八年级奥数2
初二奥数竞赛试题及答案
初二奥数竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：若\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求\( a \)、\( b \)、\( c \)的值。
答案：由于\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以推断出\( a \)、\( b \)、\( c \)的值只能是1或0。
因为\( 1^2 = 1 \)，而\( 2^2 = 4 \)，所以\( a \)、\( b \)、\( c \)不能大于1。
经过尝试，我们可以发现只有当\( a = b = c = 0 \)或\( a = 1, b = 0, c = 0 \)（或其它两种排列）时，等式成立。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8，求斜边AB的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ AB^2 = 36 + 64 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} \]\[ AB = 10 \]试题三：组合问题题目：有5种不同的颜色的球，每种颜色有3个球，现在要从中选出3个球，求不同的选法总数。
答案：这是一个组合问题，我们可以使用组合公式来解决。
组合公式为：\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]其中\( n \)是总数，\( k \)是要选择的数目。
在这个问题中，\( n = 15 \)（因为有5种颜色，每种3个球），\( k = 3 \)。
所以：\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \]\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \]\[ C(15, 3) = 455 \]试题四：逻辑问题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的糖果，从1到5。
八年级_奥数_专题_超级资料 2
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
八年级奥数二次根式试题及答案
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数⼆次根式试题及答案，欢迎⼤家阅读。
⼀、单选题 1．已知函数y=（m+1）是正⽐例函数，且图象在第⼆、四象限内，则m的值是（ ）A. 2B. ﹣2C. ±2D. 【答案】B 2．已知正⽐例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（） A. B. 3 C. ﹣ D. ﹣3 【答案】B 【解析】把点（1，m）代⼊y=3x，m=3,所以选B. 3．若函数y=（-1）x+ -1是正⽐例函数，则的值是（ ）A. -1B. 1C. -1或1D. 任意实数 【答案】A 【解析】试题解析：函数是正⽐例函数， 则：解得： 故选A. 4．若y关于x的函数y=（m-2）x+n是正⽐例函数，则m，n应满⾜的条件是（ ）A. m≠2且n=0B. m=2且n=0C. m≠2D. n=0 【答案】A 【解析】试题解析：若y关于x的函数是正⽐例函数， 解得： 故选A. 5．如果5a=3b，那么a和b的关系是（）A. 成正⽐例B. 成反⽐例C. 不成⽐例D. 没有关系 【答案】A 【解析】由5a=3b，可得a：b= ，是个定值，⼀个因数⼀定，积和另⼀个因数成正⽐例．故选A． 6．若函数y=(2m+6)x2+(1-m)x是正⽐例函数,则m的值是（）A. m=-3B. m=1C. m=3D. m>-3 【答案】A 【解析】 7．已知直线y=-6x，则下列各点中⼀定在该直线上的是( )A. （3，18）B. (-18，-3）C. （18，3）D. （3，-18） 【答案】D 8．设点是正⽐例函数图象上的任意⼀点，则下列等式⼀定成⽴的是（）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题解析：把点代⼊正⽐例函数，可得，所以，选项正确．故选D.21世纪教育 9．关于函数，下列判断正确的是（）A. 图象必经过点（-1，-2）B. 图象必经过第⼀、第三象限C. 随的增⼤⽽减⼩D. 不论为何值，总有 【答案】C 10．设正⽐例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增⼤⽽减⼩，则m＝( )A. 2B. －2C. 4D. －4 【答案】B 【解析】把x=m，y=4代⼊y=mx中， 可得：m=±2， 因为y的值随x值的增⼤⽽减⼩， 所以m=-2， 故选B. 11．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是正⽐例函数y=x（＜0）图像上两点，若x1＞x2，则下列结论正确的是( )A. y1＜y2B. y1=y2C. y1＞y2D. -y1＜-y2 【答案】A 【解析】∵正⽐例函数y=x（＜0）， ∴y随x的增⼤⽽减⼩， ⼜∵x1＞x2, ∴y1 故选A. 12．下列函数中，满⾜y的值随x的值增⼤⽽增⼤的是（） A. B. C. D. 【答案】B ⼆、填空题 13．已知y与成正⽐例，并且＝－3时，y＝6，则y与的函数关系式为________． 【答案】 【解析】设y=x,6=-3,解得=-2.所以y=-2x. 14．已知与成正⽐例，且当时，，写出与的函数关系式________ 【答案】 【解析】由y与4x-1成正⽐例，设y=(4x-1)（≠0）， 把x=1，y=6代⼊得，(4-1)=6， 解得=2， 所以，y与x的函数关系式为y=2(4x-1)=8x-2， 故答案为：y=8x-2. 15．若函数是正⽐例函数，则该函数的图象经过第____象限． 【答案】⼀、三 16．在同⼀直⾓坐标平⾯内，直线与双曲线没有交点，那么m的取值范围是_____． 【答案】m＜2 【解析】由题意得：经过第⼆、四象限 则 即 17．对每个x，y是， , 三个值中的最⼩值，则当x变化时，函数y的值是__________. 【答案】6 【解析】分别联⽴、，y1、，、， 可知、的交点A（2，4）；、y3的交点B（，）；、的交点C（4，6），∴当x≤2时，y最⼩=4；当2 当x>4时，y最⼩>6， 故答案为：6 18．已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正⽐例函数y=x的图象上的两点，则y1___y2（填“＞”或“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【解析】∵1>0, ∴y随x的增⼤⽽增⼤， ∵1<2, ∴y1 故答案为：< 19．如果正⽐例函数的图像经过原点和第⼀、第三象限，那么 ______． 【答案】 【解析】由正⽐例函数y=(-1)x的图像经过原点和第⼀、第三象限可得-1＞0，解得＞1. 20.已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正⽐例函数y=x的图象上的两点，则y1____y2（填“＞”或“＜”或“=”）． 【答案】＜。
八年级奥数题和答案
八年级奥数题和答案2006年4月16日上午8：30至lO：30 得分___________一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是( )2．要使代数式有意义，那么实数x的取值范围是( ) 3．以线段a=13，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形( )(A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral 四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)(A)是完全平方数，还是奇数． (B)是完全平方数，还是偶数．(C)不是完全平方数，但是奇数． (D)不是完全平方数，但是偶数．6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是( )(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l的自然数，且 =252b,则n的最小值是( )(A)42． (B)24． (C)21 (D)15(英汉词典：two-placed number两位数；number数，个数；to satisfy满足；complete square完全平方(数)；total总的，总数)9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，5，7名的歌曲分别是( )(A)D，E，H． (B)C，F，I． (C)C，E，I． (D)C，F，H．10．设n(n≥2)个正整数，，…，，任意改变它们的顺序后，记作，，…，，若P=( - )( - )( )…( 一 )，则( )(A)P一定是奇数． (B)P一定是偶数．(C)当n是奇数时，P是偶数． (D)当”是偶数时，P 是奇数．二、填空题(每小题4分，共40分．)11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是______米．15．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的，那么此n边形的内角和为_____．16．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过_______分钟，就会感到不适．(1米=10 纳米) 19．如图2，等腰△ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若 =10，则 =______，=_______.20．一个圆周上依次放有1，2，3，…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8)，从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8，10，12，…)，并一直循环下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题，共40分．) 要求：写出推算过程．21．(本小题满分10分)如图3，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF‖GH．EF=GH．(1)若AE=AH= ，求四边形EFGH的周长和面积；(2)求四边形EFGH的周长的最小值．22．(本小题满分15分)已知A港在B港的上游，小船于凌晨3:00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，在当晚23：OO时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间的距离.23．(本小题满分15分)在2,3两个数之间，第一次写上，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上和 ,如下所示：第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 .(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；(2)经过k次操作后所有数的和记为，第k+1次操作后所有数的和记为，写出与之间的关系式；(3)求的值.初二数学奥数指南班级姓名学号1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。
八年级奥数训练题10篇
八年级奥数训练题10篇1.八年级奥数训练题篇一1、甲、乙两人在相距90千米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟跑3米，乙的速度是每秒钟跑2米。
如果他们同时分别在直路两端出发，当他们跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇了多少次？2、男、女两名运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。
两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑。
如果男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度每秒5米；女运动员上坡速度每秒2米，下坡速度每秒3米，那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？3、甲每分钟走80米，乙每分钟走60米。
两人分别从A、B两地同时出发，在途中相遇后继续前进，先后分别到B、A两地后即刻沿原路返回，甲乙二人又再次相遇。
如果AB两地相距420米，那么两次相遇地点之间相距多少米？4、一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18小时两车在某处相遇，已知客车每小时行50千米，货车每小时比客车少行8千米，货车每行驶3小时要停驶1小时。
问：两地之间的铁路长多少千米？5、A、B两地相距1200米，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，甲每分钟行50米，乙每分钟行70米，第一次相遇在C处，AC之间距离是多少？相遇后继续前进，分别到达A、B两地后立即返回，第二次相遇于D处，CD之间距离是多少千米？2.八年级奥数训练题篇二1、一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？2、在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。
小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台。
自动扶梯有多少级台阶?3、甲步行上楼梯的速度是乙的2倍，一层到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行。
奥数八年级详解完美
三角形全等－6
例8）在直角梯形ABCD中， ∠ABC=90°,AD∥BC, AB=BC,E 是AB的中点，CE⊥BD （1）求证 BE=AD; (2) 求证：MA＝ MD （3）DB=DC
证明 （1） 因为 ∠ABC=90°，所以∠ABC=90 ° 又CE ⊥ BD ∴ ∠BEC+ ∠EBC=90 ° ∠BEC+ ∠BCE=90 ° ∴ ∠EBD= ∠BCE 在△ABD与 △BCE中， AB=BC; ∠BAD= ∠ABC=90 ° ∠ABD= ∠BCE 所以△ABD ≌ △BCE（ASA） ∴BE=AD (2) 因为 AB=BE ∠ABC=90 ° 所以∠ BAC =∠BCA=45 ° ∠CAD= ∠ACB=45 °(内错角相等) ； 又因为 △EAD是等腰直角梯形， 所以∠ADE=45°= ∠CAD 所以AM=MD(等角对等边)
三角形全等－5
例6）已知△ABC中，∠ A=2∠B ; CD是 ∠ACB平分线， 求证：BC=AC+AD
解：在BC上取点E，使得 CE=AC, 因为CD是 ∠ACB平分线，所以有 ∠ACB= ∠DCE∴△ACD ≌ △CDE即DE=AD, ∠DEC= ∠A 又因为∠DEC= ∠ B+∠BDE=2 ∠B.所以有∠B= ∠BDE 即BE=ED(等角对 等边) 所以BC=EC+BE=AC+AD 求证成立。 方法二：将CA延长至E,使EA=AD 也可以。
解：因为∠ EBC=∠DCF=45° BC=DC BE=FC 所以 △BCE≌△DCF (SAS) ∴ ∠BEC= ∠DFC. 又因为 ∠ OEC=180°- ∠BEC =180 ° -∠DFC= ∠OFD ∴ ∠ OEC=∠OFD
三角形全等－3
例3）已知AD是三角形ABC的中线， BE交AC于点E，交AD于点F,且AE=EF,求 证：AC=BF.
经典的八年级奥数训练题三篇
经典的八年级奥数训练题三篇经典的八年级奥数训练题篇一1.一座下底面是边长为10米的正方形石台，它的一个顶点A 有一个虫子巢穴，虫甲每分钟爬6厘米，虫乙每分钟爬10厘米，甲沿正方形的边由A-B-C-D-A不停地爬行，甲先爬2厘米后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬行的路线追赶甲，在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时间？2.有一群猴子，分一堆桃子，第一只猴子分了4个桃子和剩下桃子的1/10，第二只猴子分了8个桃子和这时剩下桃子的1/10，第三只猴子分了12个桃子和这时剩下桃子的1/10。
依次类推。
最后发现这堆桃子正好分完，且每只猴子分得的桃子同样多。
那么这群猴子有多少只？3.有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要9天，单独完成乙工作要12天。
王师傅单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要15天。
如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？4.某服装厂生产一种服装，每件的成本是144元，售价是200元。
一位服装经销商订购了120件这种服装，并提出：如果每件的销售每降低2元，我就多订购6件。
按经销商的要求，这个服装厂售出多少件时可以获得的利润，这个利润是多少元？5.甲、乙两车从A，B两站同时相向而行，已知甲车的速度是乙车的1.4倍，当甲车到达途中C站时，乙车还要再行4小时48分才能到达C站，那么甲车到达C站后还要再行多少小时与乙车相遇？经典的八年级奥数训练题篇二1、甲、乙两人在环形道上练习跑步，如果两人同时同地同向出发，每隔16分钟甲追上乙一次，如果同时同地反向出发，每隔4分钟两人相遇一次，求甲跑一圈要用多少分钟？2、从甲地到乙地快车要6小时，慢车要8小时，如果两车同时从甲、乙两地相对开出，可在距中点35千米初相遇，甲、乙两地的距离为多少千米？3、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，比客车从乙地开往甲地所需的时间多1/4，两车相遇时客车比货车多行60千米，甲、乙两地相距多少千米？4、甲、乙两个工程队中甲的工效比乙高25%，因此甲队比乙队单独完成A工程要少用6天，求两队合做完成A工程要用多少天？5、一艘轮船从甲港到乙港需航行4小时，从乙港返回甲港要用5小时，已知船的静水速度不变，那么，一块木板从甲港漂到乙港要用多少小时？经典的八年级奥数训练题篇三1.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B 地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地?2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天?3.某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元;由乙、丙两队承包，3/4天可以完成，需支付1500元;由甲、丙两队承包，6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少?4.一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.5.甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套?。
简单的八年级奥数题5篇
简单的八年级奥数题5篇1.简单的八年级奥数题篇一1、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时,两车同时从两城相向开出,相遇时客车比货车多行96千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?2、甲乙两地相距1800千米,一架飞机从甲地飞往乙地,每小时飞行360千米,返回时顺风,比去时少用1小时.往返平均每小时飞行多少千米?3、一列火车每小时行68千米,另一列火车每小时行76千米,这两列火车分别从甲乙两站同时相对开出，行了5/6小时后还相距两站之间的铁路长的1/4，甲乙两站之间的铁路长多少千米?4、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离车站60千米的地方相遇，之后两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点30千米处相遇，两站相距多少千米？5、甲、乙两车分别从东、西两站同时相对开出。
第一次相遇时，甲车行了80千米，两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，第二次相遇地点在第一次相遇地点东侧40千米处。
东、西两站相距多少千米？2.简单的八年级奥数题篇二1、A、C两地相距7000米，B是A、C两地的中点，小明骑自行车从A地、小华步行从B地同时出发去C地，并且到了C地立即返回，已知小明的速度为250米/分，小华的速度为100米/分，小明和小华相遇时距C地多少米？2、两辆汽车从两地同时出发，相向而行，已知甲车行完全程比乙车多用1.5小时，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，出发后多少小时两车相遇？3、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行。
两车相遇后4.5小时甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？4、甲乙两车分别从相距306千米的两地同时开出，相向而行，4.5小时后相遇，甲乙两车的速度比为8：9，甲乙两车每小时各行多少千米？5、甲乙从同一地点向相反的方向行驶，甲下午6时出发每小时行40000米，乙第二天上午4时出发，经过10小时后两车相距1080千米。
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目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。
由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
【巩固】化简：（1）12442222+--÷--+n m m n m n m m n n（2）1271651231222+-++-++-a a a a a a ；【例3】已知02>>y x ，y x A =，21++=y x B ，试比较A 与B 的大小；【巩固】比较两数67890123455678901234与67890123475678901235的大小。
【例4】化简：()()()()()()()()()y z x z y x z y x y x z z x y x z y ---+---+---222。
【巩固】化简：()()()()()()()()()()()()z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++---222222第二讲：分式的化简求值【知识梳理】1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。
给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。
常常用到如下策略：（1）适当引入参数；（2）拆项变形或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等。
2、基本思路（3） 证明：0=-右边左边，或1=右边左边，此时0≠右边。
3、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】【例1】（1）已知x y -=20，求2222323x xy y x xy y -+=+-___________________；（2）已知511=+y x ，则=+++-y xy x y xy x 2252___________________；（3）若345a b c ==，则=--++c b a c b a 3223____________________；【例2】若a b b c c a x c a b +++===，求x 的值？【例3】已知0≠abc ，且a c cb b a ==，求3223a bc a b c ++--的值？【巩固】若a d d c cb b a ===，则dc b ad c b a +-+-+-的值是 __________________；【例4】已知：x x 210--=，求x x441+的值。
【巩固】（1）已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为_______________；（2）若210x x --=，则4521x x x ++=_______________；【例5】已知a 、b 、c 为实数，且a b a b b c b c c a ca +=+=+=131415，，，那么a b c a b b c c a ++的值是多少？【例6】已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知：0abc ≠，abc ++=0，求a bc b c a c ab ()()()1111113++++++的值。
【例7】已知11a b +=，11b c +=，求1c a +的值。
【例8】已知ac a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111。
思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
【巩固】已知3==d c b a ，求证：()()d c b a d c b a d b d b c a c a ++++++=+++++222222。
第三讲：分式方程及其应用【知识梳理】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
4. 较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化。
【例题精讲】【例1】解方程：（1）311(1)(2)xx x x-=--+（2）xx x--+=1211【例2】解方程：6124444442222yy yyy yyy+++---++-= 2【例3】解方程：11112 10(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x+++= +++++++…【例4】解方程xxxxxxxx+++++=+++++ 12672356【巩固】解方程：12143323489242387161945 xxxxxxxx --+--=--+--【例5】解方程：224727218014x x x x x x+-+-=-+【拓展】解方程：222111011828138x x x x x x ++=+-+---【例6】m 为何值时，关于x 的方程22432x m x x x -+-=+2会产生增根？ 【巩固】若解分式方程22111x m x x x x x ++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-【例7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过点P 跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”，根据图文信息，请问哪位同学获胜？【巩固】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度点拨：在航行问题中的等量关系是“船实际速度＝水速＋静水速度”Pl 30米第四讲：二次根式的运算【知识梳理】1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。
2、 二次根式具有如下性质：（1）()()02≥=a a a ； （2）⎩⎨⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥⋅=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a ba b a ，。
3、二次根式的运算法则如下：（1）()()0≥±=±c c b a c b c a ；（2）()()0≥=a a a n n 。
4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时，m d c m b a +=+。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。