控制工程基础第二章数学模型
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《控制工程基础》系统的数学模型 ppt课件
如： a n x 0 (n )(t) a n 1 x 0 (n 1 )(t) a 1 x 0 (t) a 0 x 0 (t)
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
控制工程基础第二章 控制系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数框图的简化
• 等效变换原则是：变换前后前向通道中的传递 函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘 积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输 出传递函数保持不变。
• 1、串联环节的等效变换规则 • 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式
称为环节的串联。当各环节之间不存在（或可 忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数 为：
时间 内并无输出，在 后，输出就完全等于从一开
始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输
入，只是在时间上延迟了一段时间间隔 。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.4 传递函数框图及其简化
• 传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的 图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节 间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传 递、变换过程。
数学模型动 静态 态模 模型 型
• 静态模型：一般是不含时间变量t的代数 方程，描述系统的静态特性，即平衡状 态下各变量间的对应关系。
• 动态模型：描述系统的动态特性，即在 运动过程中随时间变化的各变量间的相 互关系，数学表达式是含时间变量t的微 分方程、传递函数或频率特性。
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数求解示例 • 之前例1中求得机械位移系统的微分方程为
• 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
T 2 s2 X (s ) 2T(s) X X (s ) k(s F )
• 按照定义，系统的传递函数为：
G(s)X F((ss))T2s2k2T s1
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
G (s)X X o i((s s))X X 1 i( (s s) )X X 1 o((s s))G 1(s)G 2(s)
控制工程基础第2章 控制系统的动态数学模型 PPT精品课件
❖ 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在 建立状态空间模型时要求），消去中间变量，建 立适当的输入输出模型或状态空间模型。
2020/2/29
8
控制工程基础
实验法－基于系统辨识的建模方法
❖ 已知知识和辨识目的
❖ 实验设计--选择实验条件
❖ 模型阶次--适合于应用的适当的阶次
❖ 参数估计--最小二乘法
当电机电枢电感较小时, 通常可忽略不计， 系统微分方程可简化为
2020/2/29
26
控制工程基础
➢小结
✓物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法）
✓从动态性能看，在相同形式的输入作用 下，数学模型相同而物理本质不同的系统 其输出响应相似。相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础
2020/2/29
27
控制工程基础
✓通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容等）的个数； 因为系统每增加一个独立储能元，其内部就 多一层能量（信息）的交换
✓系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
2020/2/29
10
控制工程基础
进给传动装置示意图及其等效的力学模型
2020/2/29
11
控制工程基础
组合机床动力滑台示意图 及其等效的力学模型
2020/2/29
12
控制工程基础
控制系统微分方程的列写
➢机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓质量
21
控制工程基础
2020/2/29
8
控制工程基础
实验法－基于系统辨识的建模方法
❖ 已知知识和辨识目的
❖ 实验设计--选择实验条件
❖ 模型阶次--适合于应用的适当的阶次
❖ 参数估计--最小二乘法
当电机电枢电感较小时, 通常可忽略不计， 系统微分方程可简化为
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控制工程基础
➢小结
✓物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法）
✓从动态性能看，在相同形式的输入作用 下，数学模型相同而物理本质不同的系统 其输出响应相似。相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础
2020/2/29
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控制工程基础
✓通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容等）的个数； 因为系统每增加一个独立储能元，其内部就 多一层能量（信息）的交换
✓系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
2020/2/29
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控制工程基础
进给传动装置示意图及其等效的力学模型
2020/2/29
11
控制工程基础
组合机床动力滑台示意图 及其等效的力学模型
2020/2/29
12
控制工程基础
控制系统微分方程的列写
➢机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓质量
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控制工程基础
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
【控制工程基础-清华课件】第二章数学模型-2(打印版)
第二章 控制系统的动态数学模型
¾ 线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的 系数是时间t的函数，则为线性时变系统； 线性是指系统满足叠加原理，即：
9 可加性： f ( x1 + x2 ) = f ( x1) + f ( x2 ) 9 齐次性： f (α x) = α f (x)
f (x)+
df (x ) (x − x ) + dx
1 2
d
第二章 控制系统的动态数学模型
线性系统微分方程的一般形式
dn dt n
xo (t) + a1d Fra bibliotek−1 dt n−1
xo (t) + " + an−1
d dt
xo (t) + an xo (t)
=
b0
dm dt m
xi (t) + b1
d m−1 dt m−1
xi (t) + " + bm−1
d dt
在 θo = 0 点附近泰勒展开
..
ml2 θo (t) + mglθo (t) = Ti (t)
2
第二章 控制系统的动态数学模型
¾ 实例：阀控液压缸
第二章 控制系统的动态数学模型
QL0 = f ( pL0 ,x0 )
( ) QL
=
f
(
pL0
,x0
)
+
⎡ ⎢⎣
∂f
pL ,x ∂x
⎤ ⎥ x= x0 ⎦ pL = pL0
第二章 控制系统的动态数学模型
液压腔工作腔流动连续性方程为：ΔQ = A d (Δy)
¾ 线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的 系数是时间t的函数，则为线性时变系统； 线性是指系统满足叠加原理，即：
9 可加性： f ( x1 + x2 ) = f ( x1) + f ( x2 ) 9 齐次性： f (α x) = α f (x)
f (x)+
df (x ) (x − x ) + dx
1 2
d
第二章 控制系统的动态数学模型
线性系统微分方程的一般形式
dn dt n
xo (t) + a1d Fra bibliotek−1 dt n−1
xo (t) + " + an−1
d dt
xo (t) + an xo (t)
=
b0
dm dt m
xi (t) + b1
d m−1 dt m−1
xi (t) + " + bm−1
d dt
在 θo = 0 点附近泰勒展开
..
ml2 θo (t) + mglθo (t) = Ti (t)
2
第二章 控制系统的动态数学模型
¾ 实例：阀控液压缸
第二章 控制系统的动态数学模型
QL0 = f ( pL0 ,x0 )
( ) QL
=
f
(
pL0
,x0
)
+
⎡ ⎢⎣
∂f
pL ,x ∂x
⎤ ⎥ x= x0 ⎦ pL = pL0
第二章 控制系统的动态数学模型
液压腔工作腔流动连续性方程为：ΔQ = A d (Δy)
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
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例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
控制工程第02章数学模型
上海交通大学机械与动力工程学院
控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
划分环节
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程） 根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
School of Mechanical & Power Engineering
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
School of Mechanical & Power Engineering
线性与非线性
分布性与集中性
参数时变性
上海交通大学机械与动力工程学院
上海交通大学机械与动力工程学院
控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
Part 2.1 物理系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础
机械系统
Example 电气系统
2.1.3 提取数学模型的步骤
相似系统
School of Mechanical & Power Engineering
注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
School of Mechanical & Power Engineering
上海交通大学机械与动力工程学院
控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
控制工程基础第2章 数学模型(2)
递的关系，可写出
X 0 s G s E s E s X i s B s B s H (s )X 0 s
消去E（s）、B(s)得：
1 G s H (s )X 0 s G s X i s
因此，得闭环传递函数
U i s U A s I1 s R1 1 I1 s I 2 s U A s C1s U A s U 0 s I 2 s R2 1 U 0 s I 2 s C2 s
3．梅森公式
1 p
式中：P—系统总传递函数： pk—第k条前向通路的传函数 Δ—流图的特征式，面且
FB (s ) BsX (s ) X 0 (s )
1 FK1 (s) FB (s) FK 2 (s) X (s ) 2 m1s
FK 2 (s ) K 2 X 0 (s )
X (s )
各方程对应的方框单元 如图2．33所示
1 Fi (s ) FB (s ) FK 1 (s ) 2 m1s FK 1 (s ) K1 X (s ) X 0 (s )
(1)节点 表示变量或信号，其值等于所有进人该节点的 信号之和。 (2)输入节点 （3）输出节点 （4）混和节点 它是只有输出的节点，也称源点。 它是只有输入的节点，也称汇点。 它是既有输入又有输出的节点。
（5）支路 定向线段称为支路。其上的箭头表明信号 的流向，各支路上还表明了增益，即支路的传递函数。
d d 转动平衡方程 : J B T T dt dt
M b
N
d 电动机的反电动势正比 于速度 : e K dt 式中：K 反电动势常数 。
b b
0
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n
1 X ( s) sn
⒊延迟定理
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t ) 函数 f (t ) 称为延迟函数，函数本身并 不发生改变，只是延迟 α 时 间才发生。 注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t ) F (s) 延迟函数的拉氏变,2, , n) b j ( j 0,1,2, , m) 是由系统结构和
参数决定的常数。齐次方程为
an y
( n)
(t ) an1 y
( n 1)
(t ) a1 y(t ) a0 y(t ) 0
.
n n1 特征方程为 an an1 a1 a0 0
斜坡函数——阶跃函数的积分！
A L[ At } A t e dt 2 0 s 1 t 2 s
st
f (t ) At, (t 0)
时域中的积分运算 加速度函数 （速度函数 的积分）
f (t )
复数域中为乘1/s，或说除以s
1 2 1 2 st A L[ At ] A t e dt 3 2 2 0 s
五 系统运动微分方程的一般形式
设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有
an y
(n)
(t ) an1 y
( m)
( n 1)
(t ) a1 y(t ) a0 y(t )
( m1)
.
bm r
(t ) bm1r
(t ) b1 r (t ) b0 r (t )
此式为二阶常系 数线性微分方程。
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输 出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的 电流i(t)为中间变量。 根据电压方程，可写出 Ri (t ) L d i(t ) ui (t ) uo (t )
三 拉氏变换性质定理⑴
⒈线性定理
Ax1 (t ) Bx2 (t ) AX1 ( s) BX 2 ( s)
⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
x(t ) sX ( s )
1 x ( t ) dt X (s) s
.
( n)
x (t ) s n X ( s)
x(t )dt
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。 ⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
f (t )
A 1(t ), t0
(0 t t 0 )
☆ 脉冲函数及其拉氏变换
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A f T (t ) lim t 0 0 t 0
d [ A(1 e t0 s )] dt A As L[ fT (t )] lim (1 e t0 s ) lim 0 A t 0 0 t s t 0 0 d s 0 (t0 s ) dt0
☆ 机械平移动力学系统的模型
根据牛顿第二定律，应有
d2 f i (t ) f c (t ) f k (t ) m xo (t ) dt
由阻尼器、弹簧的特性，可写出 f c (t ) c d xo (t ) f k (t ) kxo (t )
dt
消去中间变量，写成规范形式
d2 d m 2 xo (t ) c xo (t ) kxo (t ) f i (t ) dt dt 系统的数学模型可用方块图表示：
特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。 N 阶 系统有n个特征根。特征根只能是 0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! 注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。
六 建立动态方程时应注意的问题
⑴ 变量形式的选取问题 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 ⑵ 负载效应问题 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
⑶非线性模型的线性化问题
实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切 线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是 在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近 似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线 代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点 处取泰勒级数一次近似式。
2.2 拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)
建立描述系统动态性能的运动微分方程之后， 给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道 系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下 的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程 理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路 就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换 是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化 为复数域中的代数运算。
1 2 1 t 3 2 s
1 2 At , (t 0) 2
☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
sin t 1 j t (e e jt ) 2 2j s 2 1 s cost (e jt e jt ) 2 2 s 2
欧拉 公式
谐波函数 的 拉氏变换
数学模型的形式
微分方程 （组） L变换 L反变换 传递函数 （阵） s=jω 频率特性
时间响应 变量状态图 方框图， 信号流图
Nyquist图， Bode图等
现代控制理论
2.1系统运动微分方程的建立
一 依据：
反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
二 步骤：
（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； （5）整理成规范形式。
单位脉冲（Dirac） 定义： (t )dt 1, (t 0, (t ) 0) 面积为1的脉冲函数 A (t ) A 显然 (t ) 1,
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
一 拉氏变换的定义
拉氏变换的定义
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s j
拉氏变换的实质 时间函数 复变量s的复变函数
二 典型函数的拉氏变换
指数函数
et
指数函数的拉氏变换
L[ Ae ] A
t
0
工程中极其重要的函 数！有如下性质
dt
u o (t )
1 i (t )dt C
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
d2 d LC 2 u o (t ) RC u o (t ) u o (t ) u i (t ) dt dt
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
四 小结
☆ 小结：⑴⑵
⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
⑴单位脉冲函数定义为： (t )dt 1 ⑵单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1； ⑶ L[ (t )] 1 L[ A (t )] A 时域里的脉冲 复数域中的常数 ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函 数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
七
线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
f (t ) e s F (s)
e s
原函数的拉氏变换乘以
例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换
1 X ( s) sn
⒊延迟定理
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t ) 函数 f (t ) 称为延迟函数，函数本身并 不发生改变，只是延迟 α 时 间才发生。 注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t ) F (s) 延迟函数的拉氏变,2, , n) b j ( j 0,1,2, , m) 是由系统结构和
参数决定的常数。齐次方程为
an y
( n)
(t ) an1 y
( n 1)
(t ) a1 y(t ) a0 y(t ) 0
.
n n1 特征方程为 an an1 a1 a0 0
斜坡函数——阶跃函数的积分！
A L[ At } A t e dt 2 0 s 1 t 2 s
st
f (t ) At, (t 0)
时域中的积分运算 加速度函数 （速度函数 的积分）
f (t )
复数域中为乘1/s，或说除以s
1 2 1 2 st A L[ At ] A t e dt 3 2 2 0 s
五 系统运动微分方程的一般形式
设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有
an y
(n)
(t ) an1 y
( m)
( n 1)
(t ) a1 y(t ) a0 y(t )
( m1)
.
bm r
(t ) bm1r
(t ) b1 r (t ) b0 r (t )
此式为二阶常系 数线性微分方程。
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输 出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的 电流i(t)为中间变量。 根据电压方程，可写出 Ri (t ) L d i(t ) ui (t ) uo (t )
三 拉氏变换性质定理⑴
⒈线性定理
Ax1 (t ) Bx2 (t ) AX1 ( s) BX 2 ( s)
⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
x(t ) sX ( s )
1 x ( t ) dt X (s) s
.
( n)
x (t ) s n X ( s)
x(t )dt
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。 ⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
f (t )
A 1(t ), t0
(0 t t 0 )
☆ 脉冲函数及其拉氏变换
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A f T (t ) lim t 0 0 t 0
d [ A(1 e t0 s )] dt A As L[ fT (t )] lim (1 e t0 s ) lim 0 A t 0 0 t s t 0 0 d s 0 (t0 s ) dt0
☆ 机械平移动力学系统的模型
根据牛顿第二定律，应有
d2 f i (t ) f c (t ) f k (t ) m xo (t ) dt
由阻尼器、弹簧的特性，可写出 f c (t ) c d xo (t ) f k (t ) kxo (t )
dt
消去中间变量，写成规范形式
d2 d m 2 xo (t ) c xo (t ) kxo (t ) f i (t ) dt dt 系统的数学模型可用方块图表示：
特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。 N 阶 系统有n个特征根。特征根只能是 0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! 注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。
六 建立动态方程时应注意的问题
⑴ 变量形式的选取问题 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 ⑵ 负载效应问题 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
⑶非线性模型的线性化问题
实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切 线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是 在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近 似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线 代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点 处取泰勒级数一次近似式。
2.2 拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)
建立描述系统动态性能的运动微分方程之后， 给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道 系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下 的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程 理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路 就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换 是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化 为复数域中的代数运算。
1 2 1 t 3 2 s
1 2 At , (t 0) 2
☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
sin t 1 j t (e e jt ) 2 2j s 2 1 s cost (e jt e jt ) 2 2 s 2
欧拉 公式
谐波函数 的 拉氏变换
数学模型的形式
微分方程 （组） L变换 L反变换 传递函数 （阵） s=jω 频率特性
时间响应 变量状态图 方框图， 信号流图
Nyquist图， Bode图等
现代控制理论
2.1系统运动微分方程的建立
一 依据：
反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
二 步骤：
（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； （5）整理成规范形式。
单位脉冲（Dirac） 定义： (t )dt 1, (t 0, (t ) 0) 面积为1的脉冲函数 A (t ) A 显然 (t ) 1,
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
一 拉氏变换的定义
拉氏变换的定义
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s j
拉氏变换的实质 时间函数 复变量s的复变函数
二 典型函数的拉氏变换
指数函数
et
指数函数的拉氏变换
L[ Ae ] A
t
0
工程中极其重要的函 数！有如下性质
dt
u o (t )
1 i (t )dt C
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
d2 d LC 2 u o (t ) RC u o (t ) u o (t ) u i (t ) dt dt
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
四 小结
☆ 小结：⑴⑵
⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
⑴单位脉冲函数定义为： (t )dt 1 ⑵单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1； ⑶ L[ (t )] 1 L[ A (t )] A 时域里的脉冲 复数域中的常数 ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函 数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
七
线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
f (t ) e s F (s)
e s
原函数的拉氏变换乘以
例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换