高数闭区间上连续函数的性质教案

第17、18课时：

【教学目的】

1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；

2、 熟练掌握零点定理及其应用。

【教学重点】

1、介值性定理及其应用；

2、零点定理及其应用。

【教学难点】

介值性定理及其应用

§1. 10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值与最小值

最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有

f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )),

则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.

例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.

定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.

注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.

例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .

又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.

⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==2

1 31 110 1)(x x x x x x f y .

定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.

二、零点定理与介值定理

零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.

定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0.

定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值

f (a )=A 及f (b )=B ,

那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得

f(ξ)=C.

定理4'（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得

f(ξ)=C.

证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得

ϕ(ξ)=0 (a<ξ

但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得

f(ξ)=C (a<ξ

定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.

证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.

根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).

这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.