 如οο50cos 40sin = 8451sin 2138cos '='οο οο4842ctg tg = 04540235'='οοtg ctg5.四个三角函数性质当∠A 从30°增长到45°,再增长到60°,它的正弦值从21增到22,再增到23.说明正弦值随着∠A 的增大而增大.即两个锐角,大角的正弦大,反之两个锐角的正弦值比较,正弦值越大,角越大.如οο48sin 50sin >.同理正切函数也具有相同的性质,如tg53°>tg40°,再比如比较tg40°和ctg40°的大小,将ctg40°化成tg50°.∵tg40°<tg50°,∴tg40°<ctg40°.已知βαtg tg >,则一定有βα>的结论.再如?,sin 21)21(sin 2等于多少度ααα-=-解: 21sin ,sin 21|21sin |)21(sin 2≤-=-=-αααα说明οο30,30sin ≤∴≤αα而余弦,余切则是函数值随着角度的增大而减小,即角越大,余弦(切)值越小,反之余弦(切)值越大,它的角越小.如cos40°>cos50° ctg20°>ctg50°若οο60,60cos cos 21cos <∴>>ααα即比较两个函数值的大小,通常化成同名函数,再根据性质比较大小.例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简οο 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,450<∴<<οοΘ 比如αααααcos sin ,23cos ,21sin ,30<==ο. 再如οοοο50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα ααcos sin ,40cos 40sin <∴<οοΘ 所以ααααsin cos |cos sin |-=-例2:已知2)cos (sin ,9045ααα-<<化简οο 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,9045>∴<<οοΘ (在α的取值范围内任取2个角验证即可) ααααcos sin |cos sin |-=-∴ 例3.如已知ααα求,cos 23)23(cos 2-=-的取值范围. 解:αααcos 23|23cos |)23(cos 2-=-=-说明ο30cos cos 23cos ≤≤αα即 ο30≥∴α上述四个函数的性质掌握起来较难,要想法弄懂,多思,多练.6.同角间的三角函数恒等式①平方关系 1cos sin 22=+αα ②倒数关系 1=⋅ααctg tg③比的关系 ααααααsin cos ,cos sin ==ctg tg 在这四个关系中,①②用的最多. 7.正余弦值的取值范围 1cos 0,1sin 0<<<<αα二、本次练习 (一)判断题1.015cos 75sin =-οο.( )2.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别∠A,∠B,∠C 的对边则c bB c a A ==cos ,sin .( )3.已知βα,是锐角,若βαβα>>则,sin sin .( )4.直角三角形ABC 中,各边都扩大2倍,则正弦值也扩大2倍.( )5.若α是锐角,οο60,30cos sin ==αα则.( )6.当αααααsin cos )cos (sin ,4502-=-<<时οο( ) (二)填空题 1.若ααcos ,23)90sin(则=-ο=______. 2.α是直角三角形的一个锐角,如果方程04cos 3cos 10102=+--ααx x 有两个相等实根,则αsin =______.3.若2)(,9045αααctg tg -<<化简οο的结果是______.4.如果αα则,135)12(=⋅+οοtg tg =______度.5.在Rt ΔABC 中,两直角边分别是2525-+和,则最大锐角的余弦值是______.6.计算οοοοο30sin 43030cos 6045cos 222+-⋅+tg tg 的值是______.7.已知0|3|)1cos 2(,2=-+-βαβαtg 是锐角,则ββαctg tg -⋅sin 的值是______.8.若αα则,033=-ctg =______度.9.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,A BC AC sin ,22,24则=== ______.10.βα,是锐角,且23)15cos(,23sin =-=οβα,则3βα+=______. 11.在Rt ΔABC 中,∠C=Rt ∠,则A sin =______,ABAC是∠A 的______函数. 12.若α是锐角,且21cos )21(cos 2-=-αα,则α的取值范围是______.13.化简|154sin |36sin 12-+-οο的结果是______.14.已知等腰三角形的两边分别是10,14.则底角的余弦值是______. 15.已知αα,0sin 2=-m 是锐角,则m 的取值范围是______.(三)选择填空:1.若αααcos ,sin ,450则οο<<的大小关系是:A.ααcos sin >B.ααcos sin <C.ααcos sin =D.大小不确定2.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,βcos ,31sin 则=A 等于:A.31B.32C.32D.3223.已知n m n m ,,cos sin ,cos sin 则=⋅=+αααα的关系是: A. m=n B. m=2n+1 C. m 2=2n+1 D. m 2=-2n+14.下列不等式正确的是: A.οοο4848cos 48sin tg << B.οοο48cos 4848sin <<tg C.οοο48cos 48sin 48<<tg D.οοο4848sin 48cos tg <<5.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,a,b,c 是∠A,∠B,∠C 的对边.下列关系错误的是: A.B c b cos ⋅= B.tgB a b ⋅= C.A c a sin ⋅= D.ctgB b a ⋅=6.使式子)(31是锐角αα-ctg 有意义的条件是:A.ο30>αB.ο60>αC.ο30<αD.οο6030<<α(四)计算下列各式:1.οοοοοο3852330sin 45cos 30sin 45cos tg tg ⋅++- 2.οοο30cos 160sin 160cos ++ 3.οοοοοο60sin 30sin 45cos 604545sin 2--+tg tg 4.οοοοοοοοο48sin 5842sin 3260sin 32605860222⋅+⋅⋅-⋅-tg ctg ctg ctg tg tg。