矩形的性质练习题

【基础诊断】1．矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是()A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对边相等2．如图18－2－1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法不一定正确的是()A．∠ABC＝90°B．OD＝1 2ACC．∠OAB＝∠OBA D．OA＝AD图18－2－1图18－2－23．如图18－2－2，在直角三角形ABC中，斜边AB上的中线CD＝AC，则∠B的度数为________．4．如图18－2－3所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6.求：(1)AB的长；(2)矩形ABCD的面积．命题点1矩形的四个角都是直角5．M为矩形ABCD中AB边上的中点，且AB＝2BC，那么∠BMC等于()A．30°B．45°C．60°D．75°6．矩形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(0，0)和C(2，0)，则点D的坐标是()A．(1，0) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1)7．矩形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1，2，3，4，则这个矩形的周长是()A．10 B．20 C．24 D．25图18－2－48．如图18－2－4，矩形ABCD的面积为36 cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为()A．18 cm2B．16 cm2C．20 cm2D．24 cm29．已知：如图18－2－5，P为矩形ABCD内一点，PC＝PD，求证：PA＝PB.图18－2－510．如图18－2－6，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF ＝∠BAE ，求证：四边形AEFD 是平行四边形．图18－2－6命题点 2 矩形的对角线相等11．如图18－2－7，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，AB ＝4，则OC 等于( )A ．5B ．4C ．D ．312．如图18－2－8，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE ＝12∠CDE ，那么∠BDC 的度数为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．°18－2－718－2－818－2－913．如图18－2－9，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝________ cm.14．已知：如图18－2－10，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，交AB 的延长线于点E.求证：AC＝CE.图18－2－1015．如图18－2－11，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD.若∠EAO＝15°，求∠BOE的度数．图18－2－11命题点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[热度：90%]16．2018·黄冈如图18－2－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE 为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝()A．2 B．3C．4 D．2 3图18－2－12 图18－2－1317．如图18－2－13所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴、x轴上，当点B在x轴正半轴上运动时，点A随之在y轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________．18．如图18－2－14，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，E为AC的中点，F为BD的中点．求证：EF⊥BD.图18－2－1419．如图18－2－15①，在矩形ABCD(AB＜BC)的BC边上取一点E，使BA＝BE，作∠AEF ＝90°，交AD于点F，易证EA＝EF.(1)如图18－2－15②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立；(2)如图18－2－15③，若四边形ABCD是平行四边形(AB＜BC)，在BC边上取一点E，使BE＝BA，作∠AEF＝∠ABE，交AD于点F，则EA＝EF是否成立若成立，请说明理由．图18－2－15答案1．B °4．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OC ，∠ABC ＝90°.又∵∠BOC ＝120°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝12×6＝3.(2)∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴BC ＝AC 2－AB 2＝3 3， ∴矩形ABCD 的面积＝AB ·BC ＝3×33＝93.5．B [解析] 由四边形ABCD 是矩形，可知∠B ＝90°.∵M 为AB 的中点，AB ＝2BC ，∴BM ＝BC ，∴∠BMC ＝∠MCB ＝45°.6．D [解析] 根据矩形的性质，点D 到x 轴的距离DC ＝AB ＝1，点D 到y 轴的距离DA ＝BC ＝2，所以点D 的坐标为(2，1)．7．B8．A [解析] 设矩形ABCD 中，AD ＝a cm ，AB ＝b cm ，则AE ＝12b ＝GC ，BF ＝12a ， ∴S阴影＝S矩形ABCD －S △AEH －S △HFC －S △HCG＝36－12AE ·AH －12HD ·CG －12FC ·AB ＝36－12AD ·AE －12FC ·AB ＝36－12ab ＝18(cm 2)．9．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°.∵PD ＝PC ，∴∠PDC ＝∠PCD ，∴∠ADP ＝∠BCP ，∴△PAD ≌△PBC ，∴PA ＝PB .10．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝DC ，∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝AD .又∵∠BAE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△DCF (ASA)，∴BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴EF ＝AD .又∵EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．11．B [解析] 由于∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4，∴BD ＝8.∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝12AC ＝12BD ＝4.12．C [解析] 由题意知，在矩形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠ADE ＝12∠CDE ，∴∠ADE ＝30°，∠CDE ＝60°.∵DE ⊥AC ，∴∠DCE ＝30°.∵四边形ABCD 是矩形，∴OD ＝OC ，∴∠BDC ＝∠DCE ＝30°.[解析] ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，BD ＝AC ，BO ＝OD .∵AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴由勾股定理得：BD ＝AC ＝62＋82＝10(cm)，∴OD ＝5 cm. ∵E ，F 分别是AO ，AD 的中点， ∴EF ＝12OD ＝52 cm.14．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥DC ，∴DC ∥BE .又∵CE ∥BD ，∴四边形CDBE 是平行四边形，∴BD ＝CE ，∴AC ＝CE .15．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，OA ＝OB ＝OC ＝OD . ∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝45°， ∴∠BEA ＝45°＝∠BAE ，∠BAO ＝∠BAE ＋∠EAO ＝45°＋15°＝60°，∴AB ＝BE ，△AOB 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，AB ＝OB ，∴∠OBE ＝30°，OB ＝BE ，∴∠BOE ＝12×(180°－30°)＝75°.16．C [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 为AB 边上的中线，CE ＝5，∴AE ＝CE ＝5.∵AD ＝2，∴DE ＝3.∵CD 为AB 边上的高，∴在Rt △CDE 中，CD ＝CE 2－DE 2＝4.＋1 [解析] 如图，取AB 的中点E ，连接OD ，OE ，DE .∵∠AOB ＝90°，AB ＝2，∴OE＝AE ＝12AB ＝1.∵BC ＝1，四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝1，∴DE ＝AD 2＋AE 2＝ 2.当O ，D ，E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，为2＋1.18．证明：如图，连接BE ，DE ，∵∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点， ∴BE ＝DE ＝12AC .∵F 是BD 的中点，∴EF ⊥BD .19．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，AD ∥BC .∵AB ＝BE ，∴∠AEB ＝∠FAE ＝45°. ∵∠AEF ＝90°，∴∠AFE ＝180°－90°－45°＝45°， ∴∠FAE ＝∠AFE ，∴EA ＝EF . (2)EA ＝EF 成立．理由：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠B ＋∠BAD ＝180°，∠AEB ＝∠FAE . ∵BA ＝BE ，∴∠AEB ＝∠BAE ＝∠FAE .∵∠AEF ＝∠ABE ，∠AEB ＋∠AEF ＋∠FEC ＝180°，∴∠FEC ＝∠FAE . ∵AD ∥BC ，∴∠FEC ＝∠AFE ， ∴∠FAE ＝∠AFE ，∴EA ＝EF .。