1.10 闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
闭区间上连续函数的性质(详细版)
h
9
有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值.
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
h
10
二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
22
• P74：2，3
作业
h
23
几何解释:连 续 y= 曲 f(x )与 线 水 弧 y= 平 C 至直 少线 有一个交点 .
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值.
h
16
例2 设 函 数 f(x )在 区 间 [a ,b ]上 连 续 ,且 f(a ) a ,
f(b ) b .证 明 x (a ,b ),使 得 f(x)= x.
h
6
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
h
7
❖定理1(最大值和最小值定理)
h
13
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
110闭区间上连续函数的性质 (2)
September 2011
1.10 闭区间上连续函数的性质 3
A
f (a)
a
f (x)
B
f (b)
b
f(x) 在开区间 (a, b) 上连续 但在闭区间 [a, b] 上不连续
lim f (x) f (a) lim f (x) f (b)
xa
xb
同济大学《高等数学》第六版
四川大学数学学院 徐小湛
[a, b] such that f ( ) C
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September 2011
介值定理的几何解释
1.10 闭区间上连续函数的性质 18
f (x)
M
C
m
a
b
C m C M [a, b]
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1.10 闭区间上连续函数的性质 31
若有一步有
ci
1 2
(ai
bi ),
例如，江泽坚： 《数学分析》 （上册）66页
证明
同济大学《高等数学》第六版
B
A
a
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f (x)
b September 2011
定理 1‘（最值定理）
1.10 闭区间上连续函数的性质 7
在闭区间 [a, b] 上的连续函数 f(x)一定能在该 区间上取得最大的函数值和最小的函数值。
O
1
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September 2011
又如
1.10 闭区间上连续函数的性质 10
函数 y =1/x 在开区间（0, 1）上连续，但无界:
闭区间上连续函数性质的证明
闭区间上连续函数性质的证明在数学中，闭区间上的连续函数是一种十分重要的概念。
在这里，我们将证明闭区间上连续函数的一些性质。
首先，我们来定义闭区间上的连续函数。
设[a,b]是一个闭区间，f(x)是定义在[a,b]上的函数。
我们称f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
接下来，我们将证明闭区间上的连续函数具有以下性质：性质1：闭区间上的连续函数在区间内部取得最大和最小值。
证明：设f(x)是闭区间[a, b]上的连续函数。
对于任意y∈(a, b)，由连续函数的定义可知，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(y-a, b-y)，则当，x-y，<δ时，有x∈[a, b]。
即在(y-δ, y+δ)区间内，f(x)与f(y)的差的绝对值小于ε。
由于f(x)是闭区间[a,b]上的函数，所以在[a,b]上取最小值m和最大值M。
设m=f(x1)，M=f(x2)，其中x1∈(a,b)，x2∈(a,b)。
由于x1和x2在(a,b)内，根据前面证明的结果，对于任意ε>0，存在δ1>0和δ2>0，使得当，x1-y，<δ1和，x2-y，<δ2时，有，f(x1)-f(y)，<ε和，f(x2)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(δ1, δ2)，则当，x1-y，<δ和，x2-y，<δ时，有f(x1)-ε<f(y)<f(x1)+ε和f(x2)-ε<f(y)<f(x2)+ε。
由此可见，在区间(y-δ, y+δ)内，f(y)的取值范围完全包含在[f(x1)-ε, f(x2)+ε]内，即m-ε<f(y)<M+ε。
由于ε是任意正数，所以当ε趋近于0时，可以得到m≤f(y)≤M。
1.10闭区间上连续函数的性质
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
作业
P73 2；4.
一点
使
证: 作辅助函数
φ( x) f ( x) C
则(x) C[ a , b ] , 且
φ(a)φ(b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
o a bx
浅谈闭区间上连续函数的性质
浅谈闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有许多实战中有用的性质。
本文将深入剖析其细节并就众多特性作出阐述。
首先，闭区间上的连续函数在闭区间上连续，那么在这个区间内需要遍历所有可能的值，假设在某个区间内函数值符合连续性要求，那么在该区间内连续函数的值也就符合要求了。
另外，由于连续函数性质，我们可以求出函数在闭区间上的最大值和最小值，因为如果选择最值点，只要在它附近找到一个点即可满足函数的最大值和最小值的要求。
此外，由连续函数的性质我们知道，如果函数在闭区间上有最大值和最小值，那么在这个区间里必定存在函数取最大值和最小值的点，也就是极值点，而且可以通过求导来证明是极大值点还是极小值点。
再者，在闭区间上的连续函数的又一个重要性质就是在一个平滑的曲线上，若任一点处求得的导数为零意味着该点就是极值点。
在实践中，我们常常会遇到寻找极值的求解问题，那么利用这个性质，就可以证明某一点的函数值是极大值点还是极小值点了，再进一步确定该点的值，使得重要性质为我们提供很大的便利。
综上所述，闭区间上的连续函数有许多实战中有用的性质，不但可以证明某一点的函数值是最值点，也可以运用求导的方法来验证极大值和极小值的大小，用这些特性很容易解决求解问题，具有非常重要的实用价值。
D1-10闭区间上连续函数的性质-文档资料
则面积函数 S ( ) C [ , ]
因 S ( ) 0 ,S ( ) A
S ( )
O
x
故由介值定理可知:
A ( , ) ,使S( 0) . 0 2
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因为 则 但
1 1 ,x ( n N ) , 取点 x 0 ( 0 1 ) , 1 n 2n 1
1 1 1 x x 1 2 n n 1 n( n1) 可以任意小
f ( x ) f ( x ) n ( n 1 ) 1 1 2
) 0 ,即 使 f( ( 0 , 1 ) , 故据零点定理, 至少存在一点
3 2 4 1 0
说明: 1 1 f ( ) 0 , x1 , 取 [0,1]的中点 2 8 2
则(1 , 1) 内必有方程的根 ; 2
1 2
二分法
x 1 3 3 x , 取[ 1 的中点 f ( )0 , , 1 ] 4 4 2 3 , ) 则 (1 可用此法求近似根. 2 4 内必有方程的根 ;
M max f( x ), m min f( x ) y
x [ a ,b ]
x [a ,b ]
有 m f ( x ) M , 故 x [ a , b ] ,
因此 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 .
M
yf( x )
二、介值定理
( x ) C [ a , b ] , 定理2. ( 零点定理 ) f
显然 F ( x ) C [ a , b ]
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内容小结
高等数学闭区间上连续函数的性质
几何解释: 连续曲线弧 y f ( x)与水平 直线 y C至少有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M 与最小值 m之间的任何值. 例1 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内
至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0ห้องสมุดไป่ตู้1]上连续,
若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
例4. 设 f (x) 在
对任意的 使
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
思考题解答
不正确.
例函数
f
(
x)
e, 2,
0 x1 x0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点.
作业 P73 2，3, 4，
异正，同余
2sin x cos y sinx y sinx y 2cos x sin y sinx y sinx y
x y x y
x
y
2 2
y sin(x x) sin x
2011.10
D1(6_10)
总79页 第20页
2sin x cos y sinx y sinx y 2cos x sin y sinx y sinx y
2sin cos sin sin
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
闭区间上连续函数的性质(详细版)
13
二、零点定理与介值定理
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 定理3(零点定理) ○ 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点
个端点位于x轴的不同侧,则曲设函数f(x)在闭区间[a b]上连续
线弧与x轴至少有一个交点.
且f(a)与f(b)异号 即 f(a).f(b)<0，那么在开区间(a
b)
内至少存在一点x 使f(x)=0
11
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个
根
证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在区间[0 1]上连续并且
f(0)=1>0 f(1)=-2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
A C,
Ao m
x
(b) f (b) C B C,
15
(a) (b) 0,
推论 在闭区间(a上, b连),续使的函数必取
几何解(释): 0,即 ( ) f ( ) 得 任C介 何于 值 0最 . , 大值f M(与) 最C小.值m之间的
连续曲线弧 y f ( x)与水平直线 y C至少
有一个交点.
高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质
课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．推论 若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续， 则lim [()]f x ϕ=f （A ）， 即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1limsin(1)xx x→∞+．解 11lim sin(1)sin lim(1)sin e xx x x xx →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证 因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦． 由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题． 幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞． 又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭．解 因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭．例4求21lim21xxxx→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解 由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭． 例5 求1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭． 解 由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则12lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭． 例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解 初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π． 例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5． 第十节 闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值． 但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证 令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证 设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0． 综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证 由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０． 由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理． 定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论 设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]max ()x a b M f x ∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++．证 因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而 m ≤12()()()n f x f x f x n+++≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
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f ( ) C
f ( ) C 0
f ( x) C 有零点？
作辅助函数
( x) f ( x ) C
自学！
October, 2004
再用零点定理即可
例 1 证明：方程 3 2 x 4x 1 0
在开区间 (0, 1) 内至少有一个根。
解 令 又
f ( x) x 4 x 1
3 2
则函数在闭区间 [0, 1]上连续。
f (0) 1 0
f (1) 2 0
由零点定理，该方程在 (0, 1) 内至少有一 个根。
October, 2004
方程
x 4x 1 0
3 2
3 2
在开区间 (0, 1) 内至少有个根。
讨论
f ( x) x 4 x 1
f ( x)
A
f (a)
B
f (b)
a
b
October, 2004
一、最值性和有界性
定理 1（最值定理）
在闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x)一定能在该区 间上取得最大的函数值和最小的函数值。
f ( x)
f ( ) M
A B
M
f ( ) m
m
a
b
October, 2004
证明 ? 这个看似简单的定理的证明其实很难， 涉及较多的实数和分析理论。 证明从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》 中的证明。
f ( x)
A
B
M
m
a
b
October, 2004
定理 1‘（有界性定理） 在闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x) 在该区间上是 有界的。
证明：事实上由
f ( x)
m f ( x) M ( a x b)
知函数 f(x)在闭区 间 [a, b] 上有界。
M
A
m
B
a
b
October, 2004
二、零点定理与介值定理
定理 2（零点定理）
设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号，则在区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = 0。 这个点称为函数 f(x) 的零点，或方程 f(x)= 0 的 根。
October, 2004
零点定理的几何解释
1.10 闭区间上连续函数的性质
Continuous Functions on a Closed Interval
October, 2004
函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续是指 f(x) 在该 区间内的每一个点处都连续，并且在两个端 点单侧连续。
闭区间[a, b] 上的连续函数 y = f(x) 的图形是 一条从点 A(a, f(a))到点 B(b, f(b)) 的连续不 间断的曲线。
能不能判断方程还在哪些区间上有根？
f (0) 1 f (1) 2 f (1) 4
得来全不 费功夫！ 真是功夫不 负有心人 ！
f (2) 7 f (3) 8
别灰心！
f (4) 1
October, 2004
有三个根
f ( x) x 4 x 1
3 2
with(plots): A:=plot(x^3-4*x^2+1,x=-3..5,y=-10..3,color=red,thickness=3): October, 2004
[a, b] such that f ( ) C
October, 2004
定理 3（介值定理） 设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在[a, b] 上的最大值和最小值，则对 任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a, b) 内至 少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = C。 证明思路
f (a) f (b) 0
f ( x)
a
b
October, 2004
证明 ?
同样，这个看似简单的定理的证明其实很难， 涉及较多的实数和分析理论。
从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》中的证 明。
f ( x)
a
b
October, 2004
定理 3（介值定理） 设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在[a, b] 上的最大值和最小值，则对 任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a, b) 内至 少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = C。