九年级(上)一元二次方程根与系数的关系
九年级上册数学根与系数的关系
九年级上册数学根与系数的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊九年级上册数学里超有趣的根与系数的关系，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？你知道吗？一元二次方程的根与系数之间藏着神秘的联系呢。
比如说，对于方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0），如果它有两个根 x_1 和 x_2 ，那么就有 x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ，x_1x_2 =\frac{c}{a} 。
这是不是很神奇？就好像是数学给我们开的一个小秘密通道。
比如说，给你一个方程 x^2 5x + 6 = 0 ，咱们很快就能知道它的根的和是 5，根的积是 6 。
然后一分解，嘿，原来方程的根就是 2 和3 。
这在解题的时候可太有用啦！有时候题目不给咱具体的根，只给方程的系数，让咱求根的和或者积，咱们用这个关系就能轻松搞定。
而且哦，根与系数的关系还能帮我们检验算出的根对不对。
算完根之后，代入这两个关系式看看，对得上就是正确的，对不上那可得重新算啦。
怎么样，是不是觉得根与系数的关系就像一个神奇的魔法棒，能在数学的世界里帮我们解决好多难题呀！稿子二哈喽呀，小伙伴们！今天咱们来唠唠九年级上册数学里那个有点神秘但又超级好玩的根与系数的关系。
想象一下，一元二次方程就像一个藏着宝贝的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的钥匙。
比如说，对于方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0），一旦知道了 a 、b 、c 的值，咱们就能通过神奇的公式算出根之间的关系。
你看哈，如果方程有两个根 x_1 和 x_2 ，那么 x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ，x_1x_2 = \frac{c}{a} 。
这可太酷了！咱们来举个例子感受一下。
比如方程 2x^2 3x 5 = 0 ，咱们一下子就能算出根的和是 \frac{3}{2} ，根的积是 \frac{5}{2} 。
有时候做题，题目会故意不直接告诉我们根是多少，而是让我们通过根与系数的关系去推理、去计算。
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系
x1x2＝
c a
.
名校讲 坛
例2 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值． 【点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求 另一个根；另一种是利用根与系数关系解答．
3
解：另一根为 2 ，k＝3.
名校讲 坛
跟踪训练1：已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次 方程是（A ）
5.已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22= 23 .
巩固训 练
6.已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．
(1)两根互为相反数；
(2)两根互为倒数．
解：设原方程的两个根为x1，x2， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2. (1)若两根互为相反数，则x1＋x2＝2(m＋1)＝0， 解得m＝－1.
名校讲 坛
跟踪训练3：若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为 3 ．
跟踪训练4：已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足x11
1 x2
＝3，
则k的值是__2 _．
巩固训 练
1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1、x2，则x1x2的值是( D )
5
6
x2＋3x－10＝0
2
-5
-3
-10
问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律： 两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项. .
②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
一元二次方程的根与系数的关系-九年级数学上册(人教版)
归纳和判断的能力.
复习引入
人教版数学九年级上册
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax +bx +c 0 a 0
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 2 4ac 2
x
b 4ac 0
2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
Δ 0 方程有两个不等的实数根；
a
互动新授
人教版数学九年级上册
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
c
b
x1 x2 ，x1 x2 .
a
a
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个
根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的
积等于常数项与二次项系数的比.
如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)
(3)方程化为x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)方程化为2x2-4x+1=0.
−
x1+x2=- =2，x1x2= .
拓展训练
人教版数学九年级上册
1.已知方程 + + + = 的两个实数根x1，x2，且
+ = ,求k的值.
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为
已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能
看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，
得方程
新人教版九年级数学(上)——一元二次方程根与系数的关系
知识点一、根的判别式 从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。
而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-; 所以：当042>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示;即：ac b 42-=∆根的判别式的作用:①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例题精讲【例1】 不解方程,判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定一元二次方程根与系数的关系【例2】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根,那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ )．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例3】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根;⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例4】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数?【例5】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-= ⑴求证:无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．★1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . ★2、一元二次方程x 2—4x+4=0的根的情况是( ） A 。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。
2。
4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。
○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。
解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。
公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。
掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。
二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。
2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。
根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。
三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。
难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。
2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。
在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。
四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。
五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级（上）数学教案
武胜县三溪初中数学教师：易延高 2008．10．30晚。
课题：一元二次方程的根与系数的关系
目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 根据方程求代数式的值。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问 题的能力。
重点：一元二次方程根与系数的关系。
难点：运用韦达定理解决问题。
教学方法：（1）谈话法；（2）讨论法；（3）情景教学法等。
教学流程：
一．创设情景。
同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。
好吗？
二．探索新知。
2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x 2074-=-x 的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =
（2）已知方程x 2+3x －5=0的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =
3．猜想：如果方程0x 2=++n mx 的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =
4．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）
5．同学们展示自己的证明。
6．（教师演示）
如果方程0x 2
=++n mx 的根是x 1和x 2，那么21x x +=－m ，21x x =n
证明：方程0x 2=++n mx 的△=m 2n 4- 当△=m 2n 4-≥0时，方程的根是x 1=2
42n m m -+-，
x 2=2
4-2n m m -- 21x x + =242n m m -+-+2
4-2n m m -- =m
21x x =242n m m -+-∙2
4-2n m m -- =n
7．（分组合作）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是x 1和x 2，那么
21x x += ；21x x =
三．应用新知。
例1． 已知方程022
=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
解.设方程的另一个根是0x ，则
3+0x =2 解之得0x =－1。
∵30x =c
∴3×（－1）=c
∴c=－3
故：方程的另一个根是－1，c=－3。
例2． 已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值：
（1）2221x x + + 21x x （2）1
221x x x x + 解.由一元二次方程根与系数的关系知：21x x +=5，21x x =－6
（1）原式=2
221x x ++221x x －21x x
=21221)(x x x x -+
=52
－（－6）
=31 （2）原式=2
12221x x x x + =2
1212212)(x x x x x x -+ =6
6-2-52-⨯）（ =6
37-
四．信息反馈。
（自主练习）
1． 填空：如果方程20542
=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += ； 21x x =
2． 已知方程062
=-+ax x 的一个根是2，求方程的另一个根及a 的值。
五．小结。
你这节课学到了什么？
六．板书设计。
（略）
七．作业:
1. 填空：（1）已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += 21x x =
（2）已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b
2．已知方程032=+-c x x 的一个根是2，求另一个根及c 的值。
3．已知方程20542=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，求下列式子的值：
（1）（x 1+2）（x 2+2） （2）222121x x x x +-
备注;课后反思。