矩形的性质与判定练习题
(完整版)矩形的性质和判定
矩形的性质和判定一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= 2.5 cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=2.5cm，故答案为：2.5．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt △AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。
初一下册矩形的性质与判定练习题含答案
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形【例题】专题一：矩形的性质矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。
几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°性质2. 矩形的对角线相等且平分。
几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴OA=OC=OB=OD=D B 21AC 21==性质3. 对边平行且相等几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴AD=BC ， AD ∥BC 或者 AB=CD ， AB ∥CD3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：∵ 在Rt △ABC 中，OA=OC （OB 是AC 边上的中线）∴ OB=21AC在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
矩形具有平行四边形的一切性质。
1．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。
FEADBFC ＝1，AB ＝2.2．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ）A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 CB. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等3.已知：如图3-32，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC = 10cm ，∠ACB = 30°, 则∠AOB = °，AD = cm ；60 534.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .5.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若 DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 100 ；专题二：矩形的判定图3-32OBACDABCDF G矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质与判定练习题
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2、能够判断一个四边形是矩形的条件是 ( )A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等 D ．对角线垂直且相等．3、下列命题中正确的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形 D ．内角都相等的四边形是矩形4、下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）． A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90 C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90°D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°5、已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是 __________B ． 32cm 2C ．48cm 26、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是_________7、若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为（ ）cm. A ．22 B ．26 C ．22或26 D ．28 8、在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _. 9、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．10、已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______.11、矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o,AB ＝8,则矩形对角线的长________．12、在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_________; 周长为_________.13、矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是 ，对角线长是 . 14、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AC=2AB ，则△COD 为________三角形.15、矩形ABCD 中，S 矩形ABCD =24 cm 2，若BC=6 cm ，则对角线AC 的长是________ cm.16、矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是_________.17、在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE=DE ，若AB=2AD ，则∠ADE= .18、在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为____________.19、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为 .20、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为___________.21、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为 .22、在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= .23、若一直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹锐角为34°，则这个直角三角形的较小内角是 度． 24、如图,在矩形ABCD 中，M 是BC 中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的面积为_______cm 2．第24题 第27题 第22题25、如果一个矩形较短的边长为5cm ．两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是_____cm 2.26、矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm 和3cm ，则这个矩形的面积为 .27、如图，在矩形ABCD 中，已知AB=8cm ，BC=10cm ，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，折痕为AE ，则CE 的长为 ．28、已知：如图，矩形ABCD 中，E 在DC 上，AB=AE=2BC ，则 ∠EBC= .29、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.求证：BE=CF.30、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，顺次连结E、F 、G 、H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？说明理由.31、如图，矩形ABCD 中，AB=2 cm , BC=3 cm . M 是BC 的中点，求D 点到AM 的距离.32、已知，如图，□ABCD 中，AC ，BD 交于O ，AE ⊥BC 于E ，EO 交AD 于F ．求证：四边形AECF 是矩形．33、已知，如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=DB ，PE ⊥AC ，PF⊥BC ．求证：DE=DF ．34、已知，如图，矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交DC 于E ，EF ⊥AE 交BC 于F ．求证：AE=EF ．35、如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕(对角线)BD ，再折使AD 边与对角线BD 重合，A 点落到A ’处，得折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG 的长.36、已知，如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ．若AE=BC ，求证：CE=FE ．37、如图，矩形ABCD 的两边AB=3，BC=4，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F 。
矩形的性质与判定习题及答案
由题意得：AE＝CF＝t
AE＝CF＝t
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、 EF＝5﹣2（5﹣t）＝2t-5
DC的中点，
∴ BG 1 AB，CH 1 CD
2
2
∴2t-5=4 ∴t＝4.5
又∵AB=CD,AB∥CD
综上，当t为0.5秒或4.5秒时，
∴BG∥CH，BG=CH
四边形EGFH为矩形
∴四边形BCHG为平行四边形
2
2
4
∴ 13 PE PF 15
4
∴ PE PF 60 13
（1）矩形的面积公式是S=长×宽（两邻边的乘积）
（2）过矩形对角线交点O的任一直线平分矩形ABCD的面积
（3）矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，则
①△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB
△ABO，△CDO，△AOD，△COB都是等腰三角形
1
2
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， 在△AEG与△CFH中
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∠B＝90°
∴∠1＝∠2 ∵G、H分别是AB、DC的中点 ∴AG＝BG，CH＝DH ∴AG＝CH
AG CH
1
2
AE CF
∴△AEG≌△CFH（SAS）
∴EG＝FH
∵AE＝CF
又∵GF＝HE
②△ABD≌△CDB≌△BAC≌△DCA
△ABD，△CDB，△BAC，△DCA都是直角三角形
③S△ABO
=S△BCO
=S△CDO
=S△AOD
=
1 4
S矩形ABCD
例4．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、 H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG ＝DH． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点 ，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
矩形的性质与判定典型例题
_矩形的证明题目一．（共 5 小）1 ．（2016 春 ? 巴南区校月考）如矩形都是由大小不等的正方形依据必定律成的，此中，第①个矩形的周 6 ，第②个矩形的周10 ，第③个矩形的周16 ，⋯，第⑧个矩形的周（）A ．168 B． 170 C． 178 D ．1882 ．（2016 ? 姜堰区校模）矩形ABCD 中， AB=4 ， BC=8 ，矩形 CEFG 上的点 G 在 CD， EF=a ， CE=2a ，接 BD 、 BF、 DF，△BDF 的面是（）2A ．32 B． 16 C． 8D ．16+a3 ．（ 2016 ? 深圳模）如所示，矩形ABCD 中， AE 均分∠BAD 交 BC 于 E，∠CAE=15 °，下边的：①△ODC 是等三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，此中正确有（）_ A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个4 ．（2015 ? 十堰一模）如，在矩形ABCD 中， E， F 分是AB ， CD 上的点， AE=CF ，接 EF，BF，EF 与角AC 交于点 O，且 BE=BF ，∠BEF=2 ∠BAC ，FC=2 ， AB 的（）A．8B．8C．4 D ．65 ．（2015 ? 露台模）如，矩形ABCD 中， BC=1 ，接 AC 与 BD 交于点 E1， E1作 E1F1⊥ BC 于 F1，接 AF1交 BD 于 E2， E2作 E2F2⊥ BC 于 F2，接 AF2交 BD 于 E3，E3作 E3 F3⊥ BC 于 F3，⋯，以此推，BF n（此中 n 正整数）的（）A．B．C．D．二．解答（共25 小）6 ．（2015 ? 岩）如， E， F 分是矩形 ABCD 的 AD ， AB 上的点，若EF=EC ，且 EF⊥EC．（ 1 ）求： AE=DC ；（2 ）已知 DC=，求BE的．7 ．（ 2015 ? 玉林）如图，在矩形ABCD 中， AB=5 ，AD=3 ，点 P 是 AB 边上一点（不与 A ，B 重合），连结 CP，过点 P 作 PQ⊥ CP 交 AD 边于点 Q ，连结 CQ ．（1 ）当△CDQ ≌△CPQ 时，求 AQ 的长；（2 ）取 CQ 的中点 M ，连结 MD ， MP ，若 MD ⊥MP ，求 AQ 的长．8 ．（2015 ? 石家庄二模）已知：如下图，四边形ABCD 是矩形，分别以BC、 CD 为一边作等边△EBC 和等边△FCD ，点 E 在矩形上方，点 F 在矩形内部，连结AE、 EF．（1 ）求∠ECF 的度数；（2 ）求证： AE=FE ．9 ．（2015 春 ? 巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD 中， E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后获得△ AFE，点 F 在矩形 ABCD 内部，延伸AF 交 CD 于点 G．（1 ）猜想线段GF 与 GC 有何数目关系？并证明你的结论；（2 ）若 AB=3 ， AD=4 ，求线段GC 的长．10 ．（ 2015 秋 ? 开江县期末）已知，四边形ABCD 是长方形， F 是 DA 延伸线上一点，CF 交 AB 于点 E， G 是 CF 上一点，且 AG=AC ，∠ACG=2 ∠GAF ．（1 ）若∠ACB=60 °，求∠ECB 的度数．（2 ）若 AF=12cm ， AG=6.5cm ，求△AEF 中 EF 边上的高？11 ．（ 2015 春 ? 宜兴市校级期中）定义：如图①，在△ABC 中， CD 是 AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友善三角形” ，而且 S△ACD =S △BCD．应用：如图②，在矩形 ABCD 中，AB=4 ， BC=6 ，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上， AE=BF ， AF 与 BE 交于点 O ．（1）求证：△ AOB 和△AOE 是“友善三角形” ；（2）连结 OD ，若△AOE 和△DOE 是“友善三角形” ，求四边形 CDOF 的面积．12 ．（ 2015 春 ? 汕头校级期中）如下图，在矩形ABCD 中， AB=12 ，AC=20 ，两条对角线订交于点O ．以 OB、 OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB 1 C，对角线订交于点A1，再以 A 1B1、 A 1C 作第 2 个平行四形 A 1B1C1C，角订交于点O 1；再以 O 1B1、O1C1 作第3个平行四形O 1B1B2C1⋯依此推．（1 ）求矩形ABCD 的面；（ 2 ）求第 1 个平行四形 OBB 1 C 的面是第 2个平行四形 A 1B1C1C 是第 3 个平行四形OB 1B2C 的面是（3 ）第n 个平行四形的面是．13 ．（ 2015 春 ? 青山区期中）如 1 ，已知 AB ∥CD ，AB=CD ，∠A= ∠D ．（ 1 ）求：四形 ABCD 矩形；（ 2 ）E 是 AB 的中点， F AD 上一点，∠ DFC=2 ∠BCE．①如 2 ，若 FAD 中点， DF=1.6 ，求 CF 的度：②如 2 ，若 CE=4 ，CF=5 ， AF+BC=，AF=．14 ．（ 2015 春 ? 富顺县校级月考）矩形ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ；P 是 AD 上的随意一点，过 P 作 PE⊥ OA ， PF⊥ OD ，求 PE+PF 的值？15 ．（ 2015 春 ? 启东市校级月考）如图，已知矩形ABCD 中，过点 C 引∠A 的均分线AM 的垂线，垂足为M ， AM 交 BC 于 E，连结 MB ， MD ．（1）求证： BE=DC ；（2）求证：∠ MBE= ∠MDC ．（3 ）假如 AB=6 ，AD=10，则四边形ABMD面积=．16 ．（ 2014 ? 丹东一模）（1 ）如图 1 ，四边形ABCD 是矩形， E 为 AD 上一点，且BE=ED ，P 为对角线BD 上一点， PF⊥ BE 于点 F，PG⊥ AD 于点 G．判断 PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．（2 ）如图 2 ，当四边形ABCD 变成平行四边形，其余条件不变，若∠ABC=60 °，判断 PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．（3 ）如图 3 ，当四边形ABCD 知足∠ABD=90 °，AB=3 ，BD=4 ，其余条件不变，判断PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．_17 ．（ 2014 ? 南岸区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点 F 是CB 延伸线上一点，连结EF交 AB于点G，且DE=BF．AE的垂直均分线MN交AE于点N 、交EF 于点 M ．若∠AFG=2 ∠BFG=45 °，AF=2 ．（1 ）求证： AF=CE ；（2 ）求△CEF 的面积．18 ．（ 2014 春 ? 涪陵区期末）如图，矩形ABCD 中， AB=8 ， AD=10 ．（1）求矩形 ABCD 的周长；（2）E 是 CD 上的点，将△ ADE 沿折痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上点 F 处．①求DE 的长；②点 P 是线段 CB 延伸线上的点，连结PA，若△PAF 是等腰三角形，求PB 的长．（3 ）M是 AD上的动点，在DC上存在点N ，使△MDN沿折痕MN折叠，点 D 落在BC 边上点T 处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．_ 19 ．（ 2014春 ? 郯城县期末）如图 1 ，在平面直接坐标系中，矩形OABC的极点A、C的坐标分别为（10 ，0）、（0，4 ），点D 5 的等腰三角形时，求点 P 的坐标．是OA的中点，点P 在2 、图BC3上运动，当△ ODP是腰长为20 ．（ 2013 秋 ? 渝中区校级期末）如图，点AE，交 CD 于点 F， G 是 AF 的中点，再连结（1 ）求证：∠ DEA=2 ∠AEB ；（2 ）若 BC=2AB ，求∠AED 的度数．E 是矩形 ABCD 的边 BC 延伸线上一点，连结DG 、DE ，且 DE=DG ．21 ．（ 2014 春 ? 宜昌校级期末）在矩形ABCG 中，点 D 是 AG 的中点，点 E 是 AB 上一点，DE⊥ DC ，CE 交 BD 于 F，（1）求证： ED 均分∠ AEC；（2）当∠BEC=60 °，且AE=1 时，求矩形 ABCG 的面积；（3）当 BE=BC ，求证： BD 均分∠CDE．_ 22 ．（ 2014 春 ? 沂水县期末）数学学习老是如数学知识自己的生长历史同样，常常发源于猜测中的发现，我们所发现的不必定对，可是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证以后，当所发现的在逻辑上没有矛盾以后，就能够作为新的推理的前提，数学中称之为定理．（1 ）试试证明：等腰三角形的研究中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．可是当时并未说明这个结论的合理．此刻我们学些了矩形的判断和性质以后，就能够解决这个问题了．如图 1 若在 Rt △ABC 中 CD 是斜边 AB 的中线，则，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．（2 ）迁徙运用：利用上述结论解决以下问题：①如图 2所示，四边形 ABCD 中，∠BAD=90 °，∠DCB=90 °，EF 分别是 BD 、AC 的中点，请你说明EF 与 AC 的地点关系．②如图 3所示， ? ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt △ACE，∠AEC=90 °，且∠BED=90 °，试说明平行四边形 ABCD 是矩形．23 ．（ 2014 春 ? 金川区校级期中）如图，在正方形ABCD 的边 BC 上任取一点 M ，过点 C作 CN ⊥ DM 交 AB 于 N ，设正方形对角线交点为O ，试确立 OM 与 ON 之间的关系，并说明原因．_24 ．（2014 春 ? 合川区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，点 E 为 CD 上一点，将△ BCE 沿BE 翻折后点 C 恰巧落在AD 边上的点 F 处，过 F 作 FH ⊥ BC 于 H ，交 BE 于 G，连结 CG．（1）求证：四边形 CEFG 是菱形；（2）若 AB=8 ， BC=10 ，求四边形 CEFG 的面积．25 ．（ 2014 春 ? 仙桃期中）矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至矩形AEFG ，使 B 点正好落在CD 上的点 E 处，连 BE．（1 ）求证：∠ BAE=2 ∠CBE；（2 ）如图 2，连 BG 交 AE 于 M ，点 N 为 BE 的中点，连M N 、AF，尝试究AF 与 MN的数目关系，并证明你的结论．26 ．（ 2014 春 ? 青县校级期中）如图 1，在四边形ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD=90 °，AB=AD=10cm ，BC=8cm ．点 P 从点 A 出发，以每秒3cm 的速度沿线段AB 方向向 B 运_动，点 Q 从点同时发，当点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点CP 运动到点 B 时， P、Q 同时运动停止，设运动时间为运动．已知动点t 秒．P、Q（1）求 CD 的长；（2）当 t 为什么值时，四边形 PBQD 为平行四边形？（3 ）在运动过程中，能否存在四边形BCQP 是矩形？若存在，恳求出t 的值；若不存在，请说明原因．27 ．（ 2013 ? 遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在点 E处，直线 MN交BC于点M，交AD于点N．（1 ）求证：CM=CN；（2 ）若△CMN的面积与△ CDN的面积比为3：1，求的值．28 ．（ 2013 ? 郑州模拟）（1 ）如图 1 ，已知矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点E 作 EF⊥ BD 于点 F， EG⊥ AC 于点 G， CH ⊥ BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG ；_（2 ）若点 E 在 BC 的延伸线上，如图 2 ，过点 E 作 EF⊥ BD 于点 F，EG⊥ AC 的延伸线于点G， CH ⊥ BD 于点 H ，则 EF、EG、CH 三者之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（3 ）如图 3 ， BD 是正方形 ABCD 的对角线， L 在 BD 上，且 BL=BC ，连结 CL，点 E 是CL 上任一点， EF⊥BD 于点 F，EG⊥BC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（4 ）察看图 1 、图2 、图 3 的特征，请你依据这一特征结构一个图形，使它仍旧拥有EF、EG、 CH 这样的线段的关系，并知足（1）或（ 2 ）的结论，写出有关题设的条件和结论．29 ．（ 2013 ? 重庆模拟）如图，矩形ABCD 中，点 E 为矩形的边CD 上随意一点，点P 为线段 AE 中点，连结 BP 并延伸交边 AD 于点 F，点 M 为边 CD 上一点，连结 FM ，且∠1= ∠2 ．（1 ）若 AD=2 ， DE=1 ，求 AP 的长；（2 ）求证： PB=PF+FM ．30 ．（2013 ? 南岸区校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，点 M 、N 在线段 AD 上，∠MBC=∠NCB=60 °，点E、 F 分别为线段 CN 、BC 上的点，连结EF 并延伸，交MB 的延伸线于点G， EF=FG ．（1）点 K 为线 BM 的中点，若线段 AK=2 ， MN=3 ，求矩形 ABCD 的面积；（2 ）求证： MB=NE+BG ．_。
专题1.2 矩形的性质与判定(能力提升)(解析版)
专题1.2 矩形的性质与判定（能力提升）（解析版）一、选择题。
1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）A．4B．4C．3D．5【答案】B。
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．2．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（ ）A．B．C．D．【答案】B。
【解答】解：对于等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD 的垂直平分线，则EF的长为（ ）A．cm B．cm C．cm D．8cm【答案】C。
【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD，∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，∵∠OBF＝∠ABD，∴△BOF∽△BAD∴＝，∵BD＝＝10cm，∴BO＝5cm，∴FO＝5×cm＝cm，∴EF＝2FO＝cm．故选：C．4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA ＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）A．∠AOB＝60°B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【答案】B。
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意，由∠AOB＝60°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，故选：B．5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）A．24B．3.6C．4.8D．5【答案】C。
矩形的性质与判定习题
1、如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C.10 D． 52、顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D.平行四边形3、如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120º，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK＋QK的最小值为………………………………………………（）A．1 B． C．2 D．＋14、如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A. B. C. D.（1）（2）5、如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A.20B.15C.10D.56、从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B. 135°C. 120°D. 100°7、如图5所示，有一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于( )A.90°Ｂ.60°Ｃ.45°Ｄ.30°8、菱形的周长为4，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较短的对角线长为（）A．2 B． C．1 D．9、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）10、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），点A在第二象限．直线与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），则m的值可能是（）A.1B.2C.4D.811、如右上图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求。
矩形的性质及判定专项练习
矩形的性质及判定专项练习
矩形的判定方法（1）：有3个内角是的四边形是矩形
例1 已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH 是矩形。
练习已知：如图，在四边形ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
矩形的判定方法（2）：有 1个内角是直角的形是矩形
例2如图，已知在四边形ABCD中，AC DB
交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是矩形．B
A C
D
O
练习 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形
矩形的判定方法（3）：对角线 的平行四边形是矩形
例3已知：如图，在Y ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为直角．求证：•四边形ABCD 是矩形．
练习 如图，在△ABC 中，O 是AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。
（1）求证：EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；
B A
C E
D O F
E O N M C B A。
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矩形的性质与判定练习题
知识点
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形是特殊的平行四边形，所以，平行四边形的性质矩形都具备
矩形的性质：性质1.对边平行且相等；性质2.矩形的四个角都是直角；性质3.矩形的对角线相等且互相平分。
几何语言：
性质1.BC
AD DC AB BC AD DA AB ABCD ==∴,,//,//,矩形 性质2.,ABCD 矩形
90
=∠=∠=∠=∠∴ADC BCD ABC BAC 性质DO
BO CO AO BD AC ABCD ===,,,.3矩形 矩形的判定：判定1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
判定2.对角线相等的平行四边形是矩形；判定3.有三个角是直角的四边形是矩形；几何语言：
判定1. ABCD , 90=∠BAC 且,是矩形四边形ABCD ∴判定2.
ABCD ，且,BD AC =是矩形
四边形ABCD ∴判定3.
,90
=∠=∠=∠BCD ABC BAC 是矩形四边形ABCD ∴夯实基础：
1.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A ．对角线互相平分且相等
B ．四个角相等
C ．是轴对称图形
D ．对角线互相垂直平分
2.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。
A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分3.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=3，∠AOD=120°，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．6
D ．3
4.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误的是（ ） A ．∠ABC=90° B ．AC=BD C ．OA=OB D ．OA=AD
3题图 4题图5.判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A ．对角线相等
B ．对角线垂直
C ．对角线互相平分且相等
D ．对角线互相垂直且相等。
O
D
C
B
A
6.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .
7.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 .8.如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．求证：DE=BF ．
9.如图，在矩形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，连接AF ，DE 交于点O ．求证：
（1）△ABF ≌△DCE ；
（2）△AOD 是等腰三角形．
10.已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
11.如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ．
（1）求证：BD=BE
；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED 的面积．
12.如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）求证：四边形BFDE 为矩形．
13.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm ，求四边形ABCD
的面积．
14.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E ，求证：四边形ADCE
为矩形。
攻破动点问题：
15.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥C D，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t
的值；若不存在，请说明理由．。