圆锥曲线离心率的求法总结版(教师)
圆锥曲线离心率的几种求法
诚·敬
一、例题讲解：Байду номын сангаас
1、利用圆锥曲线的定义：
例 1(1)以正方形 ABCD 的两个顶点 A, B 为焦
点，且过 C, D 两点的椭圆的离心率为___
一、例题讲解：
1、利用圆锥曲线的定义：
一、例题讲解：
1、利用圆锥曲线的定义：
一、例题讲解：
2、利用向量的简单性质
一、例题讲解：
2、利用向量的简单性质
一、例题讲解：
3、利用圆锥曲线的几何定义：
一、例题讲解：
3、利用圆锥曲线的几何定义：
一、例题讲解：
4、利用函数值域
一、例题讲解：
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性
一、例题讲解：
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性
圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学圆锥曲线离心率解法汇总
高中数学圆锥曲线离心率解法汇总
椭圆离心率求解方法主要有：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式方程，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c或b 的值，c值就是离心率
【第一讲】离心率基础
【第二讲】利用椭圆第一定义求离心率
【第三讲】焦点三角形与余弦定理
【第四讲】顶角直角三角形型
【第五讲】焦半径与第二定义
【第六讲】第三定义与中点弦
【第七讲】焦点三角形：双底角型
【第八讲】焦点三角形：双余弦定理型
【第九讲】焦点弦与定比分点
【第十讲】焦点圆
【第十一讲】椭圆与圆
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高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
根据圆锥曲线的离心率知识点总结
根据圆锥曲线的离心率知识点总结
圆锥曲线是高等数学中的重要内容，离心率是其中一个重要的参数。
本文将对离心率相关的知识点进行总结。
定义
离心率是指一个圆锥曲线上的一点到该曲线的一个焦点的距离与该点到该曲线上的直线的距离的比值。
对于椭圆和双曲线，离心率的值在0到1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于直线，离心率为无穷大。
计算公式
对于椭圆，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
$$
其中，a为长轴长度，b为短轴长度。
对于双曲线，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}
$$
同样的，a为距离双曲线两支的两个焦点的距离的一半，b为
双曲线的半轴长。
对于抛物线，离心率的值为1。
性质
椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁。
双曲线的离心率大于1，离心率越大，则双曲线的两支越“开”，曲线的形状越细长。
抛物线的离心率等于1，离心率为定值。
应用
离心率在几何、天文等领域中都有广泛应用。
其中，在行星运动、卫星轨道计算等天文领域中，离心率是一个十分重要的参数。
总之，离心率是圆锥曲线的一个重要参数，具有重要的理论和应用价值。
一题多解,思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法
32 福建中学数学 2020年第6期一题多解，思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法郑 婕 华南师范大学（510631）离心率e 是圆锥曲线的重要特征量，求离心率的取值范围是数学高考和数学竞赛中经常考察的热点问题之一，解决这类问题的关键是构造a c ，或者e 的不等式．本文拟通过一题多解的形式，浅谈如何通过构造不等式求圆锥曲线离心率的取值范围．1 题目展示 如图1，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，若椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，求椭圆离心率e 的取值范围．2 解法赏析2.1 利用圆锥曲线上点的坐标范围构造不等式 解法1 设00()P x y ，，由椭圆焦半径公式有：10||PF a ex =+，20||PF a ex =−．由焦点三角形面积公式可得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，化简得2222243a b x e e =−． 又因为2200x a ≤<，所以2222403a b a e ≤−<，将222b a c =−代入，解得1[1)2e ∈，． 2.2 利用焦半径取值范围构造不等式解法2 设2||PF x =，由椭圆的定义可知1||2PF a x =−， 同样由面积公式得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，可得23(2)4b x a x =−．因为a c x a c −<<+，所以222233)44a cb a (−<≤，解得1[1)2e ∈，．2.3 利用焦点三角形顶角范围构造不等式解法3 P 为椭圆上任意一点，当P 点移动到椭圆的短轴端点B 时，12F PF ∠最大．由已知椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，所以一定有1260F BF ∠≥ ，230OBF ∠≥ （O 为坐标原点）．在2t OBF ∆R 中，21sin sin 302c OBF a ∠=≥=，故1[1)2e ∈，．2.4 利用均值不等式构造不等式解法4 由余弦定理得2221212||||||PF PF F F +− 122||||cos 60PF PF =⋅⋅⋅ ，即22121212(||||)||3||||PF PF F F PF PF +−=⋅⋅， 由椭圆定义有12||||2PF PF a +=，12||2F F c =，于是22124||||()3PF PF a c ⋅=−．又由均值不等式12||||PF PF ⋅2212||||()2PF PF a +≤=， 所以2224()3a c a −≤，解得1[1)2e ∈，．2.5 利用二次方程有实根的条件构造不等式 解法5 由解法4可知12||||2PF PF a +=，22124||||()3PF PF a c ⋅=−． 所以12||||PF PF ，可以看成方程2242(3x ax a −+−2)0c =的两个根，于是有222164()03a a c ∆=−−≥， 整理得22214c e a=≥，即1[1)2e ∈，． 3 小结通过上述解法可以看出，合理建立不等关系是求解圆锥曲线离心率的取值范围的关键，而构造不等式大致可分为利用几何关系以及利用代数关系两xx2020年第6期 福建中学数学 33 种思路．即在求解这类问题时，一方面可以将所求量离心率e 与已知范围的量如圆锥曲线上点的坐标、焦半径、焦点三角形顶角建立联系，利用已知取值范围求解；另一方面也可以从代数关系如均值不等式、二次方程有实根的条件入手，灵活运用余弦定理、焦点三角形面积公式等知识辅助解题，同样可求出离心率的取值范围．这类题目凸显了知识之间的综合性、联系性，能较好地考察学生思维的全面性、缜密性，具有训练价值．事实上，进行一题多解的训练可以提升思维水平和应试技巧，思维开花，下笔如有神．但重要的是，在做题时应不断总结，择优解题，才能真正在习题训练中提升解题技巧，开拓解题思路．参考文献[1]包建民．圆锥曲线离心率取值范围的九种求法[J]．数学大世界（教师适用），2011（1）：54圆锥曲线问题解决中引入参数需要厘清的问题雷雄军 广东省东莞市第六高级中学（523420）圆锥曲线作为高考解答题必考内容，考查的范围比较广，难度比较大，是提升学生数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算等数学核心素养的很好的载体．因此，一线高三数学教师在一轮复习和二轮专题复习中都会在这块知识上花很多的时间和精力，但是效果很多时候并不理想．很多的学生还是仅满足于做出第（Ⅰ）问，对第（Ⅱ）问不敢深入涉及．第（Ⅱ）问主要涉及定点、定值、范围、最值、存在性问题等等下文称作圆锥曲线热点问题．在热点问题的解答过程中，经常会涉及参数的问题．学生正是因为对参数使用把控不到位，所以对第（Ⅱ）问解答只能望而却步．笔者结合近年圆锥曲线的高考题，阐释参数引入过程中需要厘清的几个问题．1 问题1：引入什么变量作为参数圆锥曲线中的热点问题破解的基本思路是建立求解目标与参数的关系（不等关系、函数关系等），最后通过参数的恰当处理，使得热点问题得以解决．这里有一个很重要步骤就是引入恰当的参数．例1 （2016年高考北京卷·理20）已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>(0)A a ，，(0B ，)b ，(00)O ，，OAB ∆的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于N ．求证：||||AN BM ⋅ 为定值．解析 （Ⅰ）椭圆C 的方程是2214x y +=．（Ⅱ）涉及的是热点问题中的定值问题，这类问题求解的基本思想是求解目标与某个变量（参数）无关．而题目中没有给出直接参数，这就需要我们引入参数． 由于问题中需要解决的是当椭圆C 上点P 动的时候||||AN BM ⋅为定值．因此就自然选择动点P 的坐标作为参数．解答过程如下： （Ⅱ）由（Ⅰ）知(20)A ，，(01)B ，． 设00()P x y ，，则22004x y +=． （ⅰ）当00x ≠时，直线PA 的方程为00(2y y x x =− 2)−．令0x =，得0022M y y x =−−， 从而002|||1||1|2M y BM y x =−=+−． 在直线PB 的方程0011y y x x −=+中令0y =， 得001N x x y =−−， 从而00|||2||2|1N x AN x y =−=+−． 所以00002|||||2||1|12x y AN BM y x ⋅=+⋅+−−． 22000000000044484||22x y x y x y x y x y ++−−+=−−+=000000004484||22x y x y x y x y −−+−−+4=．。
圆锥曲线离心率的求法
圆锥曲线离心率的求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率地求法总结材料[精]
![离心率地求法总结材料[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/1459154f7cd184254b35358a.png)
圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c、不等关系求解.2. 运用数形结合建立a c、不等关系求解3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为6 2题3：设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C 。
题4：(2009浙江理) 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12AB BC u u u r u u u r =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2（B ）3 （C ）5 （D ）102. 几何法题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是11211,2,3,31MF F F MF e ====-题2： F l ，F 2为椭圆的左、右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P、Q 两点，PF 1^PQ ，且1PF PQ =，求椭圆的离心率．题3：12212(05,,221A.B. C. 2 2 D. 2122F F F P F PF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－∆（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解） 解：如右图所示，有12222||||2122221c c c ea a PF PF c c ===+===-++离心率的定义椭圆的定义故选D3. 与其它知识点结合题1：已知M 为椭圆上一点，F l ，F 2是其两个焦点，且∠MF l F 2= 2a ，∠MF 2F l =a (a ≠ 0)，则椭圆的离心率为( )(A)1—2sin a (B)l —sin 2a (C)1-cos2a (D)2cos a -1题2：已知P 为双曲线右支上一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，则双曲线的离心率为 ．练习：.22221(0),4x y a b a b -=<<1.设双曲线半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为（ ）A 32.已知双曲线的渐近线为34y x =?，则双曲线的离心率为 55,343.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 2221212224.(071(0,0)||A.x y F F a b A B O OF a bF AB 安徽卷)和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）-=>>∆2b a ca=+22121222125.(07190,||3||,A.x y F F A F AF a bAF AF o 全国Ⅱ)设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）-=∠==二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B. 点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.题2：（04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A43 B 53 C 2 D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.练习： 1. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞解析222122222(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.2. 利用曲线的范围，建立不等关系 题1． 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，如果椭圆上存在点P ， 使1290F PF ?o ，求离心率e 的取值范围。
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()1,3-P ()5,2-=a 离心率的专题复习椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+解1：变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A. 43B. 32C. 21D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.点 在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且变式练习2：方向为 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 变式练习3：[2016·全国卷Ⅲ] 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C 12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. 13B. 12C. 23D. 3412．A [解析] 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0－c ＋a(x ＋a )，令x ＝0，得E （0，ay 0－c ＋a ）.BM 所在直线方程为y ＝y 0－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a .由题意得－ay 0－c －a ＝12×ay 0－c ＋a，解得a ＝3c ，即e ＝c a ＝13.二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222a cb -=，∴212222-=--a c a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B变式练习2：【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A变式练习3：[2016·全国卷文Ⅰ] 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. 23D. 34[解析] 不妨设直线l 经过椭圆的焦点F (c ，0)和顶点(0，b )，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，椭圆中心到直线l 的距离为|－bc |b 2＋c 2＝14×2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以离心率e ＝c a ＝12. B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：12121222222221-=+=+=+===cc cPF PF c a c a c e变式练习1．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 .12变式练习2．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .13+变式练习3．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 31+四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A2 B22 C 21 D 42解：221222===ADAF e变式练习2：．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 .65变式练习3：已知椭圆C ：22221x y a b+=（a>b>0），过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k = .五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式． （一）基本问题例．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 ．12⎫⎪⎪⎣⎭Ex1．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 ． Ex2．【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B. 2)C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.（二）数形结合例．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 .1[,1)2Ex1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .(0,2。