闭区间上连续函数的性质
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闭区间上连续函数的性质
99§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0.证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有|)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。
显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间{（kka k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n也覆盖闭区间[a,b] ，且∈∀x （k ka k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （iia i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]，有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
闭区间上连续函数的性质
注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区 间上就不一定有最大值或最小值
例 在开区间(a b) 考察函数 yx
又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值
y
f
(x)
x 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0 x1
x 1
x 3 1 x2
二、零点定理与介值定理
教师备课纸
2
零点 如果 x0 使 f(x0 )0 则 x0 称为函数 f(x)的零点
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点 使得 f()0 即 34 210 (0<<1) 这等式说明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根是
课堂练习
P70,1,5 课后作业
P70,2,3
f()C 定理 3 的几何意义 连续曲线弧 yf(x)与水平直线 yC 至少交于一点
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值
例 1 证明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根 证 函数 f(x) x 34x 21 在闭区间[0 1]上连续 又 f(0)1>0 f(1)2<0
教师备课纸
1
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值 对于在区间 I 上有定义的函数 f(x) 如果有 x0I 使得对于任一 xI 都有
f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ))
则称 f(x0 )是函数 f(x)在区间 I 上的最大值（最小值）
例如 函数 f(x)1sin x 在区间[0 2]上有最大值 2 和最小值 0 又如 函数 f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1 和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x 的最 大值和最小值都是 1 但函数 f(x)x 在开区间(a b)内既无最大值又无最小值
例 在开区间(a b) 考察函数 yx
又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值
y
f
(x)
x 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0 x1
x 1
x 3 1 x2
二、零点定理与介值定理
教师备课纸
2
零点 如果 x0 使 f(x0 )0 则 x0 称为函数 f(x)的零点
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点 使得 f()0 即 34 210 (0<<1) 这等式说明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根是
课堂练习
P70,1,5 课后作业
P70,2,3
f()C 定理 3 的几何意义 连续曲线弧 yf(x)与水平直线 yC 至少交于一点
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值
例 1 证明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根 证 函数 f(x) x 34x 21 在闭区间[0 1]上连续 又 f(0)1>0 f(1)2<0
教师备课纸
1
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值 对于在区间 I 上有定义的函数 f(x) 如果有 x0I 使得对于任一 xI 都有
f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ))
则称 f(x0 )是函数 f(x)在区间 I 上的最大值（最小值）
例如 函数 f(x)1sin x 在区间[0 2]上有最大值 2 和最小值 0 又如 函数 f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1 和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x 的最 大值和最小值都是 1 但函数 f(x)x 在开区间(a b)内既无最大值又无最小值
微积分2-8闭区间上连续函数的性质
微
积
分
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
例2. 证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
微
积
分
内容小结
作业：P66第1、2题 在 在 在 4. 当 注意 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 1．闭区间； 2．连续函数． 使
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
不正确.
0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.
微
积
分
例3 设函数 f ( Байду номын сангаас )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .
a x b
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
微
积
分
例如, 无最大值和最小值 又如,
高等数学闭区间上连续函数的性质
0 x 1 x =1 1 x 2
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上 一定能取得它的最大值和最小值 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间 (a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异 号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连 续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b) 之间的任意一个数C 在开区间 (a b)内至少有一点x 使得f(x)=C •推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值M与最小值 m之间的任何值
第一章 函数 极限 连续
§10 闭区间上的连续函数
一、有界性与最大值最小值定理
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数 在该区间上一定能取得它的 最大值和最小值
说明:定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间 上一定能取得它的最大值和最小值 应注意的问题:1、闭区间；2、连续 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无 最大值又无最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
x 1 y = f (x) = 1 x 3
1-8-闭区间上连续函数的性质
个交点 ，如图 1-33 所示.定理的条件是充分的，如图
1-34，不满足定理条件的函数 g(x)也可能在a,b存在零点
.
y
y
y=f(x)
a
O
bx
Oa
bx
图1-33
图1-34
作为零点定理的应用，举例如下：
例 1 证明：五次代数方程x5 5x 1 0 在1, 2 内至
少有一个根.
证 初 等 函 数 f (x) x5 5x 1在 闭 区 间1, 2 上 连
成立.
图 1-31 给出了该定理的几何直 y 观图.
定理的条件是充分的，即当满足
定理条件，函数一定在闭区间上能得
最大值和最小值.
在不满足定理条件下，有的函数 O 也能取得最大值和最小值.如函数
f
(
x)
1 x2 , 1 x 0
在区间
2 x,0 x 2
1, 2内不连续，其最大值 f (0) 2，
对一般函数给出的方程 f (x) 0 是否也这样呢？
x2 1, 1 x 2
例如，函数
f
(
x)
1 , x 1 2
在区间2, 2 上有
x2 1, 2 x 1
定义，f (2) 5 ，f (2) 5 ，端点函数值异号，而在2, 2
内没有使 f (x) 0的点.问题出在 f (x) 在x 1 处间断，f (x)
k max M , m 显然对于任意 x a,b ， f (x) k 都成
立.
二、介值定理
如果x0 使 f (x0 ) 0 ，则x0 称为函数 f (x) 的零点.
在代数学中，对多项式P x 来说，可用P(x) 在某个区
间两端的符号来估计方程P(x) 0 的根的位置.例如，
高等数学闭区间上连续函数的性质
利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
闭区间上连续函数的性质(详细版)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
12
高等数学 ● 戴本忠
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
12
高等数学 ● 戴本忠
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
高等数学：第四讲 闭区间上连续函数的性质
闭区间上 连续函数的性质
目录
01 有界性与最大值最小值定理 02 介值定理与根的存在定理
（一） 有界性与最大值最小值定理
定理1.3.5（有界性与最大值最小值定理） 若函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则函数f（x） 在闭区间［a,b］上有界且一定能取得它的最大值和 最小值.
（一） 有界性与最大值最小值定理
谢谢
（一） 有界性与最大值最小值定理
又如函数: f（x）=
｛x +１，-１≤ x <０， 0, x = 0， x -１， 0 < x ≤１
它在［－１，１］上有定义， 但 在x ＝０ 处间断， 不难看出， 函 数在［－１，１］上既无最大值 也无最小值．
（二） 介值定理与根的存在定理
定理1.3.6（介值定理） 若函数f（x） 在闭区间
［ a，b］上连续，且f（a） ≠f（b），则对介于f（a）与 f（b）之间的任意实数c ,在 （a，b）内至少存在一点ξ， 使得f（ξ）= c（a <ξ< b） 成立．
如图１.１３ 所示，结论 是显然的，因为f（x） 从 f（a） 连续地变到f（b） 时， 它不可能不经过c值
特别地， 当f( a)与f(b)异号时， 由介值 定理可得下面的根的存在定理。
这个定理的几何意义更明 显， 如图１.１４， 由条 件f（a）·f（b）<０， 说 明闭区间［a，b］ 上连 续曲线的两个端点（a，f （a））和(b，f( b) )分布 在x 轴的上下两侧， 连续 曲线上点的纵坐标从正 值变到负值， 或从负值变 到正值都必然要经过０， 即曲线必然要和x 轴相 交．设交点横坐标为 ξ， 则有f(ξ) =0
• 定理结论 从几何直观上看是明显 的（如图１.１１）， 闭区间上的 连续函数的图像是包括两个端点 的一条不间断的曲线， 该曲线上 最高点P 和最低点Q 的纵坐标分 别是函数的最大值M和最小值m， 函数在该区间上是有界的
目录
01 有界性与最大值最小值定理 02 介值定理与根的存在定理
（一） 有界性与最大值最小值定理
定理1.3.5（有界性与最大值最小值定理） 若函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则函数f（x） 在闭区间［a,b］上有界且一定能取得它的最大值和 最小值.
（一） 有界性与最大值最小值定理
谢谢
（一） 有界性与最大值最小值定理
又如函数: f（x）=
｛x +１，-１≤ x <０， 0, x = 0， x -１， 0 < x ≤１
它在［－１，１］上有定义， 但 在x ＝０ 处间断， 不难看出， 函 数在［－１，１］上既无最大值 也无最小值．
（二） 介值定理与根的存在定理
定理1.3.6（介值定理） 若函数f（x） 在闭区间
［ a，b］上连续，且f（a） ≠f（b），则对介于f（a）与 f（b）之间的任意实数c ,在 （a，b）内至少存在一点ξ， 使得f（ξ）= c（a <ξ< b） 成立．
如图１.１３ 所示，结论 是显然的，因为f（x） 从 f（a） 连续地变到f（b） 时， 它不可能不经过c值
特别地， 当f( a)与f(b)异号时， 由介值 定理可得下面的根的存在定理。
这个定理的几何意义更明 显， 如图１.１４， 由条 件f（a）·f（b）<０， 说 明闭区间［a，b］ 上连 续曲线的两个端点（a，f （a））和(b，f( b) )分布 在x 轴的上下两侧， 连续 曲线上点的纵坐标从正 值变到负值， 或从负值变 到正值都必然要经过０， 即曲线必然要和x 轴相 交．设交点横坐标为 ξ， 则有f(ξ) =0
• 定理结论 从几何直观上看是明显 的（如图１.１１）， 闭区间上的 连续函数的图像是包括两个端点 的一条不间断的曲线， 该曲线上 最高点P 和最低点Q 的纵坐标分 别是函数的最大值M和最小值m， 函数在该区间上是有界的
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试证：(a,+), 使得 f ( ) 0
例 试确定方程 x3 2x2 5x 1 0 实根
的个数和大致范围
H.W 习题2 39 41 42
本章要点 1. 理解极限的概念，知道其定义的含义，了解
自变量不同趋势时(x，xa，双侧、单侧）
各种极限的区别，用ε－δ(或N)语言做证明类
并非要求的重点。
Chap 2.6
闭区间连续函数的性质
有界性定理 若 f (x)C [a,b]，则f (x)在[a,b]有界
➢ 联系函数曲线考虑,开区间行不行？
最值定理
若 f (x)C [a,b]，则1、2[a,b]，使得
f
(1)
max
x[ a ,b ]
f
(x),
f
(2 )
n
x[ a ,b ]
f
(x),
零点存在定理
若 f (x)C [a,b]，f (a)f (b) < 0, 则(a,b)，
使得
f ( ) 0
➢ 推论
若 f (x)C [a,b]，M,m(M> m)分别是 f (x)在[a,b]
的最大值和最小值，则(m, M)，(a,b) 使得
f ( )
想一想 怎样证明推论？
例 f (x)C [a,b]，当x[a,b]，a < f (x) < b
试证：(a,b),使 f()=
例 f (x)C [0,a] (a > 0) , f (a) = f (0) =0 ,f (x)在
(0,a)恒正，试证：l(0,a), (0,a- l)，使
f ( ) f ( l)
例 f (x)C [a, +)，f (a) < 0, lim f (x) A 0 x
2. 了解各类型极限的性质和运算法制，会应用 这些法则，重要的是求复合函数极限
3. 会用夹逼定理和单调有界极限存在定理求某 些极限
4. 了解两个重要极限，但注意不必过分注重把 函数化为这两种形式来求极限的方法，这两个 极限告诉我们
x 0 时， sin x ~ x, ln(1 x) ~ x
5. 重视求极限的重要方法：利用等价无穷小替换 但是只有式子中无穷小因子才能进行替换
sin ~ , 1 cos ~ 1 2, tan ~ 2
ln(1 ) ~ , e 1 ~ , (1 ) 1 ~
arcsin ~ , arctan ~ 由上述等价无穷小，还可了解一些无穷小的阶 6. 连续的函数，极限符号可以通过函数符号 7. 应该了解闭区间上连续函数的性质，但应用 的重点是零点存在定理
例 试确定方程 x3 2x2 5x 1 0 实根
的个数和大致范围
H.W 习题2 39 41 42
本章要点 1. 理解极限的概念，知道其定义的含义，了解
自变量不同趋势时(x，xa，双侧、单侧）
各种极限的区别，用ε－δ(或N)语言做证明类
并非要求的重点。
Chap 2.6
闭区间连续函数的性质
有界性定理 若 f (x)C [a,b]，则f (x)在[a,b]有界
➢ 联系函数曲线考虑,开区间行不行？
最值定理
若 f (x)C [a,b]，则1、2[a,b]，使得
f
(1)
max
x[ a ,b ]
f
(x),
f
(2 )
n
x[ a ,b ]
f
(x),
零点存在定理
若 f (x)C [a,b]，f (a)f (b) < 0, 则(a,b)，
使得
f ( ) 0
➢ 推论
若 f (x)C [a,b]，M,m(M> m)分别是 f (x)在[a,b]
的最大值和最小值，则(m, M)，(a,b) 使得
f ( )
想一想 怎样证明推论？
例 f (x)C [a,b]，当x[a,b]，a < f (x) < b
试证：(a,b),使 f()=
例 f (x)C [0,a] (a > 0) , f (a) = f (0) =0 ,f (x)在
(0,a)恒正，试证：l(0,a), (0,a- l)，使
f ( ) f ( l)
例 f (x)C [a, +)，f (a) < 0, lim f (x) A 0 x
2. 了解各类型极限的性质和运算法制，会应用 这些法则，重要的是求复合函数极限
3. 会用夹逼定理和单调有界极限存在定理求某 些极限
4. 了解两个重要极限，但注意不必过分注重把 函数化为这两种形式来求极限的方法，这两个 极限告诉我们
x 0 时， sin x ~ x, ln(1 x) ~ x
5. 重视求极限的重要方法：利用等价无穷小替换 但是只有式子中无穷小因子才能进行替换
sin ~ , 1 cos ~ 1 2, tan ~ 2
ln(1 ) ~ , e 1 ~ , (1 ) 1 ~
arcsin ~ , arctan ~ 由上述等价无穷小，还可了解一些无穷小的阶 6. 连续的函数，极限符号可以通过函数符号 7. 应该了解闭区间上连续函数的性质，但应用 的重点是零点存在定理