高数闭区间上连续函数的性质教案
高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
高数闭区间上连续函数的性质教案
第17、18课时：【教学目的】1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、 熟练掌握零点定理及其应用。
【教学重点】1、介值性定理及其应用；2、零点定理及其应用。
【教学难点】介值性定理及其应用§1. 10 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )),则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==21 31 110 1)(x x x x x x f y .定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.二、零点定理与介值定理零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0.定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f (a )=A 及f (b )=B ,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.定理4'（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得ϕ(ξ)=0 (a<ξ<b).但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得f(ξ)=C (a<ξ<b).定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.。
高等数学教学课件：v-1-11闭区间上连续函数的性质
则1 , 2 [a, b],
使得x [a, b],
有 f (1 ) f ( x),
f (2 ) f ( x).
oa
y f (x)
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f (x)
高等数学
y
y f (x)
1
o
x
o
12
x
2
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定
a, b内至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
高等数学
证 设 ( x) f ( x) C, y
M
则( x)在[a, b]上连续, B y f ( x)
且 (a) f (a) C
C a
A C,
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
(b) f (b) C B C, m
说明 该例反映了连续函数得又一性质: 非常数 的连续函数将闭区间映为闭区间.
高等数学
练习 设 f ( x)在区间[a, b]上连续,且其所有函数 值皆为有理数,则f ( x)在区间[a, b]上恒为常数.
提示 利用例2的结论.
三、小结
高等数学
四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立．
在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M },
则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x)的零点.
高等数学课件--D1_10闭区间上连续函数的性质
证: 作辅助函数
y f (x)
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
(a) (b) ( A C )( B C )
B C A
O a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与
最大值之间的任何值 .
目录 上页 下页 返回 结束
O a 1 2 y
b x
y f (x)
a
O
b x
目录
上页
下页
返回
结束
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
( x) f ( x) C
O
1
2
x
目录
上页
下页
返回
结束
推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
y
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x)
y f (x)
M
上有界 .
m
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
x
1 , 2
在区间 又 使
内至少有
即
f
(1) 2
1 8
0,
O
二分法
1 2
3 4
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
7-2-闭区间上连续函数的性质名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
并且
lim
n
an
lim
n
bn
.因为
F(x)
在点
连续,
所以
0
lim
n
F (an )F (bn
)
(F (
))2 ,
即 F ( ) 0. 这也就是说 : f ( ) .
前页 后页 返回
三、一致连续性定理
(定理4.9) 若函数 f (x) 在 [a ,b]上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上一致连续. 证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在 下述证明过程中, 选子列旳措施值得大家仔细探 究.
上每一点连续, 从而局部有界. 我们旳任务就是将 局部有界旳性质化为整体有界性质.
前页 后页 返回
对于任意的 t [a, b], 存在 Mt 0, 以及 t 0, 当 x (t t , t t ) [a, b]时, | f ( x) | Mt . 设开区间集 H { (t t , t t ) | t [a, b] }, 显然
a x0 b.
因为
lim
k
xnk
lim(
k
xnk
xnk )
lim
k
xnk
x0 ,
以及
f
连续, 所以由归结原理得到
矛盾.
0
lim |
k
f ( xnk )
f ( xnk ) |
| lim f ( x) lim f ( x) | 0,
x x0
x x0
(证法二) 再用有限覆盖定理来证明.
前页 后页 返回
§2 闭区间上连续函数旳性质
实数完备性理论旳一种主要作用就是证 明闭区间上连续函数旳性质，这些性质曾 经在第四章给出过.
1chapter26闭区间上连续函数的性质
推论: 闭区间上的连续函数 f(x) 必取得介于最大值 M 与 最小值 m 之间的任何值.
Proof. 设 f ( x1 ) m, f ( x2 ) M , 则 f ( x)在函数[x1, x2]或 [x2, x1]上连续, 由介值定理, 对任何实数 C(m C M ),
都有 ( x1, x2 )或 ( x2, x1 ), 使得 f ( ) C.
使得 t1 f ( x1 ) t2 f ( x2 ) (t1 t2 ) f (C ). Proof. 方法1. f ( x) 在闭区间[a, b]上连续,
最大值M和最小值m, 且m f ( x) M .
从而,
m f ( x1 ) M , t1m t1 f ( x1) t1M , m f ( x2 ) M , t2m t2 f ( x2 ) t2M ,
则 f ( x) 在闭区间[1,2] or [2,3]连续.
f (1) 10 0, f (2) 7 0, f (3) 32 0. 至少存在一点1 (1,2), 使得 f (1 ) 0. 至少存在一点2 (2,3), 使得 f (2 ) 0. 所以结论成立.
ex7. 设 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续, 且 a x1 x2 b, t1与 t2为两正数, 证明 至少存在一点 C [a, b],
F ( x1) F ( x2 ) t1t2[ f ( x2 ) f ( x1)]2 0.
(1) 当 F ( x1 ) F ( x2 ) 0时, 则 f ( x2 ) f ( x1 ), C x1 (2) 当 F ( x1 ) F ( x2 ) 0时,
至少存在一点 C ( x1, x2 ) [a, b], 使得 F (C ) 0. 即 t1 f ( x1 ) t2 f ( x2 ) (t1 t2 ) f (C ). 至少存在一点 C [x1, x2] [a, b], 使得
高等数学讲义课件 第9节 闭区间上的连续函数的性质
(证明略)
o a1 2 b x
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f ( x) , m min f ( x) y
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b), 使 f ( ) 0.
例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S() C[, ] 因 S() 0, S() A 故由介值定理可知:
S( )
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
Conclusions:
设 f (x) C[a,b],则
1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
o
x
0 (, ),
使
S(0)
A. 2
作业 习 题八
第九节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [a , b] , 则 1 ,2 [a , b] , 使
f
(1 )
min
a xb
f
(
高数闭区间上连续函数的性质教案
高数闭区间上连续函数的性质教案一、教学目标：1. 让学生理解闭区间上连续函数的概念。
2. 让学生掌握闭区间上连续函数的基本性质。
3. 让学生能够运用闭区间上连续函数的性质解决问题。
二、教学内容：1. 闭区间上连续函数的定义。
2. 闭区间上连续函数的基本性质。
3. 闭区间上连续函数的例子。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：闭区间上连续函数的定义及其基本性质。
2. 教学难点：闭区间上连续函数的证明及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，系统地介绍闭区间上连续函数的概念和性质。
2. 采用案例分析法，通过具体的例子让学生理解闭区间上连续函数的性质。
3. 采用问题驱动法，引导学生运用闭区间上连续函数的性质解决问题。
五、教学安排：1. 第一课时：介绍闭区间上连续函数的定义。
2. 第二课时：介绍闭区间上连续函数的基本性质。
3. 第三课时：介绍闭区间上连续函数的例子。
4. 第四课时：讲解闭区间上连续函数的证明方法。
5. 第五课时：运用闭区间上连续函数的性质解决问题。
六、教学内容：1. 闭区间上连续函数的介值定理（Bolzano定理）。
2. 闭区间上连续函数的极值存在定理。
七、教学重点与难点：1. 教学重点：介值定理和极值存在定理的证明及其应用。
2. 教学难点：介值定理和极值存在定理的证明过程中的逻辑推理。
八、教学方法：1. 采用证明法，详细讲解介值定理和极值存在定理的证明过程。
2. 采用实例分析法，通过具体的例子让学生理解介值定理和极值存在定理的应用。
3. 采用互动讨论法，引导学生探讨闭区间上连续函数的性质及其与其他数学概念的联系。
九、教学安排：1. 第六课时：介绍闭区间上连续函数的介值定理，讲解定理的证明及应用。
2. 第七课时：介绍闭区间上连续函数的极值存在定理，讲解定理的证明及应用。
3. 第八课时：通过实例分析，让学生更好地理解介值定理和极值存在定理的实际应用。
4. 第九课时：开展小组讨论，探讨闭区间上连续函数的性质及其与其他数学概念的联系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第17、18课时：
【教学目的】
1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；
2、 熟练掌握零点定理及其应用。
【教学重点】
1、介值性定理及其应用；
2、零点定理及其应用。
【教学难点】
介值性定理及其应用
§1. 10 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值与最小值
最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有
f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )),
则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.
例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.
定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.
定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.
注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.
例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .
又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.
⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==2
1 31 110 1)(x x x x x x f y .
定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
二、零点定理与介值定理
零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.
定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0.
定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值
f (a )=A 及f (b )=B ,
那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得
f(ξ)=C.
定理4'（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得
f(ξ)=C.
证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得
ϕ(ξ)=0 (a<ξ<b).
但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得
f(ξ)=C (a<ξ<b).
定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.
例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.
证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.
根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).
这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.。