矩形的性质和判定

矩形教学设计
教学目标

知识与技能
1.能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．
2.能运用矩形的性质进行简单的证明与计算
过程与方法
体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法.
情感、态度与价值观
学生通过观察发现生活中的矩形，在探索和运用矩形的过程中感受到数学的乐趣

重点难点
重点：矩形的性质；矩形的判定。
难点：矩形的性质和判定的综合运用。

教学方法
观察、总结、讨论分析。

教学过程
一、回顾旧知，温故新知
1.平行四边形有哪些特征?
2.有几种方法可以判别四边形为平行四边形？
3.四边形具有稳定性吗?
二、创设情境，导入新课
出示多媒体
1.引入
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的
性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行
四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形—— 矩形
2.知识讲解
观察

A

B
C
D
A

B C
D

一个角变成直角
分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程.
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是
直角的平行四边形是矩形”来定义矩形.
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形与平形四边形之间的关系

（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它
自己特殊的性质（个性）
（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质.
①边：对边分别平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直
②角：四个角都是直角（性质1）
③对角线：相等且互相平分
三、例题讲解
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90°, ∠B=180°-∠A=90°,
∠D=180°-∠A=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
【定理】矩形的四个角都是直角.
跟踪练习
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
分析:根据矩形的性质,可转化为
全等三角形(SAS)来证明.
证明:∵ 四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
【定理】矩形的两条对角线相等.
练一练：

平行四边形
矩形

A B C D
O

D B C A
如图在矩形ABCD中①AB∥_____，
AB=_____；AD∥____，AD=_____.
②∠BAD=∠______=∠_____=∠______=90°
③AC=_____= 2AO =2______=2_____=2______.
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是_____，它与斜边的关系是_____=____AC.
问：是不是所有的三角形都有这样的性质?
【推论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例题：已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明
有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.
∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.
∴平行四边形ABCD是矩形.
【定理】对角线相等的平行四边形是矩形.
练一练
1.已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来
证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
【定理】有三个角是直角的四边形是矩形.
2.填空
⑴有三个角是直角的四边形是_______
⑵有一个角是直角的_____________是矩形.
⑶对角线_______的平行四边形是矩形
⑷对角线互相平分且相等的四边形是_______
⑸有一个角是直角，且对角线_______________的四边形是矩形.
随堂练习

A
BC
D

O

B D C
A
D
B
C

A
1．（2010·巴中中考）如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，
③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有 （填写序号）.

解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：① ④

2．（2010·益阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为
AC中点，则DE＝ ．

解析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一
半，所以DE=4.
答案：4
3．（2010·聊城中考）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD
为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，
试证明四边形AFCE是矩形．
解析：（1）在等边△ABC中，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC＝30º，又∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60º，
∴∠CAE＝30º
（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，
∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30
º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、
N•分别为BC、AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．

２
１
Ｄ
Ｃ
Ｂ
A

E
F

D

A

BC
证明：在正△ABD和正△BCD中 ，M、N•分别为BC、AD的中点
∴BN⊥AD，DM ⊥ BC，∠DBC=60°
∠BND= ∠DMB=90°，∠NBD=30°
∴ ∠NBM=90°
四边形BMDN是矩形
5.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠
AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且

∴OA=OD,
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD=
∵∠DAB=90°,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
你认为本题还可以怎样解？
本课小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.矩形的特有性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线相等；
（3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.矩形的判定定理：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
作业
习题19.3 1. 2. 3（1）。

D B C A
O