控制工程数学模型
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控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制工程数学模型
控制⼯程数学模型1 控制系统的数学模型数学模型是描述系统输⼊量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数⽅程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程，描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。
对于给定动态系统，数学模型表达不唯⼀。
⼯程上常⽤的有：微分⽅程，传递函数和状态⽅程。
不过对于线性系统，它们之间是等价的。
2 建⽴数学模型的⽅法1. 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式，建⽴模型。
2. 实验法⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近，这种⽅法也称为系统辨识。
3 数学模型的形式1. 时间域微分⽅程差分⽅程状态⽅程（⼀阶微分⽅程组）2. 复数域传递函数结构图3. 频率域频率域4 建⽴数学模型的⼀般步骤⽤解析法列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤是：1. 分析系统⼯作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。
2. 从系统输⼊端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件、部件的动态微分⽅程。
3. 消去中间变量，得到⼀个描述元件或系统输⼊、输出变量之间关系的微分⽅程。
4. 写成标准化形式。
与输⼊有关项放在等式右侧，与输出有关项放在等式左侧，且各阶导数项按降幂排列。
5 控制系统微分⽅程的列写5.1 机械系统在机械系统中，有些构件惯性和刚度较⼤，有些构件惯性较⼩、柔度较⼤。
我们将前者的弹性忽略视其为质量块，将后者的惯性忽略视其为⽆质量弹簧。
这样，机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
1. 质量2. 弹簧3. 阻尼5.1.1 机械平移系统列出各元件的动态微分⽅程：消去中间变量并写成标准形式：式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由⼆阶常系数微分⽅程描述。
现代控制工程第2章状态空间数学模型
1 1.5 0.5 6 11 6 1 4 9
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
3 4 1 1 4
9
0
2
0
1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
3 2.5 0.50 0.5
B P 1B 3
4
1
0
1
1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
17
2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
21
2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
20
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
3 4 1 1 4
9
0
2
0
1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
3 2.5 0.50 0.5
B P 1B 3
4
1
0
1
1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
17
2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
21
2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
20
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
N 1
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
控制工程基础 系统的数学模型
若
x1(t) x2(t)
线性系统
y1 ( t ) y2 ( t ) a1y1(t)+a2y2(t)
线性系统
线性系统
则
a1x1(t)+a2x2(t)
其中a1、a2为常数。 推而广之：
a x (t )
i 1 i i
n
a y (t )
线性系统
i 1 i i
n
其中ai（i=1，2，…，n）为常数。
3. 本课程涉及的数学模型形式
10:17:57
7
3-1 概述
1. 数学模型的概念 数学模型：是描述系统特性的数学表达式。它揭示了
系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 数学模型是对系统特性（包括动态特性和静态特性） 进行分析、综合的有效工具。 数学模型的类型：微分方程，传递函数，频响函数， 状态空间表达式等。这些模型一般可以互相转化。 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数和频率 响应函数（简称频响函数）为基础。而现代控制理论 采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物 理定律及实验规律为依据的微分方程则是最基本的数 学模型，是列写传递函数、频响函数和状态空间方程 的基础。
电网络系统
di uL dt 1 i udt L
23
3-2 系统微分方程的建立
例 1 例 1 ：求图所示电路的微分方程。 解：利用基尔霍夫电压定律得到 L R
I
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) (1) dt 1 i (t )dt uo (t ) (2) C
f mx f(t) 或 mx f 0
（对质量）
弹性元件 弹簧刚度k N∙m－1 粘性阻尼元件 粘性阻尼系数 B N∙s∙m－1
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消去中间变量i1
、 i2
i1
图2-2 R-C滤波网络
得
d 2uc duc R1 R2 C1C 2 R C R C R C uc ur 1 1 2 2 1 2 2 dt dt
或写作
d 2 uc duc T1T2 T T T uc u r 1 2 3 dt 2 dt
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 4
自动控制理论
机械位移系统
求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型 由牛顿第二定律列出方程
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt 2
即
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
惯性环节
特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律 微分方程
2018/10/16
T
dc t ct Kr t dt
第二章 控制系统的数学模型 15
自动控制理论 对应的传递函数：
G s
C s K Rs Ts 1
T---环节的时间常数
积分环节
特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有
y=f(x)
2018/10/16
（2-17）
图 2-11 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型 8
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
df y f x f x0 dx 1 d2 f x x0 x x0 2! dx2
2 x x x x 0
第二章 控制系统的数学模型 3
自动控制理论 2、有负载效应的电路 对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的 影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：
1 (i1 i2 )dt i1 R1 ur C1 1 1 i dt i R (i1 i2 )dt 2 2 2 C2 C1 1 i2 dt uc C2
0
n
a1s n 1 an 1s an C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm Rs C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G s Rs n n 1 Rs a0 s a1s an 1s an
2
d 2 ct dct 2 T ct Kr t dt 2 dt
2 - 37
式中T 时间常数 , K 放大系数 , 阻尼比
若令K 1, Rs C t 1 1 1
2
1 , 则0 ＜＜ 1, 则 s 1 1 t 1 T e sin 1 2 t arg t an T
Ct K 对应的传递函数 G s C s Ks R s drt dt
1）实际的微分环节，如图2-16所示，它的 传递函数为：
U c s TS Gs U r s 1 TS
图2-16 R-C网络
2）直流测速发电机。如图2-17所示，
对于多输入—多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入 与输出的关系，例如对于图2-14所示的系统。
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 13
自动控制理论
图2-14 多输入多输出系统
由图2-14得
Y1 s G11 s U 1 s G12 s U 2 s 或写作
ct K r t dt
t c
传递函数 G s C s K Rs s
例如图2-15所示的积分器，其传递函数为
G s
2018/10/16
1 RCs
第二章 控制系统的数学模型
图2-15 积分调节器
16
自动控制理论
微分环节
理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 14
自动控制理论
典型环节的传递函数 比例环节
特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化
方程式 ct Kr t 传递函数 Cs Gs K R s
Ct 环节的输出量 , r t 环节的输入量
2018/10/16
第二章 控制系统的数学模型
12
自动控制理论
传递函数的性质
传递函数只取决于系统(或元件)的结构和参数，与外施信号的
大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次 n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反 映系统内部的特性
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 10
d n ct d n 1ct dct d m r t a0 a1 an 1 an ct b0 n n 1 dt dt dt dtm
自动控制理论
在零初始条件下，对上式进行拉式变换得
a s
d dt 转角,U fn 测速机的输出电压 U fn K K U fn s
s
Ks
第二章 控制系统的数学模型
图2-17直流测速发电机
17
2018/10/16
自动控制理论
振荡环节
特点：如输入为阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式 微分方程
T 传递函数 G s C s K 2 2 R s T s 2Ts 1
q2 (t )
h(t )
（2-6）
把式（2-6）代入式（2-4）得
或
dh (t ) RC h(t ) Rq1 (t ) dt
dh (t ) h(t ) Rq1 (t ) dt 其中，T=RC T
（2-7）
图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线
2018/10/16
第二章 控制系统的数学模型
C
d ( H h) Q1 q1 (t ) Q2 q2 (t ) dt
考虑在平衡状态 H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为
dh (t ) C q1 (t ) q2 (t ) dt
图2-4 液位系统
（2-4）
基于液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：
2018/10/16
第二章 控制系统的数学模型
9
自动控制理论
第三节 传递函数
传递函数的定义 传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏 变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。
设线性定常系统的微分方程式为
d m1r t drt b1 b bm ct n m (2 29) m 1 m 1 dt dt 式中 ，r t 为系统的输入量 ; ct 为系统的输出 量
建立系统数学模型的方法
实验法 解析法
2018/10/16
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的 微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入 的微分方程式 对所求的微分方程进行标准化处理
Y2 s G21 s U 1 s G22 s U 2 s Y1 s G11 s G12 s U 1 s Y s G s G s U s 22 2 21 2
Gs 就是该系统的传递函数 矩阵
自动控制理论
小结 • 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线
性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述 系统运动的又一形式的数学模型。
•
由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直
d dt
接写出对应的传递函数，即把微分算子
用复变量s表示，把c(t) 和r(t)较小，故可略去式中的 （x x0） 项及
其后面的所有的高阶项 ，于是得线性化方程 y y 0 K x x0 或写为 式中 y f x 0 , y Kx K df dx
x x0
,
y y y 0， x x x 0
7
自动控制理论
第二节 非线性数学模型的线性化
非线性数学模型线性化的假设
变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在
微偏法
在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以 上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-11所示，相应的数学表达式为
式中：ｆ——为阻尼系数 ｋ——为弹簧的弹性系数 ky(t)——弹簧拉力
f
2018/10/16
dy ——阻尼器阻力 dt
第二章 控制系统的数学模型
图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统
5
自动控制理论
液位控制系统
图2-4中，Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和 液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。 设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差 应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第二章
控制系统的数学模型
作者： 浙江大学
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型
、 i2
i1
图2-2 R-C滤波网络
得
d 2uc duc R1 R2 C1C 2 R C R C R C uc ur 1 1 2 2 1 2 2 dt dt
或写作
d 2 uc duc T1T2 T T T uc u r 1 2 3 dt 2 dt
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 4
自动控制理论
机械位移系统
求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型 由牛顿第二定律列出方程
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt 2
即
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
惯性环节
特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律 微分方程
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T
dc t ct Kr t dt
第二章 控制系统的数学模型 15
自动控制理论 对应的传递函数：
G s
C s K Rs Ts 1
T---环节的时间常数
积分环节
特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有
y=f(x)
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（2-17）
图 2-11 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型 8
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
df y f x f x0 dx 1 d2 f x x0 x x0 2! dx2
2 x x x x 0
第二章 控制系统的数学模型 3
自动控制理论 2、有负载效应的电路 对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的 影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：
1 (i1 i2 )dt i1 R1 ur C1 1 1 i dt i R (i1 i2 )dt 2 2 2 C2 C1 1 i2 dt uc C2
0
n
a1s n 1 an 1s an C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm Rs C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G s Rs n n 1 Rs a0 s a1s an 1s an
2
d 2 ct dct 2 T ct Kr t dt 2 dt
2 - 37
式中T 时间常数 , K 放大系数 , 阻尼比
若令K 1, Rs C t 1 1 1
2
1 , 则0 ＜＜ 1, 则 s 1 1 t 1 T e sin 1 2 t arg t an T
Ct K 对应的传递函数 G s C s Ks R s drt dt
1）实际的微分环节，如图2-16所示，它的 传递函数为：
U c s TS Gs U r s 1 TS
图2-16 R-C网络
2）直流测速发电机。如图2-17所示，
对于多输入—多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入 与输出的关系，例如对于图2-14所示的系统。
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 13
自动控制理论
图2-14 多输入多输出系统
由图2-14得
Y1 s G11 s U 1 s G12 s U 2 s 或写作
ct K r t dt
t c
传递函数 G s C s K Rs s
例如图2-15所示的积分器，其传递函数为
G s
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1 RCs
第二章 控制系统的数学模型
图2-15 积分调节器
16
自动控制理论
微分环节
理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 14
自动控制理论
典型环节的传递函数 比例环节
特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化
方程式 ct Kr t 传递函数 Cs Gs K R s
Ct 环节的输出量 , r t 环节的输入量
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第二章 控制系统的数学模型
12
自动控制理论
传递函数的性质
传递函数只取决于系统(或元件)的结构和参数，与外施信号的
大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次 n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反 映系统内部的特性
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 10
d n ct d n 1ct dct d m r t a0 a1 an 1 an ct b0 n n 1 dt dt dt dtm
自动控制理论
在零初始条件下，对上式进行拉式变换得
a s
d dt 转角,U fn 测速机的输出电压 U fn K K U fn s
s
Ks
第二章 控制系统的数学模型
图2-17直流测速发电机
17
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自动控制理论
振荡环节
特点：如输入为阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式 微分方程
T 传递函数 G s C s K 2 2 R s T s 2Ts 1
q2 (t )
h(t )
（2-6）
把式（2-6）代入式（2-4）得
或
dh (t ) RC h(t ) Rq1 (t ) dt
dh (t ) h(t ) Rq1 (t ) dt 其中，T=RC T
（2-7）
图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线
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第二章 控制系统的数学模型
C
d ( H h) Q1 q1 (t ) Q2 q2 (t ) dt
考虑在平衡状态 H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为
dh (t ) C q1 (t ) q2 (t ) dt
图2-4 液位系统
（2-4）
基于液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：
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第二章 控制系统的数学模型
9
自动控制理论
第三节 传递函数
传递函数的定义 传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏 变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。
设线性定常系统的微分方程式为
d m1r t drt b1 b bm ct n m (2 29) m 1 m 1 dt dt 式中 ，r t 为系统的输入量 ; ct 为系统的输出 量
建立系统数学模型的方法
实验法 解析法
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第二章 控制系统的数学模型
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自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的 微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入 的微分方程式 对所求的微分方程进行标准化处理
Y2 s G21 s U 1 s G22 s U 2 s Y1 s G11 s G12 s U 1 s Y s G s G s U s 22 2 21 2
Gs 就是该系统的传递函数 矩阵
自动控制理论
小结 • 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线
性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述 系统运动的又一形式的数学模型。
•
由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直
d dt
接写出对应的传递函数，即把微分算子
用复变量s表示，把c(t) 和r(t)较小，故可略去式中的 （x x0） 项及
其后面的所有的高阶项 ，于是得线性化方程 y y 0 K x x0 或写为 式中 y f x 0 , y Kx K df dx
x x0
,
y y y 0， x x x 0
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自动控制理论
第二节 非线性数学模型的线性化
非线性数学模型线性化的假设
变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在
微偏法
在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以 上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-11所示，相应的数学表达式为
式中：ｆ——为阻尼系数 ｋ——为弹簧的弹性系数 ky(t)——弹簧拉力
f
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dy ——阻尼器阻力 dt
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图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统
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液位控制系统
图2-4中，Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和 液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。 设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差 应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
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第二章
控制系统的数学模型
作者： 浙江大学
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