8.2椭圆的简单几何性质(三)
椭圆的简单几何性质(说课稿)
课堂设计理念： 授人于鱼不如授人于渔。 通过创设符合学生认知规律的问题情景， 挖掘学生
内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充 分展示思维差异， 培养学生的自主探究能力， 逻辑推理能力， 提高学生的思维层 次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。 教学目标：
一点，因此椭圆曲线关于 y 轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心。 设计意图：
（1） 抓住椭圆标准方程的特点不放松， 引导学生探究如何利用方程研究椭 圆的对称性；
（2） 在学生的表述过程中重视学生的思维方式， 培养学生正确处理问题的 思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) 有什么特点？
（1）椭圆方程是关于 x, y 的二元二次方程；
（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数 1； （3）方程中 x 2和 y 2 的系数不相等；
设计意图： 类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特 点，体现了新旧知识的联系与区别， 符合学生的认知规律， 同时为利用方程研究 椭圆曲线的几何性质做好了准备 . 【问题 1】自主探究： 结合椭圆标准方程的特点， 利用方程研究椭圆曲线的范围； 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维： 学生活动过程：
附录：板书设计 8.2 椭圆的简单几何性质
2
2
椭圆的标准方程：
x a2
y b2
1(a
b
0)
1、范围：椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里。
椭圆的简单几何性质(3)
10
例：已知椭圆
与两焦点的连线互相垂直，P点的坐标为＿＿＿。
x2 y 2 1, P为椭圆在第一象限内的点，它 45 20
解法二
解：a 3 5 , b 2 5 , c 5.设P( x, y )(x 0, y 0), 2 由 PF1 PF2 2a 6 5得 （ , PF1 PF2 ） 180 ， 即 PF1 PF2 2 PF1 PF2 180 — —（ 1 ） 又PF1 PF2， PF1 PF2 F1 F2 100 — —（2） （ 1 ） （ - 2）得2 PF1 PF2 80， PF1 PF2 40 1 1 又S PF1F2 PF1 PF2 F1 F2 y得y 4, 代入方程得 2 2 x 3, P(3,4)
2.2.2椭圆的简 单几何性质（3）
高二数学 选修2-1
第二章
圆锥曲线与方程
1
复习练习：
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
形，则其离心率为
1 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
2
已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方 习
说明：
(第二定义 )
F1
O
F2
X
PF1 c a2 a x0 x2 y2 c 2 1 2 c a 2 F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， （a>b>0）左焦点为 a b PF1 ( x0 ) a ex0 a c其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex 0。
椭圆的简单几何性质(第3课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的几何性质（第三课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
深圳中学罗承成
一、教学目标
1.学会椭圆与直线交点个数，交点坐标的解法
2.体会数形结合思想
二、教学重难点
1.椭圆与直线交点的代数含义
2.方程组的求解
三、教学过程
1.椭圆与直线关系的求解
1.1提出问题
平面上，一个椭圆与一条直线可以有哪些关系？
【预设的答案】相交、相切、相离
并给出图形
问题2：若已知椭圆和直线的方程，如何判断是哪种情况？
【活动预设】相切、相交、相离的本质是什么？
【答案预设】交点的个数分别为1，2，0
【设计意图】将题目转化为求交点个数的问题
【活动预设】交点的本质是什么？
【答案预设】交点是同时满足两个曲线方程的点
【设计意图】将交点个数问题转化为方程组解的个数的问题(几何代数)
1.2：如何求解方程组的解和解的个数
【活动预设】如何求方程组的解
【预设答案】将直线方程代入曲线方程
【活动预设】代入后会变成什么方程？
【预设答案】一元二次方程
【活动预设】如何判断解的个数
【预设答案】看Δ＞0，＜0或者＝0
2.实战解题
【预设的答案】
【预设答案】
【设计意图】
（1）意识到不一定要求出解
（2）不同的参数导致不同的结果，动态地看问题3.进一步的思考
这种方法能否用于判断其它曲线的关系？
【设计意图】
（1）了解方法的普适性
（2）拓展数形结合的思想
4.小结
(1)学会了椭圆与直线关系
(2)领会了数形结合的思想：用代数解决几何问题
四、课外作业。
椭圆的简单几何性质(三)
(1)d<r直线与圆相交有两个公共点；
(2)d=r 直线与圆相切有且只有一个公共点；
(3)d>r 直线与圆相离无公共点．
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
• 试试看： 尝试探究
直线L：y=2x+1与椭圆 x2 y 2 1 42
43
有公共点，求实数m的取值范围。
2、直线l：y=x+4与椭圆
x2 y2 1 4b
相y=kx+1与椭圆 恒有两个交点,求b的范围?
x2 y2 1 4b
小结
直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0
由方程组：
x2 a2
y2 b2
1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
的位置关系如何？
同伴合作：分别从几何与代数角度去探究
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组： x2 y2 1
a2 b2
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
1直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
=0
方程组有一解
椭圆的简单几何性质(第三课时)
范例分析
例题1. 已知直线 y=x-1/2与椭圆 判断它们的位置关系.
x2+4y2=2，
训练题
练习1.无论k为何值,直线y=kx+2和 2 2 x y 1 交点情况满足( D ) 椭圆 9 4 A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.恒有公共点
范例分析 例题2. 过椭圆x2+2y2=2的右焦点F2作斜率为 1直线与椭圆交于A,B， F1是左焦点 .
2. 作业本P19 1--11.
第2题（3）；第5题（2）（3）；第6题 注意分类讨论！
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
d-r法？
椭圆没有半径啦！
△法？
△=0 关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1) △>0 直线与椭圆相交有两个公共点； (2) △=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3) △<0 直线与椭圆相离无公共点． 3. 弦长公式：
课后作业
1. 复习本节课内容，理清脉络；
(1)求线段AB的长.
(2)求△F1AB的面积.
y
(3)点P是椭圆上的动点，
求它到直线y=x+3的
F1
A
F2
x
最小值.
B
范例分析
例题3. 直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6.
(1)它们有2个公共点k的取值范围是?
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
课 题：8.2椭圆的简单几何性质(三)
课 题：8．2椭圆的简单几何性质（三）教学目的：1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题； 3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念 教学重点：焦半径公式的的推导及应用教学难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点. 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =⇒e =0<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4.椭圆的第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 5．椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 二、讲解新课：椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M 与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率推导方法一： 202021)(y c x MF ++=，202022)(y c x MF +-=022214cx MF MF =-∴，a MF MF 221=+ 又⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴2221021a MF MF x a c MF MF ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=∴002001ex a x a ca MF ex a x a c a MF即（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）2ex a r -=推导方法二：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF（ 其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 三、讲解范例例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋2384＝8755 解得a ＝7782.5，c ＝972.5772287556810))((22≈⨯=-+=-=c a c a c a b .卫星运行的轨道方程为1772277832222=+y x 例2 椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得⎩⎨⎧=-=+5.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c所求椭圆方程为17542522=+y x 四、课堂练习：1．P 为椭圆192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 解：由题意，得+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ⇒P 的坐标为)49,475(，)49,475(-，)49,475(--，49,475(- 2．椭圆192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证21=+x x证明：由题意，得 ++)545(1x )545(2x +＝2)4545(⨯+⇒821=+x x 3．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222=+by a x ,(0>>b a )，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则由11222222OO PF PF a PF a ==-=-知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切五、小结 ：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。
1. 定义椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。
2. 方程一般来说，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。
3. 焦点与准线椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。
它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。
准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。
4. 长轴和短轴椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。
短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。
5. 离心率离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。
在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算：e = c / a离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。
6. 切线椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。
切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。
一般来说，椭圆有两条切线与其相切。
结论椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。
从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。
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学习目标
1.椭圆的参数方程
2.椭圆内的最值问题
阅读要求及检测
（一）阅读教材P112--P113
(二)解答下列问题
22221(0)_____________.x
y a b a b +=>>椭圆的参数方程为
典型例题
221.(1),41,34.
(2),34x y x y x y x y y x y +=+=+例已知满足求的最大值和最小值已知满足求的最大值和最小值
22
12.(,0)1.22x A y +=例求定点到椭圆上的点之间的最短距离
例3.A 在椭圆
2214x y +=上运动，B 在圆()22123x y +-=上运动，求A B 的最大和最
小值．
1.F 是椭圆()222210x
y a b a b +=>>一个焦点，M N 是过其中心的一条弦，则F M N ∆面
积的最大值为（ ）
A ．a b
B ．
2ab C ．ac D ．bc 2.已知22
194x y +=，则2x y -的最大值是___________．
3.(),M x y 在右半椭圆()22210x y x +=≥上，则
1y x +的最小值为________．
224.1:32160,47.x y l x y +=--=
求椭圆
上到直
线距离最短
的点的坐标并求最短距离
点评及总结
知识要点
1.椭圆的参数方程
2.椭圆的最值
能力要点
转化为三角函数或某个变量的函数关系式求最值(注意定义域)或借助数形结合求解.
作业
3,,(0,)22,.x e P P =设椭圆的中心在坐标原点长轴在轴上离心率已知点到这个椭圆上的点的最远距离是求这个椭圆的方程并求椭圆上到点的距离等点的坐标。