数学分析课件第七章 第二节 闭区间上连续函数的性质
有限闭区间上连续函数的性质
导数与微分
连续函数在闭区间上的导数和微 分概念是微积分中的基础，用于 研究函数的单调性、极值和曲线 的切线等。
积分方程
连续函数在微积分中用于解决积 分方程和微分方程的问题，如初 值问题和边值问题。
多元函数
连续的多元函数在微积分中用于 研究多维空间的几何特性和函数 的性质。
在实变函数中的应用
可测函数
幂函数和多项式函数
幂函数和多项式函数也是连续函数，在闭区间上具有连续的导数和积分。
幂函数的值域为$(0, +infty)$，多项式函数的值域为$(-infty, +infty)$， 满足有限闭区间上连续函数的性质。
幂函数的图像呈现出单调递增或递减的趋势，多项式函数的图像则根据多 项式的阶数和系数呈现出不同的形状。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数也是连续 函数，在闭区间上具有连续的
导数和积分。
指数函数和对数函数的值域 分别为$(0, +infty)$和$(infty, +infty)$，满足有限闭 区间上连续函数的性质。
指数函数和对数函数的图像分 别呈现出单调递增和单调递减 的趋势，在有限闭区间上表现
为上下波动的趋势。
05
有限闭区间上连续函数的实例
正弦函数和余弦函数
正弦函数和余弦函数是常见的连续函数，它们在闭区间上具有连续的导数和积分。
正弦函数和余弦函数在闭区间上的值域分别为$[-1,1]$和$[0,1]$，满足有限闭区间 上连续函数的性质。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为$2pi$，在有限闭区间上表现为重复 的波形。
连续函数的几何意义
连续函数在平面上的图像是一条连续 不断的曲线，没有间断点。
连续函数的性质
高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
闭区间上连续函数性质的研究
闭区间上连续函数性质的研究1 引言连续函数在闭区间上的性质是深入了解连续函数性质的一个重要方面，是不可忽略的基石．掌握闭区间上连续函数的性质可帮助我们制作机器零件，可应用到建筑生活中去．20世纪分析学的一个特征是多变量函数的整体性质，但要以闭区间上连续函数性质为基础．闭区间上连续函数的性质将随着数学发展终将成为世人皆知的常识．19世纪柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起严格极限理论后，数学家们对连续函数做出了纯数学的精确表述．连续函数在以后的数学研究中起着举足轻重的作用．它在闭区间上的性质可以结合几何用来解决介值问题、求根问题、多元函数极值问题，也可由此得知反函数、初等函数的相关性质．然而，文献中多为孤立表述数学分析中闭区间上连续函数的性质，与其它数学知识结合较少．本文将把数学分析与实变函数相联系加以陈述．2 整体性质及其证明方法归纳在数学分析中，对于闭区间上连续函数的几个重要性质的证明，不同的教科书上所采用的方法大致相同．选择证法通常是考虑这样几点：一要容易想到；二要简单；三是着眼于推广．本部分内容分别使用区间套定理，有限覆盖定理和致密性定理来证明闭区间上连续函数的四个重要性质．2.1 有界性定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界．证明[证法一]（应用区间套定理） 假设()f x 在[],a b 上无界．考察[],a b 的两个闭子区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可以断定()f x 至少在一个闭子区间上无界，我们记这闭子区间为[]11,a b ．然后以[]11,a b 代替[],a b ，重复上面的讨论，又可得到闭子区间[]22,a b ，函数()f x 在这闭子区间上无界．继续这样的手续，我们得到一个闭区间列[]{},n n a b 满足条件1）[][]11,,a b a b ⊃⊃…[],n n a b ⊃⊃…， 2）02n n n b ab a -<-=，且函数()f x 在[],n n a b （1,2,n =…）上无界．由区间套定理，闭区间套[],n n a b 收缩于唯一的一点[]lim lim ,n n c a b a b ==∈．因为函数()f x 在c 点连续，所以存在0η>使得()f x 在(),U c η上是有界的：(),(,)f x K x U c η≤∀∈．又可取m 充分大，使得,m m a c b c ηη-<-<．这时就有[](),,m m a b U c η⊂，因而有[](),,m m f x K x a b ≤∀∈．但这与闭子区间[],m m a b 的选取方式矛盾（按照我们的选取方式，函数()f x 应在闭子区间[],m m a b 上无界）．这一矛盾说明：所作的反证法假设不能成立．函数()f x 在闭区间[],a b 上应该是有界的．[证法二]（应用有限覆盖原理） 由连续函数的局部有界性，对每一点[],x a b '∈，都存在邻域(,)x U x δ''及正数x M '，使得[](),(,),x x f x M x U x a b δ'''≤∈I ．考虑开区间集[]{(,)|,}x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集[]{(,)|,,1,2,i i i H U x x a b i δ*=∈=…,}k覆盖了[],a b ，且存在正数1M ，2M ，…，k M ，使得对一切[](,),i i x U x a b δ∈I 有()i f x M ≤，i =1，2，…，k ，令1max i i kM M ≤≤=，则对任何[],x a b ∈，x 必属于某(,)()i i i U x f x M M δ⇒≤≤．这就证得()f x 在[],a b 上有界．[证法三]（应用致密性定理） 倘若()f x 在[],a b 上无上界，则对任何正整数n ，存在[],n x a b ∈，使得()n f x n >，依次取1,2,n =…，则得到数列[],n x a b {}⊂．由致密性定理，它含有收敛子列k n x {}，记lim k n k x ξ→∞=．由k n a x b ≤≤及数列极限的保不等式性，[],a b ξ∈．利用()f x 在点ξ连续，推得lim ()()k n k f x f ξ→∞=<+∞ (1)另一方面，由n x 的选取方法又有()lim ()k k n k n k f x n k f x →∞>≥→+∞⇒=+∞，这与(1)式矛盾．所以()f x 在[],a b 上有上界．类似的可证()f x 在[],a b 上有下界，从而()f x 在[],a b 上有界．2.2 最大、最小值定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有最大值与最小值．证明（应用确界原理） 由于已证得()f x 在[],a b 上有界，故由确界原理，()f x 的值域[](,)f a b 有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=．倘若不然，对一切[],x a b ∈都有()f x M <．令[]1(),,()g x x a b M f x =∈-．易见函数()g x 在[],a b 上连续，故()g x 在[],a b 上有上界．设G 是()g x 的一个上界，则[]10(),,()g x G x a b M f x <=≤∈-．从而推得[]1(),,f x M x a b G≤-∈． 但这与M 为[](,)f a b 的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=，即()f x 在[],a b 上有最大值．同理可证()f x 在[],a b 上有最小值． 2.3 介值性定理定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>），则存在()0,x a b ∈，使得0()f x μ=． 证明[证法一]（应用确界原理） 不妨设()()f a f b μ<<．令()()g x f x μ=-，则()g x 也是[],a b 上的连续函数，且()0g a <，()0g b >．于是定理的结论转化为：存在()0,x a b ∈，使得0()0g x =．这个简化的情形称为根的存在性定理．记{[]}()0,,E x g x x a b =>∈．显然E 为非空有界数集（[],E a b ⊂且b E ∈），故由确界原理，E 有下确界，记0inf x E =．因()0g a <，()0g b >，由连续函数的局部保号性，存在0δ>，使得在[],a a δ+内()0g x <，在(,]b b δ-内()0g x >，由此易见00,x a x b ≠≠，即()0,x a b ∈．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则又由局部保号性，存在()0,U x η()(,)a b ⊂，使在其内()0g x >，特别有00()022g x x E ηη->⇒-∈．但这与0inf x E=相矛盾，故必有0()0g x =．[证法二]（应用区间套定理） 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数()g x 在[],a b 上连续，()0g a <，()0g b >，则存在0(,)x a b ∈使得0()0g x =．将[],a b 等分为两个子区间[],a c 与[],c b ．若()0g c =，则c 即为所求；若()0g c ≠，则当()0g c >时记[][]11,,a b a c =，当()0g c <时记[][]11,,a b c b =．于是有1()0g a <，1()0g b >，且[][]()11111,,,2a b a b b a b a ⊂-=-．再从区间[]11,a b 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,a b 的中点1c 上有1()0g c =，或者有闭区间[]22,a b ，满足22()0,()0g a g b <>，且[][]22112221,,,()2a b a b b a b a ⊂-=-． 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：1）在某一区间的中点i c 上有()0i g c =，则i c 即为所求；2）在任一区间的中点i c 上均有()0i g c ≠，则得到闭区间列[]{,}n n a b ，满足()0,()0n n g a g b <>，且[][]111,,,(),1,2,2n n n n n n n a b a b b a b a n ++⊂-=-=…． 由区间套定理，存在点[]0,,1,2,n n x a b n ∈=…．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则由局部保号性，存在()0,U x δ，使在其内有()0g x >．而由区间套定理的推论①，当n 充分大时有[]0,(,)n n a b U x δ⊂，因而有()0n g a >．但这与[],n n a b 选取时应满足的()0n g a <相矛盾，故必有0()0g x =．２.4 一致连续性定理定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续．证明[证法一]（应用有限覆盖定理） 由()f x 在[],a b 上的连续性，任给0ε>，对每一点[],x a b ∈，都存在0x δ>，使得当(,)x x U x δ'∈时有()()2f x f x ε'-<． (2)考虑开区间集合[]{(,)|,}2xH U x x a b δ=∈，显然H 是[],a b 的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集{(,)|1,2,2ii H U x i δ*==…，}k覆盖了[],a b ．记1min{}02i i kδδ≤≤=>．对任何[],,x x a b '''∈，x x δ'''-<，x '必属于H *中某开区间，设(,)2ii x U x δ'∈即2ii x x δ'-<．此时有222iiii i i x x x x x x δδδδδ''''''-≤-+-<+≤+= ，故由(2)式同时有()()2i f x f x ε'-<和()()2i f x f x ε''-<．由此得()()f x f x ε'''-<．所以()f x 在[],a b 上一致连续．[证法二]（应用致密性定理） 用反证法．倘若()f x 在[],a b 上不一致连续，则存在某00ε>，对任何0δ>，都存在相应的两点[],,x x a b '''∈，尽管x x δ'''-<，但有0()()f x f x ε'''-≥．令1n δ=（n 为正整数），与它相应的两点记为[],,n n x x a b '''∈，尽管1x x n'''-<，但有 0()()n n f x f x ε'''-≥． (3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}n x '与{}[],n x a b ''⊂．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}k n x '，设[]0,()k n x x a b k '→∈→∞．同时由0010()k k k k k k n n n n n n kx x x x x x x x k n '''''''''-<⇒-≤-+-→→∞， 又得0()k n x x k ''→→∞．最后，由(3)式有0()()k k n n f x f x ε'''-≥，在上式中令k →∞，由()f x 的连续性及数列极限的保不等式性，得到0000()()lim ()()k k n n k f x f x f x f x ε→∞'''=-=-≥．这与00ε>相矛盾．所以()f x 在[],a b 上一致连续．3 关于闭区间上连续函数性质的探讨此部分内容对闭区间上连续函数的各个性质定理的条件加以探讨，若其中部分条件更换，结论是否成立，并以具体例子将其中差别表现出来．1）有界性定理 (i) 闭区间 (ii) 连续当条件(i)改为开区间(),a b 时，有界性定理的结论不一定成立．如1()f x x=，虽然()f x 在开区间()0,1上连续，但是当0x →时，函数值趋于+∞．所以()f x 在()0,1上无界．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证有界性定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无界．2) 最大、最小值定理 (i) 闭区间 (ii) 连续开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到最大（小）值．例 ()f x x =在(0,1)连续而且有界，因而有上确界和下确界：{}(0,1)sup()1x M f x ∈==，{}(0,1)inf()0x m f x ∈==．但是，()f x 在区间(0,1)取不到1M =与0m =．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证最大、最小值定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无最值．由此可知，两个条件缺一不可．此定理只是一个充分条件，逆定理不成立．反例：定义在[]0,1上的狄利克雷函数虽然有最大值1和最小值0，但是函数在定义域上处处不连续．3) 介值性定理，定理逆命题不成立．即：若()f x 在闭区间[],a b 上有定义，且()()f a f b ≠，μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x μ=．这些条件不能保证()f x 在[],a b 上连续．反例 [](],0,1()1,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩在[]0,2上有定义．(0)0,(2)1f f ==-．对于介于1-和1之间的任意数μ，总存在[]00,2x ∈，使得0()f x μ=．满足定理中条件，但()f x 在点1x =处不连续．4) 一致连续性定理 (i) 闭区间若()f x 在开区间(),a b 上每一点都连续，并不能得到()f x 在(),a b 上一致连续． 例 证明函数1y x=在()0,1内不一致连续． 证明 若证函数()f x 在区间()0,1上不一致连续，只需00,ε∃>0,,(0,1)x x δ'''∀>∃∈．尽管x x δ'''-<，但0()()f x f x ε'''-≥．对于函数1y x =，可取01ε=．对1()2δ∀<，只需取x δ'=和2x δ''=．虽有 2x x δδ'''-=<，但1111x x δ-=>'''． 所以1y x=在()0,1内不一致连续． 该定理为充要条件，一致连续则必定连续，逆定理成立．4 特殊例子闭区间上连续函数的性质是高等数学中非常重要的一部分内容，并且有很多应用．1975年，李天岩与James A ·Yorke 发表在《美国数学月刊》上的论文《周期3蕴涵混沌》(Period Three ImpliesChaos)，正是闭区间上连续函数性质的巧妙应用．我是想通过若干例子，刻画一下这些性质的应用，进而提高人们对这些性质的认识．例[1](74)1P 设函数()(),lim ()x f x C R f x →∞∈=+∞．证明()f x 在R 上可取到最小值．分析 直接使用条件中的()()f x C R ∈，这一结论未必易证．关键是要将无穷区间的问题“转移”到有限闭区间上来考虑．考虑常数(0)f ．利用条件lim ()x f x →±∞=+∞可以看出必定存在0a <及0b >，使对(][),,x a b ∀∈-∞+∞U 都有()(0)f x f ≥成立．由此不难判定()f x 在有限闭区间[],a b 上的最小值即为所求．例[2](104)2P 设()f x 在[)(],(,)a a +∞-∞上连续，且()()()f x f a x →→+∞，(()()())f x f a x →→-∞，则()f x 必达到其在[)(],(,)a a +∞-∞上的最大、最小值，且至少有一个在内点达到．证明 若()f x 在[),a +∞上恒为常数：()()f x f a ≡，则结论显然．设()()f x f a ≠，则必存在()1,x a ∈+∞，使得1()()f x f a >或1()()f x f a <．现设前者发生，来证()f x 必在[),a +∞的某一内点达到最大值．因为()()()f x f a x →→+∞，所以对10()()02f x f a ε-=>，存在0A a >，使得当0x A ≥时有101()()()()()2f x f a f x f a f x ε+<+=<于是，在[]0,a A 上，()f x 连续，必达到其最大值，但由上所证，有()10,x a A ∈，使得101()(),()()f a f x f A f x <<所以()f x 在[]0,a A 上的最大值不可能在端点达到，故存在0(,)a A ξ∈，使得[]01,()max ()()x a A f f x f x ξ∈=≥又因为当0x A ≥时有1()()f x f x <， 所以[)()max ()(,)f f x x a ξ=∈+∞再来证()f x 在[),a +∞上必达到其最小值．若[),x a ∀∈+∞，有()()f a f x ≤，则[)()min ()(,)f a f x x a =∈+∞结论成立．现设至少存在0(,)x a ∈+∞，使得0()()f x f a <，因为()()()f x f a x →→+∞，所以对01()()02f a f x ε-=>，存在0B a >，使得当0x B ≥时有000()()()()()2f x f a f x f a f x ε+>-=>于是，对闭区间[]0,a B 上的连续函数()f x 有000()(),()()f a f x f B f x >>，故其最小值不能在端点a 与0B 处达到，即必存在()0,a B η∈，使得[]00()min ()()(,)f f x f x x a B η=≤∈又因为当0x B ≥时有0()()f x f x >，所以[)()min ()(,)f f x x a η=∈+∞．同理可证(],a -∞的情形．例[2](103)3P 证明方程30(0)x px q p ++=>有且仅有一个实根．证明 设3()(0)f x x px q p =++>，则()f x 在(,)-∞+∞上连续，且因为0p >，所以对足够大的,0A B >，有2()()0f A A A p q =++> 2()()0f B B B p q -=-++<由连续函数介值定理，至少存在(,)B A ξ∈-，使得()0f ξ=，即方程()0f x =有实根(,)(,)B A ξ∈-⊂-∞+∞．为证唯一性，只要证()f x 在(,)-∞+∞上严格单调即可，因为12,(,)x x ∀∈-∞+∞，当12x x >时，有33121212()()()()0(0)f x f x x x p x x p -=-+->>所以()f x 在(,)-∞+∞上严格单调增．于是方程()0f x =在(,)-∞+∞上有且仅有一个实根．例[2](111)4P 证明方程ln (0)ax x a =<在(0,)+∞内有且仅有一根．证明 设1()(0)af x x a =<，2()ln f x x =．因为12,(0,)x x ∀∈+∞，1112()()f x f x ≠，2122()()f x f x ≠且1122(1)1(2),(1)0(2)f f f f =>=<．因为1()f x 在(0,)+∞上严格单调减，2()f x 在(0,)+∞上严格单调增，故若方程12()()f x f x =有解，必唯一；令12()()()F x f x f x =-，则()F x 在(0,)+∞上连续，且(1)10F =>，()()F x x →-∞→+∞． 故存在1A >，使()0F A <，由连续函数介值定理知，存在(1,)A ξ∈，使()0F ξ=，即12()()f f ξξ=．例[1](74)5P 设函数()f x 在[],a b 上定义，且()f x 的每个值恰好取到两次，证明()f x 在[],a b 上必不连续．分析 用反证法．若[](),f x C a b ∈，由条件()f x 在[],a b 上可在两处取到最大值，两处取到最小值．因此，这四处最值点中至少有两处在(),a b 内，不失一般性，可记()()[](){}0000,max ,x a b f x f x f x a x x b ∈''==<<≤现在(),a b 内取三点()12310230,,x x x x x x x x '<<<<．记()()()()123max ,,A f x f x f x =，(),a b 内至少有三处()f x 取值相同且都等于A ，这与题设条件矛盾．用介值定理不难写出完整的证明．例6 设函数()(),f x C a b ∈，若{}{}(),,n n x y a b ∃⊂，满足lim lim n n n n x y a →∞→∞==，且有()()lim ,lim n n n n f x A f y B →∞→∞==，则对λ∀（λ介于,A B 之间），证明存在{}(),n z a b ⊂，使lim n n z a →∞=且()lim n n f z λ→∞=．分析 不失一般性可令A B λ<<．利用函数极限的局部保号性，可证明当n 充分大时恒有()n f x λ<，而()n f y λ>．只要在闭区间[](),,n n x y a b ⊂（或[](),,n n y x a b ⊂）上应用连续函数的介值定理，则此时总可以找到介于,n n x y 之间的n z ，使得()n f z λ=恒成立．例7 设周期函数()()f x C R ∈且以0T >为其周期，证明()f x 在R 上一致连续． 证明 因()()f x C R ∈，故()f x 在[](),0T T T ->上一致连续，于是()0,0T εδδ∀>∃<<，使得[](),,y y T T y y δ''''''∀∈--<有()()f y f y ε'''-<．对(),x x R x x δ''''''∀∈-<，由()f x 的周期性必[],,y y T T '''∃∈-以及n Z ∈，使得,x nT y x nT y ''''''=+=+．此时有y y δ'''-<，于是()()()()()()f x f x f nT y f nT y f y f y ε''''''-=+-+'''=-<．从而()f x 在R 上一致连续．例8 ()f x 在[],a b 上连续，1a x <<…n x b <<．证明：存在[]1,n x x ξ∈，使得11()()nk k f f x n ξ==∑证明 令[1max (),M f x =…],()n f x ，[1min (),m f x =…],()n f x ，则必存在{,1,2,i j ∈…},n ，使得(),()i j f x M f x m ==，记[]11()()(),,nk k F x f x f x x a b n ==-∈∑则有[]1111()()()()0n ni i k k k k F x f x f x M f x n n ===-=-≥∑∑[]1111()()()()0n nj j k k k k F x f x f x m f x n n ===-=-≤∑∑因为()f x 在[],a b 上连续，故()F x 在[]1,,i j n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦）上连续．若()0i F x ≥或()0j F x ≤中有一个等号成立，则命题得证．现设()0i F x >且()0j F x <，由连续函数介值定理，至少存在[]1,,i j n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦），使得11()()()0nk k F f f x n ξξ==-=∑即11()()nk k f f x n ξ==∑例9 设()f x 在[],a b 上有定义，且满足条件 (i) 在[],a b 上单调有界；(ii) 函数值充满[](),()f a f b （或[](),()f b f a ），证明()f x 在[],a b 上连续．证明 不妨设()f x 在[],a b 上单调增．现假定在题设条件下，结论不成立，即至少存在[]0,x a b ∈，使()f x 在0x 处间断．由条件（i ）及单调有界变量必有极限知，()f x 在0x 处发生第一类间断．1）若0x a =，则()(0)f a f a ≠+发生．由单调增性，当[],x a b ∈时，()()()f a f x f b ≤≤，故(0)lim ()()x af a f x f a +→+=≥，由假设，等号不成立．即有()[](),(0)(),()f a f a f a f b +⊂，且[](),,()(),(0)x a b f x f a f a ∀∈∉+，这与条件（ii ）矛盾．2）现假定()0,x a b ∈，则至少有00(0)()f x f x +≠与00(0)()f x f x -≠之一发生，不妨设前者发生，同１）讨论，由单调增性，必有00()(0)f x f x <+发生，且当[]0,x a x ∈时，0()()f x f x ≤，当[]0,x x b ∈时，()[]00()(),(0)(),()f x f x f x f a f b ∉+⊂， 即[]()[]00,,()(),(0)(),()x a b f x f x f x f a f b ∀∈∉+⊂，矛盾．综合1），2），()f x 在[],a b 上任一点不可能发生右间断，同理可证，()f x 在[],a b 上任一点不可能发生左间断．5 与实变函数相联系向量值函数在一点连续，它在这点近旁所具有的局部性质，除没有局部保号性定理外，其他都与实值连续函数相类似．以下是实值连续函数在有界闭域（或有界闭集）上的整体性质在向量函数形式下的推广． 5.1 有界性定理的推广定理 设n D R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →为D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个有界闭集．证明 先用反证法证()f D 为有界集．倘若()f D 无界，则存在点列{}k x D ⊂，使(),1,2k f x k k >=，…．由于D 是有界闭集，因此存在{}{}j k k x x ⊂，使0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在点0x 连续，故()f x 在点0x 局部有界，这与(),1,2,j k j f x k j j >≥=…相矛盾．再证()f D 为闭集，即若0y 为()f D 的任一聚点，欲证0()y f D ∈．设0()(),lim k k k k y f x f D y y →∞=∈=，由于{}k x D ⊂有界，因此存在收敛子列{}{}j k k x x ⊂，0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在0x 连续，从而有00lim lim ()()()j j k k j j y y f x f x f D →∞→∞===∈．上定理指出：连续映射把有界闭集映射为有界闭集．5.2 最大、最小值定理的推广定理 设n D R ⊂为一有界闭集，若:mf D R →为D 上的连续函数，则()f D 的直径是可达的，即存在,x x D '''∈，使1212,()()sup ()()x x Df x f x f x f x ∈'''-=-．证明 1）先证1m =，即()f D 为实值函数的情形．由上定理已知()f D 为有界数集，故存在inf (),sup ()s f D S f D ==．可证必有一点x D '∈使()f x S '=（同理可证存在x D ''∈，使()f x s ''=）．倘若不然，对任何x D ∈，都有()0S f x ->，则对于正值连续函数1()()F x S f x =-，F 在D 上亦有界．另一方面，因()f D 在D 上不能达到上确界S ，所以存在收敛点列{}k x D ⊂，使lim ()k k f x S →∞=．于是有lim ()k k F x →∞=+∞，导致与F 在D 上有界的结论相矛盾．从而证得()f D 在D 上能取得最大值S 和最小值s ；也就是说，()f D 的直径S s -是可达的．2）对于2m ≥，()f D 为向量值函数的情形，只需考察1212(,)()()g x x f x f x =-，它是定义在2nD D R ⨯⊂上的一个实值函数．由于D D ⨯仍为一有界闭集，因此由上面已证得的（i ），g 在D D ⨯上存在最大值，即有,x x D '''∈，使得1212,(,)()()sup ()()x x g x x f x f x f x f x ''''''=-=-，故命题结论成立．5.3 介值性定理的推广定理 设n D R ⊂是一道路连通集，则D 中任意两点之间能用一条完全含于D 的连续曲线把它们连接起来．若()f D 是D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个道路连通集．证明 任给,()y y f D '''∈，必有,x x D '''∈，使(),()y f x y f x ''''''==．因为D 是道路连通的，所以存在连线曲线[](),,x t D t ϕαβ=∈∈，(),()x x ϕαϕβ'''==．由复合函数的连续性定理知，复合函数[]:,mf R ϕαβ→g 也是连续的，且[](())(),,f t f D t ϕαβ⊂∈，(()),(())f y f y ϕαϕβ'''==．这表示在()f D 中存在连续曲线(())y f t ϕ=[],,t αβ∈，能把y '和y ''连接起来，即()f D 也是道路连通集．上定理是实值连续函数具有介值性的推广．5.4 一致连续性定理的推广定理 设nD R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →是D 上的连续函数，则()f D 在D 上必定一致连续，即对于任给的0ε>，存在只依赖于ε的0δ>，只要,x x D '''∈，且满足x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<．证明 这里用致密性定理来证明．倘若()f D 在D 上连续而不一致连续，则存在某个00ε>，对于任何0δ>，例如1,1,2k k δ==，…．总有相应的点,k k x x D '''∈，虽然1k k x x k'''-<，但是0()()k k f x f x ε'''-≥．由于D 为有界闭集，因此存在收敛子列{}{}jk k x x ''⊂，使0lim j k j x x D →∞'=∈．再在{}k x ''中取出与{}j k x '下标相同的子列{}j k x ''，由于()110,j j k k j x x j k j'''-<≤→→∞，因此有 0lim lim j j k k j j x x x →∞→∞'''==．利用()f D 在0x 连续，得到00lim ()()()()0j j k k j f x f x f x f x →∞'''-=-=．而这与0()()0j jk k f x f x ε'''-≥>相矛盾，所以()f D 在D 上为一致连续[6].6 小结在这篇论文中，我陈述了闭区间上连续函数的四种性质，并且把这些性质通过例题表现出来．在这里，我们领会到：1）要善于准确的使用概念，从定义、性质出发进行论证．2）要会构造合适的辅助函数，利用辅助函数进行论证．3）要恰当的使用反证法，利用已知条件推出矛盾，证明命题．从这篇论文中，闭区间上连续函数性质的满足条件在第三部分中一目了然，能帮助我们更深刻的理解和学习连续函数．我把闭区间上的连续函数由有界闭集延拓到有界闭域，展现出数学相通的思想，也使我的学习更加全面．这就是我在参阅资料及写作论文中的想法和启示．。
连续函数的性质
连续函数的性质引言连续函数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
连续函数的性质是研究连续函数的一种方法，可以帮助我们更好地理解和运用连续函数。
在这篇文档中，我们将介绍连续函数的性质，以及它的重要性。
连续函数是一类函数，它在某一区间上的定义域内无间断，即函数值在定义域内可以无限接近于某个常数或趋于无穷。
这种特性使得连续函数在建模、预测、优化等问题中起到关键作用。
了解连续函数的性质可以帮助我们分析函数的行为、研究函数的变化趋势以及解决一些实际问题。
通过研究连续函数的性质，我们可以推导出函数的导数、极值、范围等重要信息，从而更好地理解和运用连续函数。
在接下来的内容中，我们将探讨连续函数的性质及其在不同领域中的应用。
通过对连续函数的性质进行深入研究，我们可以更好地理解和运用这一重要的数学概念。
定义连续函数是一种在数学上具有很重要性质的函数。
下面我们来解释连续函数的严格定义和符号表示。
连续函数的严格定义：设函数 f(x) 在区间 (a。
b) 上有定义。
如果对于任意给定的ε。
0，存在一个δ。
0，使得当。
x ∈ (a。
b) 且 |x - x0| < δ时，都有 |f(x) - f(x0)| < ε 成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
符号表示：函数 f(x) 在点 x0 处连续的符号表示为：f(x) |x = x0.连续函数是数学中一类重要的函数类型，具有许多特殊的性质。
下面将概述连续函数的主要性质，包括介值定理、最大最小值定理等。
介值定理介值定理是连续函数的重要性质之一。
对于一个在闭区间[a。
b]上连续的函数f(x)，如果f(a)和f(b)有不同的符号，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数c，都存在a和b之间的某个数x0，使得f(x0)=c。
换句话说，介值定理保证了连续函数在一个闭区间上可以取到所有介于函数值之间的值。
最大最小值定理最大最小值定理也是连续函数的重要性质之一。
数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。
高数D110闭区间上连续函数的性质
注意事项
最大值和最小值定理同样仅适用于闭区间上的连续函数。
零点存在性定理（介值定理）
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零点存在性定理（介值定理）
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异 号，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
应用题
通过例题讲解如何利用闭区间上连续函数的性质解决 实际应用问题。
解题思路和方法总结
01
利用闭区间上连续函数的性质，结合函数的单调性、极值等知 识点进行解题。
02
善于利用反证法、构造法等数学方法进行证明。
注意将实际问题抽象为数学模型，再运用闭区间上连续函数的
03
性质进行求解。
易错点剖析及注意事项
利用已知结论
在证明过程中，可以引用已经证明过的结论或者定理来简化证明过程。但是需要注意引用的结论 必须是正确的，并且需要明确说明引用的来源和依据。
06 闭区间上连续函数相关练 习题解答与讨论
典型例题分类讲解
求最值问题
通过例题讲解如何利用闭区间上连续函数的性质求最 值。
证明题
通过例题讲解如何利用闭区间上连续函数的性质进行 证明。
在证明不等式时，反证法 常常是一种有效的手段， 通过假设不等式不成立， 推导得到矛盾。
应用举例
例如，证明闭区间上连续 函数的最大值和最小值定 理时，可以采用反证法。
归纳法在序列问题中运用
归纳法思想
通过证明某个命题在n=1时成立，并假设在n=k时成立， 进而证明在n=k+1时也成立，从而得到该命题对所有正整 数n都成立。
收益最大化
类似地，连续函数也可用于描述收益与销售量之间的关系。通过求解函数在闭区间上的最大值点，可 以确定最优销售策略，实现收益最大化。
闭区间上连续函数的性质在实际中的应用
闭区间上连续函数性质的证明精编版
,
a1
2
b1
]与[a1
2
b1
,
b1
]，同样f
(
x)至少在其
中之一上无界，把它们记为[a2 , b2 ]；这样的步骤一
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直做下去，便得到一个闭区间套{[an , bn ]}, f ( x)在其中
任何一个闭区间[an ,bn ]上都是无界的. 根据闭区间套定
理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间[an , bn ],并且
证法一(应用致密性定理证明) 采用反证法
假设 f ( x)在闭区间[a,b]上非一致连续，
由于x ( y)是严格单调增加的, 因此要不等式 x0 x x0 成立,只需
f (x0 ) f (x) f (x0 ) 即f (x0 ) f (x0 ) y y0 f (x0 ) f (x0 )
因此取 minf (x0 ) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 )，则当
将[a, b]等分为两个子区间[a, c]与[c, b]，
若f (c) 0,则c即为所求;
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若f (c) 0,则当f (c) 0时记[a1,b1] [a,c]，
当f (c) 0时记[a1,b1] [c,b]，
则有f (a1) 0，f (b1) 0,
都存在一点 xn [a,b], 使得 f (xn ) n. 取n 1, 2
3,,得到一列xn，xn [a,b] 并且 f (xn ) n, 即
lim
n
f
(xn )
.
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M sup f ( x).
x[a, b]
要证 : M f ([a,b]). 若不然, 则对于任意 x [a, b],
f ( x) M，于是
F(x)
M
1 f
(x)
在[a, b] 上连续, 从而有界, 故存在 G > 0, 使
0 F(x) 1 G. M f (x)
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x (ti t i , ti t i ), 因此 | f ( x) | Mt i M .
第二种证法 采用致密性定理. 设 f (x) 在[a, b]上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在
{ xn } [a, b], 使
lim
n
f ( xn )
))2 ,
即 F ( ) 0. 这也就是说 : f ( ) .
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三、一致连续性定理
(定理4.9) 若函数 f (x) 在 [a ,b]上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上一致连续. 证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在 下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探 究.
lim
x x0
f (x小值定理(定理4.6) 若函数 f (x) 在[a, b] 上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上取最大、最小值.
证 f (x) 在 [a, b] 上连续, 因而有界. 由确界定理,
f (x) 在 [a, b] 上的值域有上确界. 设
设 f (x) 在 [a, b] 上不一致连续, 即存在 0 0,对于 一切 0 (无论 多么小), 总是存在 x, x [a, b],
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虽然 | x x | , 但
| f ( x) f ( x) | 0.
现分别取
1, x1 , x1 [a, b], | x1 x1 | 1,
.
因为{xn} 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书
写方便, 不妨假设 {xn} 自身收敛, 令
lim
n
xn
x0 .
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因 a xn b, 则 a x0 b. 又因 f ( x) 在 x0 连续,
故由归结原理可得
lim n
f ( xn )
§2 闭区间上连续函数的性质
实数完备性理论的一个重要作用就是证 明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 经在第四章给出过.
一、最大、最小值定理 二、介值性定理 三、一致连续性定理
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一、最大、最小值定理
首先来看一个常用的定理. 有界性定理 若 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上有界. 证 用两种方法给出证明. 第一种方法 使用有限覆盖定理. 因为 f (x) 在 [a, b]
这样就有
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f ( x) M 1 , x [a, b]. G
这与 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上确界矛盾. 同理可证:下确界 m inf f ( x) 也属于 f ([a, b]).
x[a, b]
这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的, 这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在[a, b]上的最大、 最小值.
设 F ( x) f ( x) , 则 F ( x) 在 [a, b] 上连续, 并且
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F(a)F(b) 0.
将 [a, b] 等分成两个区间 [a, c], [c, b], 若 F(c)=0,
已证. 不然, 函数 F(x)在这两个区间中有一个区
间端点上的值异号, 将这个区间记为[a1, b1]. 再 将 [a1 , b1] 等分成两个区间 [a1, c1], [c1 , b1], 若
上每一点连续, 从而局部有界. 我们的任务就是将 局部有界的性质化为整体有界性质.
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对于任意的 t [a, b], 存在 Mt 0, 以及 t 0, 当 x (t t , t t ) [a, b]时, | f ( x) | Mt . 设开区间集 H { (t t , t t ) | t [a, b] }, 显然
ba 2n
0 , n ;
(iii) F (an )F (bn ) 0.
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2, ,
并且
lim
n
an
lim
n
bn
. 因为 F( x)
在点
连续,
所以
0
lim
n
F (an )F (bn )
(F (
| f ( x1 ) f ( x1) | 0 ;
1, 2
x2 ,
x2 [a,
b], |
x2
x2 |
1, 2
| f ( x2 ) f ( x2) | 0 ;
F(c1) = 0, 已证. 不然同样可知函数 F(x) 在其中一 个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行
下去, 得到一列闭子区间
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{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1, bn1] [an , b n ], n 1, 2, ;
(ii)
bn an
H 覆盖了闭区间[a, b]. 由有限覆盖定理, 在 H 中存
在有限个开区间
(t1 t1 , t1 t1 ), , (tn tn , tn tn )
覆盖了[a, b]. 令 M max{Mt1 , Mt2 , , Mtn }, 则对 于任意 x [a, b], 存在 i, 1 i n, 使
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二、介值性定理
(定理4.7) 设函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连续, 且
f (a) f (b). 若 是介于 f (a) 与 f (b) 之间的一个 实数, 则存在 (a, b), 使
f ( ) .
证 在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理. 现在用区间套定理来证明.