浙江中考数学一轮复习8-10单元

第八单元 解直角三角形第29课时 锐角三角函数 [学生用书P97]1．[2019·天津]2sin60°的值等于( C ) A ．1 B.2 C.3D ．22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是( A ) A.34 B.43 C.35D.453．[2019·怀化]已知∠α为锐角，且sin α＝12，则∠α＝( A ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°4．[2019·宜昌]如图29－1，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( D )图29－1A.43B.34C.35D.451．锐角三角函数的定义三角函数：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，则∠A 的正弦、余弦、正切分别是：sin A ＝__a c __，cos A ＝__b c ，tan A ＝__ab ，它们统称为∠A 的锐角三角函数．【知识拓展】(1)锐角三角函数间的关系：①平方关系：sin2A＋cos2A＝1；②商的关系：sin Acos A＝tan A；③互余两角的三角函数关系：sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)；(2)sin A，cos A都指两条线段的比，没有单位；(3)当A为锐角时，sin A，cos A均在__0～1__内取值．2．特殊锐角的三角函数值【知识拓展】特殊角的三角函数值的记忆方法(1)“口诀法”：观察表中的数值特征．①正弦，余弦值可表示为m2形式，正切值可表示为m3的形式；②有关m的值可归纳为顺口溜：一二三，三二一，三九二十七．(2)“三角形法”：对于30°，45°，60°的三角函数值，可通过图29－2两个特殊的直角三角形来帮助记忆．图29－23．解直角三角形定义：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形依据：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则(1)三边关系：a2＋b2＝__c2__；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝__90°__；(3)边与角关系：sin A＝cos B＝__ac__；cos A＝sin B＝__bc__；tan A＝__ab__．解直角三角形常见类型：(1)已知斜边和一个锐角；(2)已知一条直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一条直角边；(4)已知两条直角边．1．锐角三角函数值的求法直接利用定义求值：已知直角三角形的两边，利用勾股定理可求其第三边，依照所求的锐角三角函数的定义，直接代入求值；特殊值求法：根据特殊角三角函数值求值；求等角的三角函数值：当直接用三角函数的定义求锐角的三角函数值困难时，可通过等角转换求值；设参数求三角函数值：当条件为已知某两条线段的比或某一锐角的三角函数值，求图形中其他三角函数值时，通常设参数求解．2．方程思想解直角三角形时，在运用三角函数的定义时常常建立方程求解，选好三角函数是关键．选三角函数一般规律是“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”．此类问题是中考的热点考题．类型一锐角三角函数的概念典例[2019·杭州]在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝2或5．【解析】分情况讨论：①若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理得BC＝（2x）2－x2＝3x，故cos C ＝BC AC ＝3x 2x ＝32；②若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ， 由勾股定理得BC ＝（2x ）2＋x 2＝5x ， 故cos C ＝AC BC ＝2x 5x ＝255.综上所述，cos C 的值为32或255.思维升华 一般地，已知一个锐角三角函数的值，求同角或余角的另一个三角函数值，根据三角函数定义和勾股定理，用一个字母表示直角三角形三边即可求出所有三角函数值．跟踪训练 1.[2018·滨州]在△ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin B ＝5．2．如图29－3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α的值是( C )图29－3A.35 B.34 C.45D.433．[2018·金华、丽水]如图29－4，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( B )图29－4A.tanαtan βB.sin βsin αC.sin αsin βD.cos βcos α类型二特殊角的三角函数值典例[2020·中考预测]式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B) A．23－2 B．0C．2 3 D．2跟踪训练1.[2019·甘肃]在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝33，则cos B＝__12__．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3 3，设BC＝x，AC＝3x，则AB＝2x，∴cos B＝BCAB＝x2x＝12.2．计算：24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋⎝⎛⎭⎪⎫322－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.思维升华要熟记特殊角的三角函数值，不要混淆．类型三解直角三角形典例[2019·舟山]如图29－5，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2－BC2＝55AB2，则tan C＝．图29－5 【解析】如答图，过B作BD⊥AC于D，典例答图∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD.∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2＋DB2＝2BD2，BC2＝DC2＋BD2，∴AC2－BC2＝(AD＋DC)2－(DC2＋BD2) ＝AD2＋DC2＋2AD·DC－DC2－BD2＝2AD·DC＝2BD·DC，∵AC2－BC2＝55AB2，∴2BD·DC＝55×2BD2，∴DC＝55BD，∴tan C＝BDDC＝ 5.跟踪训练1.[2019·凉山州]如图29－6，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝14，则sin B的值为(D)A.102 B.153C.64 D.104图29－6【解析】如答图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，跟踪训练1答图在Rt△ACD中，CD＝CA·cos C＝1，∴AD＝AC2－CD2＝15，在Rt△ABD中，BD＝CB－CD＝3，AD＝15，∴AB＝BD2＋AD2＝26，∴sin B＝ADAB＝1526＝104.2．如图29－7，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则(B)A．x－y2＝3 B．2x－y2＝9C．3x－y2＝15 D．4x－y2＝21图29－7【解析】如答图，过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连结DE，跟踪训练2答图∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝12CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12－3－x＝9－x，在Rt△EDM中，由勾股定理，得x2＝(3y)2＋(9－x)2，则2x－y2＝9.3．[2019·柳州]如图29－8，在△ABC中，sin B＝13，tan C＝22，AB＝3，则AC的长为．图29－8 【解析】如答图，过A作AD⊥BC于点D，跟踪训练3答图在Rt△ABD中，sin B＝13，AB＝3，∴AD＝AB·sin B＝1，在Rt△ACD中，∵tan C＝2 2，∴ADCD＝22，即CD＝2，根据勾股定理得AC＝AD2＋CD2＝ 3.思维升华作三角形的高线，将非直角三角形转化为直角三角形是常用的解题方法．1．锐角三角函数值与边的长度无关，与边的比值和角的大小有关．2．记忆特殊三角函数值不准确，会造成计算错误．3．解直角三角形时，不会准确选用三角函数，或者对三角函数的定义不明确，会导致线段比错误．特殊三角函数值记忆模糊[南昌中考]计算：sin30°＋cos30°·tan60°.【错解】原式＝32＋12×33＝233.【错因】特殊三角函数记忆不准确．sin30°＝12，cos30°＝32，tan60°＝ 3.【正解】原式＝12＋32×3＝12＋32＝2.第30课时解直角三角形1．如图30－1，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 m，已知cosα＝12 13，则小车上升的高度是(A)A．5 m B．6 mC．6.5 m D．12 m图30－12．[2019·衢州]如图30－2，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__1.5__m．(结果精确到0.1m.参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)图30－23．[2019·台州]图30－3①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图．已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度．(结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图30－3解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，第3题答图∵sin ∠ABD ＝ADAB ，∴AD ＝92×0.94≈86.48， ∵DE ＝6，∴AE ＝AD ＋DE ≈92.5， ∴把手A 离地面的高度为92.5 cm.4．如图30－4是某小区的一个健身器材，已知BC ＝0.15 m ，AB ＝2.70 m ，∠BOD ＝70°，求端点A 到地面CD 的距离．(精确到0.1 m ，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图30－4解：如答图，过点A 作AE ⊥CD 于E ，过点B 作BF ⊥AE 于F ，第4题答图∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°， ∴AE ∥OD ，∴∠A ＝∠BOD ＝70°， 在△BAF 中，AB ＝2.7， ∴AF ＝2.7×cos70°≈0.918， ∴AE ＝AF ＋BC ≈1.1(m)．答：端点A 到地面CD 的距离约是1.1 m.解直角三角形的应用的常用知识 仰角和俯角：如图30－5，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做__仰角__，视线在水平线下方的叫做__俯角__．图30－5坡度和坡角：如图30－6，通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 之比叫做__坡度__，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做__坡角__，记做α，于是i ＝__h l __＝tan α，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．图30－6方向角： 如图30－7，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．图30－71．解直角三角形的应用的基本图形在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题．常见的构造图形有如下几种： ①如图30－8，不同地点看同一点；图30－8②如图30－9，同一地点看不同点；图30－9③如图30－10，利用反射构造相似．图30－10类型一解直角三角形的应用典例[2019·金华]图30－11②，③是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时(图②)，A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C 重合)；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C 滑动，B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50 cm，CD＝40 cm.(1)如图③，当∠ABE＝30°时，BC＝(2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15 cm时，四边形ABCD的面积为__2__256__cm2.图30－11【解析】∵A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)且AB＝50 cm，CD＝40 cm.∴EF＝50＋40＝90 cm，∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B，C两点的路程之比为5∶4.(1)当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝32AB＝25 3 cm，∴B运动的路程为(50－253)cm，∵B，C两点的路程之比为5∶4，∴此时点C 运动的路程为(50－253)×45＝(40－203)cm ，∴BC ＝(50－253)＋(40－203)＝(90－453)cm ；(2)当A 向M 方向继续滑动15 cm 时，如答图，设此时点A 运动到了点A ′处，点B ，C ，D 分别运动到了点B ′，C ′，D ′处，连结A ′D ′，典例答图则此时AA ′＝15 cm ，∵AE ＝AB 2＝25，∴A ′E ＝15＋25＝40 cm ，由勾股定理得：EB ′＝30 cm ，∴B 运动的路程为50－30＝20 cm ，∴C 运动的路程为16 cm ，∴C ′F ＝40－16＝24 cm ，由勾股定理得D ′F ＝32 cm ，∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝S 梯形A ′EFD ′－S △A ′EB ′－S △D ′FC ′＝12×90×(40＋32)－12×30×40－12×24×32＝2 256 cm 2.跟踪训练 1.[2019·湖州]有一种落地晾衣架如图30－12①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α.若AO ＝85 cm ，BO ＝DO ＝65 cm.问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为__120__cm.(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)图30－122．[2019·温州]图30－13①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，两支脚OC＝OD＝10 dm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10 dm，晾衣臂支架HG＝FE＝6 dm，且HO＝FO＝4 dm.当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为；当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′－BE 为__4__dm.图30－13【解析】如答图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J.跟踪训练2答图∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝12∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC·cos30°＝53，∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝12OA＝5，∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53，∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°，在Rt△OFK中，KO＝OF·cos60°＝2，FK＝OF·sin60°＝23，在Rt△FKE中，EK＝EF2－FK2＝26，∴BE＝10－2－26＝8－26，在Rt△OFJ中，OJ＝OF·cos60°＝2，FJ＝23，在Rt△FJE′中，E′J＝E′F2－FJ2＝26，∴B′E′＝10－(26－2)＝12－26，∴B′E′－BE＝4.类型二利用解直角三角形测量物体的高度(或宽度)典例[2019·绍兴]如图30－14①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5 cm，长度均为20 cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D 离桌面l的高度DE.(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到0.1 cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图30－14解：(1)如答图①，作BO⊥DE于O.∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，∴OD＝BD·sin60°＝203，∴DE＝OD＋OE＝OD＋AB＝203＋5≈39.6 cm；①②典例答图(2)如答图②，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H，则四边形PCHG是矩形．∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝165°－90°－30°＝45°，∴CH＝BC·sin60°＝103，DP＝CD·sin45°＝102，∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝102＋103＋5，∴下降高度为DE－DF＝203＋5－102－103－5≈3.2 cm.跟踪训练1.[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB＝0.8 m，动臂BC＝1.2 m，CD＝1.5 m，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°.初始位置如图30－15①，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(图②)．工作时如图③，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(图④)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1 m；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，3≈1.73)图30－15解：(1)过点C作CG⊥AM于点G，如答图①，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG＝180°－∠CDE＝110°，∴∠BCG＝∠BCD－∠GCD＝30°，∴∠ABC＝180°－∠BCG＝150°；①②跟踪训练1答图(2)如答图①，过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，在Rt△CPD中，DP＝CD·cos70°≈0.51，在Rt△BCN中，CN＝BC·cos30°≈1.04，∴DE＝DP＋PQ＋QE＝DP＋CN＋AB≈2.35，如答图②，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，∴∠DCK＝140°－90°＝50°，在Rt△CKD中，DK＝CD·sin50°≈1.16，∴DH＝DK＋KH≈3.16，∴DH－DE≈0.8，故斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8 m.2．[2018·宁波]如图30－16，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200 m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为__1__200(1)__m．(结果保留根号)图30－16思维升华解直角三角形时，若所求的元素不能在同一个直角三角形中求得，则可在两个及两个以上的直角三角形中，通过列方程解决问题．类型三利用解直角三角形解决航海问题典例[2019·宁波]如图30－17，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400 m的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__566__m．(精确到1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图30－17跟踪训练 1.[2018·衢州]“五·一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200 m到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图30－18所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处．(精确到1 m，备用数据：2≈1.414，3≈1.732)图30－18解：由题意得∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，AB＝200 m，设BD＝x，则DC＝3x，∵AD＝DC，∴200＋x＝3x，解得x＝100(3＋1)≈273.答：小明还需沿绿道继续直走273 m才能到达桥头D处．2．[2019·随州]如图30－19，在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A 相距120海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离；(2)若救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．图30－19解：(1)如答图，作PC ⊥AB 于C ，跟踪训练2答图则∠PCA ＝∠PCB ＝90°，由题意得P A ＝120海里，∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴PC ＝12P A ＝60海里，BC ＝PC ＝60海里，∴PB ＝2PC ＝602海里．答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为602海里；(2)∵P A ＝120海里，PB ＝602海里，救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A 所用的时间为120÷40＝3小时，救助船B 所用的时间为602÷30＝22小时，∵3＞22，∴救助船B 先到达．思维升华 求与三角形有关的实际问题，一般是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解，从各方位角中计算出角的大小，再直接利用解直角三角形求实际距离．类型四 利用解直角三角形解决坡度问题典例 [2019·遂宁]汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200 m 且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图30－20，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30 cm ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1；加固后，坝顶宽度增加2 m ，斜坡EF 的坡度i ＝1∶5，问工程完工后，共需土石多少立方米？(计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号)图30－20解：如答图，过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EG ⊥BC 于G ，则四边形EGHA 是矩形，典例答图∴EG ＝AH ，GH ＝AE ＝2，∵斜坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴AH ＝BH ＝30×30＝900 cm ＝9 m ，∴BG ＝BH －HG ＝7，∵斜坡EF 的坡度i ＝1∶5，∴FG ＝95，∴BF ＝FG －BG ＝95－7，∴S 梯形ABFE ＝12(2＋95－7)×9＝815－452， ∴共需土石为815－452×200＝100(815－45)m 3. 跟踪训练 [2019·威海]如图30－21是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG ＝2 m ，货厢底面距地面的高度BH ＝0.6 m ，坡面与地面的夹角∠BAH ＝α，木箱的长(FC )为2 m ，高(EF )和宽都是1.6 m ．通过计算判断：当sin α＝35，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．图30－21解：∵BH ＝0.6 m ，sin α＝35，跟踪训练答图∴AB ＝BH sin α＝0.635＝1 m ，∴AH ＝0.8 m ，∵AF ＝FC ＝2 m ，∴BF ＝1 m ， 作FJ ⊥BG 于点J ，作EK ⊥FJ 于点K ，∠EKF ＝∠FJB ＝∠AHB ＝90°，∠EFK ＝∠FBJ ＝∠ABH ，BF ＝AB ， ∴△EFK ∽△FBJ ∽△ABH ，△FBJ ≌△ABH ， ∴EF AB ＝FK BH ＝EKAH ，BJ ＝BH ＝0.6 m ， 即1.61＝FK 0.6＝EK0.8，解得EK ＝1.28， ∴BJ ＋EK ＝0.6＋1.28＝1.88＜2，∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部．思维升华 此类有关坡比、坡角的问题，把关于梯形的计算通过作高线转化成关于直角三角形的计算是解决问题的基本思路．1．在解直角三角形的应用时，要注意以下几点： (1)要弄清仰角、俯角、坡角、方向角等概念的意义；(2)分析题意，画图并找出要求解的直角三角形，有些图形如果不是直角三角形，可以通过作适当辅助线构造直角三角形；(3)选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；(4)按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求确定答案，注明单位．坡比的概念模糊[广安中考]如图30－22，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤坝高BC ＝50 m ，则迎水坡面AB 的长度是( )图30－22A ．100 mB ．100 3 mC ．150 mD ．50 3 m【错解】 D根据题意，可得BC AB ＝13，把BC ＝50 m ，代入即可算出AB 的长， AB ＝3BC ＝503，故选D.【错因】 坡比是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比．错解中把坡比的概念理解为铅直高度h 和斜坡长度的比． 【正解】 A理由：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3， ∴BC AC ＝33，∵BC ＝50 m ，∴AC ＝50 3 m ， ∴AB ＝AC 2＋CB 2＝100 m ．故选A.第九单元图形变换第31课时轴对称与中心对称1．[2018·台州]下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是(D)2．[2018·衢州]如图31－1，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D 落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于(D)A．112°B．110°C．108°D．106°【解析】∵∠AGE＝32°，∴∠DGE＝148°，由折叠的性质得∠DGH＝12∠DGE＝74°，∵AD∥BC，∴∠GHC＝180°－∠DGH＝106°.图31－13．[2018·嘉兴]将一张正方形纸片按如图31－2步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是(A)图31－24．如图31－3，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，AEEB为(A)图31－3A.53B．2C.52D．4【解析】设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得AB＝x＋2y，∵重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116，且两个菱形相似，∴AB＝4x，即x＋2y＝4x，解得x＝23y，∴AE＝x＋y＝53y，∴AEEB＝53yy＝53.1．轴对称与轴对称图形轴对称图形：如果把一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做__对称轴__．轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫做图形的轴对称，这条直线叫做__对称轴__．图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是__全等图形__．【知识拓展】中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相__重合__，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做__对称中心__．中心对称：把一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够与另外一个图形__互相重合__，那么就说这两个图形关于这个点O成中心对称．中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段．【知识拓展】1．轴对称图形与中心对称图形的识别(1)轴对称图形的判别：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是看能否找到至少有一条直线，使图形沿着该直线对折后，两部分能够完全重合．若找得到，则是轴对称图形，反之不是轴对称图形；(2)中心对称图形的判别：判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看能否找到一点，使这个图形绕着这个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合．若找得到，则是中心对称图形，反之不是中心对称图形．2．镜面对称镜子中的像和原来的物体关于镜面成轴对称，即“垂直于镜面上下对称，平行于镜面左右对称”．3．求最短线路问题利用轴对称可以解决在直线上找一点，使它到直线同侧两点距离之和最小的问题．此类题是中考的热点考题．类型一 轴对称与轴对称图形典例 [2019·北京]下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( C )跟踪训练 如图31－4，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是__13__．图31－4【解析】 空白部分有6个位置，只有在第二层的两个正方形时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是26＝13.思维升华 判断是不是轴对称图形，就是看沿着某一条直线对折后两部分是不是重合，重合的就是轴对称图形． 类型二 中心对称与中心对称图形典例 [2019·郴州]下图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C )【解析】 A 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．跟踪训练 [2019·绵阳]对如图31－5的对称性表述，正确的是( B )图31－5A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形类型三图形折叠与轴对称典例[2019·资阳]如图31－6，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB 的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝__95__．图31－6 【解析】如答图，作CH⊥AB于H，典例答图由翻折可知∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，∵CE′∥AB，∴∠ACE′＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝DA，∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝5，∵12AB·CH＝12AC·BC，∴CH＝125，∴AH＝AC2－CH2＝95，∵CE′∥AB，∴∠E′CH＋∠AHC＝180°，∵∠AHC＝90°，∴∠E′CH＝90°，∴四边形AHCE′是矩形，∴CE′＝AH＝9 5.跟踪训练1.一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按图31－7的步骤折叠纸片，则线段DG的长为(A)图31－7A. 2 B．2 2C．1 D．2【解析】由题意知DE为正方形DAEA′的对角线，DE的长为22，点G恰好为DE中点，所以DG的长为 2.2．[2019·重庆]如图31－8，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC 沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点E，连结AC′，若AD＝AC′＝2，BD ＝3，则点D到BC′的距离为(B)A.332 B.3217C.7D.13图31－8【解析】如答图，连结CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，跟踪训练2答图∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知△BDC ≌△BDC ′，BD 垂直平分CC ′， ∴DC ＝DC ′＝2，BC ＝BC ′，CM ＝C ′M ， ∴AD ＝AC ′＝DC ′＝2， ∴△ADC ′为等边三角形，∴∠ADC ′＝∠AC ′D ＝∠C ′AC ＝60°， ∵DC ＝DC ′，∴∠DCC ′＝∠DC ′C ＝12×60°＝30°， 在Rt △C ′DM 中，∠DC ′C ＝30°，DC ′＝2， ∴DM ＝1，C ′M ＝3DM ＝3， ∴BM ＝BD －DM ＝3－1＝2，在Rt △BMC ′中，BC ′＝BM 2＋C ′M 2＝22＋（3）2＝7， ∵S △BDC ′＝12BC ′·DH ＝12BD ·CM ， ∴7DH ＝3×3，∴DH ＝3217.3．[2019·淮安]如图31－9，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连结AP ，则tan ∠HAP ＝__43__.图31－9【解析】 如答图，连结PB ，交CH 于E ，跟踪训练3答图由折叠可得CH 垂直平分BP ，又∵H 为AB 的中点，∴HE 为△ABP 的中位线， ∴AP ∥HE ，∴∠BAP ＝∠BHE ，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝BCBH＝43，∴tan∠HAP＝4 3.思维升华(1)图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两部分全等；(2)折叠问题常与坐标系、矩形、菱形、正方形以及勾股定理结合在一起．注意数形结合思想的应用，及折叠中的对应关系．类型四利用轴对称解决最短线路问题典例[2018·滨州]如图31－10，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是(D)A.362 B.332C．6 D．3图31－10【解析】如答图，分别作P点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝3，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，典例答图∴PN＋PM＋MN＝ND＋MN＋MC＝DC，∠COD＝∠BOP＋∠BOD＋∠AOP＋∠AOC＝2∠AOB＝120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，∵∠OCH ＝30°∴OH ＝12OC ＝32，CH ＝3OH ＝32，∴CD ＝2CH ＝3，即△PMN 周长的最小值是3.跟踪训练 1.[2020·原创]如图31－11，∠BAC ＝30°，M 为AC 上一点，AM ＝2，点P 是AB 上的一动点，PQ ⊥AC ，垂足为点Q ，则PM ＋PQ 的最小值为．图31－11【解析】 如答图，作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ ⊥AC 于Q 交AB 于P ，跟踪训练1答图则NQ 的长即为PM ＋PQ 的最小值，连结MN 交AB 于D ，则MD ⊥AB ，DM ＝DN ，∵∠NPB ＝∠APQ ，∴∠N ＝∠BAC ＝30°，∴MD ＝12AM ＝1，∴MN ＝2， ∴NQ ＝MN ·cos N ＝2×32＝3，即PM ＋PQ 的最小值为 3.2．[2020·中考预测]如图31－12，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N (3，0)是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为__⎝ ⎛32，2__．图31－12【解析】 如答图，作N 关于OA 的对称点N ′，连结N ′M 交OA 于P ，则此时PM ＋PN 最小，连结ON ′，跟踪训练2答图∵OA垂直平分NN′，∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵N(3，0)，∴ON＝3，∴OM＝32，∴PM＝32，故点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，32.3．[2020·原创]如图31－13，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为．图31－13【解析】如答图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连结AC，AP′.∵菱形ABCD 的周长为16，面积为83，跟踪训练3答图∴AB＝BC＝4，AB·CE′＝83，∴CE′＝23，在Rt△BCE′中，BE′＝42－（23）2＝2，∵BE＝EA＝2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A，C关于BD对称，∴当P与P′重合时，EP＋AP的值最小，最小值为CE的长，即2 3.4．如图31－14所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为__6__．图31－14【解析】 如答图，连结BD ，∵点B 与D 关于AC 对称，跟踪训练4答图∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE 最小，即P 在AC 与BE 的交点上时，PD ＋PE 最小，为BE 的长．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故PD ＋PE 和的最小值为6.5．[2019·聊城改编]如图31－15，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A (4，4)，点C在边AB 上，且AC CB ＝13，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫83，83__．图31－15【解析】 ∵在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A (4，4)，∴AB ＝OB ＝4，∠AOB ＝45°，∵AC CB ＝13，点D 为OB 的中点，跟踪训练5答图∴BC ＝3，OD ＝BD ＝2，∴D (2，0)，C (4，3)， 作D 关于直线OA 的对称点E ，连结EC 交OA 于P ，则此时四边形PDBC 周长最小，E (0，2)，∵直线OA 的表达式为y ＝x ，设直线EC 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧b ＝2，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝2，∴直线EC 的表达式为y ＝14x ＋2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝14x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝83，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，83. 思维升华 有关几条线段的和最短的问题，一般都把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．1．成轴对称的图形是处于特殊相对位置的两个全等图形，但全等图形不一定是轴对称图形．2．折叠问题实质是轴对称问题，折叠就是轴对称，折叠前后对应边相等，对应角相等．3．等边三角形不是中心对称图形．折纸中的模糊认识[遵义中考]把一张长方形纸片按如图31－16①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )图31－16【错解】A或B或D【错因】忽视图形的对称性或三角形一边平行于正方形一边的特点．【正解】C第32课时平移与旋转1．[2019·乐山]下列四个图形中，可以由图32－1通过平移得到的是(D)2．[2019·毕节]如图32－2的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2 019个图案中箭头的指向是(C)图32－2A．上方B．右方C．下方D．左方【解析】观察可知图案每4个为一循环，2 019÷4＝504……3，则第2 019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．3．[2018·金华]如图32－3，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是(C)A．55°B．60°C．65°D．70°【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠E＝45°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝∠E＋∠DCE＝65°.图32－34．如图32－4，将△ABE向右平移2 cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是(C)。