22.4矩形1
201x年春八年级数学下册第二十二章四边形22.4矩形第1课时矩形的性质新版冀教版
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22.4 矩形
【归纳总结】解决矩形中折叠问题的方法： 解决与矩形有关的折叠问题，往往通过图形间的折叠找出折叠 部分与原图形之间的对应线段或对应角，从而得到折叠部分与 原图形或其他图形之间的关系.
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22.4 矩形 （2）如图22－4－2，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若 AB＝AO，求∠ABD的度数.
图22－4－2
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22.4 矩形
解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴AO＝OB. ∵AB＝AO，∴AB＝AO＝BO， ∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°.
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22.4 矩形
目标二 会利用矩形的性质进行推理证明
例2 教材补充例题 已知：如图22－4－3，在矩形ABCD中，点E 在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
图22－4－3
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22.4 矩形
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°， ∴∠EFB＋∠CFD＝90°. ∵∠EFB＋∠BEF＝90°，
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22.4 矩形 例 3 教材补充例题 如图 22－4－4，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折， 点 B 恰好落在 AD 边的 B′处.若 AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°， 则矩形 ABCD 的面积是（ D ）
八年级数学下册第二十二章四边形22.4矩形矩形图示法素材(新版)冀教版
八年级数学下册第二十二章四边形素材：矩形图示法应用矩形图表示题目的已知量和所求量，是帮助寻找解题线索的好办法。
根据题意画出矩形，可以用矩形的长表示一种量，用矩形的宽表示另一种量，面积表示这两种量的积的关系。
这样可以把抽象的数量关系变得具体形象，便于寻找解题线索。
例1：买来4分一张的邮票和8分一张的邮票共63张，总值为4元。
求4分邮票8分邮票各多少张？解：先画出矩形，把矩形的长作为总张数，宽作为8分邮票的票面额，而4分邮票的票面额相当于这矩形的宽的一半，把实际总值用斜线描出。
然后观察图形进行分析。
假如这63张邮票都是8分一张的，那么总钱数应该用整个矩形面积表示，而实际的总钱数为4元，即矩形面积中的阴影部分。
空白部分是这两个总钱数的差，利用这个差就可以求出4分邮票的张数，随之，8分邮票的张数也可求出。
（1）4分邮票的张数：（8×63-400）÷（8-4）=104÷4=26（张）（2）8分邮票的张数：63-26=37（张）答：4分邮票26张，8分邮票37张。
例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三种不同规格的住房30单元，乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。
出租时，甲种每单元每月收32元，乙种每单元每月收24元，丙种每单元每月收18元。
这三种住房每月租金总数为750元。
求三种住房各多少单元？解：先画出矩形，把矩形的长作为住房的单元数，宽作为每月每单元的租金数。
注意乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。
把租金总数用斜线描出。
然后观察图形进行分析。
假设这30单元都是甲种住房，那么每月房租总钱数应该用整个矩形面积表示，而实际每月租金总数为750元，即矩形面积中的阴影部分。
空白部分是这两个总钱数的差，利用这个差就可以求出各种住房的单元数。
（1）假设30单元都是甲种住房，每月租金总数为：32×30=960（元）（2）实际租金数比960元少的钱数为：960-750=210（元）（3）丙种住房的单元数为：210÷[（32-24）×2+（32-18）]=210÷（16+14）=210÷30=7（单元）（4）乙种住房的单元数为：7×2=14（单元）（5）甲种住房的单元数为：30-7-14=9（单元）答：甲种住房9单元，乙种住房14单元，丙种住房7单元。
【最新】冀教版八年级数学下册第二十二章《22.4矩形》公开课课件4(共22张PPT)
D
矩形的对角线相等
条件
结论
对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形
②任意画一个符合条件的图形，通过观察、 测量猜想其形状确定结论是否正确；
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ ABCD，AC=BD 求证： □ ABCD是矩形 证明:
A D
∵ 在□ ABCD中，AB=DC, BC=CB, 且AC=DB ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B C ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ □ ABCD是矩形
分别测量出两组对边的长度和一个内角的 度数，如果两组对边的长度分别相等，且 这个内角是直角，则窗框符合规格
方案:
测量出三个内角的度数，如果三个内角都 是直角，则窗框符合规格
方案:
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度， 如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度 分别相等，那么窗框符合规格
方案:
分别测量出两组对边的长度和一个内角的 度数，如果两组对边的长度分别相等，且 这个内角是直角，则窗框符合规格
1、如图,在△ABC中,点D是AC边上的一个动点, 过点D作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线 于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
(1)求证:DE=DF A M E
6 5
(2)当D运动到何处时, 四边形AECF为矩形? 说明理由
D
4 2 1
F
N
B
C
22.4 矩 形
四边形
平行四边形□
四边形 矩形
平行 四边形
∟
一个角 是直角
矩形
木工朋友在制作窗框后，需 要检测所制作的窗框是否是矩 形，那么他需要测量哪些数据， 其根据又是什么呢？
22.4 第2课时 矩形的判定
（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形． 正确的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩
形内部有一动点P满足S△PAB＝ S矩形ABCD，则点
P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为
．
3．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，
AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，
则OM+ON的最小值是
．
4．如图，矩形ABCD中，AD＝5，∠CAB＝30°，
点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动
点，则AQ+QP的最小值是
．
5．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图
Hale Waihona Puke 所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，
点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的
（1）求证：OB＝OD； （2）若AD＝5，AB＝12，求OA的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形ABCD是矩形？
并说明理由．
8．如图，在平行四边形ABCD中，角线AC、BD相交于 点O，动点E以1个单位每秒的速度从点A出发沿AC向 运动，点F同时以1个单位每秒的速度从点C发沿CA 方向运动，若AC＝12，BD＝8，求出经过几秒后， 四边形BPDQ是矩形？
坐标为
．
6．如图，梯形ABCD中，AD∥CB，∠B＝90°，AD＝ 18cm，BC＝21cm，点M从点A开始沿AD向D点以 1cm/s的速度移动，点N从点C开始沿CB边向点B以 2cm/s的速度移动，则：
（1）几秒后四边形MNCD为平行四边形； （2）几秒后四边形ABNM为矩形．
7．如图，直线MN经过线段AC的端点，过点A作直线MN∥BD， 点B，D分别在∠NAC和∠MAC的角平分线AE，AF上，BD交 AC于点O．
初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形22.4 矩形-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=______度．【答案】22.5【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°．故答案为22.5．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．2.【答题】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．若AB=3，则C′D的长为______．【答案】3【分析】根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，CD=AB，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，∴C′D=CD，∴C′D=AB，∵AB=3，∴C′D=3．故答案为3．【点评】本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．3.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是______．【答案】4【分析】根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，推出OA=OC=OB=OD，根据等腰三角形的判定得出即可．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，∴OA=OC=OB=OD，∴等腰三角形有△OAB，△OAD，△OBC，△OCD，共4个．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，有两边相等的三角形是等腰三角形．4.【答题】如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则∠ABC=______°．【答案】90【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°．故答案为：∠ABC=90°．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．5.【答题】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD=______．【答案】3【分析】根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=6，OD= BD=3．故答案是：3．【点评】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键．6.【答题】如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，当∠B=______°时，四边形ABCD为矩形．【答案】90【分析】根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．【解答】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B=90°．故答案为∠B=90°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．7.【答题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=______cm．【答案】9【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB 2 +BC 2 =10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= 2.5cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= 2.5cm，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．8.【答题】如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为______度时，两条对角线长度相等．【答案】90【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【解答】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°．故答案是：90°．【点评】本题考查了矩形的判定方法，理解矩形的定义是关键．9.【答题】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，则∠A=______°．【答案】90【分析】根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．【解答】添加的条件是∠A=90°，理由是：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A=90°．【点评】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目．10.【答题】在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是______．（写出一种即可）【答案】对角线相等（答案不唯一）【分析】已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．【解答】若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．【点评】此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是要得到四个内角相等即直角．11.【答题】如图，若希望平行四边形ABCD是矩形，则∠ABC=______°．【答案】90【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故：∠ABC=90°．故答案为：∠ABC=90°．【点评】此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．12.【答题】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使▱ABCD变为矩形，需添加的条件是______（写出一个即可）．【答案】任意写出一个正确答案即可（如AC=BD或∠ABC=90°）【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【解答】若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC=90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．13.【答题】如图，四边形ABCD是平行四边形，当它为矩形时，∠BAD=______°．【答案】90【分析】根据矩形的判定定理解答，常用的有三种：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，要判断平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，故：∠BAD=90°．【点评】此题是一道几何结论开放题，全面地考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．14.【答题】在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是______．【答案】AC=BD或者有个内角等于90度【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于90度．故答案为：AC=BD或者有个内角等于90度．【点评】此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．15.【题文】如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．【答案】见解答.【分析】（1）根据角平分线的性质，及∠BAC+∠BAF=180°可求出∠DAE=90°，即DA⊥AE；（2）要证AB=DE，需证四边形AEBD是矩形，由AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，可知AD⊥BC，又因为DA⊥AE，BE⊥AE故，所以∠AEB=90°，∠DAE=90°即证四边形AEBD是矩形．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD= ∠BAC，又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE= ∠BAF，∵∠BAC+∠BAF=180°，∴∠BAD+∠BAE= （∠BAC+∠BAF）= ×180°=90°，即∠DAE=90°，故DA⊥AE．（2）解：AB=DE．理由是：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB=90°∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°，∠DAE=90°，故四边形AEBD是矩形．∴AB=DE．【点评】本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理．有一定的综合性．。
冀教版八年级下册数学第22章 四边形 矩形的判定
感悟新知
归纳
知1－讲
本题目中的图形是建立在四边形基础上，而 条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来 判定矩形．
感悟新知
1. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC 的中点，四边形AEDB为平行四边形. 求证：四边形AECD是矩形.
知1－练
解：在▱AEDB中，AE＝BD，AE∥BD，AB＝DE，
第二十二章四边形
22.4矩形
第2课时矩形的判定
学习目标
1 课时讲解 由直角的个数判定矩形
由对角线的关系判定矩形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
知识回顾
四边形
四边形
平行四边形□
矩形
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
∟
课时导入
探究新知 木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框 是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是 什么呢？ 你现在有方法帮他吗？
四个角是直角的四边形是矩形
条件
结论
条件
结论
感悟新知
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、 知1－讲
边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个
矩形。猜想她判断的依据？
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形
你能证明上述结论吗？
A
D
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°.
感悟新知
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180° 知1－讲
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝∠1 ABC＋∠B1 CD
＝×180°＝90°， 2
矩形的性质习题
9．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，
过点D作DE⊥AM于E，若DE＝DC＝2，AE＝2EM，
则BM的长为
．
10．已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角
（1）当AB＝BC时，求∠GEF的度数； （2）若AB＝ ，BC＝2，求EF的长．
31．如图①，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三 角形，连接AP、PQ．
（1）请你判断AP与PQ的数量关系并证明： （2）如图②，若将“四边形ABCD是矩形”的条件改为“四边形
ABCD是平行四边形”，则（1）中的结论是否成立，若不成立， 请说明理由，若成立，请给出证明．
（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大
值．
37．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5，在矩形ABCD 的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于 点K，得到△MNK．
且△ABG，△DCH的面积分别为12和18，则图中阴
影部分的面积为
．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，
OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩
形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边
上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为
．
18．如图，矩形ABCD中，AD＝3，∠CAB＝30°，点P
冀教版八年级下册数学课件第22章22.4.3矩形性质与判定的灵活运用
又∵AB∥CF，∴四边形 ABFC 为平行四边形． ∴AE＝EF. ∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB. 又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE. ∵BE＝CE，∴AE＋EF＝BE＋CE，即 AF＝BC. ∴四边形 ABFC 为矩形．
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求 四边形ABFC的面积．
7．【2019·河北石家庄长安区期末】探究：如图①，在 △ABC中，AB＝AC，CF为AB边上的高，点P为BC边上 任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E.求 证：PD＋PE＝CF.
嘉嘉的证明思路：连接AP，借助△ABP与△ACP的面积和 等于△ABC的面积来证明结论． 淇淇的证明思路：过点P作PG⊥CF于G，可证得PD＝GF， PE＝CG，则PD＋PE＝CF. 迁移：请参考嘉嘉或淇淇的证明思路，完成下面的问题．
解：过点 E 作 EQ⊥BC，垂足为 Q，如图③， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°. ∵AD＝18，CF＝5，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝13. 由折叠可得，DE＝BE，∠BEF＝∠DEF. ∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB. ∴∠BEF＝∠BFE. ∴BE＝BF＝13＝DE. ∴AE＝5.
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°. ∴四边形 ABCD 是矩形．
在 Rt△BAE 中，∠A＝90°，∴AB＝ BE2－AE2＝12. ∵EQ⊥BC，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠EQB＝90°＝∠A＝∠ABC. ∴四边形 EQBA 是矩形． ∴EQ＝AB＝12. 由探究的结论可得：PG＋PH＝EQ. ∴PG＋PH＝12. ∴PG＋PH 的值为 12.
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22.4矩形师生共用学案
学习目标：
1、经历探索矩形性质和识别条件的过程
2、探索并掌握矩形性质及矩形的常用识别条件
3、在直观操作活动和简单说理的过程中发展学生初步的推理能力，增进主动探究的意
识，逐步掌握说理的基本方法.
重点：矩形的性质和识别
难点：矩形的性质和识别的灵活应用．
学习过程：
一、学前准备：
1、平行四边形具备什么条件就变为矩形？
2、矩形是如何定义的？
二、探究过程：
问题一：矩形的相关概念
1.矩形定义：
2.构成要素（边、角、对角线）
3.表示
4.各要素之间的关系
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”
（3）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．
问题二：矩形性质的探究
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
①当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，
此时它的其他内角是什么样的角？
②随着∠α的变化，两条对角线的长度分别
是怎样变化的？它的两条对角线的长度有
什么关系？矩形性质1
矩形性质2
问题三：矩形识别条件的探究
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
矩形判定方法1：
矩形判定方法2：
三、归纳总结：
例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
四、拓展练习：
例.利用矩形性质说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例2下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）
（4）对角线相等的四边形是矩形；（）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．( )
五、课堂小测：
1．填空
（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．
2．选择
（1）下列说法错误的是（）．
A.矩形的对角线互相平分
B.矩形的对角线相等
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．
A.2对
B.4对
C.6对
D.8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，
∠AOD=120°，求∠AEO的度数．4．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．5．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．6．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．六、课后作业：72页1、2。