从力做的功到向量的数量积(说课稿)

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北师大版高中高二数学必修4《从力做的功到向量的数量积》说课稿

北师大版高中高二数学必修4《从力做的功到向量的数量积》说课稿一、引言本节课是北师大版高中高二数学必修4的《从力做的功到向量的数量积》这一章节的说课稿。

本章主要介绍了力做功与向量的数量积的关系，通过理论阐述和实例分析，引导学生理解力的概念及其在物理学和数学中的应用。

二、教学目标1.理解力做的功与向量的数量积之间的关系；2.掌握向量的数量积的性质和计算方法；3.能够应用向量的数量积解决物理问题。

三、教学重点1.培养学生理解力做的功与向量数量积的联系的能力；2.掌握向量的数量积的性质和计算方法。

四、教学难点1.引导学生理解力做的功与向量数量积的关系；2.解决实际问题时，能准确地应用向量数量积进行计算。

五、教学内容和方法(一) 教学内容1.力做的功与向量的关系–力做功的定义和计算公式–力的方向与力做的功的正负关系2.向量的数量积–向量的数量积的定义和计算公式–向量的数量积的性质(二) 教学方法1.概念讲解法：通过讲解力做功和向量的数量积的定义，帮助学生理解概念；2.实例分析法：通过具体的例子，引导学生应用向量的数量积解决实际问题；3.讨论互动法：组织学生讨论力做功与向量的数量积的关系，培养学生的分析和思考能力；4.演示实验法：通过进行小型实验，让学生观察和验证力做功与向量的数量积的关系。

六、教学步骤(一) 导入新知识1.引入问题：当物体在空中自由落体下落时，物体受到哪些力？它们是否做了功？为什么？2.引导学生回顾力做功的定义和计算公式，以及力的方向与做功正负的关系。

(二) 理论讲解1.讲解力做功与向量的数量积的关系：力做的功等于力的大小与位移的数量积。

2.引导学生理解力做的功与向量的数量积的定义，并解释其物理意义。

(三) 实例分析1.通过一个具体的例子，引导学生应用向量的数量积计算力做的功。

2.引导学生分析不同力的方向对于做功的影响。

(四) 思考与讨论1.引导学生思考：当力的方向与位移的方向垂直时，力是否做功？为什么？2.组织学生讨论，并引导他们得出结论：当力的方向与位移的方向垂直时，力不做功。

从力做的功到向量的数量积（说课稿）

从⼒做的功到向量的数量积（说课稿）从⼒做的功到向量的数量积(说课稿)平⾯向量是新课程改⾰以后，⾼⼆数学的教学内容（必修4第⼆章）。

下⾯我从教材分析设计、教学学法设计、教学过程设计三个⽅⾯对本节课进⾏说明。

⼀.教材分析.(1)教材的地位及前后联系.平⾯向量的数量积是继向量的线性运算之后的⼜⼀重要运算，也是⾼中数学的⼀个重要概念，在数学、物理等学科中应⽤⼗分⼴泛。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平⾯向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学⽣体会类⽐的思想⽅法，进⼀步培养学⽣的抽象概括和推理论证的能⼒。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，⼜是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度⼜有⾓度，既有形⼜有数，是代数、⼏何与三⾓的最佳结合点，不仅应⽤⼴泛，⽽且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核⼼概念，⾃然也是本节课教学的重点。

(2) 教学教育⽬标教学⽬标的分析与确定是教学设计的起点，它是教师对学⽣学习内容所达⽔平程度的期望，基于本节课的特点，我从以下三个⽅⾯设定了本节课的教学⽬标：1.知识⽬标：（1）理解两个向量夹⾓的概念,夹⾓的范围,(2)掌握平⾯向量数量积的含义及⼏何意义和物理意义。

（3）能⽤平⾯向量的数量积及性质、运算律处理有关长度、⾓度和垂直的问题。

2.能⼒⽬标：经过平⾯向量的数量积的概念的建构过程,观察、实验、类⽐、归纳等⽅法培养学⽣发现问题、分析问题、解决问题的能⼒．3.情感⽬标：经历运⽤数学来描述和刻画现实世界的过程；在动⼿探究、合作交流中培养学⽣勇于探索、敢于创新的个性品质．重点：：向量数量积的概念及其性质、运算律.难点：理解平⾯向量的数量积的概念．⼆、教法学法设计在教学时，主要运⽤“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．由于新课程所倡导的学习是学⽣⾃主探究和建构知识的过程，所以，在学法上，我引导学⽣采⽤以“⼩组合作,⾃主探索”的⾃主学习模式.三.教学过程设计.本节课的教学过程就是以“四程序,⼋环节”,即“⾃学导练,解疑精讲,反馈形成,过关巩固”的教学模式来完成这节课.(1) ⾃学导练.1.先让学⽣看书,然后填空’.(1) 已知⾮零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则_________＝θ（０≤θ≤π）叫a 与的夹⾓。

高一数学北师大版必修4第二章5.1从力的做功到向量的数量积

安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：王广青包级领导签字：学生：上课时间：第17周集体备课个人空间一、课题：5.1从力的做功到向量的数量积二、学习目标1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式、模长公式及运算律重点：向量数量积的概念及几何意义难点：向量数量积的运算公式、模长公式及运算律三、教学过程【自主预习】阅读教材91—93页问题1、相关概念1.力F 对物体所做的功：物体在F 作用下产生的位移为S ，若力F 的方向与物体运动的方向成θ角，则力F 对物体所做的功=W _________.2.向量的夹角：已知两个非零向量→a 与→b ，作向量→→==b AC a AB ,则把______叫做→a 与→b 的夹角.两个向量夹角θ的取值范围是_______；当o 0=θ时，→a 与→b ___；当o 180=θ时,→a 与→b ___；当两个向量→a 与→b的夹角=θ______时，就说→a 与→b 垂直，记作______.规定零向量可与任一向量______.3.两个向量的数量积(内积):已知两个向量→a 与→b ，它们的夹角为θ,我们把_____________叫→a 与→b 的数量积（或_____）记作______即→→⋅b a ＝________________。

_______________叫做向量→a 在→b 方向上的投影.规定：零向量与任一向量的数量积为______，即___________.4．向量数量积的几何意义:根据数量积的定义式可知，→a 与→b 的数量积等于_____________________ 或 ________________________.5．若→→21e e ，是单位向量，则→→⋅21e e =___________＝__________.6.平面向量数量积的性质：①若→e 是单位向量，则→→→→⋅=⋅e a a e =___________.②⇔⊥→→b a ___________.③当→a与→b同向时，→→⋅ba＝________当→a与→b反向时，→→⋅ba＝________，特别地，→→⋅aa＝__________或=→a___________.④若θ为→a与→b的夹角，则cos=θ___________ （0≠⋅→→ba）⑤对任意两向量→a与→b，有→→⋅ba__→→⋅ba，当且仅当____时等号成立.7. 向量的数量积满足下列运算律：已知向量→a，→b，→c与实数λ①→→⋅ba＝___________；②→→⋅⎪⎭⎫⎝⎛baλ＝___________=___________；③→→→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+cba＝__________ _。

2.5从力做的功到向量的数量积----教案

2-5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能⑴通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. ⑵体会平面向量的数量积与向量投影的关系.⑶掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.⑷能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 难点:. 运算律的理解三.学法与教学用具自主性学习+探究式学习法教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？【新课引入】在物理学中，力F 对物体做的功为||||cos W F s θ=，θ是F 与s 的夹角功W 可以看成是向量F 、s 的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。

从而引出两个向量的夹角的概念。

【新课探究】1、两个向量的夹角⑴定义：已知两个非零向量a和b ，在平面上任取一点O ，作,O A aO B b == ，则A O B ∠称做向量a和b 的夹角，记作：,a b ，并规定：0,a b π≤≤ 。

练习1：在ABC ∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：⑴AB AC 与,⑵AB C 与B ，⑶AC C与B 的夹角。

从力的做功到向量的数量积的板书设计

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高二数学教案：从力做的功到向量的数量积

从力做的功到向量的数量积（第一课时）广东省江门市江海中学董艳丽北师大版高中数学必修四●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教学环节教学程序教学设想创设情境通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？创设问题情境，激发学生的学习欲望和要求。

新课引入在物理学中，力F对物体做的功为||||cosW F sθ=，功W可以看成是向量F、s的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。

从而引出两个向量的夹角的概念。

通过对力做功的分析引出两个向量的夹角，过渡比较自然。

探究问题师生互动1、给出两个向量的夹角的概念，并让学生通过观察发现两个向量的起点时，有向线段所夹的角才为两个向量的夹角。

并让学生讨论两个向量的夹角的范围0180θ︒≤≤︒，要求学生解释为什么在这个范围。

进一步提问学生，如果夹角0θ=︒、90︒及180︒时，两向量的位置关系如何？2、练习：在ABC∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：（1）AB AC与（2）AB C与B（3）AC C与B的夹角。

3、（1）射影的概念cosbθ叫作向量b在a方向上的射影。

高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大必修4

2.5从力做的功到向量的数量积（2课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P 107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a 和b ，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F |•|s |cos θ θ是F 与s 的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos θ，并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅3.向量夹角的概念：范围0︒≤θ≤180︒[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。

②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。

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从力做的功到向量的数量积(说课稿)平面向量是新课程改革以后，高二数学的教学内容（必修4第二章）。

下面我从教材分析设计、教学学法设计、教学过程设计三个方面对本节课进行说明。

一.教材分析.(1)教材的地位及前后联系.平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

(2) 教学教育目标教学目标的分析与确定是教学设计的起点，它是教师对学生学习内容所达水平程度的期望，基于本节课的特点，我从以下三个方面设定了本节课的教学目标：1.知识目标：（1）理解两个向量夹角的概念,夹角的范围,(2)掌握平面向量数量积的含义及几何意义和物理意义。

（3）能用平面向量的数量积及性质、运算律处理有关长度、角度和垂直的问题。

2.能力目标：经过平面向量的数量积的概念的建构过程,观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．重点：：向量数量积的概念及其性质、运算律.难点：理解平面向量的数量积的概念．二、教法学法设计在教学时，主要运用“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．由于新课程所倡导的学习是学生自主探究和建构知识的过程，所以，在学法上，我引导学生采用以“小组合作,自主探索”的自主学习模式.三.教学过程设计.本节课的教学过程就是以“四程序,八环节”,即“自学导练,解疑精讲,反馈形成,过关巩固”的教学模式来完成这节课.(1) 自学导练.1.先让学生看书,然后填空’.(1) 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则_________＝θ（０≤θ≤π）叫a 与的夹角。

(2)两个向量的数量积的定义: 定义：两个向量a 、，它们的夹角为θ，则 ________叫做向量与的数量积（或内积）。

记作_________，即⋅=__________，读作： a ____。

(3)投影的定义:___________叫做向量在a 方向上的投影。

(4)数量积的几何意义: 数量积a ⋅等于a 的长度______与在方向上投影_______的乘积,或的长度______与a 在b 方向上投影_______的乘积,(5) 向量的数量积的物理意义:力对物体做功,就是力F 与其作用下物体的位移S 的________.(6)数量积的性质: 设、为两个非零向量，e 是与同向的单位向量.1．________e a ⋅== 2．_____a b ⊥⇔3．_____a = 4.cos _____θ= 5. ____a b a b ⋅(7) 向量的数量积的运算律:（1）交换律 a b ⋅=_____ （2）结合律 ()a b λ⋅⋅= ______=_______ C（3）分配律 ()a b c +⋅=________2.练习: 判断下列各题正确与否。

1．若a =0，则对任一向量，有a ⋅=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有⋅≠0．3．若a ≠0，⋅ =0，则=0.4．若b a ⋅=0，则a ,b 中至少有一个为0．5．若b a ⋅ = a c ⋅ ,则b c ≠,当且仅当a =0 时成立．设计意图:本节课是概念型的新授课,教学内容不仅多,而且抽象,这个环节可以节约大量的时间, 通过看书让学生梳理本节课的知识要点,从而培养学生的自学能力,理解能力.练习题可以检查学生自学的效果和帮助学生理解概念. （2）解疑精讲问题1:能否将“做功”的公式中的力与位移推广到一般的向量？用文字语言该如何表述？学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。

创设意图:让学生明白学习向量的数量积并不是突然的,它和向量的线性运算一样,也有其物理背景,物理中做功的数学本质就是力与位移的数量积。

并且在物理中“功”的概念的背景下，融入建构数学模型的思想，类比的思想.问题2: 数量积的大小由什么决定？已知非零向量与，作＝a ，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与的夹角。

说明：（1）当θ＝０时，a 与同向；（2）当θ＝π时，a 与b 反向；（3）当θ＝2π时，与垂直，记a ⊥b ；（4）当θ为锐角，数量积大于零；当θ为钝角，数量积小于零；（5）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒设计意图:通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。

问题3:如何作图说明在a 方向上的投影?作图定义：cos b θ叫做向量b 在方向上的投影。

强调投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 b ；当θ = 180︒时投影为 -b 。

设计意图:让学生从形的方面进一步理解投影的概念,也体现了数学中数形结合的重要数学思想,也加深了学生对向量数量积的几何意义的理解.(4) 实数运算中有哪些乘法运算律？向量也满足这些运算律吗？学生回答：（1）ab ba = （2）()()ab c a bc = （3）()a b c ac bc +=+类似地改写出相关的数量积的式子：（1）a b b a ⋅=⋅ （2）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ （3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅让学生分组讨论上面运算律是否正确，学生通过向量数量积的定义及其几何意义肯定（1）、(3)是对的，也不难发现（2）是不成立的，说明3个向量数量积的结合律是不成立的, 可由前面所学的向量的线性运算和向量数量积的定义,把（2）换成两个向量和一个实数的乘积是成立的.设计意图:进一步理解向量的数量积的运算律,通过错误的运算律加深学生对结合律的理解,而用几何法对分配律的证明不仅让学生加深了对向量的数量积的几何意义的理解,还体现了数形结合的重要思想。

C例1. 已知向量与共线，且1||=，2||=，则⋅=_______ 。

例2．已知向量与的夹角θ= 1200，且4-=⋅a ，2||=，则||=_______ 。

例3．已知3||=,4||=,a 与的夹角θ= 600，求(2)(3)a b a b +⋅-。

本环节的创设意图:学生已经看书了解了基本的知识点,这个环节先通过对疑难的问题的探讨,再通过3个例题正用、逆用数量积的公式，加深了对本节课的理解。

(3) 反馈形成.变式:()()()()1.:1,0,00.2,0.(3),.k R kb k b a b a b a b a b a b a b a b ∈====+⋅-=⋅=已知下列命题若且则或若不平行的两个非零向量,满足则若与平行则其中真命题的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知向量与的夹角θ= 1200，||4a =，||2b =，求(1) ()2a b + (2) 22a b - (3) ()()2a b a b -+ (4) 34a b -3. 已知向量与的夹角θ= 600，||10a =，||8b =，求a b +与a 的夹角θ的余弦值。

创设意图:前面3个例题是向量数量积的的简单的应用,这两个变式是例题的引申,是数量积的公式、性质、运算律的综合应用,让学生能举一反三，进一步巩固新知识，并且让学生分组讨论归纳总结方法,，比如直接利用数量积的定义求解时，一定要把这两个向量确定好；计算向量的模可根据22a a =求解；而利用向量的数量积定义式求两个向量的夹角时,必须把这两个向量的数量积及各自的模求出来，同时要注意向量夹角的范围是[]0,π。

板书设计:1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书（见下），一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

(4) 过关巩固.1.课本P 95习题2.5A 组1、2、2. 已知向量a 与b 满足||2a =，||2b =，且()a b a -⊥,则a b +=( )A. 3B.C. 10D.3. 已知3||=a ,4||=,a 与的夹角θ= 600，当且仅当 k 为何值时, ka b -与2a b +垂直? 创设意图:这个环节的题目是让学生课后练习的,目的是为了让学生巩固本节课学的内容。

而整个教学过程,主要是以学生自学为主，老师少讲多练，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的理解,为下节课的学习打下了良好的基础。

四.教学反思设计.1、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

2、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

3、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

2、当力F 的方向与物体运动的方向成θ角时，与位移方向平行的分力1F 满足θcos ||||1F =，物体在1F 的方向上产生了位移，因而对物体做的功为θcos ||||W =。

问题2:功是矢量还是标量?它的大小由哪些量来决定?功W 是一个标量。

力对物体做了功，可以看作力F 和位移这两个向量的某种运算结果。

它与这两个向量的模以及这两个向量的方向所成的角θ有关。

,在数学上,这样的一种运算称为平面向量数量积的运算。

引入的问题3：能否将“做功”的公式中的力与位移推广到一般的向量？用文字语言该如何表述？学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。