数学模型3

数学建模作业3
姓名学号专业龙毅20124255 建筑电气
杨松林20124274 建筑电气
苏玉超20126158 建筑电气
人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系
摘要
本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用优化、统计分析理论等理论基础，针对不同的雨的方向的差异建立了优化模型，合理地解决了人在雨中奔跑速度的问题，并对淋雨量模型的优劣作出评价。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W 与跑步速度v 之间的函数关系。

分析表明当跑步速度为
max
v 时，淋雨量最少。

并计算出当雨与人体的夹角θ=0、θ=30°时淋雨量
针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s 时淋雨量最少 针对问题四，列出淋雨量W 和跑步速度v 之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。

分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

1、问题的重述
要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高 1.5a m =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =，设跑
步距离1000d m =，跑步最大速度5/m v m s =，雨速4/u m s =，降雨量2/w cm h =，记跑
步速度为v 。

(1)不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

(2)雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1,建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u w θ之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，
计算0,30o
θθ==时的总淋雨量。

(3)与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如
图2.建立总淋雨量与速度v及参数,,,,,,
a b c d u wθ之间的关系，问速度多大，总淋雨量最
少，计算30o
θ=时的总淋雨量。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度
v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

2、模型的假设与符号说明
3.1、模型的假设
1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。

人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。

在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变
5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

3.2、符号说明
h w d vθC I D
人的身高宽度厚度速度降雨下落
方向与
人的夹
角淋雨总
量
降雨大
小
(降
雨强
度)
路程
3、模型的建立与求解
问题一：
不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降
雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下： ()max
22d W ab bc ac w
v =++
，
利用MATLAB 编程求解，可得：0.0244W ≈3m 问题二：
将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s
（前面），人体接收的雨量和头
顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量1
u 、行走时间有关。

列式求解如下： 头顶：
11cos u u s bc
==θ
假设降雨量w 与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：
111111cos cos cos w u w w d bcdw W w s t w bc
v v
∝====θ
θθ
正面：
2sin v v u
=+θ
而
222222212sin sin sin sin v u u
w v w w
v u
w w u
v abd
W w s t w
u v bd av W W W w c a v u +∝=+=
⎛⎫== ⎪⎝⎭
⎛⎫
=+=++ ⎪
⎝⎭θθθ+1θ
利用MATLAB 编程求解，可得：
当v =5m/s 时，淋雨量W 最小；当θ=0°时，W =0.0012 3m ，当θ=30°时，W =0.00163
m
图 4
图5
问题三：
将降落在人体上的雨滴分成x 两部分，1s （顶部）2s （前后两面），1s 面积为1s bc
=
假设：
1
w 与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。

头顶：
11
1111cos cos cos w v v u w w d
s w t bcw v
ααα
∝=∴===1W
正面：当sin u v α<时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面
22
22sin sin w v v u v v u w w
u
αα
∝-=-∴=
2sin v u d
W wab u v
α-=
当sin u v ≥θ时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面
22
22sin sin w v u v v u v
w w
u
αα∝-=-∴=
2sin u v d
W wab u v
α-=
，因为12W W W =+ 所以[]
[]
cos sin sin cos sin sin bcw d u v d wab u v v u v
W bcw d v u d wab u v v u v αααααα⨯⨯-⎧+⨯⎪⎪=⎨
⨯⨯-⎪+⨯≤⎪⎩
>
用lingo 编程求解可得：当v =2m/s 时，总淋雨量最少；雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.2405556E-033m 。

问题四：
由问题三的结论，列出总的淋雨量W 和人速度v 之间的关系式，利用MATLAB 画出α取不同值时的函数图像，分析图像可知，当v=2时，总淋雨量最少。

问题五，如图三，为人体模型的俯视图。

需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方
向分速度为cos u β，相对速度为sin cos v u θβ-，乘上垂直受雨的面积ab 以及时间d
v 即
为前后侧受雨量2W 。

因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为
sin sin u θβ乘上面积ac 以及时间
d
v
极为左右受雨量3W .而头顶受雨与雨速和人速夹角大小无关，因此1W 仍按（2）、（3）问的算法做。

由123W W W W =++可得雨量求法公式。

图3 俯视图
csin β
β
bcos β
应用（3）中的结论
cos d
bcw v
=1W θ
前后侧，当sin cos v u θβ≤时，相对速度 sin cos v u θβ-，
2sin cos v u d
W wab u v θβ-=
可总结为
2sin cos v u d
W wab
u
v
θβ
-=
同理，可得左右侧接收雨量
3sin sin u d W wac
u
v
θβ
=
三者相加得
sin cos sin sin cos v u u d d d
W bcw wab wac v u v u v
θβθβ-=+θ+
5、模型的评价
5.1、模型优点
通过模型的建立，相对客观的对人在雨中奔跑的各个情况进行了分析，可知人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。

对人在雨中奔跑于淋雨量的关系有了一定的了解
5.2、模型缺点
本文只是偏重于求解，对于模型的建立还不够好，未能想到一个可以解决所有问题的模型而惭愧。