第5课菱形和矩形的性质与判定的总结
矩形、菱形、正方形的性质与判定(5)
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）教学过程：一、情境创设矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？你能证明这些性质吗？二、探索活动问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二 证明：菱形的4条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。
问题三 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。
三、例题教学例 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A 、E 、F 、C 、G 、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC 两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B 、M处固定，则B 、M 之间的距离是多少？分析：可将问题归结到菱形ABCD 中研究，求出BD 的长即可。
可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD 。
例2 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上任一点， DF 交AC 于点E 。
求证：∠AFD=∠CBE 分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。
四、练习1、P 18 练习1B A DC G E H M F O DC B A EAB CD G2、证明：菱形对角线的交点到各边的距离相等。
五、小结菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。
矩形和菱形的性质和判定(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形和菱形的基本概念。矩形是一种四边形，有四个直角，对边平行且相等；菱形则是四边相等的四边形，对角线互相垂直平分。它们在几何图形中具有重要的地位，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用矩形和菱形的性质来解决实际问题，如计算图形的面积和周长。
4.培养学生的数学应用意识，将矩形和菱形的知识应用于生活实际，如设计图案、计算面积等，增强数学与生活实际的联系，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形和菱形的性质：熟练掌握矩形和菱形的定义、特征及性质，包括对边平行且相等、对角线互相平分等。
举例：矩形性质的应用——计算矩形面积；菱形性质的应用——判断菱形对角线长度关系。
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察、操作矩形和菱形，使其理解并掌握其性质，能运用这些性质解决实际问题；
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过矩形和菱形的判定方法的学习，使学生能够运用严谨的逻辑推理证明四边形的类型，提高解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用矩形和菱形的相关性质，分析解决实际问题时四边形边长、角度等数据的变化规律；
（4）几何证明的逻辑推理：在判定矩形和菱形时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，能够运用已知条件和性质进行证明。
举例：运用矩形和菱形的性质，通过步骤严谨的推理过程，证明一个四边形是矩形或菱形。
在教学过程中，教师需针对这些难点和重点，采用适当的教学策略，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生透彻理解矩形和菱形的性质与判定方法，提高解决问题的能力。
（2）矩形和菱形的判定方法：理解和掌握矩形、菱形的判定条件，能够准确判断四边形的类型。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
菱形的判定
章节：§（第五课时）课题：菱形的判断（书71—72页）学习目标：1．模仿矩形的研究方法，从定义、边、角、对角线几个方面研究菱形的判断方法．2．能应用菱形定义、判断等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培育自己的剖析能力。
3.培育学生与人合作，进行有效沟通的能力以及谨慎的逻辑推理能力和几何书写能力。
要点、难点：1．要点：菱形的判断．2．难点：菱形的判断及性质的综合应用．一、课前预习：1.菱形的性质（1）边：（2）角：hnm a（3）对角线：（4）面积： S=2.菱形的定义也是它的判断，所以我们能够得出菱形的第一种判断：判断 1:二、课上研究：模仿矩形判断方法的研究方向，你以为能够从方面研究菱形的判断方法。
自主研究一（从的角度）如图：将一张长方形纸对折两次，沿虚线剪下一个角,翻开后 ,这是一个什么样的图形 ? 你能用你所学的知识来推理论证吗？答：已知：求证：判断 2：几何语言表述：自主研究二（从对角线的角度）你猜想知足什么条件的是菱形？例：在□ABCD 中，对角线 AC⊥ BD，垂足为点 O。
求证：□ABCD 是菱形。
A DB C判断 3：几何语言表述：定理应用例 1：在□ABCD的两条对角线AC、BD订交于点O，AB=5, AO=2, OB=1 （1）AC、BD 相互垂直吗？ D（2）求证：□ABCD 是菱形。
O CAB例 2：已知：如图，AD 是△ ABC 的角均分线, DE∥ AC 交 AB 于 E，ADF∥AB 交 AC 于 F.求证：四边形 AEDF 是菱形 .E123F B D C三、做一做：将两张宽相等的矩形纸片叠合在一同，重合的部分是什么特别的四边形？请着手叠一叠，查验你的猜想。
ADB C四、小结：性质判断1.2.3.五、检测：如图， A E∥BF,AC均分∠BAD,交BF于点C,BD均分∠ABC,交AE于点D,联络CD。
求证：四边形 ABCD 是菱形 .A D EOB C F超越自我：如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝900， CD 是 AB 边上的高，∠ BAC 的均分线AE 交 CD 于 F，EG ⊥AB 于 G，求证：四边形 GECF 是菱形ADG FB E C。
第5课菱形和矩形的性质与判定的总结
第5课菱形和矩形的性质与判定的总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KIIO DCBAABCDO DCBADCB AAB CD第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结一、归纳知识点：1. 菱形的定义、性质及判定定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。
ABCD ABCD AB BC ⎫⇒⎬=⎭平行四边形菱形性 质菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形．① AB=BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．面 积①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）①12ABCD S AC BD =⋅菱形 ②12ABCDS AC BD =⋅四边形判 定① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形．例1将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.2. 矩形的定义、性质及判定ABCDEFDO AB CDOAB C30°ABCOAB CD定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．90ABCDABCDB⎫⇒⎬∠=︒⎭平行四边形矩形性质矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④是中心对称图形、轴对称图形．①ABC BCD CDA DAB∠=∠=∠=∠ =90°；②AC=BD．推论①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．①O是AC的中点，则12BO AC=．②30B∠=︒，则12AC AB=．判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．例2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°（1）求BE、QF的长（2）求四边形PEFH的面积．。
矩形、菱形的性质与判定
矩形、菱形的性质与判定教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。
掌握矩形的性质定理2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题。
3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用．节前预习： 1：矩形的四个角都是．2：矩形的对角线．3：直角三角形等于斜边的一半．4：的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形．5：的四边形是矩形．教学过程一．复习提问：1.什么叫平行四边形？它和四边形有什么区别？二、引入新课：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形，堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．讲解新课：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．（1）、矩形性质1：矩形的四个角都是直角．2：矩形对角线相等．（2）、矩形的判定．矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义备注由平行四边形到矩形，便于学生理解图形。
设问：如何用理论推理的方法来证明矩形的对角线相等呢？（让学生思考并提问回答，再让作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．讲矩形判定定理1，对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形和菱形的性质与判定
A
C
F
B
D
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D 分别是边AC和AB的中点 过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E， 连接AE. 求证：四边形AECD是菱形。
小 1、菱形的性质 结
2、菱形的判定
A D
O
B
C
下列说法正确的是（）
A .对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且平分
中考题训练
如图，矩形ABCD对角线AC=8cm， ∠AOD=°，则AB的长
A
D
B
O
C
把矩形ABCD沿着直线EF折叠， 若∠1=20°，则∠2=
知识回顾与梳理
考点一：矩形的性质 1、对边平行且相等 2、四个角都是直角 3、对角线相等且互相平分 4、是中心对称图形又是轴对称图形，两条对称轴
考点二：矩形的判定 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、对角线相等的平行四边形是矩形 3、有三个角是直角的四边形是矩形
基础练习
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， 如果添加一个条件， 即可推出该四边形是矩形的，那么这个条件是 （1） （2）
在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的 中点，四边形ABDE是平行四边形 求证：四边形ADCE是矩形
矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 点E、F在BD上，BE=DF， 求证：（1）AE=CF (2)若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD面积
小
1、矩形的性质
结
2、矩形的判定
考点一、菱形的性质 考点二、菱形的判定
2015钦州.如图，要使 则需要添加的条件是 （1） （2）
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O D
C
B
A
A
B
C
D
O D C
B
A
D
C
B A
第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结
一、归纳知识点：
1. 菱形的定义、性质及判定
定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。
ABCD ABCD AB BC ⎫
⇒⎬=⎭
平行四边形菱形
性 质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形．
① AB= BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分
别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线． 面 积
①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对
角线乘积的一半．（注：不能直接使用）
①1
2
ABCD S AC BD =
⋅菱形 ②1
2
ABCD S AC BD =⋅四边形
判 定
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形．
D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形证明你的结论.
A
B
C
D
E
F
D
A B C
D
O
A
B
C D
O
A
B
C
30°
A
B
C
O
A
B
C D
2. 矩形的定义、性质及判定
定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
90ABCD ABCD B ⎫
⇒⎬∠=︒⎭
平行四边形矩形
性 质
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且相等；②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等； ④是中心对称图形、轴对称图形．
①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠
=90°； ②AC=BD ．
推论
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．
① O 是AC 的中点，则1
2
BO AC =． ② 30B ∠=︒，则1
2
AC AB =
． 判定
① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 例2.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30° （1）求BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积．。