(全国通用版)202x-2021x高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1
全国通用高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理检测新人
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第二章 2.3 2。
3。
1 平面向量基本定理A级基础巩固一、选择题1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2［解析]3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．2．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是（ B )A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少一个为0［解析]由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0。
故选B．3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2错误!＝错误!，错误!＝错误!错误!＋λ错误!,则λ等于（ A ）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!［解析］方法一由平面向量的三角形法则可知错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!,所以λ＝错误!．方法二因为A，B，D三点共线，错误!＝错误!错误!＋λ错误!，所以错误!＋λ＝1,所以λ＝13．4．(2018·湖南长沙市中学期末)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!（ A )A．错误!错误!－错误!错误!B．错误!错误!－错误!错误!C．错误!错误!＋错误!错误!D．错误!错误!＋错误!错误
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.
(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作
为坐标轴.
延伸探究本例中条件不变,试用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.
证明 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直
-2+
轴上,所以
=0,即 x=2,此时 C(2,-7).综上可知,符合题意的点 C 的坐标为
2
(-3,-5)或(2,-7).
反思感悟1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识
(1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意
两个量,就可以求出第三个量.
(2)从图像上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点.
(1)数轴的定义
给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一
对应的.
(2)数轴上的基本公式
①如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且B(x2),
则向量AB的坐标为 x2-x1;A,B 两点之间的距离公式|AB|=|AB|=|x2-x1|.
②若A(x1),B(x2),M(x)为数轴上线段AB的中点,则可得到数轴上的中点坐标
2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进
行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.
变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为(
A.6
B.√41
C.√17
)
D.5√2
答案 B
解析 如图,作点(1,3)关于 x 轴的对称点 A'(1,-3),连接 A'B 交 x 轴于点 P.可知
高中数学 必修4 第二章 平面向量
高中数学必修4第二章平面向量平面向量的概念及线性运算²导学案一、目标认知学习目标：1．了解向量的实际背景.2．理解平面向量和向量相等的含义.3．理解向量的几何表示.4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.5．理解两个向量共线的含义.6．了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.二、知识要点梳理知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.(3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：；②结合律：要点诠释：1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．运算律设为实数，结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.三、规律方法指导1.向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念§2.2 平面向量的线性运算平面向量的基本定理及坐标表示²导学案一、目标认知学习目标：1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算.难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性.二、知识要点梳理知识点一：平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果且，那么.③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.知识点二：向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y).要点诠释：当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).知识点三：平面向量的坐标运算运算坐标语言记=(x1，y1)，=(x2，y2) 加法与减法=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)实数与向量的乘积记=(x，y)，则=(x，y)知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要点诠释：若，则∥不能表示成因为分母可能为0.三、规律方法指导1．用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.2．三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若则A，B，C三点共线.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示练习：平面向量的数量积及平面向量的应用²导学案一、目标认知学习目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.知识点二：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1. 2.3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或4.5.知识点三：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc a=c.但是； 2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 知识点四：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，，2.设，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用：(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件(3)求夹角问题，利用(4)求线段的长度，可以利用或2.向量在物理中的应用：(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；(2)向量在速度分解与合成中的作用.§2.4平面向量的数量积练习题：§2.5平面向量应用举例。
高中数学 必修四 课件：第二章 平面向量
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一 有关向量的共线问题 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的 单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化 成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ， 应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．
高中数学必修第二章平面向量教案完整版
§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、 向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、 注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、 ２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加 ３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、 ４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？ 验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂ ａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、 任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2． 用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3． 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4． 探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、 探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。
高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案含解析新人
学习资料2．5 平面向量应用举例2．5.1平面几何中的向量方法2．5。
2向量在物理中的应用举例内容标准学科素养1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2。
经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.3.体会向量是一种处理几何问题和物理问题的有力工具.提升数学运算应用数学建模发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第67页[基础认识］知识点一平面几何中的向量方法阅读教材P109～112，思考并完成以下问题平面几何中的点线关系用向量如何解释?（1）判断两直线(线段）平行，用向量如何判断?提示:常用向量平行的条件．（2)判断两直线(线段）垂直，用向量如何判断？提示：常用向量垂直的条件．(3）求与夹角相关的问题，用向量如何求解？提示：用向量的夹角公式．（4)求线段长度相关的问题,用向量如何求解？提示：用向量的模的概念及公式．问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2,y2），b≠0.垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0,其中a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!(θ为向量a，b的夹角),其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义｜a｜＝a2＝x2＋y2，其中a＝（x,y），a为非零向量思考并完成以下问题（1）力、速度、加速度、位移的合成与分解相当于向量的什么运算？提示：向量的线性运算．(2）力所做的功相当于向量的什么运算？提示:力与位移两个向量的数量积．知识梳理（1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量．(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则．[自我检测]1．在△ABC中，若(错误!＋错误!）·（错误!－错误!）＝0，则△ABC()A．是正三角形B．是直角三角形C．是等腰三角形D．形状无法确定答案：C2．力F＝(－1，－2）作用于质点P，使P产生的位移为s＝（3,4），则力F对质点P做的功是________．答案：－11授课提示:对应学生用书第68页探究一利用向量求几何度量［教材P109例1]方法步骤：(1）设基底；（2)用基底表示所求向量；(3）求模;（4）得结论．[例1]如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1,AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．［解析］设错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝a＋b，错误!＝a－b.由题意知|a｜＝1，|b｜＝2，｜a－b｜＝2.∴(a－b）2＝｜a－b｜2＝4,即a2－2a·b＋b2＝4。
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2
第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程第2课时直线的两点式方程与一般式方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),则△ABC底边AB的中线的方程是()A.x=0B.x=0(0≤y≤3)C.y=0D.y=0(0≤x≤2),点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),可得底边AB的中点坐标为D(0,0),所以△ABC底边AB的中线的方程是x=0(0≤y≤3).2.下列说法中正确的是()A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)来表示B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b来表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1来表示D.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示3.直线xa +yb=1过第一、三、四象限,则()A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<04.(多选)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0,斜率为k=2-01-0=2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k, 求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0.综上,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0,或x+y-3=0.故选A,B,C.5.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是(),直线方程可化为y=-a b x-cb,∵ac<0,bc<0,∴ab>0,∴-ab <0,-cb >0,故直线的斜率小于0,在y 轴上的截距大于0.6.过点A (1,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 条.,方程为y=4x ,符合题意;当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a , 代入A 的坐标得a=1+4=5. 直线方程为x+y=5.所以过点A (1,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有2条.7.已知直线l :(m 2+1)x-2y+1=0(m 为常数),若直线l 的斜率为12,则m= ;若m=-1,直线l 的倾斜角为 .45°直线l :(m 2+1)x-2y+1=0(m 为常数),直线l 的斜率为12,∴12=m 2+12,解得m=0;∵直线l :(m 2+1)x-2y+1=0(m 为常数),m=-1,∴直线l 的斜率k=(-1)2+12=1,∴直线l 的倾斜角为45°.8.设直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m 的值. (1)直线经过定点P (2,-1); (2)直线在y 轴上的截距为6; (3)直线与y 轴垂直.由于点P 在直线l 上,即点P 的坐标(2,-1)符合方程(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6,把点P 的坐标(2,-1)代入方程,得2(m 2-2m-3)-(2m 2+m-1)=2m-6,解得m=17.(2)令x=0,得y=2m -62m 2+m -1,根据题意可知2m -62m 2+m -1=6,解得m=-13或0.(3)直线与x 轴平行,则有{m 2-2m -3=0,2m 2+m -1≠0,解得m=3. 9.已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4),B (-2,6),C (-8,0). (1)求边AC 和AB 所在直线的方程; (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程.由截距式,得边AC 所在直线的方程为x-8+y4=1,即x-2y+8=0. 由两点式,得边AB 所在直线的方程为y -46-4=x -0-2-0,即x+y-4=0.(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由两点式,得边BD所在直线的方程为y-26-2=x-(-4)-2-(-4),即2x-y+10=0.关键能力提升练10.若直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,则()A.AB>0,且BC>0B.AB>0,且BC<0C.AB<0,且BC>0D.AB<0,且BC<0B=0,直线方程化为x=-CA ,直线不可能过第一、二、四象限,因此B≠0,则直线方程化为y=-ABx-CB,由直线过第一、二、四象限知-AB <0,-CB>0,所以AB>0,BC<0,故选B.11.过点(-1,0),且与直线x+15=y+1-3有相同方向向量的直线的方程为()A.3x+5y-3=0B.3x+5y+3=0C.3x+5y-1=0D.5x-3y+5=0由x+15=y+1-3可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-35,由题意可知所求直线的斜率k=-35,故所求的直线方程为y=-35(x+1),即3x+5y+3=0.故选B.12.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是()A.2x+y-1=0B.2x+y+1=0C.2x-y+1=0D.x+2y+1=0A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0, ∴2(a1-a2)=b2-b1,过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是y-b1b2-b1=x-a1a2-a1,∴y-b1=-2(x-a1),则2x+y-(2a1+b1)=0.∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选B.13.在平面直角坐标系xOy中,过点(1,1)的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,则△OAB的面积的最小值为()A.1B.2C.3D.4xOy中,过点(1,1)的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,设直线方程为y-1=k (x-1),k<0, 可得Ak -1k,0,B (0,1-k ),则△OAB 的面积为12·k -1k·(1-k )=-k 2+2k -12k=-k 2+1+-12k≥1+2√14=2,当且仅当k=-1时,取等号,故△OAB 的面积的最小值为2,故选B .14.若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l 的方程为 .±6=0或x-y ±6=0直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等,且设为a (a ≠0),则直线方程为xa+y a=1,即x+y-a=0.∵12|a|·|a|=18,即a 2=36,∴a=±6, ∴直线方程为x+y ±6=0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x 轴上的截距为a ,则在y 轴上的截距为-a (a ≠0), 故直线方程为xa +y-a=1,即x-y-a=0.∵12|-a|·|a|=18,即a 2=36,∴a=±6,∴直线方程为x-y ±6=0.综上所述,直线l 的方程为x+y ±6=0或x-y ±6=0.15.若方程Ax+By+C=0表示与两坐标轴都相交的直线,则 .≠0,B ≠0A=0时,B ≠0,直线化为y=-CB ,只与y 轴相交,不符.当B=0时,A ≠0,直线化为x=-C A,只与x 轴相交,不符.所以A ≠0,B ≠0,直线化为y=-A Bx-CB,斜率为k=-AB,截距为b=-CB,只要斜率存在且不为0,与两坐标轴均有交点.16.设直线l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程; (2)若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.当a=-1时,y=-3,不符合题意.当a ≠-1时,令x=0,得y=a-2; 令y=0,得x=a -2a+1.∵l 在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=a -2a+1,解得a=2或a=0,∴所求的直线l 方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)直线l 的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,∵l 不过第二象限,∴{-(a +1)≥0,a -2≤0,∴a ≤-1,∴a 的取值范围为(-∞,-1].17.过点M (2,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A ,B. (1)当M 为AB 中点时,求直线l 的方程;(2)设O 是坐标原点,当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程.设直线l的方程为xa +yb=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b).∵M为AB中点,∴a2=2,b2=1,∴a=4,b=2,则直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.(2)∵M(2,1)在直线l上,∴2a +1b=1,又∵1=2a+1b≥2√2ab,∴ab≥8,∴S=12ab≥4,当且仅当a=4,b=2时,等号成立,∴直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.学科素养拔高练18.如图,在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段OA上一点(异于端点),a,b,c,p均为非零实数.直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F.一同学已正确地求出直线OE的方程为(1b -1c)x+(1p-1a)y=0,请你完成直线OF的方程:()x+(1p-1a)y=0.−1bCP的方程为xc +yp=1,直线AB的方程为xb +ya=1,则点F的坐标必然满足方程xc +yp=xb+ya,即(1c -1b)x+(1p-1a)y=0.又该方程表示的直线也经过原点O,故直线OF的方程就是(1c -1b)x+(1p-1a)y=0.19.在△ABC中,已知顶点A(2,4),AB边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0,内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+10=0.(1)求点B的坐标;(2)求直线BC的方程.由内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+10=0知,点B在直线2x-y+10=0上,设B(m,2m+10),则AB中点D的坐标为m+22,2m+142.由AB边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0知,点D在直线x+2y-5=0上,∴m+22+2×2m+142-5=0,解得m=-4.∴点B 的坐标为(-4,2).(2)设点E (a ,b )与点A (2,4)关于直线2x-y+10=0对称,则{2×a+22-b+42+10=0,b -4a -2×2=-1,即{2a -b =-20,a +2b =10,解得{a =-6,b =8.∴点E 的坐标为(-6,8).由直线2x-y+10=0为内角∠ABC 的平分线所在直线,知点E 在直线BC 上.∴直线BC 方程为y-2=8-2-6-(-4)(x+4),即3x+y+10=0.。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4 (1)
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知识拓展1.向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前 一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这n 个向量的和等于从折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法 的多边形法则.多边形法则的实质就是三角形法则的连续应用.
2.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. (4)规定:a+0=0+a=a. (5)结论:|a+b|≤|a|+|b|.
A.3
B.4
答案:D
C.7
D.5
【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|������������ + ������������ + ������������|
等于( )
A.0
B.1
C. 2D. 3
解析: |������������ + ������������ + ������������| = |������������ + ������������| = |������������| = 1.
∴(a+b)+c=a+(b+c).
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和 平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量 不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运 算不能按实数的运算法则来进行.
题型一
图①
图②
再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接 OE,则������������ = ������������ +
������������ =a+b+c 即为所求.
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3．如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋c．
[解析] a、b、c 不共线中隐含着 a，b，c 均为非零向量，因为 零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．
解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作A→B＝a，BC＝b，则A→C＝a＋b，再 作C→D＝c，则A→D＝A→C＋C→D＝(a＋b)＋c，即A→D＝a＋b＋c．
[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A出发，①先走过的位移为向量a，再走过 的位移为向量b，②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案 ①②中质点A一定会到达同一终点． 2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋ (c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
1．在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 A．A→B＝D→C B．A→D＋A→B＝A→C C．A→B＝B→D＋A→D D．A→D＋C→B＝0 [解析] 因为A→B＝A→D＋D→B≠B→D＋A→D，所以，C 错误．
(C )
2．化简P→B＋O→P＋B→O＝__0___． [解析] P→B＋O→P＋B→O＝(O→P＋P→B)＋B→O＝O→B＋B→O＝0．
2．向量加法的交换律 已知向量 a、b，如图所示，作A→B＝a，B→C＝b，如 果 A、B、C 不共线，则A→C＝a＋b． 作A→D＝b，连接 DC，如果我们能证明D→C＝a，那 么也就证明了加法交换律成立． 由作图可知，A→D＝B→C＝b，所以四边形 ABCD 是 平行四边形，这就证明了D→C＝a，即 a＋b＝b＋a.向量的加法满足交换律．
3．向量加法的结合律 如图，作A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，由向量加法的定 义，知A→C＝A→B＋B→C＝a＋b， B→D＝B→C＋C→D＝b＋c， 所以A→D＝A→C＋C→D＝(a＋b)＋c，A→D＝A→B＋B→D＝a＋ (b＋c)． 从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律．
典例 1 (1)如图，已知a、b，求作a＋b． (2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c．
[思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向 量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向 量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量 a、b，在平面 内任取一点，作A→B＝a，B→C＝b，则向量__A_→C____叫做向量 a 与 b 的和，记作 a＋b.这种求__向__量__和____的方法叫做向量加法的三角
形法则．
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所示)，作A→B＝a，A→D ＝b，则 A、B、D 三点不共线，以A→B、A→D为邻边作平行四边形 ABCD，则向量__A→_C___
＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
[知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则 (1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量 的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个 向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前 提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． (2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用 于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的 实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一 半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．
解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 以O→A、O→B为邻边作▱OADB， 则对角线O→D＝a＋b，再作O→C＝c，
以O→C、O→D为邻边作▱OCED．
则O→E＝a＋b＋c．
互动探究学案
命题方向1 ⇨向量的加法及几何意义
新课.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地 的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？
1．向量的加法 (1)定义：求两个向量__和____的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是 一个__向__量____．
(3)向量求和的多边形法则
①已知 n 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点 的向量即为这 n 个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即
A→0A1＋A→1A2＋A→2A3＋…＋An－2An－1＋An－1An＝A→0An ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为 0．
[解析] (1)
①A→C＝a＋b
②A→C＝a＋b
(2)作法 1：如图 1 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作 向量A→B＝b，则得向量O→B＝a＋b；然后作向量B→C＝c，则向量O→C＝(a＋b)＋c＝a ＋b＋c 即为所求．
作法 2：如图 2 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，O→B＝b，O→C ＝c，以 OA、OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则O→D＝O→A＋O→B＝a＋b.再以 OD、 OC 为邻边作▱ODEC，连接 OE，则O→E＝O→D＋O→C＝a＋b＋c 即为所求．
命题方向2 ⇨向量加法运算律的应用
『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法 则都可以用．
(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．
〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和． [解析] 如下图中(1)、(2)所示， 首先作O→A＝a，然后作A→B＝b，则O→B＝a＋b．