通过香农公式的信道容量上限
MIMO信道容量极限
结果，描述了一些尚未解决的问题以及与 MIMO 系统相关的设计问题。 记号上的提示：我们用黑体表示矩阵和向量，用 表示期望， S 表示行 列式，S 1 表示方阵 S 的逆。对于一般性的矩阵 M ，M † 表示共轭变换，Tr M 表 示迹。 I 代表单位阵， diag i 表示对角元素 i, i 等于 i 的对角阵。对于对称矩 阵，记号 Q 0 表示 Q 是一个半正定阵。 全文中缩写的表格在表格 I 中给出。
表格 I 缩写表
CSI 信道状态信息 CDI 信道分布信息 CSIT 发送端信道状态信息 CSIR 接收端信道状态信息 CDIT 发送端信道分布信息 CDIR 接收端信道分布信息 ZMSW 零均值空间白色 CMI 信道均值信息 CCI 信道协方差信息 DPC 脏纸编码 MAC 多址接入信道 BC 广播信道 本文中剩下部分的安排如下。在第二节中，我们讨论了发送端和接收端在不 同信道状态和分布信息的假设下的单用户 MIMO 系统的容量。这一节中也描述 了波束形成和训练序列问题的最优性。第三节中也描述了 MIMO 多址接入信道 的容量区域和脏纸编码可获得的 MIMO 广播信道的容量区域，以及这些区域之 间的对偶连接。多小区系统在脏纸编码(DPC)和波束形成下的容量在第四节中讨 论，第四节中也讨论了容量，分集，扇区化之间的折中。第六节总结了这些容量
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话并且发送数据丢失。 在这一场景下，每一个发送速率都有一个与之有关的掉话 概率，容量由相应的掉话概率来测量（容量 CDF）[20]。一篇关于单天线信道的 衰落信道容量的极好的学习材料可以在[4]中找到。对于有着发送端和接收端理 想 CSI 的单用户 MIMO 信道，遍历容量和中断容量的获得是容易的，因为对于每 一个信道状态 容量都已经知晓了。因此，对于单用户 MIMO 系统本文重点放在 容量结果上，假定发送端获得理想 CDI 接收端获得理想 CSI 或 CDI。尽管最近在 这一领域内获得很大进步，还有很多未解决的问题。 在多用户信道中， 容量变成一个由所有速率向量 R1 , , RK 集合定义的 K 维 区域， 这一速率向量由 K 个用户同时获得。 时变信道在不同发送端和接收端 CSI、 CDI 假设下的多个容量定义可以以显然的方式扩展到多址接入信道(MAC)和广播 信道(BC)的容量区域[28],[48],[49],[70]。 然而， 这些 MIMO 多用户容量区域即使对 于时不变信道也是很难找到的。 。多用户 MIMO 时变信道的容量结果基本上是没 有的，尤其是在发送端和（或）接收端只有 CDI 的实际情况下。因此对于多用户 MIMO 系统，本文的重点是在发送端和接收端获得理想 CSI 假设下的遍历容量， 对已知的结果以及其他容量定义和 CSI/CDI 假设下的尚未解决的问题进行了简要 讨论。 注意到此处描述的 MIMO 技术对于任何由矩阵描述的信道都是适用的。矩 阵信道不仅能描述多天线系统也能描述带有串扰的信道[85]和宽带信道[72]。尽 管本文的重点是无记忆信道（平坦衰落） ，我们会在一节中讨论使用广泛知道的 将信道时延扩展合并到信道矩阵中的方法，结果也可以扩展到有记忆信道(ISI)。 已经发展了很多实际的 MIMO 技术来利用香农理论预测的理论容量增益。 这一方面主要的工作是空时编码：这一方面最近的工作总结在[21]中。MIMO 系 统其他的技术包括空时调制[30]， [33]， 自适应调制和编码[10]， 空时均衡[2]， [51]， 空时信号处理[3]，空时 CDMA[14],[34]，以及空时 OFDM[50],[52],[82]。对这些领 域近期的发展以及其他技术和这些技术的性能的总结可以在[25]中找到。
香农公式理解
香农公式理解公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]对香农公式的理解1948年，香农（Shannon）用信息论的理论推导出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限信息传输速率。
当用此速率进行传输时，可以做到不出差错。
用公式表示，则信道的极限信息传输速率C可表达为C＝B log2（1+S/N）b/s其中B为信道的宽度，S为信道内所传信号的平均功率，N为信道内部的高斯噪声功率。
给出了信道信息传送速率的上限（比特每秒）和信道信噪比及带宽的关系。
香农定理可以解释现代各种无线制式由于带宽不同，所支持的单载波最大吞吐量的不同。
在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，信道容量Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系。
注意这里的log2是以2为底的对数。
香农公式表明，信道的带宽或信道中的信噪比越大，则信息的极限传输速率就越高。
它给出了信息传输速率的极限，即对于一定的传输带宽（以赫兹为单位）和一定的信噪比，信息传输速率的上限就确定了。
这个极限是不能够突破的。
要想提高信息的传输速率，或者必须设法提高传输线路的带宽，或者必须设法提高所传信号的信噪比，此外没有其他任何办法。
至少到现在为止，还没有听说有谁能够突破香农公式给出的信息传输速率的极限。
香农定理就好比一个城市道路上的汽车的车速（业务速率）和什么有关系行车速度的影响一样，除了和自己车的动力有关之外，主要还受限于道路的宽度（带宽）和车辆多少、红灯疏密等其他干扰因素（信噪比）。
俗话说：“有线的资源是无限的，而无线的资源却是有限的。
”无线信道并不是可以任意增加传送信息的速率，它受其固有规律的制约，就像城市道路上的车一样不能想开多快就开多快，还受到道路宽度、其他车辆数量等因素影响。
如果能采取一定的措施，则存信道条件一定的前提下，使信道容量增大，也就是通信能力增强；或者在保持通信容量一定的前提下，能容忍更大的噪声功率，也就是抗干扰能力增强。
香农公式
香农公式香农（Shannon）提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C公式”：C=B log2(1+S/N)。
式中：B是信道带宽（赫兹），S是信号功率（瓦），N是噪声功率（瓦）。
该式即为著名的香农公式，显然，信道容量与信道带宽成正比，同时还取决于系统信噪比以及编码技术种类香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
可以严格地证明；在被高斯白噪声干扰的信道中，传送的最大信息速率C由下述公式确定：C=B*log₂（1+S/N) （bit/s)该式通常称为香农公式。
B是码元速率的极限值(由奈奎斯特指出B=H,H为信道带宽，单位Baud)，S是信号功率（瓦），N是噪声功率（瓦）。
香农公式中的S/N为无量纲单位。
如：S/N=1000（即，信号功率是噪声功率的1000倍）但是，当讨论信噪比（S/N）时，常以分贝（dB）为单位。
公式如下：SNR（信噪比，单位为dB)=10 lg（S/N)换算一下：S/N=10^(SNR/10）公式表明，信道带宽限制了比特率的增加，信道容量还取决于系统信噪比以及编码技术种类。
扩频通信从香农公式中还可以推论出：在信道带宽使信号的功率低于噪声基底。
简言之，就是可以用扩频方法以宽带传输信息来换取信噪比上的好处，这就是扩频通信的基本思想和理论依据。
扩频通信(Spread Spectrum Communication）技术起源于上世纪中期。
香农公式,信道容量
香农公式香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
可以严格地证明；在被高斯白噪声干扰的信道中，传送的最大信息速率C由下述公式确定：C=B*log2(1+S/N) （log2表示以2为底的对数）该式通常称为香农公式。
B是信道带宽（赫），S是信号功率（瓦），N是噪声功率（瓦）。
香农公式中的S/N为无量纲单位。
如：S/N＝1000（即，信号功率是噪声功率的1000倍）但是，当讨论信噪比（S/N）时，常以分贝（dB）为单位。
公式如下：S/N = 10lgS/N （dB）(分贝与信噪比之间的关系为：dB=10lgS/N)公式表明，信道带宽限制了比特率的增加，信道容量还取决于系统信噪比以及编码技术种类信道容量信道容量是信道的一个参数，反映了信道所能传输的最大信息量，其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布，互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后，信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布，但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源，对不同的试验信源，互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s）形式予以表示，简记为bps。
[编辑本段]nyjingle补充:通信的目的是为了获得信息，为度量信息的多少（信息量），我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中，我们涉及到了两个熵，发射端处信源熵——即发端信源的不确定度，接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
信道容量
信道容量研究通信的科研人员总是逃不过信道容量的计算。
而且会经常使用到C=B\mathrm{Log(1+SNR)}这个公式。
所以这个信道容量到底是什么意思呢，到底是怎么来的？所以信道容量的定义是什么，怎么推导、计算，实际意义又是什么？信道容量有两种:香农容量(遍历容量)和中断容量。
香农容量信道容量是在不考虑编解码延时和复杂度的情况下，误码率趋近于零的最高传输速率。
通道容量是一个上限。
如果要以高于这个的速率传输，就要付出误码率的代价。
香农是这样描述信道容量的:存在一个输入分布，可以最大化传输信息时的互信息。
这个最大互信息就是信道容量。
至于香农为什么可以这样定义，已经严格证明了，这是信息论的内容，后面再说。
互信息那么什么是互信息(这里默认理解为信息熵)？首先互信息是描述一个信息传递过程的一个量，用来刻画这个传输过程传输了多少有价值的信息。
比如说，你暗恋一个姑娘，你想去告白但是你很忐忑，成功了就很棒，失败了可能连朋友都做不成，所以H(X)就表示这种不确定性。
有一天你终于鼓起勇气给他发告白了，正常情况下对方会回复你，可能是“你是个好人”或者“那我们明天一起去看电影吧”或者给你一个尼克杨表情包，所以互信息就是用来刻画这条携带了多少信息量。
显然“好人”和“电影”这两个信息终究是给了你一个答案，解除了你心中的不确定性，携带的信息量就是你心中本来的不确定性。
但是如果他把你当备胎，回复你一个表情包，当然表情包也是可以看出来一点点她对你的态度，所以你心中的不确定性可能减小了一点，你能感受到对方的态度是有机会的还是没有机会的，所以这个表情包的携带的信息量可能就很小，因为虽然知道了一点对方的态度，但是你还是搞不清楚对方怎么想的。
X,Y分别表示两个随机变量，因为信源发送什么信息是一个随机事件，信息熵H(X)量化了信源的平均不确定性，而接收的信息经过信道的污染，也是随机的，所以H(Y)也量化了接收信息的平均不确定性。
虽然X,Y是两个变量，但是接收到的Y 肯定和X有点关系，并不是完全独立的，那么我们就可以根据Y猜X，能缩小一些X范围，能减小一些不确定性（互信息），这个互信息用I(X,Y)表示。
香农定理和奈奎斯特定理
香农定理和奈奎斯特定理引言信息理论是一门研究信息传输和处理的学科，它为我们理解和优化通信系统提供了基础。
在信息理论中，香农定理和奈奎斯特定理是两个非常重要的定理，它们分别揭示了信道容量的上限和采样定理。
本文将深入探讨这两个定理的原理和应用。
香农定理定义香农定理，也称为信息论的基石，由克劳德·香农于1948年提出。
它给出了在存在噪声的通信信道中传输信息的极限。
香农定理表明，在给定噪声水平的情况下，通过增加传输速率和使用更复杂的编码方案，可以无限接近信道的容量。
信息熵信息熵是香农定理的核心概念之一。
它衡量了信息的不确定性和随机性。
对于一个离散随机变量X，其信息熵H(X)定义为：H(X) = -Σ P(x)log2P(x)其中，P(x)是X取值为x的概率。
信道容量信道容量是指在给定的信道条件下，能够传输的最大信息速率。
根据香农定理，信道容量C可以通过下式计算：C = B log2(1 + S/N)其中，B是信道带宽，S是信号的信噪比，N是噪声的功率谱密度。
应用香农定理对通信系统的设计和优化具有重要意义。
通过理解信道容量的上限，我们可以选择合适的调制方案、编码方案和信道编码率，以最大限度地提高通信系统的性能。
奈奎斯特定理定义奈奎斯特定理，也称为奈奎斯特-香农采样定理，由哈里·奈奎斯特于1928年提出。
它给出了采样定理的一个重要结果，即信号在采样时需要满足一定的采样定理，以便在恢复过程中不产生信息丢失。
采样定理奈奎斯特定理指出，对于一个带宽为B的信号，为了完全恢复原始信号，需要以不低于2B的采样率进行采样。
也就是说，采样频率应该是信号带宽的两倍以上。
奈奎斯特频率奈奎斯特频率是指信号带宽的一半，也是信号采样频率的上限。
如果采样频率低于奈奎斯特频率，会导致采样失真，无法准确恢复原始信号。
应用奈奎斯特定理在信号处理和通信系统中具有广泛的应用。
在数字音频和视频领域，采样定理被广泛应用于音频和视频信号的数字化和压缩。
MIMO信道容量计算公式
MIMO信道容量计算公式
MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）是一种通过同时使用多个发射天线和接收天线来增加无线通信系统容量的技术。
MIMO技术可以利用信道的冗余和多路径效应，提高信号的传输速率和可靠性。
1.SISO信道容量计算公式：
SISO信道容量的计算公式使用香农公式，用于计算传输速率。
香农公式如下：
C = B * log2(1 + SNR)
其中，C是信道容量，B是带宽，SNR是信噪比（Signal-to-Noise Ratio）。
SISO信道容量计算公式适用于只有一个天线的系统。
2.MIMO信道容量计算公式：
C = log2(det(I + H*SNR*H^H))
其中，C是信道容量，H是MIMO信道的传输矩阵，SNR是信噪比。
除了以上基本的MIMO信道容量计算公式，还有一些进一步考虑调制方式、信道状态信息等因素的改进公式，如ZF（Zero Forcing）和MMSE （Minimum Mean Square Error）等方法，用于提高MIMO系统的容量。
这些方法考虑了天线之间的干扰和多径效应，可以优化信号的传输和接收性能。
总结起来，MIMO信道容量的计算公式可以通过SISO信道容量公式和MIMO信道容量公式来表示，具体的计算方法需要综合考虑信道状况和系
统参数，并结合数值计算方法进行分析。
通过合理设计和优化，MIMO技术可以显著提高无线通信系统的容量和性能。
信道的对称容量
信道的对称容量信道的对称容量是指在无干扰的情况下，信道所能传输的最高信息速率。
它是通信系统设计中一个重要的理论指标，同时也是决定信息传输质量的关键因素之一。
首先，我们来了解一下什么是信道。
信道是指信息在传输过程中的传递媒介。
在通信系统中，信道承担着将信息从发送方传达到接收方的重要角色。
信道可以是有线的，如光纤和电缆，也可以是无线的，如无线电波和微波。
无论是有线信道还是无线信道，它们都会受到各种干扰的影响，从而导致信息的传输受到限制。
而信道的对称容量则是量化信道传输速率的上限。
它是通过衡量信道的带宽和信噪比之间的关系得出的。
简单来说，带宽指的是信道所能够传输的频率范围，信噪比则是衡量信号与信道中噪声的比例。
信道的对称容量是由香农提出的信息论中的一个重要概念，它描述了在理想的条件下，信道所能传输的最大信息速率。
要计算信道的对称容量，我们需要考虑信道的传输特性和信道中存在的干扰。
在理想情况下，信道的对称容量可以通过香农公式来计算，即：C = B log2(1 + S/N)，其中C表示信道的对称容量，B表示信道的带宽，S表示信号的平均功率，N表示噪声的平均功率。
对称容量的概念在通信系统设计中具有重要的指导意义。
它可以帮助我们优化通信系统的设计，提高信息传输的可靠性和效率。
通过提高信道的带宽和信噪比，我们可以增加信道的对称容量，从而提高信道的传输速率。
另外，我们还可以采取一些编码和调制技术来提高信道的利用率，从而进一步提高信道的对称容量。
在现实应用中，我们需要结合实际情况来确定信道的对称容量。
实际信道往往存在着各种复杂的调制技术、编码方案和干扰。
因此，在设计通信系统时，我们需要根据实际情况对信道进行分析和建模，并综合考虑各种因素，以确定信道的对称容量。
总之，信道的对称容量是通信系统设计中一个重要的理论指标，它反映了信道传输速率的上限。
通过优化信道的带宽和信噪比，我们可以增加信道的对称容量，提高信息传输的效率和可靠性。
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通过香农公式我们可以考虑如何将信道容量上限提高。
假如噪声值给定，那么似乎通过增加信号强度或带宽就能提高数据率；但是，如果信号强度增加了，则系统的非线性程度也会提高，这就导致互调噪声的增加。
还有一点需要注意，由于假定噪声是白噪声，那么带宽越宽，因此系统容纳的噪声也就越多，因此随着B的增加SNR反而降低了。
当，或时，。
但是当时，将趋向何值？
令
，上式可以改写为：
利用关系式：
上式变为：
上式表明，当给定时，若带宽B趋于无穷大，信道容量不会趋于无限大，而只是
的1.44倍。
这是因为当带宽B增大时，噪声功率也随之增大。