控制工程基础第二章——数学模型
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《控制工程基础》系统的数学模型 ppt课件
如： a n x 0 (n )(t) a n 1 x 0 (n 1 )(t) a 1 x 0 (t) a 0 x 0 (t)
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
b m x i(m )(t) b m 1 x 0 (m 1 )(t) b 1 x i(t) b 0 x i(t)
第二章 系统的数学模型
二、系统微分方程的列写
际的数学模型。
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
3. 特性 线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出 等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k 1 x (t) x 1 (t) c x 1 (t) y (t) (1)
cx1(t)y(t)k2y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k 1 x (t) x 1 (t) k 2y (t) x 1 (t) x (t) k k 1 2y (t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，1. 机械系统Fra bibliotekFma
控制工程基础第二章 控制系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数框图的简化
• 等效变换原则是：变换前后前向通道中的传递 函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘 积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输 出传递函数保持不变。
• 1、串联环节的等效变换规则 • 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式
称为环节的串联。当各环节之间不存在（或可 忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数 为：
时间 内并无输出，在 后，输出就完全等于从一开
始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输
入，只是在时间上延迟了一段时间间隔 。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.4 传递函数框图及其简化
• 传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的 图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节 间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传 递、变换过程。
数学模型动 静态 态模 模型 型
• 静态模型：一般是不含时间变量t的代数 方程，描述系统的静态特性，即平衡状 态下各变量间的对应关系。
• 动态模型：描述系统的动态特性，即在 运动过程中随时间变化的各变量间的相 互关系，数学表达式是含时间变量t的微 分方程、传递函数或频率特性。
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数求解示例 • 之前例1中求得机械位移系统的微分方程为
• 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
T 2 s2 X (s ) 2T(s) X X (s ) k(s F )
• 按照定义，系统的传递函数为：
G(s)X F((ss))T2s2k2T s1
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
G (s)X X o i((s s))X X 1 i( (s s) )X X 1 o((s s))G 1(s)G 2(s)
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
控制工程第02章数学模型
上海交通大学机械与动力工程学院
控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
划分环节
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程） 根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
School of Mechanical & Power Engineering
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
School of Mechanical & Power Engineering
线性与非线性
分布性与集中性
参数时变性
上海交通大学机械与动力工程学院
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控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
Part 2.1 物理系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础
机械系统
Example 电气系统
2.1.3 提取数学模型的步骤
相似系统
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注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
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控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
控制工程基础第二章第二部分
bm1s bm an1s an
(n m)
6
第二章 数学模型 特征方程、零点和极点
考试会考求增益K，特征方程的 零点和极点
➢ 特征方程
令：M (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
N (s) a0sn a1sn1 an1s an
LCs2
1 RCs
1
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4
第二章 数学模型
几点结论
✓ 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。
✓ 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。
✓ 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关
第二章 数学模型
第二章 控制系统的数学模型
○、数学模型的基本概念 一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化
三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数 五、系统方框图和信号流图 六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
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1
第二章 数学模型
四、传递函数
传递函数的概念和定义 ➢ 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
式中，T—积分环节的时间常数。
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积分环节的单位阶跃响应
Xi (s)
1
Xo (s)
Ts
xi (t)
x0 (t)
T1
1
1
T2 , T2 T1
0 t1
0
t
t1
t
输出随着时间线性增长，一旦输入为零，输出停止
控制工程基础第2章 数学模型(2)
递的关系，可写出
X 0 s G s E s E s X i s B s B s H (s )X 0 s
消去E（s）、B(s)得：
1 G s H (s )X 0 s G s X i s
因此，得闭环传递函数
U i s U A s I1 s R1 1 I1 s I 2 s U A s C1s U A s U 0 s I 2 s R2 1 U 0 s I 2 s C2 s
3．梅森公式
1 p
式中：P—系统总传递函数： pk—第k条前向通路的传函数 Δ—流图的特征式，面且
FB (s ) BsX (s ) X 0 (s )
1 FK1 (s) FB (s) FK 2 (s) X (s ) 2 m1s
FK 2 (s ) K 2 X 0 (s )
X (s )
各方程对应的方框单元 如图2．33所示
1 Fi (s ) FB (s ) FK 1 (s ) 2 m1s FK 1 (s ) K1 X (s ) X 0 (s )
(1)节点 表示变量或信号，其值等于所有进人该节点的 信号之和。 (2)输入节点 （3）输出节点 （4）混和节点 它是只有输出的节点，也称源点。 它是只有输入的节点，也称汇点。 它是既有输入又有输出的节点。
（5）支路 定向线段称为支路。其上的箭头表明信号 的流向，各支路上还表明了增益，即支路的传递函数。
d d 转动平衡方程 : J B T T dt dt
M b
N
d 电动机的反电动势正比 于速度 : e K dt 式中：K 反电动势常数 。
b b
0
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 斜坡函数和加速度函数
• 斜坡函数——阶跃函数的积分！
•时域中的积分运算 •复数域中为乘1/s，或说除以s
•加速度函数 •（速度函数 •的积分）
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
•欧拉 •公式
•谐波函数 •的
•二 步骤：
• （1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； • （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； • （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； • （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； • （5）整理成规范形式。
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控制工程基础第二章——数学模型
•⑶非线性模型的线性化问 题
• 实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。
• 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用 切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就 是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的 近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直 线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡 点处取泰勒级数一次近似式。
• ⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
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控制工程基础第二章——数学模型
五 系统运动微分方程的一般形式
•设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则 有
•参数决定的常数。齐次方程为
•是由系统结构和
控制工程基础第二章——数学模型
数学模型的形式
•微分方程 •L变换 •传递函数 （组） •L反变换 （阵）
•s=jω
•频率特性
•时间响应
•变量状态 图
•现代控制理论
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•方框图，
•信号流 图
•Nyquist图， •Bode图等
控制工程基础第二章——数学模型
2.1系统运动微分方程的建立
•一 依据： •反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
•特征方程为
• 特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。N阶 系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! PPT文档演模板 • 注意：根据运动微分方程可以判断控系制工统程基的础第类二章型——。数学模型
六 建立动态方程时应注意的问题
• ⑴ 变量形式的选取问题 • 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 • ⑵ 负载效应问题 • 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
• 在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生 粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块， 影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发 生变化，产生动态过程。
控制工程基础第二章——数学模型
☆ 机械平移动力学系统的模型
•定义：
•显然
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•结论：脉冲函数是面积函数；
•
脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。
•
换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数 控制工程基础第二章——数学模型
☆ 关于单位脉冲函数的说明
•⑴单位脉冲函数定义
•⑵单位脉为冲：函数是面积函数，它的面积为1；
•⑶
•时域里的脉冲
复数域中的常数
• ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函
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控制工程基础第二章——数学模型
☆ 小结：⑶⑷
• ⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
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控制工程基础第二章——数学模型
七 线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
• 线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 • 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
控制工程基础第二章— —数学模型
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2020/11/20
控制工程基础第二章——数学模型
控制工程基础——数学模型
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• 数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型， 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。
• 作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、 合理的系统的数学模型是关键性的步骤。 • 数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 • 外部模型也称为输入—输出模型。 • 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。 因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述 线性时不变系统的输入—输出关系，对连续系统是用常系数线性微分 方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 • 内部模型也称为状态变量描述法。 • 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特 别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分 方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和 非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 • 建模基本方法：解析法和实验法。
后求积分得出的值。卷积运算满足交换律、结合律
和分配律。
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控制工程基础第二章——数学模型
四 拉氏逆变换及其求法
•逆变换 •定义
•已知F(s), 求f(t)的数学过程
•⒈查表法 注意综合应用拉氏变换的性质定理。
•2.部分分式法
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• 将F(s)分解成标准形式的简单函数之和，
•然后利用拉氏变换表和性质定理直接求出f(t)。 控制工程基础第二章——数学模型
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控制工程基础第二章——数学模型
一 拉氏变换的定义
•拉氏变换的定义
•拉氏变换的实质 •时间函数 •复变量s的复变函数
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控制工程基础第二章——数学模型
二 典型函数的拉氏变换
•指数函数 •工程中极其重要的 函数！有如下性质
•它的微分、积 分与其自身成比 例 •阶跃函数
•指数函数的拉氏变换 •拉氏变换是线性变换
数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
•采样性质：
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控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑵
•⒋位移定理
•设
•则有
•的拉氏变换，有以（s+α）去替换s的效果。 •可按拉氏变换定义证明之。
•举例
•如
•则
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控制工程基础第二章——数学模型
• • • 消去中间变量i(t)，稍加整理，即得 • •
• 上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
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控制工程基础第二章——数学模型
•四 小结
☆ 小结：⑴⑵
• ⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 • ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
（无穷远点）的值之间的关系。
•终值定理
•出发点：微 分定理、拉
•的证明 氏变换定义
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•有终值定 理
•应用：稳态误差计算
控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑷
•⒍卷积定理
•⑴卷积的数学定义
•符号表示 •性质： •⑵卷积定理 •若
•则
• 关于卷积的说明：
• 卷积h(t)是时间函数f(τ)与时间倒置函数g(t-τ)相乘
•拉氏变换
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控制工程基础第二章——数学模型
三 拉氏变换性质定理⑴
•⒈线性定理 •⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
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•⒊延迟定理
•①平移函数、延迟函数
•对于函数 •函
•称为延迟函数 ，数函数本身
并不发生改变，只是延迟α