全国通用版2019年中考数学复习第二单元方程与不等式滚动小专题三方程不等式的实际应用练习

滚动小专题(三) 方程、不等式的实际应用
1．(2018·广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得(D )
A .⎩⎪⎨⎪⎧11x ＝9y （10y ＋x ）－（8x ＋y ）＝13
B .⎩
⎪⎨⎪⎧10y ＋x ＝8x ＋y 9x ＋13＝11y C .⎩⎪⎨⎪⎧9x ＝11y （8x ＋y ）－（10y ＋x ）＝13 D .⎩
⎪⎨⎪⎧9x ＝11y （10y ＋x ）－（8x ＋y ）＝13 2．(2018·白银)《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．
解：设合伙买鸡者有x 人，根据题意，得 9x －11＝6x ＋16，解得x ＝9. 则9x －11＝70.
答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．
3．(2018·山西)2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南－北京西”全程大约500千米，“复兴号”G 92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的4
5(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴
号”G 92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
解：设“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x 小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要5
4x
小时，根据题意，得
500x ＝50054x ＋40，解得x ＝52
. 经检验，x ＝5
2是原分式方程的解．
∴x＋16＝83
.
答：乘坐“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西需要8
3
小时．
4．(2018·泸州)某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1 060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
解：(1)设乙图书每本价格为x 元，则甲图书每本价格是2.5x 元，根据题意，得
800x －8002.5x
＝24，解得x ＝20. 经检验，得x ＝20是原方程的根． 则2.5x ＝50.
答：乙图书每本价格为20元，甲图书每本价格为50元．
(2)设购买甲图书本数为a ，则购买乙图书的本数为2a ＋8，根据题意，得 50a ＋20(2a ＋8)≤1 060，解得a≤10. ∴2a＋8≤28.
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
5．(2018·烟台)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A ，B 两种不同款型，其中A 型车单价400元，B 型车单价320元．
(1)今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A ，B 两种款型的单车共100辆，总价值36 800元．试问本次试点投放的A 型车与B 型车各多少辆？
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A ，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A 型车与B 型车各多少辆？
解：(1)设本次试点投放的A 型车x 辆、B 型车y 辆，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，400x ＋320y ＝36 800，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝40. 答：本次试点投放的A 型车60辆，B 型车40辆． (2)由(1)知A ，B 型车辆的数量比为3∶2，
设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆，B 型车2a 辆，根据题意，得 3a×400＋2a×320≥1 840 000，解得a≥1 000.
即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3 000辆、B 型车至少2 000辆．
则城区10万人口平均每100人至少享有A 型车3 000×100100 000＝3辆、至少享有B 型车2 000×100
100 000＝2
辆．
答：平均每100人至少享有3辆A 型车，2辆B 型车．
6．(2018·咸宁)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． (1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为8辆； (3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 解：(1)设老师有x 名，学生有y 名．依题意，列方程组为
⎩⎪⎨⎪⎧17x ＝y －12，18x ＝y ＋4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝284. 答：老师有16名，学生有284名．
(3)设租用a 辆乙种客车，则租用甲种客车(8－a)辆， ∵租车总费用不超过3 100元，
∴400a＋300(8－a)≤3 100，解得a≤7. 为使300名师生都有座，
∴42a＋30(8－a)≥300，解得a≥5. ∴5≤a≤7(a 为整数)． ∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2 900元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3 000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3 100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
7．(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．
(1)求n 的值； (2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年因甲方案治理降低的Q 值相等，第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．
解：(1)由题意，得40n ＝12，解得n ＝0.3.
(2)由题意可，得40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2
＝190，
解得m 1＝12＝50%，m 2＝－7
2
(舍去)．
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m)＝40(1＋50%)＝60(家)．
(3)设第一年用甲方案整理降低的Q 值为x.
第二年Q 值因乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30. 解法一：(30－a)＋2a ＝39.5，解得a ＝9.5. x ＝20.5.
解法二：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝20.5，a ＝9.5.。