西藏拉萨中学2015届高三数学上学期第三次月考试卷文(含解析)

西藏拉萨中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分、共12个小题）1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}2．（5分）已知角α的终边上一点P（x，﹣2），且cosα=﹣．则x=（）A．B．﹣C．D．3．（5分）已知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，则x=（）A．1 B．2 C．3 D．54．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5 B．8 C．10 D．145．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．07．（5分）设a=log37，b=211，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，Sn是其前n项和，且a3=2，S3=6，则a5=（）A．2或﹣B．或﹣2 C．±2D．2或10．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．111．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题：（每小题5分，共4个小题）13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．14．（5分）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=．15．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，且a n+1=4a n+3，Sn是其前n项和，则S6=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=kc n﹣k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3．（1）求a n；（2）求数列{na n}的前n项和T n．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）已知f（x）=|x﹣3|﹣1（1）若f（x）≥2，求x的取值范围；（2）∀x∈R，f（x）＞|x+1|﹣|a|恒成立，求a的范围．西藏拉萨中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分、共12个小题）1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）已知角α的终边上一点P（x，﹣2），且cosα=﹣．则x=（）A．B．﹣C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得cosα=﹣=，由此求得x的值．解答：解：角α的终边上一点P（x，﹣2），则r=|OP|=，∵cosα=﹣=，求得x=﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．（5分）已知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，则x=（）A．1 B．2 C．3 D．5考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的共线的充要条件求解即可．解答：解：知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，所以x==1．故选：A．点评：本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．4．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5 B．8 C．10 D．14考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．解答：解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故选：B点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．5．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）、g（x）的奇偶性可得关于f（1）、g（1）的方程组，消掉f（1）即可求得g（1）．解答：解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数得，﹣f（1）+g（1）=2①，f（1）+g（1）=4②，由①②消掉f（1）得g（1）=3，故选B．点评：本题考查函数奇偶性及其应用，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．解答：解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选B．点评：本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值．7．（5分）设a=log37，b=211，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b考点：指数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：根据a，b，c的范围比较他们的大小．解答：解：∵a=log37∈（1，2），b=211＞2，c=0.83.1＜1故选：C．点评：本题主要考查指数和对数的运算性质，属于基础图．8．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，Sn是其前n项和，且a3=2，S3=6，则a5=（）A．2或﹣B．或﹣2 C．±2D．2或考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，利用a3=2，S3=6，可得=2，=6，解出即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，S3=6，∴=2，=6，解得a1=2，q=1或a1=8，q=﹣．∴a5==2或．故选：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．10．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．1考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．解答：解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．11．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题：（每小题5分，共4个小题）13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14．（5分）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，∴，解得或．∴=（3，1），（﹣3，﹣1）．∴==（2，4）或（﹣4，2）．∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．15．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）====．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，且a n+1=4a n+3，Sn是其前n项和，则S6=2724．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题可以先构造一个等比数列，求出新数列的和通项，再求出数列{a n}的通项，从而求出S6，得到本题结论．解答：解：∵a n+1=4a n+3，∴a n+1+1=4（a n+1），∵a1=1，∴a1+1=2，∴数列{a n+1}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴，n∈N*．∴．∴S6=a1+a2+…+a6=（2×1﹣1）+（2×4﹣1）+（2×42﹣1）+…+（2×46﹣1）=（2×1+2×4+2×42+…+2×46）﹣6==2724．点评：本题考查了数列的构造和数列的求和，本题难度不大，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列{a n}的首项和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1=1，d=﹣1，故{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．从而数列{}的前n项和S n==．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间解答：解：（I）由图象可知，周期T=2（﹣）=π，∴ω==2∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+kπ，即φ=kπ+，k∈z∵0＜φ＜∴φ=∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）（II）g（x）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）=2sin2x﹣2（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈z得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=kc n﹣k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3．（1）求a n；（2）求数列{na n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项；（2）直接利用错位相减法求和即可．解答：解：（1）由S n=kc n﹣k，得a n=s n﹣s n﹣1=kc n﹣kc n﹣1；（n≥2），由a2=4，a6=8a3．得kc（c﹣1）=4，kc5（c﹣1）=8kc2（c﹣1），解得；所以a1=s1=2；a n=s n﹣s n﹣1=kc n﹣kc n﹣1=2n，（n≥2），于是a n=2n．（2）：∵na n=n•2n；∴T n=2+2•22+3•23+…+n•2n；2T n=22+2•23+3•24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1；∴﹣T n=2+22+23…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=﹣2+2n+1﹣n•2n+1；即：T n=（n﹣1）•2n+1+2．点评：本题主要考察数列求和的错位相减法．数列求和的错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．数列求和的错位相减法也是这几年2015届高考的常考点．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；解答：解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2点评：本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是2015届高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）已知f（x）=|x﹣3|﹣1（1）若f（x）≥2，求x的取值范围；（2）∀x∈R，f（x）＞|x+1|﹣|a|恒成立，求a的范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由f（x）≥2，可得|x﹣3|≥3，由此解绝对值不等式，求得要求的x的范围．（2）由题意可得|x﹣3|﹣|x+1|≥1﹣|a|恒成立，故﹣4≥1﹣|a|，即|a|≥5，由此求得a的范围．解答：解：（1）由f（x）≥2，可得|x﹣3|≥3，∴x﹣3≥3，或 x﹣3≤﹣3，求得x≥6，或x≤0，故要求的x的范围为{x|x≥6，或x≤0 }．（2）∵∀x∈R，f（x）＞|x+1|﹣|a|恒成立，可得|x﹣3|﹣|x+1|≥1﹣|a|．由于表示数轴上的x对应点到3的距离减去它到﹣1的距离，故|x﹣3|﹣|x+1|的最小值为﹣4，由题意可得，﹣4≥1﹣|a|，即|a|≥5，求得a≥5，或a≤﹣5．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值的意义，属于基础题．。