高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二讲第2节第1课时椭圆的参数方程-含答案
高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程复习课教案
参数方程复习课考点要求1 了解参数方程的定义。
2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。
会选择适当的参数，写出他们的参数方程。
并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。
3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。
考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。
如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。
并且对于t 的每一个允许值。
由方程（1）所确定的点 ),(y x M 。
都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。
2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程（I ）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） （i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。
其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p p 0的数量。
t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。
（ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00（t 为参数）这里直线l 的倾斜角α的正切b a =αtan （00900==αα或时例外）。
当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。
2 圆的参数方程。
圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+b y a x 的参数方程。
⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线12222=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y 22=的参数方程。
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版2019年高中数学选修4-4教学案： 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程_含答案
第2课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)在t 时刻，M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．[问题思考]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即(x R )2＋(yR)2＝1，令⎩⎨⎧xR ＝cos θ，y R＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ.(0≤θ<2π)点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M①当M 在x 轴上方时，∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ②当M 在x 轴下方时，∠MO ′x ＝－2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos （－2φ），y ＝－r sin （－2φ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ③当M 在x 轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数且－π2≤φ≤π2)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，然后利用已知条件中的参数分别表示x ，y ，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．设中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ.它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．2．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ（cos θ＋sin θ），y 1＝sin θ（cos θ＋sin θ），(θ为参数) 即为所求的参数方程．已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上的动点，(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．(1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋π3)＋1∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1.即3x ＋y 的取值范围为[－1，3]． (2)∵x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0， ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin (θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C ，求在曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标．解：∵OP 2＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋23sin θ＋2cos θ＝5＋4sin (θ＋π6)．当θ＝2k π＋43π，k ∈Z 时，OP 最小，此时点P 的坐标为(12，32)．高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．[考题印证]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图象可知直线l 和圆C 的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2，0)．2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0，0)，半径r ＝2，点(0，0)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95<2，∴直线与圆相交，而(0，0)点不在直线上． 3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎨⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ解析：选C 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ.P (x ，y )则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.∴该参数方程表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． 答案：圆6．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：[1－2，1＋2]7．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．解析：由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2. 答案：－1＋3 28．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心，由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1 ∴当sin (θ＋π4)＝1时t max ＝2＋1.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。
高中数学人教A版选修4-4 2-2-1 椭圆的参数方程 导学案 精品
2.2.1 椭圆的参数方程学案【学习目标】：1. 知识与技能：了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：椭圆参数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么?圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程:其中参数的几何意义为:复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢?二、新课导学学习探究探究任务一：圆的参数方程问题1：你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？问题2：你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？提问3：把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x【典型例题】12222=+a y b x 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3)3(⎩⎨⎧==y x 为参数）ϕϕϕ(sin 10cos 8)4(⎩⎨⎧==y x【例1】：如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.反思： 椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？知识点小结：1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ）2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为： 当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为： 知识归纳名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 其中为参数)(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ϕ,,b a【例2】：设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
第二章参数方程2.3.1椭圆的参数方程教学设计新人教A版选修4_4
探究 1 ：参数 是椭圆的旋转角
的几何意义是椭圆的离 探究， 思考椭圆的 于 A，点 A 的横坐标 ( 为 心角。 探究 3 让学生自主 参 数 方 程 中 参 数 探究， 发现不论椭圆的焦 的几何意义。 激发 点在哪， 其参数的几何意 学 生 的 好 奇 心 和 义仍是椭圆的离心角。 探究欲。 探究 3：让学生明 为 ，恰与 M 的纵坐标一样， 白椭圆的参数方 程的几何 意义不 会随焦点位置的 不同而改变。
1、例 1：在椭圆
=1 上
求一点 M，使点 M 到直线 x+2y-10=0 的距离最小， 并求出最 小的距离。 解 ： 法 一 ： 设 M 为 (x,y) 则 ， 认真省题，在例 1 中，回 ， 忆起过去所学的解题方 通过讲解与练习 式，感受其中弊端，在用 交替进行， 深入了 ，再运用点到 四、 讲练结合 （20’） 直线的距离公式求得距离的最小 快捷。 在变式和例题的作 值； 答中体会解题过程， 并产 法二：先设出与直线 x+2y-10=0 生一定的印象。在例 3 斜率相同的直线 x+2y +c=0，求出 中，接触高考题，感受高 该直线与椭圆相切时的方程，再 考的出题模式， 为未来的 运用线与线的距离公式求出 高考复习做铺垫。 x+2y-10=0 与 x+2y+c=0 最小距离； 法三： 运用所学的参数方程设出 M 点，再用点 到直线的距离公式求 得。 变式 1：求点 M 到直线 x+2y-10=0 的最大距离； 容，学以致用。 解与巩固所学内 散思维。 使学生理 解， 培养学生的发 椭圆的参数方程进行解 解参数方程的作 题时， 发现其中的优势和 用，通过一题多
对 椭 圆 的 普 通 方 程 进行换 元可得到椭圆的参数方程 。 对学生提出思考： 上节课圆的参数方程中， 参数的几何意义是圆的旋转角， 那么椭圆的参数方程中参数 的 几何意义是什么？
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第二讲 第1节 第1课时 参数方程的概念
第1课时 参数方程的概念[核心必知]1．参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．联系变量x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．普通方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[问题思考]1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝2t （t ∈R ）和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ＋1，y ＝m (m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．(1)把点M 1的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t ，－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1在曲线C 上．把点M 2的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t ，10＝3t 2－1，方程组无解．即点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1.∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2.即a 的值为2.已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<π)，则下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)在曲线上的点是________．解析：将A (1，3)点代入方程得θ＝0；将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故B 、C 点不在曲线上．答案：A (1，3)如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2－t 2，∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(0＜t ＜a ) 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos (π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a （sin θ＋cos θ），y ＝a sin θ.(θ为参数，0＜θ＜π2)．(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．2.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA ·cos 2θ＝2a cos 2θ，y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知弹道曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t cos π6，y ＝2t sin π6－12gt 2.(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用． [解] (1)令y ＝0，则2t sin π6－12gt 2＝0，解之得t ＝2g.∴炮弹从发射到落地所需要的时间为2g .(2)y ＝2t sin π6－12gt 2＝－12gt 2＋t＝－12g (t 2－2g t )＝－12g [(t －1g )2－1g 2]＝－12g (t －1g )2＋12g ，∴当t ＝1g 时，y 取最大值12g.即炮弹在运动中达到的最大高度为12g .一、选择题1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12 解析：选C 将点的坐标代入方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．2．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1| 解析：选C ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝t 21＋t 21＝2|t 1|.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M (14，a )在曲线C 上，则a ＝( )A ．－3－5 3B ．－3＋5 3C ．－3＋53 3D ．－3－53 3解析：选A ∵(14，a )在曲线C 上，∴⎩⎨⎧14＝6＋4cos θ， ①a ＝5tan θ－3. ②由①得：cos θ＝12，又π≤θ＜2π.∴sin θ＝－1－（12）2＝－32，∴tan θ＝－ 3.∴a ＝5·(－3)－3＝－3－5 3.4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2(t 为参数)所表示的曲线是( )A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：选B 因为x ＝t ＋1t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即x ≤－2或x ≥2，故是两条射线． 二、填空题5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为________．解析：由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得： (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.答案：17．曲线(x －1)2＋y 2＝4上点的坐标可以表示为________(填序号)． ①(－1＋cos θ，sin θ)，②(1＋sin θ，cos θ)， ③(－1＋2cos θ，2sin θ)，④(1＋2cos θ，2sin θ)解析：分别将①、②、③、④代入曲线(x －1)2＋y 2＝4验证可知，只有④使方程成立． 答案：④8．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为：x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)三、解答题9．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，运动开始时质点位于A (2，0)，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ又θ＝π60·t ，故参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数)．10．过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，设中点P (x ，y )则有：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0 ∴y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2k k 2＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4. (k 为参数)这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．11．舰A 在舰B 的正东，距离6千米；舰C 在舰B 的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 203g3千米/秒，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角．解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3，0)，A (3，0)，C (－5，23)．设海中动物为P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33(x ＋7)．又|PB |－|P A |＝4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 25＝1.从而得P (8，53)．设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′，(如图)．|P A |＝10，设弹道曲线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝v 0t cos θ，y ′＝v 0t sin θ－12gt 2，(其中θ为仰角)将P (10，0)代入，消去t 便得sin 2θ＝32，θ＝30°或60°这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.。
第二章参数方程2.3.1椭圆的参数方程说课稿新人教A版选修4_4
椭圆的参数方程各位评委老师好！今天我说课的题目是《轴对称现象》。
我将从说教材、说学情、说教法学法教学手段、说教学过程设计、说板书设计这五个方面来进行我的说课。
首先进入我的第一个环节：说教材一、说教材（一）说地位及作用本节《椭圆的参数方程》来自人教版高中数学《选修4-4 极坐标与参数方程》第二讲第二节的内容。
相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。
从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程的中间，它起着衔接、过渡、承上启下的作用。
（二）说教学目标1、知识与技能目标：了解并掌握椭圆的参数方程及其参数的几何意义，有利于更好地运用公式解决问题；2、过程和方法目标：通过探究了解椭圆的参数方程的参数的几何意义，区分与圆的参数方程中参数的几何意义的不同点，加深对椭圆的参数方程的理解，能用椭圆的参数方程解决问题；3、情感态度和价值观目标：通过观察、探索、发现的过程，培养数形结合思想，探究能力，发散思维和创新意识。
（三）教学重点：掌握椭圆的参数方程，理解参数的几何意义，应用椭圆的参数方程解决问题。
（四）教学难点：探究并理解椭圆的参数方程中的参数的几何意义。
二、说学情对于高二年的学生来说，在学习椭圆的参数方程以前，就已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够解决一些相关问题，但是对于一些求最值的问题，还是会感受到计算的困难和繁杂。
因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好以下几点问题：1、能类比圆的参数方程中参数的几何意义得出椭圆的参数方程中参数的几何意义；2、通过探究参数几何意义的过程，了解参数的几何意义；3、能利用参数方程解决问题，并从中体会其中的优势。
其中理解椭圆参数的几何意义是这节课的难点。
三、说教法：启发式，合作探究及讲练结合1、启发式：从学生熟悉的问题出发引导学生发现椭圆的参数方程中参数的几何意义。
人教A版选修4-4参数方程的概念 教案
高中数学选修4-4全套教案第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：xyOv=v 0xy 500O Av=100m/s为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
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第1课时 椭圆的参数方程
[核心必知]
椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．
[问题思考]
1．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2
b 2＝1的参数方程是什么？ 提示：由⎩⎨⎧y 2a 2＝sin 2φ，x 2
b 2＝cos 2φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，
y ＝a sin φ. 即参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ
(φ为参数)． 2．圆的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同
吗？ 提示：圆的参数方程：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，
y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ
(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA ＝a (或OB ＝b )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．。