第系统数学模型
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系统的数学模型
虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但 是在大多数情况下，实际的关系并非是真正 线性的。即使对所谓的线性系统来说，也只 是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较 小的非线性因素所引起的误差，工程上又允 许的话，这一系统就可以作为线性系统来处 理。
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章系统数学模型的建立
工质状态 （温度）
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
系统的数学模型
系统的数学模型是建立在客观环境系统的基础上的，它反映了评价所涉及的各种环境要素和过程，以及它们之间的相互联系和作用。
这个模型是建立在物理定律和机械定律的基础上的，通过推导可以得到数学模型。
数学模型可以分为静态模型和动态模型，静态模型主要用于静态误差分析，而动态模型则主要用于分析连续系统（微分方程）和离散系统（差分方程）。
系统的数学模型还可以根据目的分为三类：用来帮助对象设计和操作的模型，用来帮助控制系统设计和操作的模型，以及用来进行系统仿真的模型。
在建模过程中，还需要注意掌握好复杂和简单的度，以作合理折中。
第2章 系统的数学模型及传递函数
u(t)
R-L-C无源电路网络
L
R
di(t) d 2q(t) u(t) L dt L dt2
ui(t)
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
ui
(t)
Ri (t )
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
L
R
i(t) C uo(t)
R-L-C无源电路网络
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。
• 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的， 可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次 的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则 此微分方程是非线性的。（P11）
• 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下， 可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的 动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能 够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。
5. 系统传递函数只表示系统输入量与输出量的数学关系(描述系统 的外部特性)，而没有表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内 部特性)。在现代控制理论中，可采用状态空间描述法来对系统的动 态特性进行描述。
34
y(t) k c m f(t)
••
•
m y(t) c y(t) ky(t) f (t)
输出 b
输出
输出
0
输入
0
输入
0
输入
a 饱和（放大器）
死区（电机）
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。
B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统， 有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1
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• 根据物理系统的特点将系统划分为若干个 环节，确定各个环节的输入输出信号和输 入输出关系；
• 根据物理定律或通过实验等方法得出物理 规律，对各个环节分别建立方程，并考虑 适当简化，线性化；
• 将各环节的方程式联立，消去中间变量， 得出只含输入变量、输出变量以及系统参 量的系统微分方程数学模型。
2020/5/26
[例2.5] 斜坡函数的拉氏变换
斜坡函数
0 x(t) at
(t 0) (t 0)
则
X(s) L[x(t)]
at
estdt
a
tdest
0
s 0
a s
t
est
0
0estdt
a s2
2020/5/26 11
[例2.7] 指数函数的拉氏变换
[例2.7] 求指数函数的拉氏变换 指数函数
(2)微分定理
Lddt f (t) sF(s) f (0) n阶导数的拉氏变换
第2章 系统的数学模型
• 2.1 系统数学模型—微分方程 • 2.2 拉普拉斯变换及其反变换 • 2.3 传递函数及典型环节的传递函数 • 2.4 系统传递函数方框图及其简化 • 2.5
2020/5/26 1
2.1 系统数学模型－－微分方程
[例2.1] 无源电路网络
U i U oIrR 1 (2 .1 )
R1 Ir
Ui UoC 1 Icdt
(2.2)
Ui
U o (Ir Ic)R 2 (2 .3 )
C
Ic R 2
Uo
（ 2 .1 ） Ir （ U i U o ） /R 1 （ 2 .2 ） Ic （ U & i U & o ） C
(2 .4 ) (2 .5 ) (2 .3 )
C 1 R 2 U R o ( R 1 R 2 ) U o C 1 R 2 U R i R 2 U i (2.
2020/5/26 2
[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
c i2 (t)
K0
+ +
(a) 运算放大器的符号
i1 ( t )
U i(t)
R
_
A
+
R
K0
U 0 (t)
+B
[解]
(b) 含运算放大器的一种网络U o(t)K oU A(t) K o很 大 U A0
(2.7)
由式(2.7)表示的关系，称A点为“虚地”。
x(t)etdt 0
2020/5/26 9
[例2.4] 单位阶跃函数的拉氏变换
[例2.4] 求单位阶跃函数的拉变氏换 单位阶跃函数为
1(t)
0 1
根据拉氏变换定义
(t 0) (t 0)
L[1(t)] 1(t)estdt estdt 1est 1
0
0
s 0s
2020/5/26 10
6
e at
7
e -at
8
2020/5/26
1 t n1e-at (n 1)!
13
F (s)
1
1 s
k s 1 s r1 1 e -at s
1 sa
1 sa
1 (s a)n
2.2.2 拉氏变换的基本定理
(1)加法定理 若 L[f1(t)]F1(s), L[f2(t)]F2(s) 则 L[a1f(t)b2f(t)]a1F (s)b2 F(s)
2020/5/26 5
0 (t) J
Em
M(t) f
(2.1)0 (2.1)1 (2.1)2 (2.1)3
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
把 (2.1)1代(入 2.1)3: ia(t)1[J 0(t)f 0(t)] KT
(2.1)4
把 (2.1)2和 (2.1)4代(入 2.1)0直流伺服电 模动 :型机得数学
2020/5/26 6
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
若 用 (t) 0(t)表示电动机度 转， 子的角速 则(式 2.1)52 (.16 )和 (2.17 )分别变为
LaJ (t)(Laf RaJ) (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
(2.1)8
RaJ (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
8
2.2 拉普拉斯变换及其反变换
2.2.1 拉氏变换的定义
定义：
X ( s ) L [x ( t) ]x ( t) e sd t t
0
其中 sj
( 2 .2 )2
（1）当 t 0 时，x(t) 0 ； （2）当 t 0 时，x ( t ) 在每个有限区间上是分段连续的； （3）当 为正实数时，x ( t ) 满足
2020/5/26
4
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
Ra
La
ia( t )
Ei(t )
[解]
电压平衡 Ei(t方 )R程 aia(t)： Lai (t)Em(t) 转矩方程 M(： t)KTia(t) 反电动势 Em(t： )Ke 0(t) 动力学方 M(t程 )J： 0(t)f 0(t)
LaJ(03)(t)(Laf RaJ) 0(t)(Raf KTKe) 0(t)KTEi(t)
(2.1)5
忽略 R a J 0 ( t ) ( 电 R a f K T K e 感 ) ( t ) K T E ： i( t ) ( 2 .1 )6
忽略电枢 Ke 电 0(t) 感 Ei(t)为： (2.1)7
(2.19 )
Ke(t)Ei(t)
(2.20 )
单输入、单输出 定、 常线 系性 统数学模 般型 形的 式一 ：
anxo(n()t)an1xo(n-1)(t)a1xo(t)a0xo(t) bmxi(m)(t)bm-1xi(m-1)(t)b1xi(t)b0xi(t)
2020/5/26 7
对于复杂系统建立微分方程形式的 数学模型一般步骤为：
2020/5/26 3
[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
运算放大器很 的高 输， 入流 阻经 抗的 运电 算流 放很 大小 器：
i1(t)i2(t)
(2.8)
由式(2.8)表示的关系，称A点为“虚断” 。
由式(2.7)
i1(t)
Ui (t) R
i2
(t)
C
dUo (t) dt
由(式 2.8)得其数学 R模 U C o(t型 )U ： i(t)
0
x(t)
eat
(t 0) (t 0)
则
X (s) L[x(t)] eatestdt e(as)tdt
0
0
1
e(as)t
1
(a s)
0 sa
2020/5/26 12
拉普拉斯变换简表
f (t)
1
单位脉冲函数 (t)
2
单位阶跃函数 1(t)
3
k
4
1 tr r!
u(t a)在t a开始的单位阶跃 5
• 根据物理定律或通过实验等方法得出物理 规律，对各个环节分别建立方程，并考虑 适当简化，线性化；
• 将各环节的方程式联立，消去中间变量， 得出只含输入变量、输出变量以及系统参 量的系统微分方程数学模型。
2020/5/26
[例2.5] 斜坡函数的拉氏变换
斜坡函数
0 x(t) at
(t 0) (t 0)
则
X(s) L[x(t)]
at
estdt
a
tdest
0
s 0
a s
t
est
0
0estdt
a s2
2020/5/26 11
[例2.7] 指数函数的拉氏变换
[例2.7] 求指数函数的拉氏变换 指数函数
(2)微分定理
Lddt f (t) sF(s) f (0) n阶导数的拉氏变换
第2章 系统的数学模型
• 2.1 系统数学模型—微分方程 • 2.2 拉普拉斯变换及其反变换 • 2.3 传递函数及典型环节的传递函数 • 2.4 系统传递函数方框图及其简化 • 2.5
2020/5/26 1
2.1 系统数学模型－－微分方程
[例2.1] 无源电路网络
U i U oIrR 1 (2 .1 )
R1 Ir
Ui UoC 1 Icdt
(2.2)
Ui
U o (Ir Ic)R 2 (2 .3 )
C
Ic R 2
Uo
（ 2 .1 ） Ir （ U i U o ） /R 1 （ 2 .2 ） Ic （ U & i U & o ） C
(2 .4 ) (2 .5 ) (2 .3 )
C 1 R 2 U R o ( R 1 R 2 ) U o C 1 R 2 U R i R 2 U i (2.
2020/5/26 2
[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
c i2 (t)
K0
+ +
(a) 运算放大器的符号
i1 ( t )
U i(t)
R
_
A
+
R
K0
U 0 (t)
+B
[解]
(b) 含运算放大器的一种网络U o(t)K oU A(t) K o很 大 U A0
(2.7)
由式(2.7)表示的关系，称A点为“虚地”。
x(t)etdt 0
2020/5/26 9
[例2.4] 单位阶跃函数的拉氏变换
[例2.4] 求单位阶跃函数的拉变氏换 单位阶跃函数为
1(t)
0 1
根据拉氏变换定义
(t 0) (t 0)
L[1(t)] 1(t)estdt estdt 1est 1
0
0
s 0s
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6
e at
7
e -at
8
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1 t n1e-at (n 1)!
13
F (s)
1
1 s
k s 1 s r1 1 e -at s
1 sa
1 sa
1 (s a)n
2.2.2 拉氏变换的基本定理
(1)加法定理 若 L[f1(t)]F1(s), L[f2(t)]F2(s) 则 L[a1f(t)b2f(t)]a1F (s)b2 F(s)
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0 (t) J
Em
M(t) f
(2.1)0 (2.1)1 (2.1)2 (2.1)3
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
把 (2.1)1代(入 2.1)3: ia(t)1[J 0(t)f 0(t)] KT
(2.1)4
把 (2.1)2和 (2.1)4代(入 2.1)0直流伺服电 模动 :型机得数学
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[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
若 用 (t) 0(t)表示电动机度 转， 子的角速 则(式 2.1)52 (.16 )和 (2.17 )分别变为
LaJ (t)(Laf RaJ) (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
(2.1)8
RaJ (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
8
2.2 拉普拉斯变换及其反变换
2.2.1 拉氏变换的定义
定义：
X ( s ) L [x ( t) ]x ( t) e sd t t
0
其中 sj
( 2 .2 )2
（1）当 t 0 时，x(t) 0 ； （2）当 t 0 时，x ( t ) 在每个有限区间上是分段连续的； （3）当 为正实数时，x ( t ) 满足
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[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
Ra
La
ia( t )
Ei(t )
[解]
电压平衡 Ei(t方 )R程 aia(t)： Lai (t)Em(t) 转矩方程 M(： t)KTia(t) 反电动势 Em(t： )Ke 0(t) 动力学方 M(t程 )J： 0(t)f 0(t)
LaJ(03)(t)(Laf RaJ) 0(t)(Raf KTKe) 0(t)KTEi(t)
(2.1)5
忽略 R a J 0 ( t ) ( 电 R a f K T K e 感 ) ( t ) K T E ： i( t ) ( 2 .1 )6
忽略电枢 Ke 电 0(t) 感 Ei(t)为： (2.1)7
(2.19 )
Ke(t)Ei(t)
(2.20 )
单输入、单输出 定、 常线 系性 统数学模 般型 形的 式一 ：
anxo(n()t)an1xo(n-1)(t)a1xo(t)a0xo(t) bmxi(m)(t)bm-1xi(m-1)(t)b1xi(t)b0xi(t)
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对于复杂系统建立微分方程形式的 数学模型一般步骤为：
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[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
运算放大器很 的高 输， 入流 阻经 抗的 运电 算流 放很 大小 器：
i1(t)i2(t)
(2.8)
由式(2.8)表示的关系，称A点为“虚断” 。
由式(2.7)
i1(t)
Ui (t) R
i2
(t)
C
dUo (t) dt
由(式 2.8)得其数学 R模 U C o(t型 )U ： i(t)
0
x(t)
eat
(t 0) (t 0)
则
X (s) L[x(t)] eatestdt e(as)tdt
0
0
1
e(as)t
1
(a s)
0 sa
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拉普拉斯变换简表
f (t)
1
单位脉冲函数 (t)
2
单位阶跃函数 1(t)
3
k
4
1 tr r!
u(t a)在t a开始的单位阶跃 5