28.2 解直角三角形(4)(含答案)
解直角三角形练习题及答案经典
28.2 解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）(A)．1(B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( )（A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52）5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）．（A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin =（C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot =6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）．（A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( )（A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． A B CDE ︒15020米30米（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）1 二、填空题 11、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22， 则BC ＝ w12、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠F AE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．4．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tan C＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．5．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．（1）求AD的长；（2）求tan∠DAC的值．7．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tan C＝．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．8．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．9．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．10．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）11．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）12．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．（1）求点C到直线AB的距离；（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）13．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.28714．如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE ＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）15．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）16．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B 测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）17．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）18．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）19．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．20．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）参考答案1．（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．2．解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，∵sin∠BCD＝，∴，∴CD＝5x，CE＝4x，∵CD＝5，∴x＝1，∴CE＝4，∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x，∴BC＝BE+CE＝7x＝7．（2）过点A作AF⊥BC于点F，∴DE∥AF，∵D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴AF＝2DE，BF＝2BE，由（1）可知：DE＝BE＝3，∴AF＝6，BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝1，∴tan∠ACB＝6．3．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠F AC，∴∠ACF＝∠F AC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．4．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C为锐角且tan C＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sin C＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．5．解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC＝，∴，∴BC＝5，∴CD＝＝3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB＝＝＝．6．解：（1）∵△ABP≌△PCD，∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，AP＝PD，∠APB＝∠CDP，∵∠PCD＝90°，∴∠CPD+∠CDP＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∴∠APD＝90°，∴PD＝＝＝2，∴AD＝＝＝4；（2）过点D作DH∠AC于点H．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10．∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCH，∵∠B＝∠CHD＝90°，∴△ABC∽△CHD，∴＝＝，∴＝＝，∴CH＝，DH＝，∴AH＝AC﹣CH＝10﹣＝，∴tan∠DAC＝＝＝．7．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．∵AB＝AD，∴BH＝HD＝BD＝2．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝4．∴HC＝HD+CD＝6．∵＝，∴．∵＝＝．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．∵，∴．∴．∴点C到直线AB的距离为．8．解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝AB cos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．9．解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tan∠B＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．10．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5a米，则PH＝12a米，由勾股定理得，AP＝＝13a（米），∴13a＝39，解得a＝3，∴AH＝15米．答：坡顶A到地面PQ的距离为15米．（2）延长BC交PQ于点D，由题意得，CD＝AH＝15米，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x米，则BD＝PD＝（x+15）米，由（1）可得PH＝12×3＝36（米），∴AC＝HD＝PD﹣PH＝x+15﹣36＝（x﹣21）米，在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，解得x≈28，经检验，x≈28是原方程的解且符合题意．∴古塔BC的高度约为28米．11．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．12．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，在Rt△ACD中，sin30°＝，解得CD＝300，∴点C到直线AB的距离为300米．（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，解得AD＝，在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，∴BD＝300米，BC＝米，∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，∵600+﹣（300+）≈205（米），∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．13．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．14．解：（1）过点E作EF⊥地面DC，垂足为F，∵斜坡DE的坡度为i＝1：，∴＝＝，在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴EF＝ED＝2（米），∴E点到地面DC的距离为2米；（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，则EF＝GC＝2米，EG＝CF，∵＝，∴DF＝EF＝2（米），∵DC＝6米，∴EG＝FC＝DF+DC＝（2+6）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG•tan45°＝（2+6）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴BC＝CD•tan60°＝6（米），∴AB＝AG+GC﹣BC＝2+6+2﹣6＝（8﹣4）米，∴旗子的宽度AB为（8﹣4）米．15．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．16．解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△P AD中，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠P AD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．17．解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴，在Rt△BDE中，∴，∴（米），答：隧道AB的长为米．18．解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，∠AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．19．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．20．解：（1）过点B作BF⊥AD于点F，如图：在Rt△ABF中，BF：AF＝1：＝3：4，AB＝3米，设BF＝3x米，则AF＝4x米∴（3x）2+（4x）2＝32，解得x＝0.6，∴BF＝3×0.6＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝AB•cos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．。
人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用
课堂小结
解 直 角 三 角 形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至 少有一个是边），就可以求出余下的三个未 知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业 请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（ ） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。
28.2_解直角三角形_达标训练(含答案)
28.2 解直角三角形 达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )A.aB.2aC.a 23D.a 25图28.2－21 图28.2－22 (第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( ) A.52米 B.102米 C.54米 D.6米3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23 图28.2－24 5.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米图28.2－29 图28.2－30 图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.4千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.经测量得AB=3已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )图28.2－21A.aB.2aC.a 23 D.a 25 思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( )图28.2－22 A.52米 B.102米 C.54米 D.6米思路解析：坡度的定义ACBC i，所以BC ∶AC ∶AB=1∶3∶10. 答案：B3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt △AFC 中，sinA=AC CF ；在Rt △AEC 中，sinC=ACAE .所以sinA ∶sinC=ACAE AC CF :=CF ∶AE=2∶3. 答案：B 4.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt △ADC 中，AC=10，∠DAC=60°. 答案：55.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt △OBC 中，OB=OC ，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°. 答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt △ABC 中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB 的长.解：如图，在Rt △ABC 中，AC=BD=3米，tan ∠BCA=ACAB ， 所以AB=AC×tan ∠BCA=3×tan60°=3×3≈5.2 (米).答：树的高度AB 约为5.2米.二、综合•应用达标 7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD ⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x 米.在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD CD ，BD=x 33. 因为AB=AD －BD ，所以20=x －x 33.解得x≈47.3(米). 答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60°方向，C 点在B 点北偏东45°方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD 的长. (结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.由题意，知AD ⊥CD.因为四边形BFDE 为矩形，所以BF=ED.在Rt △ABE 中，AE=AB×cos ∠EAB ，在Rt △BCF 中，BF=BC×cos ∠FBC ，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×21+40×22=10+220， 即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB ＞BE ，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB 的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH ⊥AB ，在Rt △AHC 中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB 时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH ⊥AB ，垂足为H.在Rt △CDF 中，I=1:2 DF CF ，所以DF=21 CF=21×2=1(米). 所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米). 在Rt △AHC 中，tan ∠ACH=AC AH ， 所以AH=HC×tan ∠ACH=15×tan30°=15×33≈8.7(米). 因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD －DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )图28.2－29A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米 思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )图28.2－30A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s 的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P 的海拔高度为( )图28.2－31A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米 思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P 点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt △POM 中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，因为tanM=OM OP ，所以OP=OM×tan30°=3 000×33≈1 732(米). 答案：A13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m ，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于F.由条件，得CF=0.8 m ，BF=0.9 m.在Rt △CAF 中，∵tanA=AF CF ，∴AF≈16.08.0=5(m). ∴AB=AF －BF=5－0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A 到台阶前点B 的距离约为4.1 m.14.如图28.2－33，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P 到AB 的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，据题意知: AB=9×62=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt △PAC 中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=PCPC BC AB PC AC PC +=+=3, 即PC PC +=333.∴32333>+=PC . ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.2－34，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.图28.2－34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1 500米,750米.∴BF=EC=750米，AF=3设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=x3米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,750+x=750+3米.得x=750.即3750)米.∴CD=(750+3750)米.答：山高CD为(750+316.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=34千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°. 已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD 的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE .所以EF=1560 (千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动. 所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560= (小时). (3)当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为5.62011012=-(级). 17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.图28.2－36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD 中，过点B 作AD 边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD 的长也可以在△BCD 中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D 需铺设水下电缆.解：(1)过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F(如图)， 在Rt △ABF 中，AB=34,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°=2334⨯=6(千米)， AF=AB×cos60°=322134=⨯(千米). 在Rt △BDF 中，DF=BF=6(千米)，所以 BD=262/2645sin ==︒AB (千米).因此，河宽AD=DF －AF=6－32(千米).(2)作BH ⊥CD 于点H.在Rt △BDH 中，BH=HD=6千米，在Rt △CBH 中，86102222=-=-=BH BC CH (千米). 因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6－32)×4+34×2=40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋34×2=22＋38≈35.9(万元).。
28.2解直角三角形(方向角及坡比问题)2014年3月18日
解： (1 ) 过点 A 作 AD 垂直于
BC ，垂足为
D
ABC
30
0
, AB 160 米
AD 80 米 100 米 ,
在 Rt ABD 中，解得
所以受噪声影响。
以点 A 为圆心， 100 米长为半径画圆弧分别
线段 EF 为受影响的路段 .
交 BC 于 E ， F 两点
1 8 .4
沿水库拦河坝的背水坡将坝顶加宽2 米，坡度由原来的1：2改为1：2.5, 已知坝高6米，坝长50米。 (1)求加宽部分横断面AFEB (2)完成这一工程需要多少方土？
F
2
A D
6Leabharlann EBNM
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化
sin B PC PB
65° P
A C
34°
PB
PC sin B
72.8 sin 34
72.8 0.559
B
130.23
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为 点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 O B 1 0 0 6 k m ． 台 风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海 面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示 的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C的 坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如 果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移 动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 北
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形-仰角、俯角问题教案
另外，小组讨论和实践活动环节，学生的参与度很高，他们积极讨论，热烈交流，这让我很欣慰。但我也观察到，有些小组在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在整理思路和语言表达上还存在不足。在以后的教学中，我需要加强对学生表达能力的训练，鼓励他们更加自信、条理清晰地表达自己的观点。
（1）通过实际情境引入仰角、俯角的概念；
（2）掌握正切函数的定义，并应用于仰角、俯角问题的求解；
（3）通过例题讲解和练习，让学生熟练运用解直角三角形的方法解决实际生活中的仰角、俯角问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模素养；
2.通过对正切函数的运用，增强学生的数学运算和数据分析能力；
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了解直角三角形中的仰角、俯角问题。我发现学生们在理解仰角、俯角概念上并没有太大困难，他们对于这些新知识充满了好奇。但在实际应用上，特别是在构建直角三角形模型和运用正切函数时，部分学生遇到了一些挑战。
首先，我注意到在案例分析环节，有些学生在确定直角三角形的边长和角度时显得犹豫不决。这说明他们对于如何将实际问题转化为数学模型还不够熟练。在未来的教学中，我需要提供更多的实际例子，让学生有更多的机会去练习和体会这一过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角与俯角的基本概念。仰角是我们从水平线向上看时，视线与水平线所形成的角；俯角则是我们从水平线向下看时，视线与水平线所形成的角。它们在测量、建筑等领域有着广泛的应用。
28.2解直角三角形(4)
2、如何将这个三角形转化为两个直角三角形？
3、在 Rt△BCP 中，能直接求出 PB 吗？还缺什么元素？你认为求出哪条边最方便计算？
4、在 Rt△APC 中，求 PC 是，若用正弦函数求解应选用哪个关系式？若用余弦函数呢？
5、请你选择一种方法写出解题过程
三、学生展示——面对困难别退缩，相信自己一定行！！ ！ 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在 北偏西 30°，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测 得灯塔 M 在北偏西 45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短 距离是多少?(精确到 0.1 海里， 3 1.732 )
沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！
学法指导 合作交流、讨论、
一、自主先学————相信自己，你最棒！ 1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是怎样的？
北 B
2、方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角叫做方位角，如图所示目标方向线 OA、OB、 OD 的方向角分别是北偏东 60 、________20 、南偏西 45 、 _______60 ，比如我们习惯上所说的 “东南方”是指 目标线为南偏东 45 等等。
0 0 0 0 0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
20 O 450
0
A
0
60
东 60
0
D C
二、展示时刻——集体的智慧是无穷的，携手解决下面的问题吧！
O
例 5 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上 的 B 处.这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（精确到 0.01） 1、点 A、B、P 三点构成△ABP，你能写出这个三角形中已知那些元素，要 求的又是那一个元素？
28.2.4解直角三角形(4)
3.如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它的 横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现 考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变设 计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面 EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工 程的用土量不变,问:路面宽将增加多少? 12 5 (选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ , 13 13 5 tan 22°37′ ≈ 12 , D C G H 3 4 5 tan 32° ≈ )
8
A
1 E
M
N
F
2
B
2 如图, △在ABC中, ∠ A为锐角,sina= ,AB+AC=6cm, 3 设AC=xcm, △ABC的面积为ycm2.
(1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
C
1 S= ab sina 2
A
B
5、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点 C的仰角为60o，沿山坡向上走到P处再测得点C 的仰角为45o，已知OA=100米，山坡坡度i=1:2, 且O,A,B在同一条直线上．求电视塔OC的高度 以及此人所在位置P点的铅直高度．（测倾器高 度忽略不计，结果保留根号形式）
达险坦 到勇的 光 于大在 辉 攀道科 的 登，学 顶 的只上 点 人有从 马 ，不没 克 才畏有 思 能艰平
（1）测量工具 （2）示意图如右图 （3）CD=a ,BD=b √ （4）AB = a + 3 3 b 实际应用能力提升 C D
M
30°
N
Ｅ Ｂ
测量对象：一铁塔的高度，测量工具皮尺一根教学 三角板一副高度为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器） 一架。 请选择测量工具，并设计方案，写出必需的测量数据 （用字母表示），并画出测量图形，并用测量数据（用字母表 示）写出计算铁塔高度的算式。 A 方案2
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28.2 解直角三角形(4)
班级 姓名 座号 月 日
主要内容:运用解直角三角形的知识解决航行、斜坡等问题 一、课堂练习:
1.(课本95页)海中有一个小岛A ,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60方向上,航行12海里到达D 点,这时测得小岛A 在北偏东30方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?
2.(课本95页)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD (图中13i =:是指坡面的铅直高度DE 与
水平宽度CE 的比),根据图中数据求:
(1)坡角α和β(精确到0.01)； (2)斜坡AB 的长(精确到0.1m ).
二、课后作业:
1.(课本96页)如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m .测得斜坡的倾斜角是24,求斜坡上相邻两树间的坡面距离(精确到0.1m ).
2.(课本97页)为方便行人,打算修建一座高5m 的过街天桥,已知天桥的斜面坡度为11.5:,计算斜坡AB 的长度(精确到1m ).
A C α
β
6m 13i =:11.5i =:
A B
C D E F 1.5
3.(课本97页)如图,某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A ,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向90海里的B 处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出了危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进了15海里到达C 处,此时哨所第二次发出紧急信号.
(1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北α度,求sin α的值.
(2)当轮船收到第二次信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为多少(精确到
0.01)？
4.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45方向的B 点生成,
测得OB =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西
60方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．
(1)台风中心生成点B 的坐标为________________,台风中心转折点C 的坐标为____________________；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？
km
参考答案
一、课堂练习:
1.(课本95页)海中有一个小岛A ,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60方向上,航行12海里到达D 点,这时测得小岛A 在北偏东30方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险? 解:过点A 作AC BD ⊥于点C ,由题意,得30ABC ∠=,60ADC ∠=
在Rt ABC ∆中,tan AC ABC ∠=
∴3tan tan30
AC AC BC ABC ===∠ 在Rt ADC ∆中,tan AC ADC
CD
∠=
∴tan tan60AC AC CD AC ADC =
==∠
又∵
12BC CD BD -=
=
12AC =
解得10.48AC => ∴没有触礁危险
2.(课本95页)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD (图中13i =:是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比),根据图中数据求: (1)坡角α和β(精确到0.01)； (2)斜坡AB 的长(精确到0.1m ).
解:(1)∵1tan 0.6667α=≈ 1tan 0.3333β=≈
∴33.69α≈ 18.43β≈
(2)∵1AF = ∴ 1.5 1.569BF AF ==⨯=
在Rt
ABF ∆中
,10.8()AB m =≈
答:坡角α约为3 3.69,坡角β约为18.43,斜坡AB 的长约为10.8m
.
二、课后作业:
1.(课本96页)如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m .测得斜坡的倾斜角是24,求斜坡上相邻两树间的坡面距离(精确到0.1m ).
解:由题意得,在Rt ABC ∆中,24B ∠=, 5.5BC =
∵cos BC B AB
= ∴ 5.5 6.0cos cos24
BC AB B ==≈
答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.0m .
2.(课本97页)为方便行人,打算修建一座高5m 的过街天桥,已知天桥的斜面坡度为11.5:,计算斜坡AB 的长度(精确到1m ). 解:∵11.5
AC BC = ∴ 1.5 1.557.5BC AC ==⨯
=
在Rt ABC
∆中
9AB ===≈ 答:斜坡AB 的长度约为9m .
A
C D α
β
6m 13i =:11.5i =:
A
B
C D E F 1.5
3.(课本97页)如图,某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A ,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向90海里的B 处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出了危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进了15海里到达C 处,此时哨所第二次发出紧急信号.
(1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北α度,求sin α的值.
(2)当轮船收到第二次信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为多少(精确到
0.01)？ 解:(1)如图①,作BP 切A 于点P ,连接PA ,则BP AP ⊥
在Rt ABP ∆中,151sin 906
PA B AB === ∴1sin 6
α=
(2)如图②,作CM 切A 于点M ,连接AM ,则CM AM ⊥
在Rt ACM ∆中,15sin 0.29015
AM ACM CM ∠=
==- ∴11.54ACM ∠≈
∴轮船航向改变的角度至少应为11.54
4.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45方向的B 点生成,
测得OB =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西
60方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系． (1)台风中心生成点B
的坐标为,台风中心转折点C
的坐标为- ；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？
解:过点C 作CD OA ⊥于点D ,
则CD =30ACD ∠= 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC
∠=
∴200cos CD AC ACD ==∠
∵20020630
-=,6511+=
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．
km。