高一数学暑假复习资料20讲 可下载 可修改 优质文档
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
新高一暑期数学预习资料
新高一暑期数学预习资料 ——初高中衔接知识题姚老师寄语本资料包含初高中衔接知识数学模块的三大知识点：因式分解，韦达定理，不等式。
你可以把它当做一套练习，通过它来进行初高中衔接知识的学习；也可以把它当做一套测试，来检验你的初高中衔接知识的学习效果。
总之，当你把它里面的所有题都做完并搞明白的时候，你的暑期数学衔接知识学习就可以出关了！新高一，你将是走在别人前面的人！——姚和朋初高衔接 第一套练习题分解演练1-6下列因式： 演练13234x x -+ 演练2 34381a b b -演练3 76a ab -演练4 2222428x xy y z ++- 演练5 3234x x -+演练6 222456x xy y x y +--+-． 演练7已知x ＋y ＝1，求x 3＋y 3＋3xy 。
演练8已知x 3＋y 3＋3xy ＝1，求x ＋y 。
答案【演练1】解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-【演练2】3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．【演练3】76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+【演练4】解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【演练5】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-【演练6】32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．【演练7】 x 3+y 3+3xy=(x+y)(x²-xy+y²)+3xy已知x+y=1，原式=x²+2xy+y² =(x+y)²=1²=1 【演练8】-2y x -1,y -1,x y,x 1y x 0])1()1())[(1(0]1)(1(0]31)())[(1(0)1(31)(03)(31)(013)32)((013))((2222223332222=+====+=++++--+=+++-+-+=-++++-+=-+--+=++--+=-+-+++=-++-+即或所以y x y x y x y x xy y x y x xy y x y x y x y x xy y x xy y x xy y x xy xy y xy x y x xy y xy x y x所以，综上所述，x+y=1或-2初高衔接 第二套练习题演练1已知方程x －5x ＋8=0的两根为x ，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和演练2已知Rt ABC 中，两直角边长为方程x －（2m ＋7）x ＋4m （m －2）=0的两根，且斜边长为13，求S 的值演练3m 为何值时，方程8x －（m －1）x ＋m －7=0的两根① 均为正数 ②均为负数 ③一个正数，一个负数 ④一根为零 ⑤互为倒数 演练4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．演练5若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x 的值； （3）x 13＋x 23．答案【演练1】∵又∴代入得，∴新方程为【演练2】不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。
暑假衔接班讲义 高中数学
（ ）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（ ）
第二讲 常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲 集合的概念与运算 5
例 8 设 集 合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}， 若 A ∩ B ≠ Ø， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A．－ 1<a ≤ 2
高一数学暑假复习资料20讲(精选.)
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方便更改课题1函数及其表示一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 二、主要知识点 1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2)函数的三要素： ． (3)函数的表示法： ．(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同． 2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 三、经典例题题型一 函数与映射的概念【例1】 下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？①A ＝N ，B ＝Q ，f ：a →b ＝1a ＋1； ②A ＝{x |x ＝n ，n ∈N *}，B ＝{y |y ＝1n ，n ∈N *}，f ：x →y ＝1a；③A ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{平面M 内的矩形}，B ＝{平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．【探究1】 (1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A 、B 为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时 【变式1】 (1)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x(2)设a 在映射f 下的象为2a＋a ，则20在映射f 下的原象为________【例2】 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x >0，x <0.(3)f 1：y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤1，2， 1<x <2，3， x ≥2.f 2：x x ≤11<x <2 x ≥2y123(4)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【探究2】 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．【变式2】 下列各对函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2题型二 函数的解析式【例3】 求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )； (2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )； (3)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f (1x)＝3x ＋2，求f (x )．【探究3】 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x)或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【变式3】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x －2)＝2x 2－9x ＋13，求f (x )的解析式．(3)若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为____．题型三 分段函数与复合函数【例4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ∈－∞，0，x 2，x ∈[0，＋∞.g (x )＝x ＋1，求：(1)g [f (x )]； (2)f [g (x )]．探究4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．【变式4】 (1)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4x ≤4，－log 2x ＋1x >4，若f (a )＝18，则f [f (a ＋6)]＝________.题型四 抽象函数【例5】 已知偶函数f (x )，对任意的x 1，x 2∈R 恒有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2x 1x 2＋1，则函数f (x )的解析式为________．【探究5】 抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题． (2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】 设f (x )是R 上的函数，且f (0)＝1，对任意x ，y ∈R 恒有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！ 4．分段函数分段算，然后并到一起保平安． 五、课堂作业1．已知f (lgx )＝1x，则f (1)＝________.2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min 收费0.2 元；超过3 min以后，每增加1 min 收费0.1 元，不足1 min 按1 min 计费，则通话收费s (元)与通话时间t (min)的函数图像可表示为图中( )3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．24．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是________． 5．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝______.6．如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域： ①整式函数的定义域为 . ②分式函数中分母 . ③偶次根式函数被开方式 . ④一次函数、二次函数的定义域均为 . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为 ． ⑥指数函数的定义域为 . 对数函数的定义域为 ． 2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 ．(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是 ． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是 ． (5)y ＝x log a (a >0且a ≠1)的值域是 .三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝1log0.5x－1的定义域为________．(2)函数y＝1log a x－1(a>0且a≠1)的定义域为________．(3)函数f(x)＝x＋2x2lg|x|－x的定义域为________．【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．【变式1】求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．(2)若函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．题型二 函数的值域【例3】 求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋4－x 2； (6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.【探究3】 求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法． 【变式3】(1)函数的值域为( )A ．(－∞，12]B ．[12，1]C ．[12，1)D ．[12，＋∞)(2)函数y ＝2－sin x2＋sin x的值域是________．(3)函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．题型三 函数定义域与值域的应用【例4】 已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．【探究4】 已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．【变式4】 已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用换元法．2．形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(其中a 1，a 2不全为0且a 2x 2＋b 2x ＋c 2≠0)的函数可用判别式法．3．形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法或配方法．4．形如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝2x－12x ＋1或y ＝sin x －1sin x ＋2的函数，可用反函数法或分离常数法．5．形如y ＝x ＋kx(k >0，x >0)的函数可用图像法或均值不等式法．6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业1．函数的定义域是( )A ．(－3，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，－2)D ．(－∞，－2]2．(2013·山东)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]3．对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则总不改变函数f (x )的值域的代换是( )A ．h (t )＝10tB ．h (t )＝t 2C ．h (t )＝sintD ．h (t )＝log 2t4．函数y ＝4x 2－3x －43|x ＋1|－2的定义域为________．5．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x 的值域为________．课题3 函数的单调性和最值一、课时目标1．理解函数的单调性及其几何意义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．二、主要知识点1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且，b.计算并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是．(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性．(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为，最小值为，值域为．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．三、经典例题题型一单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)＝axx2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．【变式1】设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：y ＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．题型二求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间．(－x2－2x＋3)；(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log12（4）y＝3x2－6ln x.【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(6)求函数单调区间，定义域优先．【变式1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝13－2x－x2； (2)f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)； (3)y＝x－ln(x－1)．题型三利用单调性求最值【例3】求函数f(x)＝x－1x在[1,3]上的最值．【探究3】 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．【变式3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．题型四 单调性的应用【例4】 (1)已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x 2＋2x ＋3)<f (6)的x 的取值范围为________．(2)已知函数y ＝a log (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是________． 【探究4】 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用．【变式4】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1是R 上的增函数，那么a 的取值范围是________．(2)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －2)＜3.四、本课总结1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先． 2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．3．对于对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)，单调增区间：(－∞，－a ]，[a ，＋∞)；单调减区间：[－a ，0)，(0，a ]．4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．5．若f (x )具有对称轴x ＝a ，则在x ＝a 两侧的对称区间上f (x )具有相反的单调性； 若f (x )具有对称中心(a ，b )，则在x ＝a 两侧的对称区间上f (x )具有相同的单调性． 6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．自助专题 求函数最值的常用方法1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例1】 已知函数y ＝(e x－a )2＋(e －x－a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．2.换元法【例2】 (1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．(2)求函数y ＝x －4－x 2的值域．3.不等式法【例3】 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．4.单调性法【例4】 设a >1，函数f (x )＝x log a 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 5.平方法【例5】 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( )A.14 B.12 C.22D.326.数形结合法【例7】 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．五、课堂作业1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝xx －12．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－33．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有( )A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )4．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)5．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．课题4函数的奇偶性一、课时目标1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2. 掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．二、主要知识点1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f (x )，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性． 2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于 对称；(2)判定f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称； (2)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝ ；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ． (4)若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，反之也成立． 4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x＋a －x为 函数，函数f (x )＝a x －a －x为 函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a >0且a ≠1)为 函数；(3)函数f (x )＝alog 1－x1＋x为 函数； (4)函数f (x )＝a log (x ＋x 2＋1)为 函数． 5．周期函数若f (x )对于定义域中任意x 均有 (T 为不等于0的常数)，则f (x )为周期函数．6．函数的对称性若f (x )对于定义域中任意x ，均有f (x )＝f (2a －x )，或f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数f (x )关于 对称．三、经典例题题型一 ：判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝x 3＋x ＋1；(3)f (x )＝x 2－|x |＋1 x ∈[－1,4]；(4)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(5)f (x )＝1－x2|x ＋2|－2；(6)f (x )＝(x －1)1＋x1－xx ∈(－1,1)．【探究1】 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于±f (x )．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域) 【变式】1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝ln 2－x2＋x；(2)f (x )＝1a x－1＋12(a >0，且a ≠1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x x ≥0，x 2＋2xx ＜0.题型二 奇偶性的应用【例2】 (1)已知函数f (x )为奇函数且定义域为R ，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，f (x )的解析式为__________________________．(2)f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为增函数，则不等式f (x )＋f (x －12)＜0的解集为__________．(3)函数f (x ＋1)为偶函数，则函数f (x )的图像的对称轴方程为__________． 【探究2】 奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )； 若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )． (2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．【变式2】 (1)若函数f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f (π)<f (a )的实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝f (x －2)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性【例3】设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．【探究3】(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．(2)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形．【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1f x＋1，试判断函数f(x)的周期性．【例4】(2014·衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．【变式4】已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1．(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性．(2)若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．2．(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f (x )均可写成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )和的形式，则g (x )＝f x －f －x2，h (x )＝f x ＋f －x2.(2)若函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )＋f (－x )为偶函数，f (x )－f (－x )为奇函数，f (x )·f (－x )为偶函数．3．函数f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )⇔f (2a －x )＝f (x )．4．(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )周期T ＝2a . (2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )周期T ＝2a .5．(1)若f (x )关于x ＝a ，x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数且T ＝2(b －a )． (2)若f (x )关于(a,0)，(b,0)都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝2(b －a )． (3)若f (x )关于(a,0)及x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝4(b －a )．五、课堂作业1．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x－e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R2．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图像上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )4．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋bsinx ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A．－5 B．－1C．3 D．46．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.课题5 二次函数一、课时目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．二、主要知识点1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反．3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝ .(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a ∈[m，n]，则f(x)max＝max{}f m，f n，f(x)min＝f(－b2a)．(2)若－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 .(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 .(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是 .(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是 .(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是 .(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是.三、经典例题题型一二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．【探究1】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】已知二次函数图像的顶点是(－2，32)与x 轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为________．题型二 二次函数的值域和最值 【例2】 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋4x －2，x ∈R ；(2)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[－5,0]；(3)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[－6，－3]；(4)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[0,2]．【探究2】 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的值域问题，均可使用配方法． 【变式2】 求下列函数的值域：（1）y ＝－x 2＋4x －1； (2)y ＝2－4x －x 2(0≤x ≤4)．【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【探究3】 (1)求二次函数f (x )在某区间[m ，n ]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m ，n ]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性．本题中的对称轴为x ＝－a2，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因．(2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论． 【变式3】 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．题型三一元二次根的分布情况【例4】(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．(3)已知二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围．【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法．(2)韦达定理法．(3)求根公式法．具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定．【变式4】(1)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围．四、本课总结1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．(1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图像的顶点处取得．4．用数形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．五、课堂作业1．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 2．(2013·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝03．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图像的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为________．4．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )5．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( )A．x0≥b B．x0≤aC．x0∈(a，b) D．x0∉(a，b)6．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是( ) A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1课题6 指数函数一、课时目标1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．二、主要知识点1．有理数幂的运算性质(1)a s·a s＝.(2)(a s)s＝.(3)(ab)r＝(其中a>0，b>0，r、s∈Q)．2．根式的运算性质(1)当n为奇数时，有na n＝；当n为偶数时，有na n＝ .(2)负数的偶次方根．(3)零的任何次方根．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为．(3)当0<a<1时，y＝a x在定义域内是；当a>1时，y＝a x在定义域内是 (单调性)；y＝a x的图像恒过定点．(4)当0<a<1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈；当a>1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈．三、经典例题题型一指数式的运算例1 计算：【探究1】 化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要注意运算顺序问题．(2)计算结果的形式：若题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；若题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (4)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值． 【变式1】题型二 指数函数的图像及应用 【例2】 (1)已知函数y ＝(13)|x ＋1|.①作出图像；②由图像指出其单调区间；③由图像指出当x 取什么值时有最值．、【探究2】利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功．【变式2】(1)(2012·四川)函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图像可能是( )(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及运用【探究3】 (1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y ＝f [g (x )]的值域应先求内层u ＝g (x )的取值范围，再根据u 的取值范围去求y ＝f (u )的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得． 【变式3】求下列函数的定义域与值域．【例4】 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x .(1)求函数的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.。
高中数学暑假培训资料(必修一)
必修１ 第一章 §1-1 集合及其运算一、知识点总结：1．元素与集合的关系:用 或 表示； 2．集合中元素具有 、 、 3．集合的分类：①按元素个数可分： 限集、 限集 ；②按元素特征分：数集，点集等 4．集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;5．集合与集合的关系: 6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么 .④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.7．集合的运算（用数学符号表示）交集A∩B= ; 并集A ∪B= ；补集C U A= ，集合U 表示全集. 8.集合运算中常用结论:;A B A B A ⊆⇔=A B A B B ⊆⇔=二、基础练习：1．下列关系式中正确的是（ ）A. 0∈∅B. 0{0}∈C. 0{0}⊆D. {0}⊂∅≠2． 方程3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______.3．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，{1,2,3}A =,{2,5,6,7}B =，则AB ＝ ，A B ＝ ，()I C A B ＝4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )A ．{a }=MB ． M {a }C ．{a }∉MD ．M ⊇{a }三、提高篇：5．集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求A B ，A B ，()R C A B6． 设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =,求实数a 的值.7． 已知集合M=2{|1}y y x =+，N={|x y =x ∈R}，求M∩N8．集A ＝{－1，3，2m －1}，集B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ 四、知识整理、理解记忆要点1. 2.3. 4.五、自主练习：1．已知全集,U R =且{}|12,A x x =->{}2|680,B x x x =-+<则()U C A B 等于A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(3,4)2．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,B y y x ==-，则()R C AB 等于（ ）A ．(,0]-∞B ．{},0x x R x ∈≠ C ．(0,)+∞ D ．∅ 3．已知全集U Z =，{1,0,1,2},A =-，2{|}B x x x ==则U A C B 为4．{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，满足条件的m 集合是______5．已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝，如果{}1UA =-，那么a 的值为____§1-2 函数的概念及定义域一、基础知识： 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 5．定义域：自变量的取值范围求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x 的集合； (2) 活生实际中，对自变量的特殊规定. 6.常见表达式有意义的规定：① 分式分母有意义，即分母不能为0；② 有意义集合是{|0}x x ≥ ③ 00无意义④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N >二、基础篇：1．设)(x f 232x x =-+，求(1)f x +2．已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .3．求函数1y x =-的定义域4．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ 三、提高篇：5．已知()f x 是一次函数，且满足：3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x6． 已知()y f x =的定义域为[-1,1]，试求1(2)()2y f x f x =-+的定义域7．设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --8.设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =9.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
暑假预习｜数学必修一学习资料汇总
暑假预习｜数学必修一学习资料汇总，数学必修一课文讲解第一章集合与函数的概念1.1.1 集合的含义与表达1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 并集与交集1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3.1 函数的单调性1.3.2 第一课时奇偶性的概念第二课时奇偶性的应用第二章基本初等函数2.1.1 指数与指数幂的运算（一）指数与指数幂的运算（二）2.1.2 指数函数及其性质（一）指数函数及其性质（二）2.2.1 第一课时对数第二课时对数的运算2.2.2 对数函数及其性质（一）对数函数及其性质（二）2.3 幂函数第三章函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学必修一同步练习第一章集合与函数的概念1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3.1 幂函数第三章函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学必修一真题练习第一章章末检测A章末检测B第二章章末检测A章末检测B第三章章末检测A章末检测B数学必修一知识总结第一章章末复习集合与函数的概念第二章章末复习基本初等函数第三章章末复习函数的应用。
高一数学复习资料
高一数学复习资料高一数学复习资料数学作为一门理科学科，是学生在高中阶段必修的科目之一。
对于大多数学生来说，数学可能是他们最头疼的科目之一。
因此，高一数学的复习变得尤为重要。
本文将为大家提供一些高一数学复习资料，希望能帮助学生们更好地备考。
一、基础知识复习首先，高一数学的复习离不开基础知识的巩固。
这包括数学的基本运算、代数方程、函数与图像等内容。
对于这些基础知识，学生们可以通过复习课本中的相关章节，做一些基础题来巩固记忆。
此外，还可以寻找一些相关的习题册或者网上的练习题来进行练习。
通过反复练习，学生们可以更好地掌握基础知识，为后续的学习打下坚实的基础。
二、重点难点梳理在复习过程中，学生们需要重点关注一些难点和重点。
这些内容往往是学生们在学习过程中容易出错或者理解不深的部分。
例如，高一数学中的三角函数、导数、积分等内容，常常是学生们感到困惑的地方。
针对这些难点，学生们可以找一些专门的辅导资料或者参考书籍，进行深入学习和理解。
此外，还可以与同学们进行讨论，互相帮助，共同攻克难关。
三、历年试题分析除了基础知识的复习和重点难点的攻克外，学生们还可以通过分析历年的高考试题来进行复习。
历年的高考试题往往是对学生们知识掌握和应用能力的综合考察。
通过分析历年试题，学生们可以了解高考的考点和命题思路，有针对性地进行复习。
此外，还可以通过解析历年试题，找出解题的一些规律和技巧，提高解题的速度和准确性。
四、模拟考试训练为了更好地适应高考的考试环境，学生们可以进行模拟考试训练。
模拟考试可以帮助学生们熟悉考试的形式和要求，提高应试能力。
学生们可以选择一些模拟试题进行练习，模拟真实考试的时间和环境，全面检测自己的知识掌握和解题能力。
通过模拟考试的训练，学生们可以找出自己的不足之处，及时进行调整和提高。
五、学习方法总结最后，高一数学的复习还需要总结一些有效的学习方法。
每个学生的学习方法都有所不同，因此需要根据自己的情况进行调整和优化。
高一暑假复习课件
元素周期表的构成
元素周期表由多个横行和 纵列组成，每个元素都有 一个特定的位置，代表其 原子序数和电子排布。
元素周期表的规律
元素周期表中的元素按照 原子序数递增的顺序排列 ，具有相似的化学性质和 物理性质。
化学反应复习
化学反应的分类
化学反应的能量变化
化学反应可以根据不同的标准进行分 类，如根据反应物和产物的类型、反 应机理等。
分段函数与复合函数
理解分段函数和复合函数的定义和性质，掌 握函数的运算和分析方法。
02
英语复习
阅读理解复习
01
掌握阅读技巧
02
03
04
阅读不同题材和体裁的文章， 提高阅读速度和理解能力。
学会定位关键信息和筛选无关 信息，提高阅读效率。
掌握阅读题型的解题技巧，如 主旨大意题、细节理解题、推
理判断题等。
写作技巧复习
提升写作水平
学习写作结构，包括开头、主体和结尾，使文章更加完 整和连贯。
练习不同类型的写作，如记叙文、议论文、说明文等。
积累常用的写作表达和句型，提高语言表达的准确性和 丰富性。
词汇和语法复习
01
巩固基础知识
02 复习高一学过的词汇和短语，掌握其用法 和搭配。
03
学习语法知识，如时态、语态、从句等， 理解其在句子中的作用。
细胞信号转导
理解信号转导的机制，掌握受体介 导的信号转导途径和细胞内信息传 递的方式。
遗传学复习
孟德尔遗传定律
深入理解孟德尔遗传定律 的基本原理，掌握基因分 离定律和独立分配定律的 应用。
染色体与基因
了解染色体的结构、数目 和形态特征，掌握基因的 概念、基因表达和基因突 变等基本知识。
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1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素： ．
(3)函数的表示法： ．
(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同． 2．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
题型一 函数与映射的概念
【例1】 下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？
①A ＝N ，B ＝Q ，f ：a →b ＝1a ＋1
； ②A ＝{x |x ＝n ，n ∈N *}，B ＝{y |y ＝1n ，n ∈N *}，f ：x →y ＝1a
； ③A ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B ＝R ，f ：x →y ，y 2
＝x ；
④A ＝{平面M 内的矩形}，B ＝{平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．
【探究1】 (1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元
素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A 、B 为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时
【变式1】 (1)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是
( )
A ．f ：x →y ＝12x
B ．f ：x →y ＝13x
C ．f ：x →y ＝23x
D ．f ：x →y ＝x
(2)设a 在映射f 下的象为2a ＋a ，则20在映射f 下的原象为________
【例2】 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
(1)f 1：y ＝x x ；f 2：y ＝1.
(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，
－x ， x >0，
x <0.
(3)f 1：y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧
1， x ≤1，
2， 1<x <2，3， x ≥2.
f 2：
(4)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．
【探究2】 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．
(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．
【变式2】 下列各对函数中，表示同一函数的是( )
A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x。