江苏省江浦高级中学2021届上学期高三十月月考数学试题

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高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练01 集合与常用逻辑用语(含解析)

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-，要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =，当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈，所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确；由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”，则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲，乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”；在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+，记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立，即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈，又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。

2020-2021学年江苏省扬州中学高三(上)月考数学试卷(10月份)

2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}2.（单选题，5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q 点的坐标为（）A. (−12，√32)B. (−√32，−12)C. (−12，−√32)D. (−√32，12)3.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）4.（单选题，5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A. f(x)=sin|x|2+cosxB. f(x)=sinx•ln|x|2+cosxC. f(x)=cosx•ln|x|2+cosxD. f(x)=cosxx5.（单选题，5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1(R+r)2 + M2r2=（R+r）M1R3．设α=rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r的近似值为（）A. √M2M1RB. √M22M1RC. √3M2M13 RD. √M23M13 R6.（单选题，5分）已知函数f(x)={x，0≤x≤1，ln(2x)，1＜x≤2，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤2，且f（x1）=f（x2），则x2-x1的最大值为（）A. e2B. e2−1C.1-ln2D.2-ln47.（单选题，5分）若2x-2y＜3-x-3-y，则（）A.ln（y-x+1）＞0B.ln（y-x+1）＜0C.ln|x-y|＞0D.ln|x-y|＜08.（单选题，5分）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条9.（多选题，5分）5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．由如图提供的信息可知（）A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件＜a＜2”是“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件B.“ 43C.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”D.已知函数 y=f （x）的定义域为 R，则“f （0）=0”是“函数 y=f （x）为奇函数”的必要不充分条件11.（多选题，5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f （1-x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），以下4个结论正确的有（）A.函数 y=f （x）的图象关于点（1，0）成中心对称B.函数 y=f （x）是以2为周期的周期函数C.当x∈（-1，0）时，f （x）=-log2 （1-x）D.函数 y=f （|x|）在（-1，0）上单调递增12.（多选题，5分）关于函数f（x）=alnx+ 2x，下列判断正确的是（）A.当a=1时，f （x）≥ln2+1B.当a=-1时，不等式 f （2x-1）-f （x）＞0 的解集为(12，1)C.当a＞e时，函数 f （x）有两个零点D.当f （x）的最小值为2时，a=213.（填空题，5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，-3）处的切线斜率是___ ．14.（填空题，5分）函数y=cosx+cos2x的最小值是___ ．15.（填空题，5分）设a=log49，b=2-1.2，c= (827)−13，则将a，b，c按从大到小排序：___ ．16.（填空题，5分）若函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）的两个不同极值点x1，x2满足f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围为___ ．17.（问答题，10分）在① A⊆B；② ∁R B⊆∁R A；③ A∩B=A；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A={x|log2（x-1）＞1，x∈R}，B={x|（x-a）（x-4+a）＞0，x∈R}，是否存在实数a，使得______？18.（问答题，12分）已知f（α）= sin(5π−α)cos(π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan(3π−α)sin(α−3π2)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos(3π2−α)=35，求f（α）的值．19.（问答题，12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：i i 对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 中斜和截距的最小二乘估计公式分别为： b̂=∑x i y i −nxyn i=1∑x i 2n i=1−nx2=i −x )i −y n i=1)∑(x −x )2n â=y −b̂x ．（2）该市交通管理部门为广解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n=a+b+c+d ．20.（问答题，12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=45°，CA=CB ，点O 在棱AA 1上，CO⊥AA 1．（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）若BB 1= √2 AB=2，直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．22.（问答题，12分）若函数f（x）=e x-ae-x-mx（m∈R）为奇函数，且x=x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；恒成立，求实数m的取值范围．（3）若f（x0）≥- 2e2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}【正确答案】：A【解析】：由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．【解答】：解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故选：A．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.（单选题，5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A. (−12，√32)B. (−√32，−12)C. (−12，−√32)D. (−√32，12)【正确答案】：A【解析】：由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．【解答】：解：点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，所以∠QOx= 2π3，所以Q（cos 2π3，sin 2π3），所以Q (−12，√32)．故选：A．【点评】：本题通过角的终边的旋转，求出角的大小是解题的关键，考查计算能力，注意旋转方向．3.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．4.（单选题，5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A. f (x )=sin|x|2+cosx B. f (x )=sinx•ln|x|2+cosxC. f (x )=cosx•ln|x|2+cosx D. f (x )=cosx x【正确答案】：B【解析】：根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A ， f (x )=sin|x|2+cosx，其定义域为R ，不符合题意；排除A ；对于C ，f （x ）= cosx•ln|x|2+cosx，其定义域为{x|x≠0}，有f （-x ）=cos (−x )ln|−x|2+cos (−x ) = cosx•ln|x|2+cosx=f （x ），即函数f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，不符合题意；排除C ，对于D ，f （x ）= cosxx，其定义域为{x|x≠0}，有f （-x ）=cos (−x )x =- cosx x=-f （x ），即函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，当x→+∞时，f （x ）→0，不符合题意；排除D ；故选：B ．【点评】：本题考查根据函数的图象选择解析式，注意结合函数的奇偶性、定义域等性质运用排除法进行分析，属于基础题．5.（单选题，5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： M 1(R+r )2+ M 2r 2 =（R+r ） M1R 3 ．设α= rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r 的近似值为（）A. √M2M1RB. √M22M 1RC. √3M2M 13RD. √M23M 13R【正确答案】：D【解析】：由α= rR．推导出 M 2M 1= 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，由此能求出r=αR= √M 23M 13R ．【解答】：解：∵α= rR ．∴r=αR ，r 满足方程： M 1(R+r )2 + M 2r 2 =（R+r ） M1R3 ． ∴11+2•r R +r 2R2•M 1 + R 2r2•M 2 =（1+ r R）M 1，把 α=r R代入，得： 1(1−α)2•M 1+1α2•M 2 =（1+α）M 1， ∴ M 2α2 =[（1+α）- 1(1−α)2 ]M 1=(1+α)3−1(1+α)2•M 1 =α(α2+3α+3)(1+α)2M 1， ∴ M2M 1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3， ∴r=αR= √M23M 13R ．故选：D ．【点评】：本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题． 6.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x ，0≤x ≤1，ln (2x )，1＜x ≤2，若存在实数x 1，x 2满足0≤x 1＜x 2≤2，且f （x 1）=f （x 2），则x 2-x 1的最大值为（） A. e 2B. e 2−1C.1-ln2D.2-ln4【正确答案】：B【解析】：画出函数图象得到x2-x1=x2-ln（2x2），令g（x）=x-ln（2x），x∈(1，e2]，根据函数的单调性求出其最大值即可．【解答】：解：画出函数f（x）的图象，如图示：结合f（x）的图象可知，因为x1=ln（2x2），所以x2∈(1，e2]，则x2-x1=x2-ln（2x2），令g（x）=x-ln（2x），x∈(1，e2]，则g′(x)=x−1x，所以g（x）在(1，e2]上单调递增，故g(x)max=g(e2)=e2−1，故选：B．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道常规题．7.（单选题，5分）若2x-2y＜3-x-3-y，则（）A.ln（y-x+1）＞0B.ln（y-x+1）＜0C.ln|x-y|＞0D.ln|x-y|＜0【正确答案】：A【解析】：方法一：由2x-2y＜3-x-3-y，可得2x-3-x＜2y-3-y，令f（x）=2x-3-x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．方法二：根据条件取x=-1，y=0，即可排除错误选项．【解答】：解：方法一：由2x-2y＜3-x-3-y，可得2x-3-x＜2y-3-y，令f（x）=2x-3-x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y-x＞0，由于y-x+1＞1，故ln（y-x+1）＞ln1=0．方法二：取x=-1，y=0，满足2x-2y＜3-x-3-y，此时ln（y-x+1）=ln2＞0，ln|x-y|=ln1=0，可排除BCD．故选：A．【点评】：本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．8.（单选题，5分）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条【正确答案】：B【解析】：设AB方程为y=m，根据△ABC是等边三角形计算m的值，得出结论．【解答】：解：根据题意，设直线l的方程为y=m，则A（log2m，m），B（log2m-1，m），AB=1，设C（x，2x），∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为√32，∴m-2x= √32，∴x=log2（m- √32），又x= 12（log2m+log2m-1）=log2m- 12，∴log 2（m- √32 ）=log 2m- 12 =log 2 m √2∴m - √32 = m√2 ，解得m=2√3+√62，故而符合条件的直线l 只有1条．故选：B ．【点评】：本题考查了指数函数图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．9.（多选题，5分）5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由如图提供的信息可知（） A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【正确答案】：ABD【解析】：根据统计图中的信息，逐个分析选项，即可判断出正误．【解答】：解：对于选项A：由图可知，运营商的经济产出逐年增加，所以选项A正确，对于选项B：由图可知，设备制造商的经济产出在2020～2023年间增长较快，后几年增长逐渐趋于平缓，所以选项B正确，对于选项C：由图可知，设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，所以选项C错误，对于选项D：由图可知，在2020～2025年间信息服务商与运营商的经济产出的差距不大，后几年中信息服务商的经济产出增长速度明显高于运营商的经济产出增长速度，两种差距有逐步拉大的趋势，所以选项D正确，故选：ABD．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，考查了统计图的应用，考查了学生逻辑思维能力，是基础题．10.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件＜a＜2”是“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件B.“ 43C.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”D.已知函数 y=f （x）的定义域为 R，则“f （0）=0”是“函数 y=f （x）为奇函数”的必要不充分条件【正确答案】：ACD【解析】：直接利用充分条件和必要条件判定A和B的结论，直接利用命题的否定的应用判定C的结论，直接利用奇函数的性质判定D的结论．【解答】：解：对于A：当“a＞1”时，“a2＞1”成立，但是当“a2＞1”时，“a＞1或a＜-1”，故选项A正确．对于B：“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件是：a-1＞2a-3，整理得a＜2，故选项B错误．对于C：命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”．故选项C正确．对于D：函数y=f （x）的定义域为R，当“f（0）=0”时，函数f（x）不一定为奇函数，但是，当函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，故选项D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，奇函数的性质，命题的否定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f （1-x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），以下4个结论正确的有（）A.函数 y=f （x）的图象关于点（1，0）成中心对称B.函数 y=f （x）是以2为周期的周期函数C.当x∈（-1，0）时，f （x）=-log2 （1-x）D.函数 y=f （|x|）在（-1，0）上单调递增【正确答案】：ABC【解析】：直接利用函数的周期确定B的结论，直接利用函数的对称性判定A的结论，直接利用函数的解析式的求法判定C的结论，直接利用函数的图象和偶函数的性质判定D的结论．【解答】：解：对于B：函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f（1-x），整理得f（x+2）=f（x），所以函数为周期为2的函数，故B正确．对于C：由于0＜x＜1，所以2＜x+2＜3，由于x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），所以f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于f（x）=-f（-x）=-log2（-x+1），故C正确．对于A：根据函数的性质，函数的图象关于（1，0）对称，故A正确．对于选项D：函数 y=f （|x|）的图象是将函数y=f（x）的图象关于y轴对称，在（-1，0）上单调递减，故D错误．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性，函数的解析式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.（多选题，5分）关于函数f（x）=alnx+ 2，下列判断正确的是（）xA.当a=1时，f （x）≥ln2+1B.当a=-1时，不等式 f （2x-1）-f （x）＞0 的解集为(1，1)2C.当a＞e时，函数 f （x）有两个零点D.当f （x ）的最小值为2时，a=2 【正确答案】：ABD【解析】：对于A ，代入a 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值即可，对于B ，代入a 的值，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为关于x 的不等式组，解出即可，对于C ，求出函数的单调性，求出函数的最小值，根据a 的范围判断最小值的范围即可判断，对于D ，由最小值是2，得到关于a 的方程，解出即可．【解答】：解：对于A ：a=1时，f （x ）=lnx+ 2x ，f′（x ）= x−2x 2 ，令f′（x ）＞0，解得：x ＞2，令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2，故f （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故f （x ）≥f （2）=ln2+1，故A 正确；对于B ：a=-1时，f （x ）=-lnx+ 2x，f′（x ）= −x−2x 2 ＜0， f （x ）在（0，+∞）递减，不等式f （2x-1）-f （x ）＞0，即f （2x-1）＞f （x ），故 {2x −1＞0x ＞02x −1＜x ，解得： 12＜x ＜1，故B 正确；对于C ：f′（x ）= a x- 2x2 =ax−2x 2， ∵a ＞e ，令ax-2＞0，解得：x ＞ 2a，令ax-2＜0，解得：0＜x ＜ 2a，故f （x ）在（0， 2a ）递减，在（ 2a ，+∞）递增，故f （x ）min =f （ 2a ）=aln 2a+ 22a=a （ln2-lna ）+a=aln 2e a，∵0＜ 2e a ＜2，故1＜ 2e a ＜2时，ln 2ea ＞0，f （x ）min ＞0，函数无零点，故C 错误；对于D ：结合C ，f （x ）min =aln 2e a=2，解得：a=e ，故D 正确；故选：ABD ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.（填空题，5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，-3）处的切线斜率是___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：由偶函数的定义可求得x＞0时，f（x）的解析式，求得导数，由导数的几何意义，代入x=1，计算可得所求值．【解答】：解：f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，可得x＞0时，-x＜0，f（x）=f（-x）=lnx-3x，导数为f′（x）= 1x-3，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线斜率是k=1-3=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查函数的奇偶性和解析式的求法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14.（填空题，5分）函数y=cosx+cos2x的最小值是___ ．【正确答案】：[1]- 54【解析】：利用二倍角公式整理函数解析式，值函数的解析式关于cosx的一元二次函数，设cosx=t，函数的顶点为最低点，此时函数值为最小值．【解答】：解：y=cosx+cos2x=cosx+2cos2x-1，设cosx=t，则-1≤t≤1，函数f（t）min=f（- 14）= 12- 14-1=- 54，故答案为：- 54．【点评】：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生的换元思想的运用．15.（填空题，5分）设a=log49，b=2-1.2，c= (827)−13，则将a，b，c按从大到小排序：___ ．【正确答案】：[1]a＞c＞b【解析】：可以得出 log 49＞32＞1 ， (827)−13=32，2-1.2＜1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】：解：∵ log 49＞log 48=log 4432=32＞1 ， (827)−13=32 ，2-1.2＜20=1，∴a ＞c ＞b ．故答案为：a ＞c ＞b ．【点评】：本题考查了对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．16.（填空题，5分）若函数f （x ）=x （x-1）（x-a ），（a ＞1）的两个不同极值点x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）≤0恒成立，则实数a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]a≥2【解析】：把x 1，x 2代入到f （x ）中求出函数值代入不等式f （x 1）+f （x 2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a 的不等式，求出解集即可．【解答】：解：因f （x 1）+f （x 2）≤0，故得不等式x 13+x 23-（1+a ）（x 12+x 22）+a （x 1+x 2）≤0．即（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2-3x 1x 2]-（1+a ）[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+a （x 1+x 2）≤0．由于f′（x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ．令f′（x ）=0得方程3x 2-2（1+a ）x+a=0．因△=4（a 2-a+1）≥4a ＞0，故 {x 1+x 2=23(1+a )x 1x 2=a3 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得 2a 2-5a+2≥0．解不等式得a≥2或a≤ 12 （舍去）因此，当a≥2时，不等式f （x 1）+f （x 2）≤0成立．【点评】：考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．17.（问答题，10分）在① A⊆B；② ∁R B⊆∁R A；③ A∩B=A；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A={x|log2（x-1）＞1，x∈R}，B={x|（x-a）（x-4+a）＞0，x∈R}，是否存在实数a，使得______？【正确答案】：【解析】：由集合知识可以解出集合A，对集合B进行分类求解，再利用集合的子集，交集，补集解出．【解答】：解：由log2（x-1）＞1得x-1＞2即x＞3，故A=（3，+∞）选① ：A⊆B当a＞2时，B=（-∞，4-a）∪（a，+∞），∵A⊆B∴2＜a≤3；当a＜2时，B=（-∞，a）∪（4-a，+∞），∵A⊆B∴4-a≤3即1≤a＜2；当a=2时，B=（-∞，2）∪（2，+∞），此时A⊆B综上：1≤a≤3选② ③ ：答案同①故答案为：1≤a≤3．【点评】：本题属于结构不良试题，补充条件后，试题完整，利用集合的相关知识解决，属于基础题．18.（问答题，12分）已知f（α）= sin(5π−α)cos(π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan(3π−α)sin(α−3π2)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos(3π2−α)=35，求f（α）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，和同角三角函数的基本关系关系，可将f （α）的解析式化简为f （α）=-cosα；（2）由α是第三象限角，且 cos (3π2−α)=35 ，可得cosα=- 45 ，结合（1）中结论，可得答案．【解答】：解：（1）f （α）= sin (5π−α)cos (π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan (3π−α)sin(α−3π2)= sinα•(−cosα)•sinα(−sinα)•(−tanα)•cosα =-sinα•cosα•sinαsinα•sinα=-cosα （2）∵ cos (3π2−α) =-sinα= 35，∴sinα=- 35 ，又由α是第三象限角， ∴cosα=- 45 ，故f （α）=-cosα= 45【点评】：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，熟练掌握和差角公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系关系，是解答的关键．19.（问答题，12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：i i 对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 中斜和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i y i −nxyni=1∑xi 2n i=1−nx2=i −x )i −y ni=1)∑(x −x )2n a ̂=y −b ̂x ．（2）该市交通管理部门为广解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n=a+b+c+d ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知求得 b ̂ 与 a ̂ 的值，可得线性回归方程，取x=7求得y 值得结论；（2）求出K 2的值，结合临界值表得结论．【解答】：解：（1） x =1+2+3+4+55=3 ， y =3+6+9+15+275=12 ，∑x i 5i=1y i =1×3+2×6+3×9+4×15+5×27 =237．b ̂=i 5i=1i −5xy∑x 25−5(x )2= 237−5×3×1255−45=5.7 ，a ̂=y −b̂x =12−5.7×3=−5.1 ，则y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=5.7x −5.1 ．取x=7，可得 y ̂=5.7×7−5.1=34.8 ．故预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值约为34.8万辆；（2）根据2×2列联表，计算可得 K 2=220×(90×40−20×70)2110×110×160×60=556≈9.167＞6.635， ∴有99%的把握认为“对限行的意见与是拥有私家车”有关．【点评】：本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是中档题． 20.（问答题，12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=45°，CA=CB ，点O 在棱AA 1上，CO⊥AA 1．（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）若BB 1= √2 AB=2，直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，推出OC⊥平面AA 1B 1B ，故OC⊥OB ；易证Rt△AOC≌Rt△BOC ，故OA=OB ，从而得AA 1⊥OB ，再由线面垂直的判定定理得证；（2）以O 为原点，OA 、OB 、OC 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知，OC⊥平面AA 1B 1B ，故∠CBO 为直线BC 与平面ABB 1A 1所成角，可得OA=OB=OC=1，写出B 、A 1、B 1、D 的坐标，根据法向量的性质求得平面A 1B 1D 的法向量 m ⃗⃗ ，由OB⊥平面AA 1C 1C ，知平面A 1C 1D 的一个法向量 n ⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由cos ＜ m ⃗⃗ ， n ⃗ ＞= m ⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |即可得解．【解答】：（1）证明：∵平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C∩平面AA 1B 1B=AA 1，OC⊥AA 1，∴OC⊥平面AA 1B 1B ， ∴OC⊥OB ，∵CA=CB ，OC=OC ，∠COA=∠COB=90°， ∴Rt△AOC≌Rt△BOC ， ∴OA=OB ， ∵∠BAA 1=45°，∴∠ABO=∠BAA 1=45°，∠AOB=90°，即AA 1⊥OB ，又OC⊥AA 1，OB∩OC=O ，OB 、OC⊂平面BOC ， ∴AA 1⊥平面BOC ， ∴AA 1⊥BC ．（2）解：以O 为原点，OA 、OB 、OC 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，OC⊥平面AA 1B 1B ， ∵直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°， ∴∠CBO=45°，∵AB= √2 ，∴OA=OB=OC=1，∴B （0，1，0），A 1（-1，0，0），B 1（-2，1，0），D （-1，0，1）， ∴ A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，-1，1），设平面A 1B 1D 的法向量为 m ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {m ⃗⃗ •A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {z =0x −y +z =0 ，令x=1，则y=1，z=0，所以 m ⃗⃗ =（1，1，0），∵OB⊥平面AA 1C 1C ，∴平面A 1C 1D 的一个法向量 n ⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，0）， ∴cos ＜ m ⃗⃗ ， n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= √2×1= √22 ，由图可知，二面角B 1-A 1D-C 1为锐角，故二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值为 √22 ．【点评】：本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x|2a-x|+2x ，a∈R ．（1）若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）-tf （2a ）=0有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）写出f （x ）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a-1≤2a ，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f （x ）-tf （2a ）=0的解即为方程f （x ）=tf （2a ）的解．讨论 ① 当-1≤a≤1时， ② 当a ＞1时， ③ 当a ＜-1时，判断f （x ）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围．【解答】：解：（1）∵ f (x )={x 2+(2−2a )x ，x ≥2a−x 2+(2+2a )x ，x ＜2a 为增函数，由于x≥2a 时，f （x ）的对称轴为x=a-1； x ＜2a 时，f （x ）的对称轴为x=a+1， ∴ {a −1≤2a 2a ≤a +1解得-1≤a≤1；（2）方程f （x ）-tf （2a ）=0的解即为方程f （x ）=tf （2a ）的解． ① 当-1≤a≤1时，f （x ）在R 上是增函数，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）不可能有3个不相等的实数根． ② 当1＜a≤2时，2a ＞a+1＞a-1，∴f （x ）在（-∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a ）上单调递减，在（2a ，+∞）上单调递增，所以当f （2a ）＜tf （2a ）＜f （a+1）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，即4a ＜t•4a ＜（a+1）2． ∵a ＞1，∴ 1＜t ＜14(a +1a +2) ．设 ℎ(a )=14(a +1a +2) ，因为存在a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，∴1＜t ＜h （a ）max ．又h （a ）在（1，2]递增，所以 ℎ(a )max =98，∴ 1＜t ＜98． ③ 当-2≤a ＜-1时，2a ＜a-1＜a+1，所以f （x ）在（-∞，2a ）上单调递增，在（2a ，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上单调递增，所以当f （a-1）＜tf （2a ）＜f （2a ）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，即-（a-1）2＜t•4a ＜4a ．∵a ＜-1，∴ 1＜t ＜−14(a +1a−2) ．设 g (a )=−14(a +1a −2) ，因为存在a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，所以1＜t ＜g （a ）max ．又可证 g (a )=−14(a +1a −2) 在[-2，-1）上单调递减，所以 g (a )max =98 ，所以 1＜t ＜98 ．．综上，1＜t＜98【点评】：本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）若函数f（x）=e x-ae-x-mx（m∈R）为奇函数，且x=x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；恒成立，求实数m的取值范围．（3）若f（x0）≥- 2e【正确答案】：【解析】：（1）依题意，f（x）+f（-x）=0在定义域上恒成立，由此建立方程，解出即可；（2）求导后分m≤2及m＞2讨论即可；（3）可知e x0+e−x0=m，进而得到f（x0），研究其单调性，结合已知可得x0≤1，由此可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（-x）=0在定义域上恒成立，∴e x-ae-x-mx+e-x-ae x+mx=0，化简可得（1-a）（e x+e-x）=0，故a=1；，（2）由（1）可得f（x）=e x-e-x-mx，则f′(x)=e x+e−x−m=e2x−me x+1e x① 当m≤2时，由于e2x-me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；② 当m＞2时，令e x=t，则方程t2-mt+1=0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）=e x-e-x-mx在（-∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足e x0+e−x0=m代入f（x）=e x-e-x-mx，消去m得f(x0)=(1−x0)e x0−(1+x0)e−x0，构造函数h（x）=（1-x）e x-（1+x）e-x，则h′（x）=x（e-x-e x），当x≥0时，e−x−e x=1−e2xe x≤0，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中ℎ(1)=−2e ，则f(x0)≥−2e，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由e x0+e−x0=m，设y=e x+e-x，可得当x≥0时，y′=e x-e-x≥0，∴y=e x+e-x在（0，1]上递增，故m≤e+1e，综上，实数m的取值范围为(2，e+1e]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，同时也涉及了奇函数的定义，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．。

江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题含答案

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若复数z 满足－ z ＝2－i3＋i，则|z |＝ABCD ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 244．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝{－13x 3＋a x 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1]C ．[－4，－1)D ．[－4，－1]6．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B CD 7．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ．π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－ x ＝4，－ y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OMC ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级，将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ，若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，AB ⊥AD ，PA ＝PD ，AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA → ＝4CD →，BD △ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分）已知f(x)＝ln(x＋1)(1) 设h(x)＝x f(x－1)，求h(x)的极值．(2) 若f(x)≤ax在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．(3) 若存在常数M，使得对任意x∈I，f(x)≤M恒成立，则称f(x)在I上有上界M，函数f(x)称为有上界函数．如y＝e x是在R上没有上界的函数，y＝ln x是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y＝－e x，y＝－x2都是在R上有上界的函数．若g(n)＝1＋12＋13＋···＋1n(n∈N*)，则g(n)是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为12．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且| DE |＝3．(1)求C的方程；(2)若M，N是C上任意两点①若点M(1，32)，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G 的面积分别为S1，S2，若2S1－2S2＝3，求线段MN的长度；②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段MN请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024-2025学年第一学期六校10月联合调研高三数学答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.（15分）17.（15分）姓名：__________________________：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.（17分）19.（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学参考答案2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．C 3．A 4．B 5．D6．D7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC10．ACD11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．013．814．y四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ^平面ABCD ，且平面PAD Ç平面ABCD AD =，且AB AD ^，AB Ì平面ABCD ，∴AB ^平面PAD ，………………...........................2分∵PD Ì平面PAD ，∴AB PD ^，又PD PA ^，且PA AB A =I ，,PA AB Ì平面PAB ，∴PD ^平面PAB ；…………................................……..4分又PD Ì平面PAD ，所以平面^PCD 平面PAB ………………..6分（2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ^则4==PO AO 因为5==CD AC ，所以AD CO ^，则322=-=AO AC CO 以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A -,)4,4,0(),4,0,3(--=-=PD PC ，)4,4,2(-=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅PD n PC n 得⎩⎨⎧=+=-0043z y z x ，令,3=z 则3,4-==y x ，所以)3,3,4(-=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ则sin 所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b A c =2sin cos 2sin B A C A=-2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A=+-=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分（2）由1sin cos -=C A ，得1sin -65cos -=C C ）（π，1sin sin 65sin cos 65cos-=+C C C ππ，13sin(=+πC ………..7分因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以cb A ==32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以bAD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅-+==21(43216922-⋅⋅-+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 4 8＝570＝114P (X ＝2)＝C 2 5C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 3 5C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 4 5C 0 3C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：X 1234P1143737114则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，记“输入的问题有语法错误”为事件B ，记“回答被采纳”为事件C ，…………………………………………………………10分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ，所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e)上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增；所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分(2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分(3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．．＋1n＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）由离心率为12，得b 2a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3，解得a ＝2，b所以故椭圆C 的方程为 x 24＋ y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2= 32，S △MA 1O =32，所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x,……………………………………6分由{y ＝－32x ， x 24＋y 23＝1．得N (1,－ 32)，N (－1, 32)（舍去）.所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立{y ＝kx ＋m ， x 24＋ y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0，所以，x 1＋x 2＝－ 8mk 4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0．所以中点H 的坐标为(－ 4mk 4k 2+3， 3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k ,故直线OH ：y ＝－34k x.………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分由|HM |·|HN |= 14|MN |2= 14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2;联立{y ＝－ 34k x ， x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝ 16k 24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3，所以|HP|·|HQ|=(1+916k2)|x20－x23|=(9+16k2).4k2+3－m2(4k2+3)2,所以12(1+k2)=9+16k2得，k分所有m2<3+4k2=6，得m∈(，|MN|2=48(1+k2).4k2+3－m2(4k2+3)2=42－7m23≤14即|MN|分。

2021-2022学年江苏省扬州市江都中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年江苏省扬州市江都中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={y|y=1x2}，B={x|x2−2x−3<0,x∈R}，那么A∩B=()A. (0,3)B. (−1,+∞)C. (0,1)D. (3,+∞)2.函数f(x)=(x2+|x|)⋅ln|x|的图象大致是()A. B.C. D.3.已知函数f(x)=x+4x，则“x>4”是“f(x)>5”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知点P(sin(−30°),cos(−30°))在角θ的终边上，且θ∈[−2π,0)，则角θ的大小为()A. −π3B. 2π3C. −2π3D. −4π35.已知函数f(x)=2x13,x∈R，若当0≤θ≤π2时，f(msinθ)+f(1−m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()A. (0,1)B. (−∞,0)C. (1,+∞)D. (−∞,1)6.有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑．小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物AB，高为(150−50√3)m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为30°，则小明估算金奥中心的高度为()A. 200mB. 300mC. 200√3mD. 300√3m7.函数f(x)=2sin(x+π4)+cos2x的最大值为()A. 1+√2B. 3√32C. 2√2D. 38.已知f(x)={2xx2+1,x≥0−1x ,x<0，若函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则−1x1+1x2+1x3的取值范围是()A. (3,+∞)B. (2,+∞)C. (52,+∞) D. (1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列选项中正确的是()A. 不等式a+b≥2√ab恒成立B. 存在实数a，使得不等式a+1a≤2成立C. 若a、b为正实数，则ba +ab≥2D. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2x +1y≥810.已知函数f(x)=(x2−2x)⋅e x，则()A. 函数f(x)在原点处的切线方程为y=−2xB. 函数f(x)的极小值点为x=−√2C. 函数f(x)在(−∞,−√2)上有一个零点D. 函数f(x)在R上有两个零点11.已知函数f(x)，g(x)的图象分别如图1，2所示，方程f(g(x))=1，g(f(x))=−1，g(g(x))=−12的实根个数分别为a，b，c，则()A. a+b=cB. b+c=aC. a b=cD. b+c=2a12.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|，下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间(π2,π)单调递减C. f(x)在[−2π,2π]有4个零点D. f(x)的最小值为−√2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.写出一个周期为2且值域为[0,2]的函数的解析式f(x)=______．14.已知tan(α+π4)=−2，则sin2α1−cos2α=______．15.已知函数f(x)=16x3−mx+3，g(x)=−5x−4ln1x，若函数f′(x)与g(x)(x∈[1e,4])的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1)，值域为[0,+∞)，则ac的最大值为；实数λ满足1−b=λ√a，则λ取值范围为．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|14≤2x≤128}，B={y|y=log2x,x∈[18,32]}．(1)若C={x|m+1<x≤2m−2}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围；(2)若D={x|x>6m+1}，且(A∪B)∩D=⌀，求实数m的取值范围．18.已知关于x的不等式kx2+2kx−k+1>0的解集为M．(1)若M=R，求k的取值范围；(2)若存在两个不相等负实数a、b，使得M=(−∞,a)∪(b,+∞)，求实数k的取值范围；(3)若恰有三个整数n1、n2、n3在集合M中，求k的取值范围．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为△ABC的面积．请在①S=√3 4(b2+c2−a2)；②√3(bsinC−ccosBtanC)=a；③sinC+sin(B−A)=sinB，三个条件中选择一个，完成下列问题：(Ⅰ)求出角A的大小；(Ⅱ)若a=√3，求2b−c的取值范围．20.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象．(1)当x∈[π4,11π12]时，若方程g(x)−m=0恰好有两个不同的根x1，x2，求m的取值范围及x1+x2的值；(2)令F(x)=f(x)−3，若对任意x都有F2(x)−(2+m)F(x)+2+m≤0恒成立，求m的最大值．21. 已知函数f(x)=(a −1x )lnx(a ∈R)．(1)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x +y −1=0，求a 的值； (2)若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； (3)当a =2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．22. 若函数y =f(x)对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使得f(x 1)f(x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数g(x)=sinx 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](m >0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围； (3)已知函数ℎ(x)=(x −a)2(a ≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”，若存在实数x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，不等式ℎ(x)≥−t 2+(s −t)x +4都成立，求实数s的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={y|y =1x 2}={y|y >0}， B ={x|x 2−2x −3<0,x ∈R}={x|−1<x <3}， ∴A ∩B ={x|0<x <3}=(0,3)．故选：A ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=(x 2+|x|)⋅ln|x|，其定义域为{x|x ≠0}，则有f(−x)=(x 2+|x|)⋅ln|x|=f(x)，函数f(x)为偶函数，排除BD ，在区间(0,1)上，ln|x|<0，f(x)<0，排除C ，故选：A ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD ，再分析区间(0,1)上，f(x)的符号，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数变化趋势的判断，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：①当x >4时，函数f(x)=x +4x 单调递增，∴f(x)>5，∴充分性成立， ②当x =12时，f(x)=12+8=172>5，但x <4，∴必要性不成立，∴x >4是f(x)>5的充分不必要条件，故选：B ．利用函数的单调性判断充分性，利用举实例判断必要性．本题考查了函数的单调性，充要条件的判定，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：∵点P(sin(−30°),cos(−30°))在角θ的终边上，且θ∈[−2π,0)，则cosθ=sin(−30°)=−12，sinθ=cos(−30°)=√32，∴θ=−π−π3=−4π3．故选：D．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ和sinθ的值，进而可得θ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵f(x)=2x13,x∈R，∴f(−x)=−2x13=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，且为增函数；又f(msinθ)+f(1−m)>0，∴f(msinθ)>−f(1−m)=f(m−1)，∴msinθ>m−1，整理得m(1−sinθ)<1①；∵0≤θ≤π2，当θ=π2时，0<1恒成立，m∈R；当θ≠π2时，①式可化为m<11−sinθ；∵g(θ)=11−sinθ在[0,π2)上单调递增，∴当θ=0时，g(θ)取得最小值1，∴m<1；故选：D．易得f(x)=2x13为R上的奇函数且在R上递增，于是f(msinθ)>f(m−1)脱去“f”，等价转化为m(1−sinθ)<1，分θ=π2与θ≠π2两类讨论，即可求解．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，考查构造法与三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：在三角形△ABM 中，sin15°=ABAM ， ∵AB =150−50√3， ∴AM =√3)√6−√2，在三角形△ACM 中∠AMC =105°，∠CAM =45°， ∴∠ACM =30°，由正弦定理可得，CMsin45∘=AMsin30∘， ∴CM =200√3，在△CDM 中，sin60°=CD CM ， ∴CD =300，即楼高为300米，故选：B ．分别在三角形中利用正弦定理以及三角形的性质即可解出．本题考查了解三角形，正弦定理的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=2sin(x +π4)+cos2x =2sin(x +π4)+sin(2x +π2)，令x +π4=θ，则f(θ)=2sinθ+sin2θ，∴f′(θ)=2cosθ+2cos2θ=4cos 2θ+2cosθ−2，令f′(θ)=0，可得cosθ=−1或cosθ=12，故当cosθ∈[−1,12)时，f′(θ)<0，f(θ)单调单调递减；当cosθ∈[12,1]时，f′(θ)>0，f(θ)单调单调递增，即θ∈[2kπ−π3,2kπ+π3]，k ∈Z 时，f(θ)单调单调递增．故当θ=2kπ+π3，k ∈Z 时，此时，cosθ=12、sinθ=√32，f(θ)取得最大值为2×√32+2×√32×12=3√32，故选：B．令x+π4=θ，则f(x)=g(θ)=2sinθ+sin2θ，再利用导数求得f(θ)的最小值．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，利用导数求函数的最值，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)={2xx2+1,x≥0−1x ,x<0的图象如图所示，函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，即方程f(x)=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，由图知t>0，当x>0时，f(x)=2xx2+1=2x+1x，∵x+1x≥2(x>0)，∴f(x)≤1，当且仅当x=1时取得最大值，当y=1时，x1=−1，x2=x3=1，此时−1x1+1x2+1x3=3，由2x+1x =t(0<t<1)，可得x2−2xt+1=0，∴x2+x3=2t，x2x3=1，∴1x2+1x3=2t>2，∴−1x1+1x2+1x3=t+2t，∵0<t<1，∴−1x1+1x2+1x3的取值范围是(3,+∞)．故选：A．首先画出函数的图象，根据图象得t >0时有三个零点，求出当x ≥0时f(x)的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．一般函数零点的求解与判断方法有如下三种：①直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)⋅f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ：当a ≥0和b ≥0时，不等式a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时等号成立恒成立，故A 错误；对于B ：存在实数a =1，使得不等式a +1a ≤2成立，故B 正确；对于C ：若a 、b 为正实数，则b a+a b≥2√b a⋅ab ≥2，当且仅当b a =ab 时，等号成立，故C 正确；对于D ：若正实数x ，y 满足x +2y =1，则2x +1y =(x +2y)(2x +1y )=4y x+x y +4≥2√4y x ⋅xy +4=8，当且仅当4yx =xy ，即x =12,y =14时等号成立，故D 正确．故选：BCD ．直接利用不等式的性质和基本不等式的的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=(x 2−2x)e x ，∴f′(x)=(2x −2)e x +(x 2−2x)e x =(x 2−2)e x ， ∴f′(0)=−2，∴函数f(x)在原点处的切线方程为y =−2x ，故A 正确，令f′(x)=0，解得x=±√2，当x<−√2或x>√2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当−√2<x<√2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴函数的极小值点为x=√2时，极大值点为x=−√2，故B错误，令f(x)=(x2−2x)⋅e x=0，解得x=0或x=2，∴函数f(x)在(−∞,−√2)上没有零点，故C错误，D正确．故选：AD．先求导，再根据导数得几何意义即可求出切线方程，再根据导数和极值的关系即可求出极小值点，令f(x)=0，即可求出函数的零点．本题考查了切线方程，极值，零点等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：由图，g(f(x))=−1，得f(x)=−1，或者f(x)=1，有2个解b=2，方程f(g(x))=1，g(x)大约等于−12，对应四个解，a=4，g(g(x))=−12，g(x)取到4个值，如图，而对应的x的解，由6个，c=6，根据选项，A，D成立，故选：AD．根据图象，确定a，b，c的值，代入验证即可．考查函数图象的对应关系，基础题．12.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=sin|x|+|cosx|，对于A：f(−x)=sin|x|+|cosx|=sin|−x|+|cos(−x)|=f(x)故函数为偶函数，故A 正确；对于B：由于x∈(π2,π)，故f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，故函数在区间(π2,π)单调递增，故B错误；对于C：当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[1,√2]；当x∈[π2,π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)∈[1,√2]；当x∈[π,3π2]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)∈[−1,1]；当x=5π4时，f(5π4)=0．当x∈[3π2,2π]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−1,1]，当x=7π4时，f(7π4)=0．故函数f(x)在[0,2π]上有两个零点，由于函数为偶函数，故函数f(x)在[−2π,2π]有4个零点，故C正确；对于D：由选项C的函数的值域函数的最小值为−1，故D错误．故选：AC．直接利用函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】2|sinπ2x|【解析】解：如f(x)=2|sinπ2x|，其周期T=2ππ22=2，且其值域为[0,2]，满足题意，故答案为：2|sinπ2x|．由值域为[−2,2]联想到三角函数，再根据周期可以编写一个符合的函数．考查三角函数的周期、值域的求法，清楚三角函数的图象，属于基础题．14.【答案】13【解析】解：因为tan(α+π4)=−2，所以tanα+11−tanα=−2，解得tanα=3，则sin2α1−cos2α=2sinαcosα2sin2α=1tanα=13．故答案为：13．由已知利用两角和的正切公式可求tanα的值，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】[8ln2−12,−92]【解析】解：函数f′(x)与g(x)(x ∈[1e ,4])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，等价于f′(x)+g(x)在[1e ,4]有零点，令ℎ(x)=f′(x)+g(x)=12x 2−m −5x −4ln 1x =12x 2−m −5x +4lnx ，则ℎ′(x)=x −5+4x =(x−1)(x−4)x ，所以在[1e ,1]上，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，在[1,4]上，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，则ℎ(x)≤ℎ(1)，又ℎ(1)=−m −92，ℎ(1e )=12e 2−m −5e −4，ℎ(4)=8ln2−m −12，因为ℎ(4)−ℎ(1e )=8ln2−8+5e −12e 2<0，所以ℎ(4)<ℎ(1e )，则ℎ(x)≥ℎ(4)，所以ℎ(4)=8ln2−m −12≤0①， ℎ(1)=−m −92≥0②，解得8ln2−12≤m ≤−92，即m 的取值范围是[8ln2−12,−92]. 故答案为：[8ln2−12,−92].由题意可得f′(x)+g(x)在[1e ,4]有零点，令ℎ(x)=f′(x)+g(x)，利用导数求出ℎ(x)的最大值及最小值，结合题意即可求解m 的取值范围．本题主要考查函数图象的应用，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究闭区间上函数的最值，综合性很强，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】116[2√2−2,+∞)【解析】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 均为正数)过点(1,1)， ∴a +b +c =1(a >0,b >0,c >0)， ∵开口向上且值域为[0,+∞)， ∴△=b 2−4ac =0， ∴b =2√ac ，∴a +b +c =a +2√ac +c =1， ∴(√a +√c)2=1， ∴√a +√c =1，∴1=√a +√c ≥2√√a ⋅√c ，即√√ac ≤12，当且仅当a =c =14时，等号成立， ∴√ac ≤14，即ac ≤116，当且仅当a =c =14时，等号成立， ∴ac 的最大值为116(当且仅当a =c =14时最大)，∵λ√a =1−b =a +c =a +(1−√a)2=2a −2√a +1， ∴λ=2√a −2√a =2√a √a−2，∵a +c =2a −2√a +1=1−b <1，即2a −2√a <0， ∴a −√a <0，∴a −√a =√a(√a −1)<0，∴0<√a <1， ∴0<a <1， ∴λ≥2√2√a ⋅√a2=2√2−2，当且仅当2√a =√a 即a =12时，等号成立，又∵a →0时，√a →+∞， ∴λ∈[2√2−2,+∞)，故答案为116；[2√2−2,+∞)．由题意可知a +b +c =1(a >0,b >0,c >0)，△=b 2−4ac =0，所以a +b +c =a +2√ac +c =1，进而得到√a +√c =1，再利用基本不等式即可求出ac 的最大值，由已知条件可得λ=2√a √a 2，利用基本不等式结合0<a <1，即可求出λ取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，是中档题．17.【答案】解：(1)∵A ={x|−2≤x ≤7}，B ={y|−3≤y ≤5}，∴A ∩B ={x|−2≤x ≤5}，且C ={x|m +1<x ≤2m −2}，C ⊆(A ∩B)， ∴①C =⌀时，m +1≥2m −2，解得m ≤3； ②C ≠⌀时，{m +1<2m −2m +1≥−22m −2≤5，解得3<m ≤72，综上得，m 的取值范围为：{m|m ≤72}； (2)A ∪B ={x|−3≤x ≤7}，又(A ∪B)∩D =⌀，D ={x|x >6m +1}， ∴6m +1≥7，解得m ≥1， ∴m 的取值范围为{m|m ≥1}．【解析】(1)可求出集合A ，B ，进行交集的运算求出A ∩B ={x|−2≤x ≤5}，然后根据C ⊆(A ∩B)可讨论C 是否为空集：C =⌀时，m +1≥2m −2；C ≠⌀时，{m +1<2m −2m +1≥−22m −2≤5，然后解出m 的范围即可； (2)可求出A ∪B ={x|−3≤x ≤7}，然后根据(A ∪B)∩D =⌀即可得出6m +1≥7，从而解出m 的范围即可．本题考查了交集和并集的定义及运算，子集的定义，空集的定义，分类讨论的方法，考查的计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)①当k =0时，不等式化为1>0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，由题意知{k >0△<0，即{k >04k 2−4k(−k +1)<0，解得0<k <12；综上所述：k 的取值范围是[0,12)； (2)由题意可得{k >0△>0x 1+x 2<0x 1x 2>0，即{ k >04k 2−4k(−k +1)>0−2<0−k+1k >0，解得12<k <1，所以实数k 的取值范围是(12,1)；(3)①当k =0时，不等式为1>0恒成立，不符合题意； ②由题意得：{k <0△>0，即{k <04k 2−4k(−k +1)>0，解得k <0，所以不等式等价于x 2+2x +1−k k <0，解得−1−√2k−1k<x <−1+√2k−1k，则三个整数解为−2，−1，0；所以{−3≤−1−√2k−1k <−20<−1+√2k−1k ≤1，解得k ≤−12；综上所述，k 的取值范围是(−∞,−12]；另解：记f(x)=kx 2+2kx −k +1，由题意知k <0，所以{f(0)>0f(1)≤0，即{−k +1>0k +2k −k +1≤0，解得k ≤−12，所以k 的取值范围是(−∞,−12].【解析】(1)讨论k =0和k ≠0时，利用判别式求出不等式恒成立时k 的取值范围； (2)由题意利用判别式和根与系数的关系列出不等式组，从而求出k 的取值范围；(3)根据题意知{k <0△>0，求出对应不等式x 2+2x +1−k k <0的解集，再根据解集中的三个整数解列不等式组求出k 的取值范围．另解法、构造函数f(x)=kx 2+2kx −k +1，根据题意知k <0，只需{f(0)>0f(1)≤0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式于对应函数的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)选择条件①：∵S =√34(b 2+c 2−a 2)=12bcsinA ，∴√3b2+c2−a22bc=sinA，即√3cosA=sinA，∴tanA=√3，∵A∈(0,π)，∴A=π3．选择条件②：由正弦定理知，bsinB =csinC，∵√3(bsinC−ccosBtanC)=a，∴√3(sinBsinC−sinCcosBtanC)=sinA，即√3(sinBsinC−cosCcosB)=sinA，∴−√3cos(B+C)=sinA，即√3cosA=sinA，∴tanA=√3，∵A∈(0,π)，∴A=π3．选择条件③：∵sinC+sin(B−A)=sinB，∴sin(B+A)+sin(B−A)=sinB，∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA−cosBsinA=sinB，即2sinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵asinA =bsinB=csinC=2，∴2b−c=4sinB−2sinC=4sinB−2sin(π3+B)=4sinB−2(√32cosB+12sinB)=3sinB−√3cosB=2√3sin(B−π6)，∵0<B<2π3，∴−π6<B−π6<π2，sin(B−π6)∈(−12,1)，∴2b−c∈(−√3,2√3)．【解析】(Ⅰ)选择条件①：结合S=12bcsinA和余弦定理，可得tanA=√3，从而求得A 的大小；选择条件②：利用正弦定理化边为角，再结合两角和的余弦公式和诱导公式，求得tanA=√3，从而求得A的大小；选择条件③：根据三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，推出cosA=12，从而求得A 的大小；(Ⅱ)由正弦定理，推出2b −c =4sinB −2sinC ，结合三角恒等变换的相关公式与正弦函数的图象、性质，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、两角和差公式，以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可知A =1,14T =7π12−π3，∴T =π，∴ω=2πT=2，f(x)=sin(2x +φ)．代入(7π12,−1)得，sin(7π6+φ)=−1，φ=2kπ+π3,k ∈Z ， ∵|φ|<π2，∴k =0,φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3)．把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)∴g(x)=sin(2(x −π4)+π3)−1=sin(2x −π6)−1， ∴g(x)在x ∈[π4,π3]单调递增，在x ∈[π3,5π6]单调递减，在x ∈[5π6,11π12]单调递增，且g(π4)=g(5π12)=√32−1，g(π3)=0g(3π4)=g(11π12)=−√32−1，g(5π6)=−2．方程g(x)−m =0恰好有两个不同的根x 1，x 2，∴m 的取值范围[√32−1,0)∪(−2,−√32−1]．令2x −π6=kπ+π2，∴g(x)对称轴为x =kπ2+π3，k ∈Z ，∵x ∈[π4,11π12]，∴k =0,x =π3；或k =1,x =5π6．∴√32−1≤m <0时，x 1+x 2=2π3；当−2<m ≤−1−√32时，x 1+x 2=5π3．(2)由(1)可知f(x)=sin(2x +π3)∈[−1,1]，F(x)=f(x)−3∈[−4,−2]，对任意x 都有F 2(x)−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立令t =F(x)∈[−4,−2]，ℎ(t)=t 2−(2+m)t +2+m ，是关于t 的二次函数，开口向上则ℎ(t)max ≤0恒成立而ℎ(t)的最大值，在t =−4或t =−2时取到最大值，则{ℎ(−2)=4−(2+m)⋅(−2)+2+m ≤0ℎ(−4)=16−(2+m)⋅(−4)+2+m ≤0，解得{m ≤−103m ≤−265，所以m ≤−265，则m 的最大值为−265．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求出m 的取值范围及x 1+x 2的值．(2)先求出F(x)的值域，令t =F(x)，则ℎ(t)=t 2−(2+m)t +2+m ≤0恒成立，再利用二次函数的性质，求出m 的最大值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1x 2lnx +(a −1x )1x ，因为曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x +y −1=0，所以f′(1)=a −1=−1，得a =0； (2)因为f′(x)=ax−1+lnxx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)=ax −1+lnx 存在两个不相等的零点，则g′(x)=1x +a ， ①当a ≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点， ②当a <0时，因为当x ∈(0 , −1a )时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈(−1a , +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以x =−1a 时，g(x)max =g(−1a )=ln(−1a )−2，因为g(x)存在两个零点，所以ln(−1a )−2>0，解得−e −2<a <0，因为−e −2<a <0，所以−1a >e 2>1，因为g(1)=a −1<0，所以g(x)在(0 , −1a )上存在一个零点，因为−e −2<a <0，所以(−1a )2>−1a ，因为g[(−1a )2]=ln(−1a )2+1a −1，设t =−1a ，则y =2lnt −t −1(t >e 2)，因为y′=2−t t <0，所以y =2lnt −t −1(t >e 2)单调递减，所以y <2ln(e 2)−e 2−1=3−e 2<0，所以g[(−1a )2]=ln(−1a )2+1a −1<0，所以g(x)在(−1a , +∞)上存在一个零点，综上可知，实数a 的取值范围为(−e −2,0)；(3)当a =2时，f(x)=(2−1x )lnx ，f′(x)=1x 2lnx +(2−1x )1x =2x−1+lnxx 2，设g(x)=2x −1+lnx ，则g′(x)=1x +2>0.所以g(x)单调递增，且g(12)=ln 12<0，g(1)=1>0，所以存在x 0∈(12 , 1)使得g(x 0)=0，因为当x ∈(0,x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减；当x ∈(x 0,+∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增，所以x =x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)=(2−1x 0)lnx 0=(2−1x 0)(1−2x 0)=−(4x 0+1x 0)+4，因为x 0∈(12 , 1)，所以f(x 0)∈(−1,0)，因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤−1，即λ的最大值为−1．【解析】(1)求导，利用导数的几何意义即可求解； (2)因为f′(x)=ax−1+lnxx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)=ax −1+lnx 存在两个不相等的零点，则g′(x)=1x +a ，再对a 分情况讨论求出a 的取值范围； (3)当a =2时，f(x)=(2−1x )lnx ，f′(x)=1x 2lnx +(2−1x )1x=2x−1+lnxx 2，设g(x)=2x −1+lnx ，则g′(x)=1x +2>0.所以g(x)单调递增，且g(12)=ln 12<0，g(1)=1>0，所以存在x 0∈(12 , 1)使得g(x 0)=0，所以x =x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)=(2−1x 0)lnx 0=(2−1x 0)(1−2x 0)=−(4x 0+1x 0)+4，因为x 0∈(12 , 1)，所以f(x 0)∈(−1,0)，因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤−1，即λ的最大值为−1．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．22.【答案】解：(1)对于函数g(x)=sinx 的定义域R 内存在x 1=π6，则g(x 2)=2无解，故g(x)=sinx 不是“依赖函数”；(2)因为f(x)=2x−1在[m,n]递增，故f(m)f(n)=1，即2m−12n−1=1，m +n =2，由n >m >0，故n =2−m >m >0，得0<m <1，从而mn =m(2−m)=−(m −1)2+1在(0,1)上单调递增，故mn ∈(0,1)； (3)①若43≤a <4，故ℎ(x)=(x −a)2在[43,4]上最小值0，此时不存在x 2，舍去； ②若a ≥4故ℎ(x)=(x −a)2在[43,4]上单调递减，从而ℎ(43)⋅ℎ(4)=1，解得a =1(舍)或a =133，从而，存在x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式(x −133)2≥−t 2+(s −t)x +4都成立，即t 2+xt +x 2−(s +263)x +1339≥0恒成立，由Δ=x 2−4[x 2−(s +263)x +1339]≤0，得4(s +263)x ≤3x 2+5329，由x ∈[43,4]，可得4(s +263)≤3x +5329x，又y =3x +5329x 在x ∈[43,4]单调递减，故当x =43时，(3x +5329x)max =1453，从而4(s +263)≤1453，解得s ≤4112，故实数s 的最大值为4112．【解析】本题考查新定义，给出“依赖函数”的定义，先要读懂这个定义，根据定义解决问题；本题还涉及多参数的恒成立、有解问题．举反例说明(1)问；(2)由“依赖函数”的定义结合函数单调性分析出m ，n 的关系，然后求mn 的范围； (3)由ℎ(x)为“依赖函数”对a 的范围进行分类讨论，得出a 的值，再解决多变量的恒成立，有解问题．。

江苏省扬州中学2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题及答案

江苏省扬州中学高三数学10月考试卷 2021.10.3一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x ∈N |x ≤2}，则A ∪B =（） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．已知函数()()f x x I ∈，“x I ∀∈，()2021f x ≤”是“()f x 最大值为2021”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数y =sin 2x 的图象经过怎样的平移变换得到函数y =sin (2x −π3)的图像（）A ．向右平移23π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 4．若5α=-，则（）A ．sin 0,cos 0αα>>B ．sin 0,cos 0αα><C ．sin 0,cos 0αα<>D ．sin 0,cos 0αα<< 5．设a =e 0.01，b =log πe ，c =ln 1π，则（） A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b6．若sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-，则tan α=（）A ．13B ．12 C ．13-D ．12-7．函数f （x ）=211ax x ++的大致图象不可能是（） A ． B ．C ．D ．8．设0k >，若存在正实数x ，使得不等式127log 30kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为（） A ．1ln3e B ．ln 3e C ．ln 3eD ．ln 32二．多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）A C AB F A CA．异面直线A E与DC所成的角不断变大 B．二面角A﹣DC﹣E的平面角恒为45°三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知tan（α-34π）=34，则tanα=_______.14．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且222b c a bc+-=，则A=______,若2a=，则△ABC面积的最大值为______．15．迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为_____．（本题中取3π=进行计算）16．已知f (x )=e x −e −x +sin x −x ，若f(a −2ln(|x |+1))+f (x 22)≥0恒成立，则实数a 的取值范围___．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，若a sin B cos C +c sin B cos A =12b ，且a ≥b.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且△ABC 的面积为43，求BC 边上的中线AM 的长.18．已知函数()cos 2sin f x x a x b =++（0a <）.（1）若当x ∈R 时，()f x 的最大值为98，最小值为2-，求实数a ，b 的值;（2）若2a =-，1b =,设函数()sin 2g x m x m =+，且当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求实数m 的取值范围.19．如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .（1）求证：//AB GH ；（2）求二面角D—GH—Q 的余弦值.20．某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得2分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得4分，答错得0分．（1）若一共有1000人应聘，他们的工作经历评分X 服从正态分布()263,13N ，76分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为45，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量()2,X N u σ～，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=．21．已知函数f(x)=e x +e −x ，其中e 是自然对数的底数．（1）若关于x 的不等式mf(x)≤e −x +m −1在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知正数a 满足：2a >f (1), 试比较e a−1与a e −1的大小，并证明你的结论．22．设函数f (x )=ln x −a (x −1)e x ，其中a R ∈．（1）若a =−1，求函数()f x 的单调区间；（2）若10a e<<，（ⅰ）证明：函数()f x 恰有两个零点；（ⅰ）设x 0为函数()f x 的极值点，x 1为函数()f x 的零点，且x 1>x 0，证明：3x 0>x 1+2．江苏省扬州中学高三数学10月考试卷参考答案 2021.10.31．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．AD 10．BCD 11．ABD 12．ABD13．−17 14．π3,√3 15．12−3√15 16．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭17．（1）因为1sin cos sin cos 2a B C c B A b +=，由正弦定理得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，sin 0B ≠1sin cos sin cos 2A C C A ∴+=，()1sin 2A C ∴+=，1sin 2B ∴=.又a ≥b ，所以02B π<<，可得6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，则a b =，23C π=， 2112S=sin sin 43223ABCab C a π==，4a ∴=，4a =-（舍）. 又在△AMC 中，由余弦定理得22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅2221122cos 223AM AC AC AC AC π⎛⎫∴=+-⋅ ⎪⎝⎭22142242282⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以=27AM . (或者用其它方法如向量法，正确也给全分) 18．（1）22()2sin 148a a f x x b ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭，∴当−1⩽a4<0时，2max 9()188a f xb =++=，min ()12f x a b =+-=-.解得1a =-或9a =（舍去）， ⅰ1a =-，0b =. 当14a<-时，max 9()18f x a b =-+-=，min ()12f x a b =+-=-.解得259,1616a b =-=（舍去）. 综上所述，1a =-，0b =.（2）解法一：2()2sin 2sin 2f x x x =--+.当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22sin 2sin 2(sin 2)x x m x --+>+恒成立，22sin 2sin 2sin 2x x m x --+<+，令sin 2u x =+，则52⩽u ⩽3. 所以162m u u ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质得6−2(u +1u )⩾−23，所以23m <-.ⅰm 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解法二：2()2sin 2sin 2f x x x =--+.当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22sin 2sin 2(sin 2)x x m x --+>+恒成立，令sin t x =，则2()2222h t t t mt m =+++-，则()0h t <在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则(1)01()02h h <⎧⎪⎨<⎪⎩2315m m ⎧<-⎪⎪⇒⎨⎪<⎪⎩，即23m <-.ⅰm 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.19．（1）因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以//EF AB ，//DC AB .所以//EF DC .又EF ⊂/平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD . 又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ 平面PCD GH =，所以//EF GH .又//EF AB ，所以//AB GH .（2）在ABQ △中，2AQ BD =，AD DQ =，所以90ABQ ∠=︒. 又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直.以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2BA BQ BP ===，则()1,0,1E ，()0,0,1F ，()0,2,0Q ，()1,1,0D ，()0,1,0C ，()002P ,,.所以()1,2,1EQ =--，()0,2,1FQ =-，()1,1,2DP =--，()0,1,2CP =-.设平面EFQ 的一个法向量为()111,,m x y z =，由0m EQ ⋅=，0m FQ ⋅=，得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =，得()0,1,2m =.设平面PDC 的一个法向量为()22,2,,n x y z =，由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=，得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取21z =，得()0,2,1n =.设平面DGH 与平面GHE 的夹角为θ，则4cos cos ,5nm n m n m θ⋅===. 20．（1）因为X 服从正态分布()263,13N ，所以()()10.68277663130.158652P X P X -≥=≥+==，因此进入面试的人数为1000015865159⨯≈．．答：进面试环节得人数约为159人.（2）由题可知，Y 的可能取值为0，2，4，6，8，10，则()2341 01145100P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()23432145100P Y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭；()123448241145510025P Y C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()123442466C 145510025P Y ⎛⎫==⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭；()234164814510025P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2344812104510025P Y ⎛⎫==⨯==⎪⎝⎭．故Y 的分布列为：Y 0 2 4 6 8 10所以()02468107.910010025252525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．答：数学期望为7.9分. 21．（1）若关于x 的不等式mf(x)≤e −x +m −1在(0,)+∞上恒成立，即()11x x xm e e e --+-≤-在(0,)+∞上恒成立，∵0x >，∴10x x e e -+->，即m ≤e −x −1e +e −1在（0，+∞）上恒成立，设(),1xt e t =>，则m ≤1−tt 2−t+1在(1,)+∞上恒成立．∵22111111(1)(1)13(1)11t t t t t t t t --=-=-≥--+-+-+-++-．当且仅当2t =，即x =ln2时上式等号成立．ⅰ13m ≤-.（2）已知112a e e ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，令()(1)ln 1h x x e x =---，1()1e h x x-'=-，由1()10e h x x-'=-=，解得1x e =-．当01x e <<-时，()0h x '<，此时函数单调递减；当1x e >-时，()0h x '>，此时函数单调递增． ∴()h x 在(0,)+∞上的最小值为(1)h e -．注意到ℎ(e)=ℎ(1)=0，ⅰ11e ,(1,)2e a e e ⎛⎫⎛⎫∈+⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h a <，即1(1)ln a e a -<-，从而11a e e a --<；ⅰa e =时，11a e e a --=；ⅰ(,)(1,)a e e ∈+∞⊆-+∞时，()()0h a h e >=，即1(1)ln a e a ->-，从而11a e e a -->．综上可知：当112e a e e ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭时，11a e e a --<；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11a e e a -->．22．（1）由题设，()()ln 1xf x x x e =+-且0x >，则()01x f x xe x'=+>，ⅰ在(0,)+∞上()f x 单调递增,无减区间.（2）（ⅰ）由()21xax e f x x-'=，令2()1x g x ax e =-，又10a e <<，知()g x 在(0,)+∞上递减，又(1)10g ae =->，211(ln )1(ln )0g a a=-<，∴()g x 在(0,)+∞上有唯一零点，即f ′(x )在(0,)+∞上唯一零点，设零点为0x ，则011ln x a<<， ∴00x x <<，f ′(x )>0，()f x 递增；0x x >，f ′(x )<0，()f x 递减； ∴0x 是()f x 唯一极值点，且为极大值，令()ln 1h x x x =-+且1x >，则1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞上递减， ∴()()0h x h x <=，即ln 1x x <-，∴f (ln 1a )=ln(ln 1a )−ln 1a +1=ℎ(ln 1a )<0，又()0(1)0f x f >=， ∴()f x 在0(0,)x 、0(,)x +∞都有一个唯一零点，故()f x 恰有两个零点.（ⅰ）由题意，0120111ln (1)x x ax e x a x e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消a 得1011201ln x x x x e x --=⋅，即102011ln 1x x x x e x -=-，当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，则10220101(1)1x x x x ex x --<=-，∴10002ln 2(1)x x x x -<<-，即3x 0>x 1+2，得证.。

2020-2021学年江苏省南京市六合高级中学、江浦高级中学高一十月联合调研数学试题及答案

B.不全等三角形的面积都不相等
C.存在两个不全等三角形的面积相等
D.存在两个全等三角形的面积不相等
6.若则的最小值为()
AHale Waihona Puke 4 B. 9 C.6D.87.已知集合，，若，，则实数的取值范围为()
A、 B、 C、 D、
8.已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是().
方程的两根为 …………2分
则由韦达定理可得，所以 …………5分
(2)当时，不等式
当时，即时，解得 …………7分
当时，即时，无解…………9分
当时，即时，解得 …………11分
综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为 …………12分
注：若没有总结，扣1分
11.已知命题，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）
A、 B、 C、 D、
12．非空集合中的元素个数用表示，对于非空集合，定义为：当时，，当时， .若，，且，则的可能取值为（）
A、0B、6C、9D、12
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.如图所示，已知全集，，，则图中的阴影部分表示的集合为________▲___________.
19.解对任意实数x都有恒成立
；…………3分
关于x的方程有实数根；…………6分
如果p正确，且q不正确，有，且，所以，…………8分
如果q正确，且p不正确，有或，且，．…………10分
所以实数a的取值范围为．…………12分
20.解(1)因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.…………5分

江苏省2023届新高考数学高三上学期10月月考试卷分类汇编：三角部分小题之三角函数图象性质(原卷版)

江苏省2023届新高考数学高三上学期10月期初考试试卷分类汇编：三角部分小题【类型二：三角函数的图象与性质】1．(2023·江苏南通如皋10月)(多选题)下列说法错误．．的是 ( ) A. 若角 2 rad α=，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30︒C. 若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30︒，半径为3cm ，则扇形面积为232cm π2．(2023·江苏南通如皋10月)“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“sin()1αβ+=”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3．(2023·江苏南京镇江八校联盟10月)已知点P (cos 23π，1)是角α终边上一点，则cos α＝( )A ．55 B ．－55 C ．255 D ．－324．(2023·江苏姜堰、如东、沭阳如东10月联考)(多选题)要得到函数f (x )＝3sin(2x －2π3)－1的图像，需要把函数g (x )＝3sin2x －1的图像向 ( )A ．右 π3B ．左 π3C ．右 4π3D ．左 2π35．(2023·江苏泰州中学10月)将函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是．6．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)设常数a 使方程sin2x ＋3cos2x ＝a 在区间[0，2π]上恰有五个解x i (i ＝1，2，3，4，5)，则∑=51i i x ＝( )A ．7π3B ．25π6C ．13π3D ．14π37．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)如图是一个近似扇形的湖面，其中OA ＝OB ＝r ，弧AB 的长为l (l ＜r )．为了方便观光，欲在A ，B 两点之间修建一条笔直的走廊AB ．若当0＜x ＜12时，sin x ≈x －x 36，扇形OAB的面积记为S ，则ABS 的值约为A ．2l －r 212l 3B ．2r －l 212r 3C ．1l －r 224l 3D ．1r －l 224r38．(2023·江苏常州八校10月联考)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)，下列结论正确的是A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)上单调递减9．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)已知函数()2sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的()10ωω>得到，若π8x =是函数()g x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．10．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．34πB ．π4C ．0D ．－π411．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ≤π2)的部分图象如图所示，则点P (ω，φ)的坐标为．12．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)(多选题)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(0＜ω＜2)，f (x )＋f (x ＋π)＝0，f (α)＝f (β)(0＜α＜β＜π)，则 A ．f (x )＝f (x ＋4π) B ．f (x )＋f (x ＋9π)＝0 C ．f (α＋β)＜f (β－α)＝12D ．f (β－α)＜f (α＋β)＝1213．(2023·江苏苏州中学10月)(多选题)关于函数f (x )＝－2sin 2x ＋cos(2x ＋32π)＋1的描述正确的是( )A ．f (x )图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位得到B ．f (x )在(0，π2)单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝π8对称D ．f (x )的图象关于点(－π8，0)对称14．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)已知函数1)4(sin 22cos 3)(2+--=x x x f π，将y ＝f （x ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A ．3π B ．4π C ．6πD ．12π15．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ，则( )A. π是函数f (x )的一个周期B. 是函数f (x )的一条对称轴C. 函数f (x )的一个增区间是D. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数f (x )的图象16．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)已知函数)),2(,0(),sin()(ππϕωϕω∈>+=x x f 的部分图象如图所示，则f (2021)＝．17．(2023·江苏扬州中学10月)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所，将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的一个单调递增区间为( )6π-=x )6,3(ππ-x y 2sin 2=12πA ．[3π8，π2]B ．[π3，7π3]C ．[π4，3π8]D ．[－5π3，π3]18．(2023·江苏泰州中学10月)(多选题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)(ω＞0)，则下列说法正确的是( )A ．若函数f (x )的最小正周期为π，则其图象关于直线x ＝π8对称B ．若函数f (x )的最小正周期为π，则其图象关于点(π8，0)对称C ．若函数f (x )在区间(0，π8)上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是198≤ω＜23819．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(多选题)向量→a ＝(sin ωx ，cos ωx )，→b ＝(sin 2(ωx 2＋π4)，cos 2ωx 2)，ω＞0，函数f (x )＝→a ·→b ，则下述结论正确的有 A ．若f (x )的图像关于直线x ＝π2对称，则ω可能为12B ．周期T ＝π时，则f (x )的图像关于点(3π8，0)对称C ．若f (x )的图像向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34D ．若f (x )在[－2π5，π6]上单调递增，则ω∈(0，32]20．(2023·江苏南京六校联合体10月)(多选题) 将函数x x f sin 21)(=图象向右平移3π个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得到)(x g 的图象，则下列四个结论中正确的是（）A ．41)4(=πgB ．函数g (x )的图象关于点)0,6(π中心对称C ．函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上为增函数D ．函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,41 21．(2023·江苏常州八校10月联考)(多选题)在单位圆O ：x 2＋y 2＝1上任取一点P (x ，y )，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 逆时针旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f (θ)，y ＝g (θ)，则下列说法正确的是A ．x ＝f (θ)是偶函数，y ＝g (θ)是奇函数B ．x ＝f (θ)在[－π2，π2]为增函数，y ＝g (θ)在[－π2，π2]为减函数C ．1≤f (θ)＋g (θ)≤2对于θ∈[0，π2]恒成立D ．函数h (θ)＝2f (θ)＋g (2θ)的最大值为33222．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，φ＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是A ．f (x )的图象的最小正周期为4B ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )C ．f (x )的图象的对称中心为(－13＋2k ，0)(k ∈Z )D ．f (x )的单调递增区间为[4k －43，4k ＋23](k ∈Z )23．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)(多选题)已知函数f (x )＝cos2x －2sin(π2－x )cos(π2＋x )，则( )A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于直线x ＝π8对称D ．f (x )在区间[－3π8，π8]上单调递减24．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(多选题)声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为f (x )＝sin x ＋12sin2x ，则下列叙述正确的是A ．x ＝π2为f (x )的对称轴 B ．(π，0)为f (x )的对称中心C ．f (x )在区间[0，10]上有3个零点D ．f (x )在区间[5π3，7π3]上单调递增25．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，先将y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为．。

2020-2021学年江苏省江浦高级中学高三数学检测(九)及答案

江苏省江浦高级中学2021届高三数学检测（九）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 已知全集U ={1,2,3,4},A={1,2},B={2,3}则A Ｕ(C U B)等于( )A.{1，2，3}B.{1,2,4}C.{1}D. {4}2. 直线3x+ 3 y+1=0的倾斜角是( )A.300B.600C.1200D. 13503. 复数25-i 的共轭复数对应的点在复平面的( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线经过点(3,-4)，则此双曲线的离心率为（） A. 35 B. 45 C. 34 D.37 5. （2019全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.32 B. 53 C.52 D.51 6. 已知直线⊂m 平面β，直线⊥l 平面α，则下列结论中错误的是（） A. 若β⊥l ，则α||m B . 若m l ||，则βα⊥C. 若βα||.则m l ⊥|D. 若βα⊥,则 m l ||7. 下列函数中，周期为π，且在]2,4[ππ上为减,函数的是（） A. )22sin(π+=x y B. )22cos(π+=x y C. )2sin(π+=x y D .)2cos(π+=x y 8. 已知抛物线y x M 4:2=，圆4)3(:22=-+y x C 在抛物线M 上任取一点P ，向C 作两条切线PA 和PB ，切点分别A ，B ，则 CA →•CB →的最大值为（） A 94- B 34- C. -1 D. 0 二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知方程122=-ny mx ,其中R n m ∈,,则下列说法正确的是( ) A. 该方程可能表示圆 B. 当0,0<>n m 时,方程表示椭圆C. 当0>mn 时,方程表示双曲线D. 当0=n 时,方程表示抛物线10. 某学校为探究身高与性别是否有关,对学校高三年级学生随机抽取了80名做调查,调查结果如下表则下列说法不正确的是( ) 参考数据:A. 有97.5%的把握认为“身高与性别有关B. 有99%的把握认为“身高与性别有关”C. 有99.5%的把握认为“身高与性别有关””D. 有99.9%的把握认为“身高与性别有关” 11. 对于任意实数x,符号[x]表示不超过x 的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数{x}=x-[x],则给出下列四个命题,其中正确的是( )A. 函数{x}的定义域是R 值域为(0,1)B. 方程21}{=x 有无数个解 C. 函数{x}是周期函数 D. 函数{x}是增函数12. 如图,P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,平行四边形ABCD 对角线交点为O,M为PB 的中点,则下列结论中正确的是( )A. OM||平面PCDB. OM||平面PADC.PD||平面OMBD. PD||平面MAC三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 命题“若2>a ,则42>a ”的逆否命题可表述为__________.14. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________．(用数字作答)15. 函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图象过点(0,1)，如图所示，则函数)(x f 的解析式为__________．16. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮风的概率是52，既刮风又下雨的概率为101，设A 为下雨，B 为刮风，那么P(B/A)等于__________．四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 如图，已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，C=1200, （1）若c=1,求△ABC 面积的最大值；（2）若b a 2=，求A tan .18. 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+=（1）求函数)(x g 的解析式；（2）解不等式：|1|)()(--≥x x f x g .19. 如图所示，平面多边形ABCDE中，AE=ED，AB=BD，且AB=5，AD=2,AE=2，CD=1，AD⊥CD，现沿直线AD,将△ADE折起，得到四棱锥P-ABCD. （1）求证:PB⊥AD；（2）若PB=5，求PD与平面PAB所成角的正弦值．20. 为了减少交通事故，某市在不同路段对机动车时速有不同的限制．2016年11月9日，在限速为70km/h 的某一路段上，流动测速车对经过该路段的100辆机动车进行测速，下图是所测100辆机动车时速的频率分布直方图．（1）估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数；（2）该市对机动车超速的处罚规定如下：时速超过限定速度10%以内的不罚款；超过限定速度10%（包括10%）以上不足20%的处100元罚款；超过限定速度20%（包括20%）以上不足50%的处200元罚款；……．设这一路段中任意一辆机动车被处罚款金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．（以被测的100辆机动车时速落入各组的频率作为该路段中任意一辆机动车时速落入相应组的概率）21. (2020江苏省高三三模)已知数列{}n a 前n 项和为n S ,把满足条件n n S a ≤+1)*∈N n （的所有数列{}n a 构成的集合记为M . (1)若数列{}n a 的通项为n n a 21=,则{}n a 是否属于M ? (2)若数列{}n a 是等差数列,且M n a n ∈+}{,求1a 的取值范围; (3)若数列{}n a 的各项均为正数,且M a n ∈}{,数列}a 4{n n 中是否存在无穷多项依次成等差数列,若存在,给出一个数列{}n a 的通项;若不存在,说明理由.22. 已知函数221ln )(x x a x f +=,4)1()(-+=x a x g （1）当2-=a 时，求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；（2）是否存在实数a)1>a （，使得对任意的],1[e e x ∈,恒有)()(x g x f <成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期数学期中复习题(一)(Word版含答案)

江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期期中复习题（一）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. (2018湖南益阳期末)下列关于集合的关系式中正确的是( )A. B. C. D.2. 下列命题正确的是( )A. 032，0200=++∈∀x x R x B. 1>x 是12>x 的充分不必要条件 C.23,x x N x >∈∀ D. 若b a >,则 22b a >3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.B. 或C.D.或4. 已知集合，．若，则实数的取值范围为（）A.B.C.或 D.5. 已知，则函数的最小值是（）A. 5B. 4C. 8D. 66. 不等式的解集是( )A.B. C. D.或7. 设集合，则下列关系式正确的是（）A. 0B.C.D.8. 关于的一元二次方程:有两个实数根、,则( )A. B. C. D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. (原创题),,,为数集的四个元素,那么以,,,为边长构成的四边形不可能是( )A. 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 梯形10. （2020·广元模拟）下列存在量词命题是真命题的有( ).A. 有的集合中不含有任何元素.B. 存在对角线不互相垂直的菱形.C. 023满足,R 2>+∈∃x x .D. 有些整数只有两个正因数.A. B. C. D.12. 已知集合,集合,则( )A. B. C. D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 符合条件的集合有__________个.14. (2019云南昆明五华区校级月考)用列举法表示集合__________.15. 已知,则实数的值为__________.16. 已知,,,则__________.四、解答题（每小题12分，共6小题72分）17. (2019·山东菏泽期末)解关于的不等式:.18. (2019•湖北天门张港初级中学一模)关于的方程有两个不相等实根. (1)求的取值范围; (2)是否存在实数,使方程的两实根的倒数和为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.19. 已知函数的图象过点，求此函数的最小值.20. 如图,已知抛物线经过,两点,与轴的另一个交点为,顶点为,连结.(1)求该抛物线的表达式; (2)点为该抛物线上的一动点(与点、不重合)，设点的横坐标为，当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值.21. （2019秋·河东区期中）设命题:实数满足,其中,命题:实数满足或.(1)若,且均为真命题,求实数的取值范围; (2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.22. 已知都是正数. (1)若,求的最大值; (2)若,求的最小值.江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期期中复习题（一）答案一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. (2018湖南益阳期末)下列关于集合的关系式中正确的是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为是含有一个元素的集合,所以,故B 不正确;元素与集合间不能划等号,故C 不正确;与显然相等,故D 不正确.2. 下列命题正确的是( )A. 032，0200=++∈∀x x R x B. 是的充分不必要条件C.,D. 若,则【答案】B 【解析】的,故方程无实根,即,错误,即A 错误;或,故是的充分不必要条件,故B 正确. 当时,,故,错误,即C 错误; 若,,则,但,故D 错误;故选B.3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.B. 或C.D.或【答案】A 【解析】由题意知是方程的根，由根与系数的关系，得， ∴不等式为，解得.4. 已知集合，．若，则实数的取值范围为（）A.B. C.或 D.【答案】C 【解析】∵． ∴或， ∵即， ∴或．即或，即实数的取值范围是或．5. 已知，则函数的最小值是（）A. 5B. 4C. 8D. 6 【答案】B 【解析】，，，当且仅当，即时取等号，故最小值为4．故选B．6. 不等式的解集是( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】不等式,等价于且,解得或.7. 设集合，则下列关系式正确的是（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】集合.所以.8. 关于的一元二次方程:有两个实数根、,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵有两个实数根、, ∴,则.故答案为:D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. (原创题),,,为数集的四个元素,那么以,,,为边长构成的四边形不可能是( )A. 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 梯形【答案】A,B,C【解析】由于集合中的元素具有“互异性”,故,,,四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等.10. （2020·广元模拟）下列存在量词命题是真命题的有( ).A. 有的集合中不含有任何元素.B. 存在对角线不互相垂直的菱形.C. ,满足.D. 有些整数只有两个正因数.【答案】A,C,D【解析】空集中不含任何元素,A正确;菱形的对角线互相垂直,B错误;,C正确;素数只有两个正因数,D正确.11. (原创题)已知,,则中的元素有( )A. B. C. D.【答案】A,B 【解析】因为集合,所以,则.12. 已知集合,集合,则( )A. B. C. D.【答案】B,D【解析】由题意可知:, 集合,代表所有的偶数,代表所有的整数, 所以,即. 故选:B、D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 符合条件的集合有__________个.【答案】【解析】集合P中必包含元素，并且除了元素还有其他元素，所以集合可以为，，. .14. (2019云南昆明五华区校级月考)用列举法表示集合__________.【答案】【解析】∵,,∴.15. 已知,则实数的值为__________.【答案】【解析】∵,∴,,,解得或, 当时,集合为不成立;当时,集合为满足条件; 当时,集合为不成立, 综上所述,.16. 已知,,,则__________.【答案】【解析】因为,,, 所以,, 所以.四、解答题（每小题12分，共6小题72分）17. (2019·山东菏泽期末)解关于的不等式:.【答案】见解答【解析】由可得,即;当,即时,不等式的解集为; 当,即时,不等式的解集为; 当,即时,不等式的解集是空集. 综上,当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为空集.18. (2019•湖北天门张港初级中学一模)关于的方程有两个不相等实根. (1)求的取值范围; (2)是否存在实数,使方程的两实根的倒数和为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见解析【解析】(1),∴,又,故且. (2)设方程的两根分别是和,则,,,∴,解得,∵,∴(舍去),∴不存在. 19. 已知函数的图象过点，求此函数的最小值.【答案】【解析】因为函数的图象过点，所以，解得. 所以，令，则，，由对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在，即时取得最小值，所以，即函数的最小值是.20. 如图,已知抛物线经过,两点,与轴的另一个交点为,顶点为,连结.(1)求该抛物线的表达式; (2)点为该抛物线上的一动点(与点、不重合)，设点的横坐标为，当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)因为抛物线经过,两点, 所以,解得, 故抛物线的表达式为:; (2)由,令,则或(点舍去),即点; 如图,过点作轴的平行线交于点, 又直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,, 所以, 因此,,有最大值,当时,其最大值为.21. （2019秋·河东区期中）设命题:实数满足,其中,命题:实数满足或.(1)若,且均为真命题,求实数的取值范围; (2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)当时,命题:∵命题均为真命题, 则, 解得,∴命题均为真命题时,实数的取值范围是. (2)∵是的充分不必要条件, ∴集合是集合或的真子集, ∴或, 解得:或, ∴当是的充分不必要条件时,实数的取值范围是或.22. 已知都是正数. (1)若,求的最大值; (2)若,求的最小值.【答案】见解答【解析】(1),当且仅当,等号成立,∴, ∴的最大值为. (2), 当且仅当时等号成立,的最小值为.。

江苏省2023届新高考数学高三上学期10月月考试卷分类汇编：三角部分解答题(原卷版)

江苏省2023届新高考数学高三上学期10月期初考试试卷分类汇编：三角部分解答题【类型一：三角函数的图象与性质】1．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(10分)已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．2．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(12分)已知函数f (x )＝sin(2π－x )sin(3π2－x )－3cos 2x ＋3． (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈[0，7π12]时，求f (x )的最小值．3．(2023·江苏姜堰、如东、沭阳如东10月联考)(本题满分12分)设f (x )＝2sin x cos x －2cos 2(x ＋π4)． (1)求f (x )的单调增区间及对称中心；(2)当x ∈(0，π2)时，f (x ＋π6)＝35，求cos2x 的值．4．(2023·江苏苏州中学10月)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)部分图象如图所示，函数f (x )的图象过点(－13，0)，(0，1)，(83，－A )． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－12，32]，求函数y ＝f (x ＋1)＋f (x )的值域．5．(2023·江苏苏州八校联盟10月)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)＋2sin 2(ωx 2＋π12)－1(ω＞0)的相邻两对称轴间的距离为π2． (1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[－π12，π6]时，求函数g (x )的值域； (3)对于第(2)问中的函数g (x )，记方程g (x )＝m (m ∈R )在x ∈[π6，4π3]上有五个实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5，求m ＋x 1＋2x 2＋2x 3＋2x 4＋x 5的取值范围．6．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(本小题满分10分) . 已知函数()ππsin cos (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)若()f x 的最小正周期T π=，求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；(2)若x R ∀∈，都有()()3f x f π≤，求ω的最小值；7．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =． (1)若a b c +=，求sin ()αβ-的值；(2)设56πα=，0βπ<<，且()//a b c +，求β的值．【类型二：三角恒等变换】1．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(12分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314． (1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．2．(2023·江苏南京镇江八校联盟10月)(12分)已知函数f (α)＝sin(－α)cos(52π＋α)cos(－π2＋α)tan(－π＋α)． (1)化简f (α)；(2)若角α终边有一点P (m ，3)，且cos α＝12，求m 的值； (3)求函数g (x )＝2f 2(x )＋f (－π2＋x )＋2的值域．3．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(10分)已知f (x )＝3cos(2x －π2)－2sin 2x －1． (1)当x ∈(0，π2)时，求f (x )的值域； (2)当x ∈(0，π6)时且f (x )＝32，求f (x －π12)的值．4．(2023·江苏泰州中学10月)(本题满分12分)已知向量→a ＝(1，－3)，→b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝→a ·→b ．(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值； (2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．5．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2 x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π12上的值域．【类型三：解三角形】1．(2023·江苏姜堰、如东、沭阳如东10月联考)(本题满分12分)已知△ABC 中，D 为BC 边．上一点，且→BC ＝2→BD ，AB ＝2AD ．(1)求证：∠BAC ＋∠DAC ＝π；(2)若DC ＝6，求△ABC 面积的最大值．2．(2023·江苏常州八校10月联考)(本小题满分12分)密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．皇冠图形(图1)是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形ABCD (图2)中，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°．图1 图2(1)若CD ＝5，AD ＝3，求平面凹四边形ABCD 的面积；(2)若∠ADC ＝120°，求平面凹四边形ABCD 的面积的最小值．3．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(12分)在平面四边形ABCD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝6，AD ＝32．对角线AC 与BD 交于点E ，且AE ＝EC ，DE ＝2BE ．(1)求BD 的长；(2)求DC 的长．4．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，若AB AC ＝DB DC． (1)证明：(i)AD 平分∠BAC ；(ii)AD 2＝AB ⋅AC －DB ⋅DC ；(2)若(1＋sin B )sin ∠BAC ＝cos B (1＋cos ∠BAC )，求a ＋b c的最大值．5．(2023·江苏南京盐城部分学校10月联考)（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知点D 在边AC 上，AB ＝BD ＝CD ．（1）证明：bc ＝a 2－c 2；（2）若cos△ABC ＝916，且c ＝1，求△ABC 的面积．6．(2023·江苏泰州中学10月)(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a －b cos C ＝3c sin B ．(1)求B ；(2)若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积S 的取值范围．7．(2023·江苏扬州中学10月)(12分)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，且sin A －sin B sin C ＝c －b a ＋b，点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝2．(1)求角B 的大小；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．8.(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)在△2a sin C ＝c tan A ；②2a cos B ＝2c －b ；△22cos cos 212B C A +=+；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在中，内角所对的边分别是，已知________．(1) 求的值：(2)若面积为，周长为5，求a 的值．9．(2023·江苏南通如皋10月)在①22cos a b c B -=，②222)S a b c =+-，③2)12sin 2C A B +=+三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知______.(1)求角C 的值；(2)若4b =，点D 在边AB 上，CD 为ACB ∠的平分线，CDB，求边长a 的值.ABC ∆C B A ,,c b a ,,A ABC ∆43【类型四：综合应用】1．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2C －cos 2A ＝2sin A sin B －sin 2B ．(1)求∠C 的大小；(2)已知a ＋b ＝4，求△ABC 的面积的最大值．2．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(12分)已知函数f (x )＝2sin ωx (cos ωx －3sin ωx )＋3(ω＞0)．(1)若f (x )在[0，π24]上单调递增，求正数ω的取值范围； (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，ω＝2，f (A 4)＝3，D 、E 、H 为BC 边上的点．从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形?若存在，求出△ABC 的周长；若不存在，请说明理由．①BC 边的中线AD ＝32；②A 角的角平分线AE ＝32；③BC 边的垂线AH ＝32．3．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(12分)人脸识别就是利用计算机分析人脸视须或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．己知二维空间两个点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则其曼哈顿距离为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，余弦相似度为cos(A ，B )＝x 1x 12＋y 12×x 2x 22＋y 22＋y 1x 12＋y 12×y 2x 22＋y 22，余弦距离：1－cos(A ，B )． (1)若A (1，1)，B (2，－2)，求A ，B 之间的余弦距离；(2)已知0＜α＜β＜π2，M (5cos α，5sin α)，N (13cos β，13sin β)，P (5cos(α＋β)，5sin(α＋β))，若cos(M ，P )＝513，cos(M ，N )＝6365，求M ，P 之间的曼哈顿距离．4．(2023·江苏南师附中10月考试)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C －a sin C ＝3b ．(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求BC 边上的中线AD 长度的最小值．5．(2023·江苏南京六校联合体10月)设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cossin 2B C a B +=. (1)若2a =，求ABC ∆面积的最大值；(2)若π3B =，在ABC ∆边AC 的外侧取一点D （点D 在ABC ∆外部），使得1,2DC DA ==，且四边形ABCD 2.求ADC ∠的大小.6．(2023·江苏苏州八校联盟10月)(本小题满分12分)在①3a sin C ＋a cos C ＝b ＋c ，②sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，③c ⋅cos A cos B ＋b ⋅cos A cos C ＝a 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．(1)求角A ；(2)若O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝120°，∠AOC ＝135°，b ＝1，c ＝3，求tan ∠ABO ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若M 是AC 的中点，且4b =，在下面两个问题中选择一个进行解答．△求△ABM 面积的最大值； △求BM 的最大值．（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）8．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan(B －A )＝13． (1)求tan B 的值；(2)若c ＝13，求△ABC 的面积．9．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(cos2A ＋tan B )·(tan 2A ＋tan B )＝tan 2B ＋tan B ．（1）若A ＝π6，求C ；（2）若cos A cos B ＝12，证明：△ABC 是等腰直角三角形．10．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(a cos C －b )＝c sin A ．(1)求角A ；(2)若AD 为BC 边上中线，AD ＝1292，AB ＝5，求△ABC 的面积．11．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(12分)在①2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ；②tan B ＋tan C ＋3＝3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN ＝2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求|GP |的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．12．(2023·江苏苏州中学10月)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． (1)求角A 的值；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．。

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15、若 a，b 均为非负数且 a+b=1,，则 a
1 2b
4 2a
b
的最小值为________．
16、在△ABC 中，AB=3，AC=2，D 为边 BC 上一点．若→ AB ·→ AD＝5，→ AC ·→ AD＝－2，则→ AB ·→ AC 的值为________．
3 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（10 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B sin C)2 sin 2 A sin B sin C ．
求 k 的值．
19、（12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且正方形 ABCD 边长为 2，PA⊥平面 ABCD，PA=AB，E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点．（1）求证：AE⊥平面 PBC；（2）试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°．
π 6
B.
π 4
C.
π 3
4、函数
f
x
ln x 1 x 1
的部分图象大致是
(
)
D.
2π 3
A.
B.
C.
D.
5、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（） A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同
1(a b 0) 的离心率为
3 ，其左、右焦点 2
分别为 F1 ， F2 ，点 P
为坐标平面内的一点，且
OP
3
，
PF 1
PF
2
2
3 4
，O为
坐标原点.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 M 为椭圆 C 的左顶点， A ， B 是椭圆 C 上两个不同的点，直线 MA ， MB 的倾斜角分别为，，且 π .证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点
（1）求 A；（2）若 2a b 2c ，求 sinC
18、（12 分）从条件① 2Sn n 1 an ，② Sn Sn1 an n 2 ，③ an 0 ，
an2 an 2Sn 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1，________．若 a1 ， ak ， Sk2 成等比数列，
率为
13 15
，服务水平的满意率为
2 3
，对业务水平和服务水平都满意的客户有
180
人．
（Ⅰ）完成下面 2 2 列联表，并分析是否有 97.5% 的把握认为业务水平与服务水平
有关；
对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 2 名
20、（12 分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机
号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019 年 11 月 27 日，工信
部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中
选出 300 名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意
D. 2
6
10、关于双曲线 C1
:
x2 9
y2 16
1 与双曲线 C2
:
y2 9
x2 16
1 ，下列说法正确的是
（）.
A. 它们有相同的渐近线
B. 它们有相同的顶点
C. 它们的离心率不相等
D. 它们的焦距相等
11、台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，
台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台 ABCD， AB 2 AD ，现从角落 A 沿角的方向把球打出去，球经 2 次碰撞球台内沿后进
个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选
对得 5 分，部分选对得 3 分，不选或有错选的得 0 分．
9、将函数
f
x
sin x
0
的图象向右平移
12
个单位长度得到函数
y
g x
的图象，若函数
g
x
在区间
0,
2
上是单调增函数，则实数
可能的取值为
（）
A. 2
B. 1
3
C. 5
都有
f (x2 ) f (x1) 0 ； ② x2 x1
f (x) f (x 4) ； ③
y f (x 4) 为偶函数，则
（）
A. f (2019) f (15) f (2)
B. f (15) f (2) f (2019)
C. f (2) f (15) f (2019)
D. f (2) f (2019) f (15)
8、直线 l : y kx b 是曲线 f ( x) ln( x 1) 和曲线 g(x) ln(e2x) 的公切线，则
b （）
A．2
B． 1 2
C． ln e 2
D． ln(2e)
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
征求改进意见，用 X 表示对业务水平不满意的人数，求 X 的分布列与期望；
（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平
两项都满意的客户流失率为 5%，只对其中一项不满意的客户流失率为 34% ，对
两项都不满意的客户流失率为 85% ，从该运营系统中任选 4 名客户，则在业务服
A. {x | x 0}
B. {x |1 x 2}
C. {x | 0 x 1}
D. {x | x 0 或1 x 2}
2、已知 z 2 ii ，则 z = （）
2i
A. 3
B. 2
C. 1
D.
1 2
3、已知向量
a
1, 3
，b
,
3 3
，若
a
b
，则
a
3b
与
a
的夹角为
（
）
A.
2 的坐标，
22、（12 分）已知函数 f (x) x2 2x a ln x ， g(x) ax .
（1）求函数 F (x) f (x) g(x) 的极值；
（2）若不等式
2
sin x cos
x
g(
x)
对
x
0
恒成立，求
a
的取值范围
务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少？
附：
K
2
a
n ad bc2 bc da cb
d
，
n
a
b
c
d
．
P K 2 k 0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21、（12
分）已知椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
C. 立冬的晷长为一丈五寸 D. 立春的晷长比立秋的晷长短
6、在△ABC 中，如果 cos2B C cosC 0 ，那么△ABC 的形状为（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
7、已知函数 f (x) 定义域为 R ，且满足下列三个条件：① 任意 x1 x2 (4, 0) ，
与平面
ADD1
A1
所成角大小为
π 3
D. 线段 DP 长度的最小值为 6 2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡
相应位置上．
13、已知
sin
π 6
3 3
，则
cos
2Hale Waihona Puke 32=________．
14、 x 2 y x y5 的展开式中 x2 y4 的系数为________．
入角落 C 的球袋中，则 tan 的值为（）
A.
1 6
B.
1 2
C. 1
12、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P 为线段
BC1 上的动点，下列说法正确的是（）
A.对任意点 P， DP// 平面 AB1D1
B.三棱锥
P
A1DD1
的体积为
1 6
C.
存在点
P，使得
DP
江苏省江浦高级中学高三年级十月月考
数学试题
2020.10
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1、设集合 M {x | x2 x 0} ， N {x | x 2} ，则 M N ( )