矩形的性质(1)
人教版九年数学上学期矩形的性质与判定(一)
第一章特殊平行四边形2. 矩形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。
二、教学任务分析《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。
依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。
矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。
因此本节课的教学目标是：1. 知识与技能:(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．2. 过程与方法：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．3. 情感态度与价值观：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
自学初中数学资料-矩形及其性质矩形(1)
自学资料一、矩形及其性质【知识探索】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也是长方形．2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的两条对角线相等．【说明】（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是其对角线的交点，对称轴是每组对边的垂直平分线．【错题精练】例1．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．第1页共7页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 20；B. ；C. ；D. 25．例2．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．例3．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积例4．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为__________ ．第2页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．3．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．4．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为__________ ．第3页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________ 度二、矩形的判定【知识探索】1．矩形的判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．【错题精练】例1．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线与点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50∘，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．例2．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．第4页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．2．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．1．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．2．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）第5页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. △AFD≌△DCEB. AF=ADC. AB=AFD. BE=AD﹣DF3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．（1）证明：CE=CF；（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）4．如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A、B，过线段AB的中点作CD平行于MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C、D．求证：四边形ACBD是矩形．5．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA=EB．求证：▱ABCD是矩形．6．下列说法中，错误的是（）第6页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形第7页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。
矩形的性质和用途
矩形的性质和用途矩形是几何学中最基本的形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将就矩形的性质和常见用途展开讨论。
一、性质1. 边长关系：矩形的两对相邻边长相等，对角线长度相等。
这个性质使得矩形有较好的对称性，可以方便地进行计算和推导。
2. 角度特性：矩形的四个角均为直角，即90度。
这使得矩形在建筑、绘图、设计等领域中应用广泛。
3. 面积计算：矩形的面积可以通过长度乘以宽度来计算，公式为A=长×宽。
这个简单的计算公式方便了矩形面积的求解，在测量、工程设计等方面具有重要作用。
4. 对角线性质：矩形的对角线相互垂直且相互平分。
这个性质使得矩形可以用于工程测量、图形构建以及装饰设计等方面。
二、用途1. 建筑和土木工程：矩形在建筑和土木工程中扮演重要角色。
例如，在房屋建设中，房间的墙壁往往是矩形的，矩形的角度特性使得房间更稳定和对称。
此外，建筑平面图中的墙壁、窗户、门等也常常利用矩形的性质来进行设计。
2. 绘图和设计：矩形在绘图和设计中常被使用。
绘制平面图、制作建筑物的模型、设计网页布局等都需要利用矩形的性质和对称性。
矩形还可以用于绘制地图、棋盘等。
3. 数学和几何学：矩形是几何学中最经典的形状之一，形成了许多数学定律和公式。
矩形的性质被广泛应用于数学问题的解决过程中，如计算面积、周长等。
4. 家居和室内设计：矩形的简单性质使得它在家居和室内设计领域中得到广泛运用。
例如，家具的设计往往以矩形为基础，包括桌子、座椅、柜子等。
墙壁、地板、天花板等室内元素也可以利用矩形的性质进行设计和布局。
5. 电子设备：矩形在电子设备中也有重要的应用。
例如，电视屏幕、电脑显示器、手机屏幕等都采用了矩形的形状。
此外，电子电路板的设计和制造也需要矩形的性质来进行布局和连接。
6. 艺术和装饰：矩形在艺术和装饰方面具有重要的地位。
矩形的简洁性和对称性使得它适合于许多装饰设计和艺术创作。
例如，画框、相框、墙画等的形状常常是矩形的。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是我们日常生活中最常见的几何形状之一，因为它有很多明显的性质和特点，所以在数学、物理等领域中也被广泛应用。
本文旨在介绍矩形的性质与判定知识点，以帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的基本定义和性质在几何学中，矩形是一个四边形，其中对角线相等，且所有内角均为直角。
它的两条对边平行且长度相等，两条相邻边的内角均为90度。
由此可以得到矩形的以下基本性质：1. 对角线相等设矩形的两条对角线为AC和BD，则AC=BD，即对角线相等。
2. 边角关系设矩形的边长为a和b，则它的周长为C=2a+2b，面积为S=ab。
3. 内角和由于矩形的内角均为90度，因此它的任意两个内角的和均为180度。
4. 三角函数关系设矩形的一条边长为a，另一条边长为b，则其对角线长为D=sqrt(a^2+b^2)。
根据三角函数关系，可得矩形各角的正切值和余切值：tanA=a/b，tanB=b/a，cotA=b/a，cotB=a/b。
二、矩形的性质扩展除了以上基本性质外，矩形还有一些特殊的性质，它们在具体的数学问题中往往会有实际的应用。
下面介绍一些常见的扩展性质。
1. 中线定理设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，线段AB与线段CD交于点E，线段AD与线段BC交于点F。
则OE、OF为矩形的中线，且OE=OF=1/2AC。
证明：由于AC=BD，因此OC=OD。
又由于AB∥CD，因此∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠OCB。
因此三角形OAB和OCD，三角形OBA和OCB均为全等三角形，故OA=OC，OB=OD。
又因为OE是线段AB上的中线，OF是线段AD上的中线，因此OE=1/2AB=1/2CD，OF=1/2AD=1/2BC。
因此OE=OF=1/2AC。
2. 对称性质设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。
由此可知，点O是矩形的对称中心。
证明：因为AC=BD，所以OC=OD，且三角形AOC和COD的第一边、第三边、第五边相等，因此它们一定全等。
矩形的性质及判定方法
矩形的性质及判定方法
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矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。
2、从角看，标准矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。
标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
4、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法如下：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。
矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形（又称矩形）定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。
平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。
矩形的性质1
E D C B A H D C BA 矩形的性质11、 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=6, BC=8, 那么△AOB 的面积为_________; 周长为____________.2、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______， 短边长为_______.4、如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E, BC=那么BE=_______________________.5、如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.6.如图，E 为矩形ABCD 对角线AC上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.7.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线相等8．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm9．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2错误！未找到引用源。
，BC=2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ）A 、3错误！未找到引用源。
B 、2错误！未找到引用源。
C 、1 D 、1．5 10．如图．△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A 、2错误！未找到引用源。
B 、3 C 、4D 、4311．如图，矩形ABCD 中，M 是CD 的中点．求证：（1）△ADM ≌△BCM ；（2）∠MAB=∠MBA ．12．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF=EC ，DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．13、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.14．如图所示，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．O E D C BA 10题14、如图，四边形ABCD 为矩形，F 为BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG 于E ，DE ＝DC ． 求证：AF=BC15、如图所示；过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接FC 、FD 。
矩形性质总结知识点
矩形性质总结知识点1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它具有两对相等并且平行的边，且相邻的两条边互相垂直。
由此可以得出矩形的性质：:（1）四个角都是直角；（2）对角线相等；（3）对角线互相垂直。
2. 矩形的性质2.1 矩形对角线的性质矩形的对角线是矩形内角的分割线，并且是等分矩形的。
具体来说，矩形ABCD的对角线AC和BD相等。
证明如下：假设矩形ABCD的对角线AC和BD相等。
我们已经知道AB和CD、BC和AD是相等的，接下来我们通过三角形全等性质来证明这一点。
由于矩形的对角线是等分矩形的，所以三角形ABC与三角形CDA是相似的，根据三角形相似的性质可知三角形ABC与三角形CDA 是全等的，所以AB=CD且BC=AD，说明对角线AC和BD相等。
2.2 矩形的面积与周长矩形的面积可以通过其长和宽来计算，具体的公式为S=ab，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
其周长为P=2(a+b)。
证明如下：设长为a，宽为b，则矩形的周长为P=2(a+b)，矩形的面积为S=ab。
2.3 矩形的对角线长度对角线的长度可以通过矩形的长和宽来计算，具体的公式为d=√(a^2+b^2)，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
证明如下：通过勾股定理，我们可以得出对角线长度的公式为d=√(a^2+b^2)。
2.4 矩形的特殊点矩形的对角线交点是矩形的重心、垂心和外心。
证明如下：矩形的对角线交点是矩形的重心、垂心和外心。
由于对角线是矩形的对称轴，所以对角线交点就是重心。
另外，由于矩形的对角线相等，所以对角线的交点也是垂心。
最后，由于矩形是一种特殊的四边形，所以对角线的交点也是外心。
2.5 矩形的旋转对称性矩形具有旋转对称性，即矩形可以绕其重心进行旋转180度而不改变其形状。
证明如下：矩形的对角线是其对称轴，所以矩形可以绕对角线交点进行旋转。
又因为对角线相等，所以可以证明矩形可以绕重心进行旋转180度而不改变其形状。
3. 矩形的相关定理3.1 矩形与正方形正方形是一种特殊的矩形，正方形的四条边相等，对角线相等；矩形是正方形的特殊情况。
6.2矩形的性质(1)
6.2矩形的性质（1）学习目标：1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行简单的推理2.会初步运用矩形的概念和性质来解决相关问题; 能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质学习重点：矩形的性质学习难点：矩形的性质的灵活应用．学习过程：（一）温故知新：1.复习平行四边形的有关概念及性质：2.平行四边形的判定方法：（二）创设情境：3.矩形的定义一个活动的平行四边形在拉动的过程，使其一个内角恰好为直角，得到一种特殊的平行四边形是什么图形？猜想____________归纳矩形定义：矩形是我们最常见的图形之一，请同学们举一些生活中的例子．4.矩形的性质(1)矩形和平行四边形的关系是什么？矩形具有平行四边形的性质吗?(2)矩形的特殊性质看门框也是一个矩形形状，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些一般地平行四边形所没有的特殊性质呢？内角：由此我们得到矩形的性质：矩形性质1矩形性质2证明性质1，2.（画出图形，写出已知、求证，然后写出符号语言.）性质1：符号语言符号语言归纳矩形的性质：对称性：_______________________________;边：______________________________角：_______________________________ 对角线:_____________________________5.直角三角形的性质：如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=_______ =_______=_______= _________;因此可以得到直角三角形的一个性质：符号语言:________________________________________________（三）典例荟萃例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长．（四）基础演练1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=5，求BD与AD的长2.如果矩形的一条对角线长为15cm,两条对角线的一个交角为600，求矩形的边长.(五)小结与反思（六）分层检测：1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D为AB的中点，A E‖CD,C E‖AB ,是判断四边形ADCE 的形状，并证明你的结论。
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教学内容: 教学目标：
知识技能：1、让学生掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与
联系.2、会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题.
过程与方法：通过图形的变化，让学生经历观察、思考、合作、探究等数学活动; 体会化归、建模、归纳等数学思想，培养学生的动手操作能力，增强他们的主动
探究意识，逐步掌握说理的基本方法。
情感态度与价值观；1、学生通过亲身体验理解并掌握知识，开拓了学生的视野，也提高了学生的生活实践能力.
2让学生在自主探究中学到方法，学会合作，学会倾听，在解决问
题的过程中体验成功的喜悦。
教学重点、难点：重点：矩形的性质.
难点：矩形的性质的探究和灵活应用
教学准备：自制的四边形、直角三角板、刻度尺教学时间：1课时教学过程:
第（1 ）课时
性质.
导入新课老师展示一些图片，让学
生观察老师演示改变平行
四边形活动框架的形状，
当有一个角是直角时引导
学生观察图形特征，引出
矩形的定义；通过提问并
引导学生观察矩形还有哪
些特殊的性质，从而
学生观察图形
特征，得出矩形的
定义
学生通过观察
思考分析、交流引
出矩形的定义
把平行四边形的
演变过程迁移到
教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图教师向学生展示平行
四边形活动框架，让学生
学生思考回答问题.
复旧引新回忆平行四边形的定义和
回顾上节课所学的知识为本节课的学习做铺垫.
导入新课。
矩形的定义上来，明
确矩形是特殊的平行
四边形，入课题。
1老师向展示平行四边形
活动框架，让学生观察、
猜测然后老师多媒体动画
演示，让学生学生用几何
让学生在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程。
总结矩形的性质.语言证明矩形
性质1矩形的四个的性质。
角都是直角.操作探索
性质2矩形的对角学生拿出矩形的对称性，
线相等.矩形纸跟着老这样使学生的
引导学生用几何语言师动手折叠探主体性得到了
证明矩形的性质究矩形的对称发挥，冋时培养
学生拿出矩形纸跟着性、然后多媒体学生的动手操
老师动手折叠探究矩动画演示，得到作能力，增强
形的对称性、然后多媒矩形既是轴对他们的主动探
体动画演示，得到矩形称图形.究意识。
既是轴对称图形
老师引导学生观让学生感受察矩形ABCD用多媒学生归纳，矩形与直角三
体课件演示从矩形中教师补充得出角形有密切的新知探究
抽象出直角三角形的矩形性质的推关系，引导学生
巩固新知课堂练习归纳小结全过程。
论，并引导学生归纳总结直角
(1)推论直角三角
形斜边上的中
线等于斜边的一
证明.三角形的性质，
有助于生形成
系统化的知识,
半。
培养良好的学(2)总结直角三角形习习惯.
的性
质。
师出示P53例一
1、教师组织学生熟悉
题意后，指名说话证明思
路，其余学生判断正误。
2、教师出示证明过程
让学生对照检查，并强调
证明过程的逻辑性和严密
性，注意书写格式。
教材P53练习1、2、3
生分析题意,
理清证明思路
通过学生回答
证明过程，培养学
生数学推理能力和
思维能力。
培养学
生良好的数学素养
和品质。
习题较基
础，可以发现和
生自主完成
弥补课堂学习
的遗漏和不足。
学生归纳四边
形、平行四边
这个环节是让
学生来完成，这
生自己谈收获形、矩形的从属样做的目的是关系让学生养成及引导学生从边、时总结、善于总角、对角线对称结的习惯。
性等方面总结
归纳矩形的性
质
板书设计: 矩形的性质
1定义2性质
3例题
5小结
4复习作业安排: P60 4 题
课后反思: 成功
不足。