控制工程3系统数学模型
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制工程数学模型
控制⼯程数学模型1 控制系统的数学模型数学模型是描述系统输⼊量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数⽅程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程，描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。
对于给定动态系统，数学模型表达不唯⼀。
⼯程上常⽤的有：微分⽅程，传递函数和状态⽅程。
不过对于线性系统，它们之间是等价的。
2 建⽴数学模型的⽅法1. 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式，建⽴模型。
2. 实验法⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近，这种⽅法也称为系统辨识。
3 数学模型的形式1. 时间域微分⽅程差分⽅程状态⽅程（⼀阶微分⽅程组）2. 复数域传递函数结构图3. 频率域频率域4 建⽴数学模型的⼀般步骤⽤解析法列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤是：1. 分析系统⼯作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。
2. 从系统输⼊端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件、部件的动态微分⽅程。
3. 消去中间变量，得到⼀个描述元件或系统输⼊、输出变量之间关系的微分⽅程。
4. 写成标准化形式。
与输⼊有关项放在等式右侧，与输出有关项放在等式左侧，且各阶导数项按降幂排列。
5 控制系统微分⽅程的列写5.1 机械系统在机械系统中，有些构件惯性和刚度较⼤，有些构件惯性较⼩、柔度较⼤。
我们将前者的弹性忽略视其为质量块，将后者的惯性忽略视其为⽆质量弹簧。
这样，机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
1. 质量2. 弹簧3. 阻尼5.1.1 机械平移系统列出各元件的动态微分⽅程：消去中间变量并写成标准形式：式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由⼆阶常系数微分⽅程描述。
控制工程基础——数学模型
c
d dt
xo (t)
?
kxo
(t )
?
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压u i(t)为系统输入量。电容器 c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压 ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
电流i(t)为中间变量。
根据电压方程，可写出
Ri(t) ?
L
d dt
i (t )
?
ui (t)
?
uo (t)
1
? uo (t) ? C i(t)dt
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
LC
d2 dt 2
uo
(t )
?
RC
d dt
uo
(t )
?
uo (t)
?
ui (t)
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是 信息方法 ，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
☆ 举例1：机械平移动力学系统
三 举例
弹簧和质量在静止平衡
控制基本模型-概述说明以及解释
控制基本模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在控制理论和应用中，控制基本模型是指用于描述和分析控制系统的数学模型。
控制基本模型是控制工程师和研究人员研究和设计控制系统时的基础，它提供了系统动力学行为的描述以及控制方法的分析和设计。
控制基本模型可以采用多种形式，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型等。
这些模型通常基于系统动力学方程和输出-输入关系来建立。
通过对模型进行数学分析和仿真实验，我们可以深入了解和预测控制系统的行为，并针对不同的应用需求进行优化设计。
本文将重点介绍控制基本模型的定义和控制方法的介绍。
首先，我们将详细讨论基本模型的定义，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型的基本原理和特点。
然后，我们将介绍一些常用的控制方法，如比例积分微分控制（PID控制），模糊控制和自适应控制等。
这些控制方法可以根据系统的需求和特点来选择和应用。
通过本文的学习，读者将能够理解和掌握控制基本模型的概念和基本原理，了解不同类型的控制方法的适用范围和特点。
同时，读者还将能够应用所学知识来设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
总之，控制基本模型是控制系统设计和分析的基础，具有重要的理论和实际意义。
通过研究和应用控制基本模型，我们可以不断改进和优化控制系统，提高系统的性能和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文的目的是探讨控制基本模型，并介绍相关的控制方法。
为了更好地组织本文的内容，文章结构如下所示：引言部分将在1.1概述中简要介绍控制基本模型的背景和意义，并在1.3目的中明确阐述本文的研究目标。
正文部分将分为两个小节进行讲解。
首先，在2.1基本模型定义中，我们将详细阐述控制基本模型的定义和内容，包括其在控制系统中的作用和应用领域。
其次，在2.2控制方法介绍中，我们将介绍几种常见的控制方法，包括PID控制器、模糊控制和神经网络控制等，以及它们在控制基本模型中的应用。
结论部分将在3.1总结中对本文进行总结，回顾并强调本文的重点内容和研究成果。
控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)
负载效应
2、动态结构图的等效变换 结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关 系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数， 等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该 部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不 变。 （1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1） 写出系统中每一个部件的运动方程式 2） 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个 部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并 把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置 于最右端 例 绘制下图所示电路的方框图 方程有
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制工程基础 系统的数学模型
若
x1(t) x2(t)
线性系统
y1 ( t ) y2 ( t ) a1y1(t)+a2y2(t)
线性系统
线性系统
则
a1x1(t)+a2x2(t)
其中a1、a2为常数。 推而广之：
a x (t )
i 1 i i
n
a y (t )
线性系统
i 1 i i
n
其中ai（i=1，2，…，n）为常数。
3. 本课程涉及的数学模型形式
10:17:57
7
3-1 概述
1. 数学模型的概念 数学模型：是描述系统特性的数学表达式。它揭示了
系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 数学模型是对系统特性（包括动态特性和静态特性） 进行分析、综合的有效工具。 数学模型的类型：微分方程，传递函数，频响函数， 状态空间表达式等。这些模型一般可以互相转化。 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数和频率 响应函数（简称频响函数）为基础。而现代控制理论 采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物 理定律及实验规律为依据的微分方程则是最基本的数 学模型，是列写传递函数、频响函数和状态空间方程 的基础。
电网络系统
di uL dt 1 i udt L
23
3-2 系统微分方程的建立
例 1 例 1 ：求图所示电路的微分方程。 解：利用基尔霍夫电压定律得到 L R
I
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) (1) dt 1 i (t )dt uo (t ) (2) C
f mx f(t) 或 mx f 0
（对质量）
弹性元件 弹簧刚度k N∙m－1 粘性阻尼元件 粘性阻尼系数 B N∙s∙m－1
控制工程(第3章)
：
s1, 2
j n j 1 2 n n n n ( 2 1)
0 0 1 1 1
3. 二阶系统的响应曲线⑴
①欠阻尼系统
系统在s左半平面上有一对共轭复数极点
e nt 1
满足特征方程，那么也必然满足上式： 2
0 (t ) 1 (t )1 2 (t ) 1 n 1 1 n 1 e t
1
0 (t ) 1 (t ) 2 2 (t ) 2 2 n 1 2 n 1 e t
取拉氏反变换，得到零状态响应:
y1 (t ) L1 [Y1 ( s)] ck e pk t ci e pit
k 1 i 1 n v
零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s） 的极点共同确定。
等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在 s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称 为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。
◎ 将 的表达式带入 将无穷级数化为 A 的有限项的表达式。
A n 2 , A n3
的展开式，这样可消去
A n , A n 1 , A n 2
，
e At 0 (t ) I 1 (t ) A n 1 A n 1 i (t ) ◎A 的计算： ,
例2：系统的零点影响
例2
G1 ( s )
已知两个系统的传递函数
4s 2 s 2 3s 2
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差传递函数的意义。
重点：
系 （1）建立简单机、电元件及系统的微分方程式 统 （2）传递函数概念、典型环节传递函数。 数 （3）简单机、电系统传递函数求取方法。 学 （4）结构图的绘制，结构图化简。
模 难点：
型 （1）列写微分方程式，综合运用机、电基础知识
列写机械和电路方程。
（2）绘制系统结构图并化简，得到系统传递函数。
分方程来描述的
二、系统传递函数
定义：在初始条件为0时，线性系统输出量的拉氏变换
与输入量的拉氏变换之比称为线性系统的传递函数。
系 当初始条件为0时，对线性系统的微分方程的一般表达
统
式
an
dny dt n
a n1
d n1 y dt n1
a1
dy dt
a0y
数 学
bm
dmx dt m
bm1
统
身的结构和参数有关。
数
３.传递函数不反映系统的物理结构。具有相同的传递
学
模
函数，从信号传递关系来说，具有相同特性。
型
４.传递函数只表明单输入、单输出信号传递关系。
5 .n≥m
——物理可实现系统
三、系统的零极点
系统传递函数G(s)是以复变量s为自变量的复变函数，
系
可写成一般形式：
Gs
K g s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
统
一般形式
标准形式
m
m
数
K g s zi
K Tis 1
学
Gs
i 1 n
s pj
Gs
i 1 n
Tjs 1
模
j 1
j 1
型
zi——系统的零点；影响瞬态性能 pj——系统的极点；特征根；决定稳定性
K——系统增益(放大倍数) ；稳态输出值
型
F(s) (k1 Bs)X (s) (k1 Bs)Y (s)
Ms 2Y (s) (k1 Bs) X (s) (k1 Bs)Y (s) k2Y (s)
整理可求得
模
型
解：设质量M的位移y(t)为中间变量，再对其
作受力分析图
系 统
k2 y
k1 (x y)
M
k1 (x y)
a
B(x y)
A B(x y)
f(t)
数 依据A点力平衡及牛顿定律列写原始方程式：
学
f (t) B(x y) k1 (x y)
模
作拉氏变换：My B(x y) k1 (x y) k2 y
f(t)
系
m
统 KB
数
f(t)
解：对m受力分析
m
依牛顿定律列方程：
y(t) fK(t) fB(t)
f
(t)
f
K
(t)
f
B
(t) y( dt 2
t)
学 而f(Kt)=Ky(t) f(t)=B·dy(t)/dt
模 型
代入方程可得：
m
d
2
y(t)
B
dy(t)
Ky(t)
f
(t)
dt 2
dt
可见，该系统的瞬态数学模型是用二阶常系数微
＋
R
＋
解：1.确定输入与输出
系 统
i(t)
ui(t)
C
uo(t)
输入为ui(t),输出为uo(t) 2.选电流i(t)为中间变量
数
列方程：
学 模
方法？
u i (t) Ri(t) u o (t)
uo (t)
3.消去中间变量并整理可得微分方程为：
1 C
i(t)dt
型
RC
du o (t) dt
uo
(t)
统 数
列写的一般步骤如下：
学
1. 分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间 的关系，确定输出量及输入量。
模
2. 设中间变量，依据物理、化学等定律忽略次要因
型
素列写微分方程式。
3. 消去中间变量并整理，降阶排列，输出方程左边，
输入在方程右边，即得系统或元件的微分方程式
或数学模型。
例：列写图示RC无源网络的微分方程
（1）了解数学模型基本概念；
系 （2）掌握简单机、电元件及系统微分方程式的列写；
统 （3）掌握传递函数的概念、定义、性质及求取；
数 （4）掌握典型环节传递函数及其瞬态特性；
学 （5）掌握串联、并联、反馈连接等效传递函数的求法；
模
结构图等效变换原则，能用结构图简化方法求系统的
型
传递函数；
（6）理解控制系统开环传递函数、闭环传递函数、误
d m1 x dt m1
b1
dx dt
b0 x
进行拉氏变换可得：
模 ansn an1sn1 a1s a0 Y s bm s m bm1s m1 b1s b0 X s
型
令
Gs
Y s X s
则有
Gs
bm s m an s n
bm1s m1 b0 an1s n1 a0
即为系统传递函数
用框图表示为:
X(s)
G(s)
Y(s)
传递函数的性质
G s
bm s m an s n
bm1s m1 b0 an1s n1 a0
１.传递函数是描述线性系统或线性元件特性的一种数
学模型，它和系统或元件的运动微分方程一一对应。
系
２.传递函数反映系统本身的瞬态特性，它只与系统本
ui
(t)
由此可知，RC无源网络的瞬态数学模型是一阶常系数线
性微分方程
列写下面RC滤波网络的微分方程
R1
R2
系
统
ui
C1
C2
uo
数
学
模
微分方程的列写过程请看教材P 27
该网络微方程为：
型
R1C1R 2C2
d2uo dt 2
(R1C1
R
2
C
2
)
du o dt
uo
ui
例：一弹簧-质量-阻尼机械系统受外力f(t)作用产生位 移y(t)，试列写该系统微分方程
系统零极点在复平面上的表示
零点用“〇”表示，极点用“×”表示
四、简单系统传递函数的求取
1.质量、弹簧、阻尼器机械系统运动微分方程式为
系
m d2 y(t) B dy(t) Ky(t) f (t)
统 数
dt 2
dt
故传递函数为：G(s) Y(s)
1
F(s) ms2 Bs K
学
2.求图示机械系统的传递函数。f(t)为输入，x(t)为 输出（不计摩擦）。
主要内容：
1) （1）数学模型概念；
系 统
2) （2）简单机电元件及系统微分方程的列写；
数 （3）传递函数的定义、性质、求法;
学 （4）典型环节的传递函数及瞬态(动态)特性；
模 （5）控制系统结构图的绘制方法与简化； 型
（6）环节的串并联、带反馈环节的传递函数；
（7）相似原理与相似系统
基本要求：
数学模型
能够用来
系
表达一个系统的动态性能、
统
揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系
数
的数学表达式
学
模
型
线性系统的概念及其特性
线性系统
系 统
能用线性微分方程描述的系统
数 学
线性系统的特性 叠加性
模
型
频率保持特性
微积分性
一、 微分方程列写
列写微分方程的目的：
系
确定输出与输入或扰动之间的函数关系