高中数学 2-2-2-1直线的点斜式方程和两点式方程同步检测 新人教B版必修2

第1课时 直线的点斜式方程和两点式方程一、选择题1．在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为( ) A ．x －y ＝2 B ．x －y ＝－2 C ．x ＋y ＝2 D ．x ＋y ＝－2[答案] A[解析] 所求直线方程为x 2＋y－2＝1，即x －y ＝2.2．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[答案] D[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7， 令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72.3．下列说法中不正确的是( )A ．点斜式y －y 1＝k (x －x 1)适用于不垂直于x 轴的任何直线B ．斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线C ．两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D ．截距式x a ＋y b＝1适用于不过原点的任何直线[答案] D[解析] 截距式方程不表示过原点的直线，也不表示与坐标轴垂直的直线． 4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12[答案] D[解析] 由题知直线过点(1,0)，∴2m 2＋m －3＝4m －1， 则m ＝－12或m ＝2.5．经过点A (1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] C[解析] 当直线经过点A (1,2)且在两坐标上的截距为0时，直线方程为y ＝2x ； 当直线过点A (1,2)且斜率为1时，直线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1；当直线过点A (1,2)且斜率为－1时，直线方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3，上述三条直线且只有该三条直线过点A (1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．6．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是()[答案] B[解析] 直线的斜率和截距同号，由图象选B. 7．经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程不是( ) A ．y －1＝－34(x －2)B ．3x ＋4y －10＝0 C.x 103＋y52＝1 D.y －11＋2＝x －26－2[答案] D[解析] 经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程为y －1－2－1＝x －26－2，故D 不对．8．图中标出的直线的倾斜角正确的是()[答案] A 二、填空题9．过点(3，－4)且平行于x 轴的直线方程为______________． [答案] y ＝－410．过点(1,3)且平行于y 轴的直线方程为__________．[答案] x ＝111．已知点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率为____________．[答案] －k[解析] 设P (0，m )，M (a ，b )，则N (－a ，b )， 由题设k PM ＝k ，即b －ma＝k ， ∴k PN ＝b －m－a＝－k . 12．直线l 过点P (－2,3)且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为__________．[答案] 3x －2y ＋12＝0[解析] 解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在，设直线方程为y －3＝k (x ＋2) (k ≠0)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2，∴A (－3k－2,0)，B (0,2k ＋3)，∵AB 中点为(－2,3)，∴⎩⎨⎧－3k－2＋02＝－20＋2k ＋32＝3，得k ＝32.∴直线l 方程为y －3＝32(x ＋2)，即直线l 方程为3x －2y ＋12＝0. 解法二：设A (a,0)，B (0，b )， ∵P 为A 、B 的中点，∴a ＋02＝－2，b ＋02＝3，∴a ＝－4，b ＝6，∴直线l 的方程为x －4＋y6＝1，即3x －2y ＋12＝0.三、解答题13．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b ，由题意知12²|b |²|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.14．写出斜率为－2，且在y 轴上的截距为t 的直线的方程，当t 为何值时，直线通过点(4，－3)？并作出该直线的图象．[解析] (1)由直线方程的斜截式，可得方程为y ＝－2x ＋t .(2)将点(4，－3)代入方程y ＝－2x ＋t ，得－3＝－2³4＋t ，解得t ＝5，故当t ＝5时，直线通过点(4，－3)．直线y ＝－2x ＋5图象如右图所示．15．已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．[解析] 依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k ；令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意得－2－3k ＝3＋2k，解得k ＝－1或k ＝－23.∴l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)．即为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.16．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如图所示．求y 与x 的函数关系．[解析] 当0<x <10时，直线段过点O (0,0)、A (10,20)．∴k OA ＝2010＝2.∴此时方程为y ＝2x .当10≤x ≤40时，直线段过点A (10,20)、B (40,30)， ∴k AB ＝30－2040－10＝13.∴此时方程为y －20＝13(x －10)即y ＝13x ＋503.17．已知直线l 1的倾斜角为α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1和l 2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l 2的斜率k 2.[解析] 设直线l 2的倾斜角为α2，如图所示可知．α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°. ∴k 2＝tan α2＝tan135°＝－1. ∴直线l 2的斜率为－1.第2课时 直线方程的一般式一、选择题1．直线的斜率为－43，且直线不通过第一象限，则直线的方程可能是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0 [答案] B2．如果a ²c <0，b ²c <0，那么，直线ax ＋by ＋c ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] C3．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( ) A.12ab B.12|ab | C.12abD.12|ab |[答案] D[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a，令x ＝0，得y ＝1b，∴三角形的面积S ＝12²1|a |²1|b |＝12|ab |.4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线 [答案] C[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C. 5．经过点A (2,1)，在x 轴上截距为－2的直线方程是( ) A ．x ＝－2B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋y ＋2＝0D ．x －4y －2＝0 [答案] B[解析] 将点A (2,1)及B (－2,0)代入检验知选B ； 也可设直线方程为y －1＝k (x －2)，令y ＝0则x ＝－2， ∴k ＝14；或设直线方程为x ＝my －2，将A (2,1)代入得m ＝4.6．已知直线经过A (a,0)、B (0，b )和C (1,3)三个点，且a 、b 均为正整数，则此直线方程为( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋y －4＝0C ．3x ＋y －6＝0或x ＋y －4＝0D ．无法确定[答案] C[解析] 由直线经过A 、B 知方程为x a ＋y b＝1， 又过C (1,3)点，∴1a ＋3b＝1，∵a ，b 均为正整数，∴a ＝bb －3>0，∴b >3，b ＝3aa －1>0，∴a >1.由整除性可知a －1＝3或a －1＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6，∴选C.7．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由题意，得a －3m ＋2a ＝0， ∴a ＝m ，又∵m ≠0，∴直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.8．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是()[答案] B[解析] 排除法：选项A 中，直线l 1的斜率大于0，在y 轴上的截距小于0，∴a >0，b <0，故l 2的斜率为－b >0，但图中l 2的斜率小于0，故A 不正确，同理排除C 、D ，故选B.二、填空题9．直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0可以化成斜截式方程的条件是____________；可以化成截距式方程的条件是____________．[答案] B ≠0；A ²B ²C ≠010．不论A 、B 取何值，只要A 、B 不同时为零，则直线Ax ＋By ＝0必过定点________．若A 、B 不同时为零，且A ＋B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0恒过定点________．[答案] (0,0) (1,1)11．过两点(5,7)、(1,3)的直线方程为____________________；若点(a,12)在此直线上，则a ＝________.[答案] x －y ＋2＝0 a ＝1012．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞[解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6， ∴3－2t ≤0，∴t ≥32.三、解答题13．已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 因为直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点，由两点式得，y －68－6＝x ＋5－4＋5，整理得2x －y ＋16＝0，两边同除以－16，得x －8＋y16＝1.14．已知▱ABCD 的顶点A (1,2)、B (2，－1)、C (3，－3)，求直线BD 的方程． [解析] ∵平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 交点M 为AC 的中点，∴M (2，－12)，直线BM 的方程为x ＝2， 即直线BD 的方程为x －2＝0.15．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，求实数m 的值． [解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1，由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1，∴m ＝3.16．求证：不论m 为何实数值，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并指出此定点坐标．[解析] 令m ＝12、m ＝－3，得两条直线，即⎩⎪⎨⎪⎧－(12＋3)y －(12－11)＝0(－6－1)x －(－3－11)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3.交点为(2,3)，当x ＝2，y ＝3时，对m ∈R ，方程(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒成立． 故直线恒过定点(2,3)．17．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，－22)，C (0,1)，求这个三角形的三条边各自所在直线的方程．[解析] ∵直线AB 过点A (－3,0)，B (2，－2)，∴由直线的两点式方程得y －0－2－0＝x －(－3)2－(－3)，整理得2x ＋5y ＋6＝0.即直线AB 的方程为2x ＋5y ＋6＝0.∵直线AC 过点A (－3,0)，C (0,1)，∴直线AC 在x 轴，y 轴上的截距分别为－3,1，由直线的截距式方程得x －3＋y1＝1，整理得x －3y ＋3＝0.即直线AC 的方程为x －3y ＋3＝0.∵直线BC 过点B (2，－2)，C (0,1)，∴由直线的两点式方程得y －1－2－1＝x －02－0，整理得3x ＋2y －2＝0.即直线BC 的方程为3x ＋2y －2＝0.。