【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(四)数学(文)试题
【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2020届高三下学期复习考试数学(文)试题
大庆实验中学2019—2020学年度第二学期高三年级复学考试（数学）（文） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ , 所以{}0,1AB =.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221167x y +=B. 221716x y +=C. 2216428x y +=D.2212864x y += 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的长轴长及离心率的值，可求出,,a b c ，进而结合椭圆的焦点在x 轴上，可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意知，28a =，∴4a =，又34e =，∴3c =，则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时，所以椭圆方程为221167x y+=.故选：A .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A.116B.1124C.1324D.516【答案】B【分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅ 图②小球落在阴影部分的概率：213P =∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.5.长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A.10B.3010C.215D.310【答案】B 【解析】建立坐标系如图所示．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，1BC ＝(－1,0,2)，AE ＝(－1，2,1)． cos 〈1BC ，AE 〉＝30所以异面直线BC 1与AE 30 6.设2(sin 56cos56)2a =-，cos50cos128cos 40cos38b =+，cos80c =,则a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>【答案】B 【解析】256cos56)sin(5645)sin11a =-=-= ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+== ，cos80sin10c == ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>> ，选B.7.已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，1233OC OA OB =+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）. 3 B. 3 C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM ⋅的值. 【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB的中点，所以1122OM OA OB=+.所以OC OM⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+21422cos603323=+⨯⨯⨯+=.故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.已知可导函数()f x的定义域为(,0)-∞，其导函数()f x'满足()2()1xf x f x'->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f+-+-<的解集为（）A. (,2021)-∞- B. (2021,0)- C. (2021,2020)-- D. (2020,0)-【答案】C【解析】【分析】由题可得当(,0)x∈-∞时，2()2()x f x xf x x-'<，进而构造函数2()()f xg xx=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g+<-，利用()g x的单调性，可求出不等式的解集.【详解】由题意知，当(,0)x∈-∞时，()2()1xf x f x'->，可得2()2()x f x xf x x-'<，设2()()f x g x x =，则243()2()1()0x f x xf x g x x x-=<''<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减. 不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，等价于2(2020)(1)(1)(2020)f x f g x +<-=-+，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-.故选：C.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题.9.已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. ()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin 22a x x x x f x ⎛⎫⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭13cos sin 2222a x a x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，0=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-. 不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.10.已知函数()ln f x ax x b =+在(1,1)处的切线方程过(3,5)，则函数()f x 的最小值为（ ）A. 21e-B. 1C. 2e-D. 11e-【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 过点(1,1)，可求出b ，进而对()f x 求导，可得到()f x 在(1,1)处的切线方程，再结合切线方程过(3,5)，可求出a 的值，从而可得到()f x 的表达式，进而判断单调性，可求出最小值.【详解】∵()ln f x ax x b =+过点(1,1)，∴()1ln11f a b =+=，解得1b =， ∵()()ln 1f x a x '=+，∴()()1ln11f a a '=+=，则()f x 在(1,1)处的切线方程为()11y a x =-+， ∵()11y a x =-+过(3,5)，∴2a =，∴()2ln 1f x x x =+，∴()()2ln 1f x x '=+， 令0fx得1e x =，∴()f x 在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x的最小值为1212ln11e e e ef⎛⎫=+=-⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11.若实数,x y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y=+的最大值是（）A. 1- B. 1C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y取最大值max 322210z=⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A.B.C. 2)D.)+∞【答案】B 【解析】【详解】由题意,B 在x 轴上,22,,,b bP c Q c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AQ b a k a c=-， ∴22BPa ack b-=-， 直线BQ的方程为()222b a acy x c a b--=--， 令y =0,可得()42b xc a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a a c -<+-， ∴b <，∴c <， ∴e < ∵e >1， ∴1e <<故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在大题卡相应位置上. 13.甲、乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 【答案】甲胜 【解析】 【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.【详解】若甲队获胜，则A ，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜. 故答案为：甲胜【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题.14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.【答案】( 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减，又因为()(3log 2af f >，所以3log 20a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩，所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(a ∈.故答案为：(.【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=，则222a cb ac +-的取值范围为______.【答案】()()0,2【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A >，所以cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.16.如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____【答案】642-【解析】 【分析】由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；利用()1142a a x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可构造出符合基本不等式的形式，得到14242aa a x y+≥++，由恒成立关系可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值. 【详解】,,PA PB PC 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1212x y ++= 421x y ∴+=()11242442424224242a a y ax y axx y a a a a x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥++⋅=++ ⎪⎝⎭（当且仅当24y axx y=，即2y ax =时取等号） 又18ax y +≥恒成立，42428a a ∴++≥，解得：642a ≥- ∴正实数a 的最小值为642-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.17.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点.（1）求证：//PA 平面MDB ； （2）求点P 到平面BDM 的距离. 【答案】（1）详见解析；（2）155【解析】 【分析】（1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，易知//MO PA ，进而可证明//PA 平面MDB ； （2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，易知PE ⊥平面ABCD ，由//PA 平面MDB ，可知111223P BDM A BDM M ABD P ABD BAD V V V V S PE ----∆====⨯⋅，设P 到平面BDM 的距离为h ，则111323BMD BAD S h S PE ∆∆⋅=⨯⋅，进而由题中关系，分别求出,,BMD BAD S S PE ∆∆，即可求出P 到平面BDM 的距离.【详解】（1）连结AC ，交BD 于O ，则O 为AC 中点，连接MO ， ∵M 为PC 的中点，∴//MO PA ，又MO ⊂平面MDB ，PA ⊄平面MDB ，∴//PA 平面MDB .（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，可知E 为AD 的中点， ∵侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂侧面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，连结BE ，∵AD PE ⊥，AD PB ⊥，PEPB P =，∴AD ⊥平面PEB ，而EB ⊂平面PEB ， ∴AD EB ⊥， 在直角ABE △中，1cos 2EA EAB AB ∠==，∴60EAB ∠=︒，∴2BD =，3BE = 连结CE ，因为1DE =，2CD =，120CDE ∠=︒，由余弦定理得2222cos120CE ED CD ED CD =+-⋅︒，计算可得7CE =在直角PCE ∆中，223710PC PE EC =+=+=，又因为PCD ∆为等腰三角形，M 为PC 的中点，所以22211064222DM PD PC ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因22336PB PE EB =+=+=，2BC =，10PC =，所以222PB BC PC +=，所以90PBC ∠=︒，又因为M 是PC 的中点，所以10BM =， 所以222BM MD BD +=，即90BMD ∠=︒， 所以11524BMD S BM MD ∆=⋅=，1322322BADS =⨯⨯⨯=， 因为//PA 平面MDB ，所以11111133223232P BDM A BDM M ABD P ABD BAD V V V V S PE ----∆====⨯⋅=⨯⨯⨯=，设P 到平面BDM 的距离为h ，则1132BMD S h ∆⋅=，则32121555h =⨯=， 故P 到平面BDM 的距离为215.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离，考查三棱椎体积的计算，利用等体积法是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.已知数列{}n a 满足112a =，121nn n a a a +=+()*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：222212312n a a a a ++++<.【答案】（1）12n a n=；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由121n n n a a a +=+，两边取倒数可得1112n n a a +-=，可知数列1na 为等差数列，从而可求出1na 的表达式，进而可得到n a 的表达式； （2）利用放缩法，可得2211111441n a n n n ⎛⎫=⋅<- ⎪-⎝⎭（2n ≥，*N n ∈），进而可证明结论. 【详解】（1）由112a =，121nn na a a +=+，可知0n a >，对121n n n a a a +=+的等号两端同时取倒数得1112n n a a +=+， 则1112n n a a +-=，所以数列1n a 为等差数列，且首项为2，公差为2，故12nn a =， 所以12n a n=. （2）依题可知222111111111244141n a n nn n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅<⋅⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2n ≥，*N n ∈）， 所以222212311111111442231n a a a a n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭1111114424n n⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故222212312n a a a a ++++<.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用放缩法证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.19.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了明天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“,m n 均不小于25”的概率； （2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5填中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，ˆˆˆybx a =+. （参考公式：1122211()()()n ni iiii i nni i i i x y nxy x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）. 【答案】（1）3()10P A =（2）532y x =- 【解析】分析：（1）用数组m n （，）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m n ，的所有取值情况，分析可得m n ，均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x y ，的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． 详解：（1）所有的基本事件为()()()()23,25,23,30,23,26,23,16;()()25,30,25,26，()25,16;()()30,26,30,16;()26,16，共10个．设“,m n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为()25,30，()25,26，()30,26，共3个．故由古典概型公式得()310P A =. （2）由数据得，另3天的平均数12,27,3972x y xy ===，3322113432,977,434i i i i i x x y x =====∑∑，所以977972543443ˆ22b-==-，5271232ˆa=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ532y x =-. 点睛：本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．20.已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,则1F AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=； （2）1F AB ∆的面积取得最大值3, 1x =.【解析】 【分析】（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；（2）很明显直线l 的斜率不为零，设出直线方程的x 轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.【详解】（1）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>因为12c e a ==，1a c -= 所以2,1a c == 即椭圆C ：22143x y += .（2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设 120,0y y ><由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，则12122269,3434m y y y y m m --+==++ ， ∴()1121212F ABS F F y y ∆=-=令21m t +=，可知1t ≥则221m t =-，∴1212121313F AB t S t t t∆=+++令()13f t t t =+，则()213t f t =-＇，当1t ≥时，()>0f t ＇，即()f t 在区间[)1,+∞上单调递增， ∴()()14f t f ≥=，∴13F AB S ∆≤，即当1,0t m ==时，1F AB ∆的面积取得最大值3， 此时直线的方程为1x =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ； （2）令()()x f x F x e=，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）01x =；（2）2a ≤. 【解析】 【分析】（1）求出0(),()f x f x ''，求出切线的点斜式方程，原点坐标代入，得到关于0x 的方程，求解即可；（2）221(2)ln ln (),(),x xx a x a xx ax x x F x F x e e -+-+-++-'==设21()(2)ln h x x a x a x x=-+-+-+，由()h x '在(0,1)是减函数，()(1)2h x h a ''≥=-，通过研究2a -的正负可判断()h x 的单调性，进而可得函数()F x 的单调性，可求参数的取值范围. 【详解】（1）1()2f x x a x'=+-，所以切线的斜率为0001()2f x x a x '=+-， 切线方程为00001(2)()y y x a x x x -=+--。
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(文科)(三)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（文科）（三）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|−1<x<3}，B={x|x2+x−6<0,x∈Z}，则A∩B=()A. (−1,2)B. (−3,3)C. {0,1}D. {0,1，2}2.已知i是虚数单位，复数z=6i1−i，则z−的虚部为()A. −3B. 3C. −2D. 23.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=|x|+1B. y=x3C. y=−x2+1D. y=(12)x4.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为()A. 1−3√3πB. π2−3√34C. 2−3√3πD. π2−√345.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是()A. 若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//βB. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//βC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥n，m//α，n⊥β，则α⊥β6.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的S是()A. 29B. 17C. 12D. 57.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为()A. 1B. 2C. 4D. 88. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−4)，若A ，B ，C 三点共线，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 10B. 80C. −10D. −809. 已知函数y =f(x)是R 上的奇函数，函数y =g(x)是R 上的偶函数，且f(x)=g(x +2)，当0≤x ≤2时，g(x)=x −2，则g(10.5)的值为( ) A. 1.5 B. 8.5 C. −0.5 D. 0.510. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，已知f(x 1)+f(x 2)=0，且|x 2−x 1|<π2，则f(x 1+x 2)=( )A. √3B. 1C. −√3D. −111. 已知抛物线y 2=8x ，过点A(2,0)作倾斜角为π3的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A. 163B. 83C. 16√33D. 8√312. 定义在R 上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2fˈ(x)>1，当x ∈[−π2,3π2]时，不等式f(2cos x)>32−2sin 2x2的解集为( )A. (π3,4π3)B. (−π3,4π3)C. (0,π3) D. (−π3,π3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x 轴为曲线f(x)=4x 3+4(a −1)x +1的切线，则a 的值为______．14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 8=2a 3a 6，S 5=−62，则a 1的值是______．15. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠NAM =60°，C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°；从C 点测得∠MCA =60°，已知山高BC =1000m ，则山高MN =________m ．16. 如图所示，平面四边形ACBD 中，AB ⊥BC ，AB =√3，BC =2，△ABD 为等边三角形，现将△ABD 沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB ⊥BC ，则三棱锥P −ABC 的体积为______，其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.如表是大庆市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让月份x1 2 3 4 5 “不礼让斑马线”的驾驶员人数y1201051008590(2)求“不礼让斑马线”的驾驶员人数y 关于月份x 之间的线性回归方程；(3)若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；参考公式，线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −， 相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2．18. 已知f(x)=2√2cos2x ⋅cos(2x −π4)−1，将f(x)的图象向右平移π8个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象．(1)求函数g(x)在[0,π2]上的值域及单调递增区间；(2)若g(B2)=√2，且b =2√2，sinC =12，求△ABC 的面积．19. 如图所示，四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BAD =90°，AB =AD =SA =1，BC =2，M 为SB 的中点．(1)求证：AM//平面SCD ； (2)求点B 到平面SCD 的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为2√2，且离心率为√22． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左焦点为F ，点B 是椭圆与y 轴负半轴的交点，经过F 的直线l 与椭圆交于点M ，N ，经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A ，若|MN|=√2|AB|，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=x −2sinx ．(1)当x ∈[0,2π]时，求f(x)的最小值；(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≤(1−a)x −x ⋅cosx ，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2)，曲线C 1：{x =2cosβy =4+2sinβ(β为参数)，l 1与C 1相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1的极坐标方程及点A 的极坐标；(2)已知直线l 2：θ=π6(ρ∈R)与圆C 2：ρ2−4√3ρcosθ+2=0交于B ，C 两点，记△AOB 的面积为S 1，△COC 2的面积为S 2，求S 1S 2+S2S 1的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +m|(m ∈R)．(1)若m =2时，解不等式f(x)≤3；(2)若关于x 的不等式f(x)≤|2x −3|在x ∈[0,1]上有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−1<x<3}，B={x|x2+x−6<0,x∈Z}={x|−3<x<2,x∈Z}={−2,−1,0，1}，∴A∩B={0,1}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=6i1−i =6i(1+i)(1−i)(1+i)=−3+3i，∴z−=−3−3i，则z−的虚部为−3．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念求得z−，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：f(x)=|x|+1，f(−x)=|−x|+1=|x|+1=f(x)，为偶函数，当x>0时，y=x+1在(0,+∞)上单调递增，故A正确；B：y=x3为奇函数，不符合题意；C：y=−x2+1为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；D：y=(12)x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：A．结合函数奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影=12×(16×πR2−12×R2×sin60°)=(2π−3√3)R2，故所求概率为S 阴(2R)2=(2π−3√3)R24R2=π2−3√34．故选：B．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A中，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m//n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故B正确；在C中，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D 中，若m ⊥n ，m//α，n ⊥β，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选：B ．在A 中，α与β相交或平行；在B 中，由面面平行的判定定理得α//β；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题． 6.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得 a =1，b =1，n =4执行循环体，S =3，a =1，b =3，n =3不满足条件n <2，执行循环体，S =7，a =3，b =7，n =2 不满足条件n <2，执行循环体，S =17，a =7，b =17，n =1 此时，满足条件n <2，退出循环，输出S 的值17． 故选：B ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和公式，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差． 【解答】解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设公差为d ， ∵a 4+a 5=24，S 6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选C ． 8.【答案】A【解析】解：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则2x =−4，x =−2，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)； ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1)×(−2)+(−2)×(−4)=10；故选：A ．由三点共线求出x ；再代入其数量积即可．本题考查共线向量与平面向量的数量积，考查运算求解能力． 9.【答案】D【解析】解：由题意可得：因为函数y =f(x)是R 上的奇函数，并且f(x)=g(x +2)， 所以f(−x)=−f(x)，即g(−x +2)=−g(x +2)． 又因为函数y =g(x)是R 上的偶函数， 所以g(x +2)=−g(x −2)，所以g(x)=−g(x−4)，所以g(x−4)=−g(x−8)，所以g(x)=g(x−8)，所以函数g(x)是周期函数，并且周期为8．所以g(10.5)=g(2.5)=−g(−1.5)=−g(1.5)=0.5．故选：D．根据函数y=f(x)是R上的奇函数，并且f(x)=g(x+2)，得到g(−x+2)=−g(x+2).结合g(x)是R上的偶函数，得到g(x+2)=−g(x−2)，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．10.【答案】D【解析】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得A=2．3T 4=34⋅2πω=11π12−π6，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)，故f(x)的周期为π．∵f(x1)+f(x2)=0，且|x2−x1|<π2，故x1+x22为函数f(x)的零点，故2⋅x1+x22+π6=kπ，k∈Z，即x1+x2=kπ−π6，则f(x1+x2)=f(kπ−π6)=2sin(2kπ−π3+π6)=−1，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得x1+x2=kπ−π6，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，直线l方程为：y=√3(x−2)，代入抛物线y2=8x整理得：3x2−12x+12=8x，∴3x2−20x+12=0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1+x2=203，∴弦BC的中点坐标为(103,4√33)，∴弦BC的中垂线的方程为y−4√33=−√33(x−103)，令y=0，可得x=223，∴P(223,0)，∵A(2,0)，∴|AP|=163．故选：A．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．求出直线l的方程，代入抛物线方程可得方程3x2−20x+12=0，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)−12x−12，可得g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)=0，进而根据f(2cosx)>32−2sin2x2可得2cosx>1，解得答案．【解答】解：，f(2cos x)>32−2sin2x2，即，令g(x)=f(x)−12x−12，则g′(x)=f′(x)−12>0，∴g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)=f(1)−12−12=0，∴g(2cosx)=f(2cosx)−cosx−12>0=g(1)，∴2cosx>1，即cosx>12，又∵x∈[−π2,3π2]，∴x∈(−π3,π3 )，故选D．13.【答案】14【解析】解：由f(x)=4x3+4(a−1)x+1，得f′(x)=12x2+4(a−1)，∵x轴为曲线f(x)的切线，∴f(x)的切线方程为y=0，设切点为(x0,0)，则f′(x0)=12x02+4(a−1)=0①，又f(x0)=4x03+4(a−1)x0+1=0②，由①②，得x0=12，a=14，∴a的值为14．故答案为：14．先对f(x)求导，然后设切点为(x0,0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于x0和a的方程，再求出a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14.【答案】−2【解析】解：∵a 2a 8=2a 3a 6，S 5=−62∴q ≠1∴{a 12q 8=2a 12q 7a 1(1−q 5)1−q=−62解方程可得，q =2，a 1=−2 故答案为：−2由题意可知，q ≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得{a 12q 8=2a 12q7a 1(1−q 5)1−q=−62，解方程可求 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15.【答案】1500【解析】 【分析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题． △ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC ；在△AMC 中，利用正弦定理求得AM ；再在Rt △AMN 中，根据MN =AM ⋅sin∠MAN ，计算求得结果． 【解答】解：在△ABC 中，∵∠BAC =45°， ∠ABC =90°,BC =1000， ∴AC =1000sin45°=1000√2，又因在△AMC 中，∠MAC =75°,∠MCA =60°， ∴∠AMC =45°， 由正弦定理可得AMsin60°=1000√2sin45°，解得AM =1000√3，所以在Rt △AMN 中，，故答案为1500．16.【答案】√328π【解析】解：依题可知，AB ⊥BC ，PB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ， 故三棱锥P −ABC 的体积为V =13×2×12×√3×√3×sin60°=√32．根据题意可将三棱锥补成棱柱，因为△ABD 为等边三角形，所以其外接球球心在上下两个底面的外心连线的中点上，因为2r =√3sin60°=2，即r =1，故R =√12+12=√2，即其外接球的表面积为S =4πR 2=8π．故答案为：√32；8π．根据题意可知，AB ⊥BC ，PB ⊥BC ，可得BC ⊥平面PAB ，即可计算出三棱锥P −ABC 的体积，将三棱锥补成棱柱，因为△ABD 为等边三角形，所以其外接球球心在上下两个底面的外心连线的中点上， 即可根据勾股定理求出外接球半径，从而求得体积．本题主要考查三棱锥的体积求法，以及其外接球的表面积求法，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意x −=3，y −=100，∑x i 5i=1y i =1420，∑x i 25i=1=55，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=−80，∑(5i=1x i −x −)2∑(5i=1y i −y −)2=7500，计算r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)2=√7500≈−0.921， ∵|r|=0.921>0.75，∴y 与x 具有很强的线性相关关系；(2)b ̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑x i 25i=1−5x −2=1420−5×3×10055−5×9=−8，a ̂=y −−b ̂x −=100−(−8)×3=124， ∴y 关于月份x 之间的线性回归方程为y =−8x +124；(3)从4月份选取的4人分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，从5月份选取的2人分别记为b 1，b 2．从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有：(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 1,a 4)，(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,a 3)，(a 2,a 4)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,a 4)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(a 4,b 1)，(a 4,b 2)，(b 1,b 2)共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的基本事件为：(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 3,b 1)，(a 3,b 2)，(a 4,b 1)，(a 4,b 2)共8个，设抽取的2人分别来自两个月份为事件A ，则P(A)=815．【解析】(1)由已知数据结合相关系数公式求得r ，比较|r|与0.75的大小可得y 与x 具有很强的线性相关关系；(2)求出b ̂与a ̂的值，可得y 关于x 的线性回归方程；(3)利用枚举法写出从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件数，再找出“抽取的2人分别来自两个月份”包含的基本事件数，则概率可求．本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)f(x)=2√2cos2x ⋅cos(2x −π4)−1=2√2cos2x(√22cos2x +√22sin2x)−1 =2cos 22x +2sin2xcos2x −1=cos4x +sin4x=√2sin(4x +π4) 将f(x)的图象向右平移π8个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象则可得g(x)=√2sin(2x −π4)，x ∈[0,π2]，则2x −π4∈[−π4,3π4]，则sin(2x −π4)∈[−√22,1]， ∴g(x)的值域为[−1,√2].令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，则kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z ， k =0时，−π8≤x ≤3π8，所以g(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,3π8]； (2)g(B 2)=√2sin(B −π4)=√2，解得B =3π4，由sinC =12，可得C =π6， 则sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√22×√32−√22×12=√6−√24， 由正弦定理得b sinB =c sinC ，即√2√22=c12，解得c =2故△ABC的面积S=12bcsinA=12×2√2×2×√6−√24=√3−1．【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)根据三角函数图象变换原则求得g(x)，由三角函数的性质即可求得值域及单调增区间；(2)由(1)中所求解得B，由正弦定理解得c，再求得sin A，则面积可求．本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，求三角函数图象变换后的解析式，求三角函数的值域，单调区间，以及利用正弦定理求解三角形，属于综合中档题19.【答案】解：(1)取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN//BC，且MN=12BC，∵∠ABC=∠BAD=90°，AD=1，BC=2，∴AD//BC，且AD=12BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM//DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM//平面SCD．(2)∵AB=AS=1，M为SB中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，由(1)可知AM//DN，∴DN⊥平面SBC，∵DN⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形SBC中，12SB⋅BC=12SC⋅BE，∴BE=SB⋅BCSC =√2√6=2√33，即点B到平面SCD的距离为2√33．【解析】(1)取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM//平面SCD；(2)先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20.【答案】解：(1)由题意可知得{2a=2√2ca=√22a2=b2+c2，解得{a=√2b=1c=1，所以椭圆C的标准方程为：x22+y2=1；(2)因为|MN|=√2|AB|>|AB|，所以MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y =k(x +1)，由{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得(k 2+12)x 2+2k 2x +k 2−1=0， 设M(x 1,y 1 )，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4k 22k +1，x 1⋅x 2=2k 2−22k +1， ∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√8(k 2+1)2k 2+1，依题意，直线AB 的方程为y =kx −1，代入x 22+y 2=1中，得(2k 2+1)x 2−4kx =0， 设A(x 3,y 3)，且B(0,−1)，可得x 3=4k 2k 2+1，则|AB|=√k 2+1|x 3−0|=√k 2+1⋅|4k|2k 2+1，由|MN|=√2|AB|，所以√k 2+1⋅√8(k 2+1)2k 2+1=√2⋅√k 2+1⋅|4k|2k 2+1， 从而√8(k 2+1)=√2|4k|，则k =±√33， 故直线l 的方程为y =±√33(x +1)．【解析】(1)根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)由题意直线MN 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y =k(x +1)，与椭圆方程联立利用弦长公式求出|MN|，依题意直线AB 的方程为y =kx −1，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AB|，代入|MN|=√2|AB|，即可求出k 的值，从而得到直线l 的方程．本题主要考查了椭圆的坐标方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式得应用，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1−2cosx ，x ∈[0,2π]……………………(1分)令f′(x)>0⇒cosx <12，得x ∈(π3,5π3)；f′(x)<0，得x ∈(0,π3)和(5π3,2π] 所以f(x)在(0,π3)递减，在(π3,5π3)递增，在(5π3,2π)递减．……………………………………(3分) 所以最小值为min{f(π3),f(2π)}．又因为f(π3)=π3−√3，f(2π)=2π，f(π3)<f(2π)，所以x ∈[0,2π]时，f(x)min =f(π3)=π3−√3.…………………………(5分)(2)f(x)≤(1−a)x −x ⋅cosx ，即2sinx −xcosx −ax ≥0．设ℎ(x)=2sinx −xcosx −ax ，x ∈[0,π]，ℎ′(x)=2cosx −cosx +xsinx −a =cosx +xsinx −a ……………………(6分)ℎ′′(x)=xcosx ，∴x ∈[0,π2]，ℎ′′(x)>0，x ∈[π2,π]，ℎ′′(x)<0．∴ℎ′(x)≤ℎ′(π2)=π2−a ，又ℎ′(0)=1−a ，ℎ′(π)=−1−a.………………(7分)(i)π2−a ≤0即a ≥π2时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[0,π]上递减，ℎ(x)≤0，舍．………………(8分)(ii)π2−a >0即a <π2时，①当−1−a <0，1−a <0即1<a <π2时，∃x 0∈(0,π2)，使得ℎ′(x 0)=0.且0<x <x 0，ℎ′(x 0)<0，ℎ(x)在(0,x 0)内递减，ℎ(x)≤ℎ(0)=0，矛盾，舍………………(9分)②当−1−a <0，1−a ≥0即−1<a ≤1时，∃x 0∈(π2,π)，使得ℎ′(x 0)=0，且0≤x <x 0，ℎ′(x 0)≥0，x 0<x ≤π，ℎ′(x 0)<0，∴ℎ(x)在(0,x 0)上递增，在(x 0,π)上递减，又ℎ(0)=0，ℎ(π)=(1−a)π>0，所以ℎ(x)≥0成立．…………………………(10分)③−1−a ≥0，1−a ≥0即a ≤−1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[0,π]上递增，则ℎ(x)≥ℎ(0)=0.满足题意． 综上，a ≤1.……………………………………(12分)【解析】(1)f′(x)=1−2cosx ，x ∈[0,2π].分别解出f′(x)>0，f′(x)<0，可得其单调性，进而得出极值与最值．(2)f(x)≤(1−a)x −x ⋅cosx ，即2sinx −xcosx −ax ≥0.设ℎ(x)=2sinx −xcosx −ax ，x ∈[0,π]，ℎ′(x)=cosx +xsinx −a ，ℎ′′(x)=xcosx ，可得ℎ′(x)≤ℎ′(π2)=π2−a ，又ℎ′(0)=1−a ，ℎ′(π)=−1−a.对a 分类讨论即可得出． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1：{x =2cosβy =4+2sinβ(β为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −4)2=4．将{x =ρcosθy =ρsinθ代入得到ρ2−8ρsinθ+12=0． 直线l 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2)，转换为极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．将θ=α代入ρ2−8ρsinθ+12=0得到ρ2−8ρsinα+12=0，由于△=(8sinα)2−4×12=0，解得α=π3，故此时ρ=2√3，所以点A 的极坐标为(2√3,π3).(2)由于圆C 2：ρ2−4√3ρcosθ+2=0，转换为直角坐标方程为(x −2√3)2+y 2=10．所以圆心坐标为(2√3,0).设B(ρ1,π6)，C(ρ2,π6)，将θ=π6代入ρ2−4√3ρcosθ+2=0，得到ρ2−6ρ+2=0，所以ρ1+ρ2=6，ρ1ρ2=2，由于S 1=12⋅ρ1⋅ρA ⋅sin(π3−π6)=√32ρ1， S 2=12⋅|OC 2|⋅ρ2⋅sin π6=√32ρ2， 所以S 1S 2+S 2S 1=ρ1ρ2+ρ2ρ1 =(ρ1+ρ2)2−2ρ1ρ2ρ1ρ2=62−2×22=16．【解析】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果；(2)利用三角形的面积公式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)若m =2时，|x −1|+|2x +2|≤3，当x ≤−1时，原不等式可化为−x +1−2x −2≤3解得x ≥−43，⩽x⩽−1，所以−43当−1<x<1时，原不等式可化为1−x+2x+2≤3得x≤0，所以−1<x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x−1+2x+2≤3解得x⩽2，所以x∈⌀，3⩽x⩽0}.综上：不等式的解集为{x|−43(2)当x∈[0,1]时，由f(x)≤|2x−3|得1−x+|2x+m|≤3−2x，即|2x+m|≤2−x，故x−2≤2x+m≤2−x得−x−2≤m≤2−3x，又由题意知：(−x−2)min≤m，且m≤(2−3x)max，即−3≤m≤2，故m的范围为[−3,2]．【解析】本题考查解绝对值不等式，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)通过分段讨论去掉绝对值符号解不等式，最后将每一段的解集并在一起即可；(2)当x∈[0,1]时，转化为|2x+m|≤2−x有解，即−x−2≤m≤2−3x在x∈[0,1]时有解，(−x−2)min≤m，且m≤(2−3x)max，可求解实数m的取值范围．。
黑龙江省大庆2020届高三下学期第四次检测数学(文)试卷
文科数学考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}ln 0A x x =>，311B xx ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（）A ．()1+∞， B ．()-12， C ．()2,+∞D ．()1,22．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1-D ．13．设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值（）A ．5B ．4C ．9D ．24．已知等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，若810S S =，则18a =（）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美。
如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是()A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 6．在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2620x x ++=的根，则2169a a a =（） A ．22-2+ B ．-2C ．2D ．2±7．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<两条相邻对称轴分别为512x π=和34x π=，若3(0)5f =，则()6f π=（） A ．4-5 B ．3-5C ．35D ．458．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 0.2b =，bc a =，则（） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<9．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3(,0)2x ∈-时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．-2B ．2log 3C ．3D ．2log 5-10．在空间四边形ABCD 中，若DA CD BC AB ===，且BD AC =，F E 、分别是AB CD 、的中点，则异面直线AC EF 与所成角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．若函数1()xf x ae x=-在其定义域上只有3个极值点，则实数a 的取值范围（） A ．2--(1,)4e ⎛⎫∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，B ．2--4e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，C ．()21--1,4e e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，D ．1--e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，12．已知F 是抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，抛物线C 上的动点,A B 满足4AF FB =，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN ∆的面积为5，则AB =（） A.94B.134C.214D ．254二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．已知向量()1,1a =-，()1,0b =，则b 在a 方向上的投影为 ． 14．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2πα+的值等于 ．15．已知两圆相交于两点(,3),(1,1)A a B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则a b +的值为 ．16．三棱锥P ABC -中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分） 17．（本小题满分12分）为了比较两种治疗某病毒的药分别称为甲药，乙药的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图。
2020年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年黑龙江省大庆市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，，则A. B. C. D. 0，2.设i是虚数单位，若复数z满足，则复数z对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.B.C. 4D. 54.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“”是“且”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知圆与抛物线的准线相切，则A. 4B. 3C. 2D. 16.函数的单调减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，7.已知向量、满足，，，则与夹角为A. B. C. D.8.设，，，则A. B. C. D.9.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知，则的值为A. B. C. D.11.已知P为双曲线C：左支上一点，，分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若的最小值为，则C的离心率为A. B. C. D.12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则下列关系成立的是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．14.已知实数x，y满足线性约束条件，则的最小值为______．15.设是等比数列的前n项的和，若，则______．16.已知四边长均为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，平面平面CBD，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在矩形ABCD所在平面的同一侧取两E、F，使且，若，，．求证：取BF的中点G，求证平面ADGC求多面体的体积．18.已知数列的前n项和为，且满足，．求数列的通项公式；数列满足，记数列的前n项和为，求数列的前n项和．19.2021年，辽宁省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生其中男生550人，女生450人中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查．已知抽取的n名学生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在的条件下抽取到n名学生进行问卷调查假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目，如表是根据调查结果得到的列联表：请将如表的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生10女生30总计在抽取到的45名女生中技分层抽样再抽出6名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这6名女生中再抽取3人，求这3人中选择“历史”的人数为2人的概率．k参考公式：20.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点的直线斜率不等于零与椭圆交于不同的两点E、在B、F之间，求椭圆的标准方程；求直线l斜率的取值范围；若与面积之比为，求的取值范围．21.设函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，恒成立，求整数m的最大值．参考数值：，，，22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C的普通方程和l的直角坐标方程；直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的倾斜角．23.已知函数．若，求不等式的解集；若“，”为假命题，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由A中不等式变形得：，解得：，即，0，，0，．故选：D．求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由，得．复数z对应的点的坐标为，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：按照程序框图依次执行为，；，；，；，；，，退出循环，输出．故选：A．首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．4.答案：A解析：解：l，m，n均为直线，m，n在平面内，且由线面垂直性质定理．反之，如果且推不出，也即时，l也可能平行于．由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．故选：A．由题意可知：时，由线面垂直性质定理知，且但反之不能成立，由充分必要条件概念可获解．本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识．主要注意两点：线面垂直判定及性质定理．充分必要条件的判定，要注意方向性，即谁是谁的．5.答案：C解析：【分析】先把圆的方程整理标准方程，求得圆心和半径，进而根据圆与抛物线的准线相切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得本题主要考查了抛物线的标准方程，点到直线的距离及圆与直线的位置关系．解题的关键是利用圆和抛物线的标准方程求得圆心，半径及抛物线的准线方程．【解答】解：整理圆方程得，圆心坐标为，半径，圆与抛物线的准线相切，圆心到抛物线准线的距离为半径，即，求得．故选C．6.答案：D解析：解：函数，故本题即求的增区间．由，，可得，．故的增区间为，，故选D．化简可得函数，本题即求的增区间．由，，求得x的范围，即得所求．本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调增区间的求法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．7.答案：B解析：解：，，，，，即，，，且，．故选：B．根据对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，从而可得出的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，是基础题．利用指数函数与对数的函数的单调性分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．【解答】解：；，；，．故选C．9.答案：B解析：解：当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．10.答案：B解析：【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．【解答】解：，则，故选：B．11.答案：D解析：解：由双曲线的定义可得，则，当M，P，F1三点共线时，取得最小值，即为，由题意可得，移项平方可得，化为，由，可得，解得舍去，故选：D．运用双曲线的定义和三点共线时取得最值的性质，结合a，b，c，e的关系，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率求法，考查化归与转化思想和方程思想，属于中档题．12.答案：D解析：解：当，，则不等式等价为，即，设，则，即函数在单调递增，则，，，，即，，，，则，故A错误，，故B错误，，故C错误，，故D正确，故选：D．根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．本题主要考查函数的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．13.答案：1解析：解：根据题意，函数，则，，故答案为：1．根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及分段函数解析式的计算，属于基础题．14.答案：1解析：解：绘制实数x，y满足线性约束条件，表示的平面区域如图所示，目标函数，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得A点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：．故答案为：1．首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可．本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题．15.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，则，所以，．故答案为：．设该等比数列的公比为q，由已知条件得出，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案．本题考查等比数列的通项和求和公式，解决本题的关键就是利用公比来表示题中的已知量，同时考查了计算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图所示，设E是的外心，F是的外心，过E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形ABCD的边长为，，所以与均为等边三角形；又平面平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心；又，，所以外接球的半径为；所以外接球的体积为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形得出与均为等边三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，再计算外接球的体积．本题考查了多面体外接球体积的计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．17.答案：证明：四边形ABCD是矩形，，又，，而，平面ABF，平面ABF，；证明：连结AC，BD交于点O，则OG是的中位线，，平面AGC，平面AGC，平面AGC；解：，，，底面ABCD为矩形，底面ABCD，F到平面CDE的距离等于AD，三角形CDE为直角三角形，．解析：由四边形ABCD是矩形，可得，再由已知得到，由线面垂直的判断可得平面ABF，从而得到；连结AC，BD交于点O，可得，由线面平行的判定可得平面AGC；由已知直接利用等积法求得多面体的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．18.答案：解：因为，当时，，由得，即，当时，，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为2，所以；由得，所以，，数列的前n项和为解析：运用数列的递推式，将n换为，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；运用等比数列的通项公式和对数的运算性质可得，由等差数列的求和公式可得，，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式，以及等差数列的求和公式，同时考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：由题意：，解得，男生人数为：人，列联表为：选择”物理“选择”历史“总计男生451055女生 301545总计75 25100，所以没有的把握认为选择科目与性别有关．选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为a，b，c，d，2人选择历史，设为A，B，从中选取3人，共有20种选法，其中由2人选择历史的有4种，故这3人中有2人选择历史的概率为：．解析：由题意：，解得，男生人数为：人；计算得，结合临界值表可得；选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，2人选择历史，根据古典概型概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：设椭圆的方程为，则，抛物线的焦点为由解得，椭圆的标准方程为；如图，由题意知l的斜率存在且不为0，设l方程为，将代入整理得：，由得，；设，，则令，则，由此可得，，且，，，，即，，，解得又，，与面积之比的取值范围是．解析：由题意离心率和椭圆的短轴上的顶点坐标，及a，b，c之间的关系可得椭圆的标准方程；设直线方程与椭圆联立，用判别式大于零得有两个交点时的斜率的范围；面积之比高相同既是BE，BF的比，用横坐标的关系得出的取值范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.答案：解：当时，，，所以，因为所以切线方程为，整理得：，，因为，所以恒成立设，则，设，则．所以在上单调递增，又，，所以存在使得，当时，，即；当时，即．所以在上单调递减，上单调递增．所以．因为，．所以，，设，当时，，所以在上单调递增．则，即．所以因为，所以，所以m的最大值为2．解析：先对函数求导，然后导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由已知不等式分离参数后，构造新函数，然后结合导数与函数的性质可求．本题主要考查了导数的几何意义及由不等式的恒成立求解参数范围问题，属于中档试题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为整理得，转换为直角坐标方程为．直线l与x轴的交点为P，所以，所以为参数，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，整理得，所以，所以，解得或，所以或．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，，由，得．故不等式的解集为．“，”为假命题，“，”为真命题，．，，则，，即，解得，的取值范围为．解析：将代入中，然后将写为分段函数的形式，然后求解不等式即可；由“，”为假命题可知，“，”为真命题，从而得到然后利用绝对值三角不等式求出的最大值，再解关于a的不等式即可得到a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，利用命题的否定求参数的范围和绝对值三角不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选 D. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2216428x y += D. 2212864x y += 【答案】A【解析】由椭圆的长轴长及离心率的值,可求出,,a b c ,进而结合椭圆的焦点在x 轴上,可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意知,28a =,∴4a =,又34e =,∴3c =,则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时,所以椭圆方程为221167x y +=. 故选：A .4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘,O 为圆心,阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形,点Р为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A. 116B. 1124C. 1324D. 516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率,由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学仿真模拟试题理(含解析)
大庆实验中学实验一部2020届高三仿真模拟数学试卷（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共23题，共150分，共3页。
考试时间：120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于” 改成相反方面“小于” . 所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C 【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100 时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12 日指数值的统计数据，图中点表示4 月1 日的指数值为201 ．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9 日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9 日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知，不大于100天有6日到11日,共6天，所以A对，不选.最小的一天为10日,所以B对,不选•中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小，D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2 所示的程序框图，若输入的分别为这15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知，它的作用是统计出分数大于或等于110 分的人数n. 所以. 选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图，我们可知概率为两个面积比. 选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度” ，常见的测度有长度、面积、体积等，若题中只有一个变量，可考虑利用长度模型，若题中由两个变量，可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项•10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得•11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f (X)=，若存在X i、X2、…X n满足==••==,贝U X1+X2+…+X n的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10答案】C解析】由函数的解析式可得函数f(x) 的图象关于点(2,0) 对称，结合图象知：X I、X2、…X n满足•••函数f (x)与y= x-1的图象恰有5个交点，且这5个交点关于(2,0)对称, 除去点(2,0) ，故有X1+X2 +…+ X n=X l+X2+X3+X4=8.本题选择C选项.第n卷(共90分)二、填空题(每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上)13. 已知函数(为正实数)只有一个零点，则的最小值为【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式. 基本不等式可将积的形式转化为和的形式, 也可将和的形式转化为积的形式, 两种情况下的放缩功能, 可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式, 函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积, 而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为________________ ．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为. 点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3 男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2 名，且甲班至少分配1 名女生，则不同的分配方案种数为 _________________ ．(用数字作答)【答案】1616.已知函数，点O为坐标原点，点，向量=(0 , 1 ), 0 n是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t 的取值范围为 ______________ ．【答案】【解析】根据题意得, 是直线OA n 的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：⑴ a> f(X)恒成立？a> f(X)max；⑵ a< f (x)恒成立？a< f (x) min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中，角所对的边分别为•(1)求角；(2)若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】( 1 )； (2)．【解析】试题分析：(1) 由题意结合余弦定理求得；(2) 利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1) ，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得: (当且仅当时，等号成立) ，即.18. (本小题满分12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为.19.如图，在四棱锥P—ABCDK 平面PADL底面ABCD其中底面ABC［为等腰梯形，AD// BCPA= AB= BC= CD= 2, PD= 2, PAL PD Q为PD的中点.(I)证明：CQ/平面PAB(n)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值【答案】(I)见解析；(n).【解析】试题分析：⑴取PA的中点N,由题意证得BN// CQ则CQ/平面PAB⑵利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：(I)证明如图所示，取PA的中点N,连接QNBN 在^ PAD中, PNh NA PQ= QD所以QN/ AD 且QNh AD在厶APD中 , PA^ 2 , PD= 2, PA± PD所以AD== 4,而BC= 2,所以BC= AD又BC// AD,所以QN/ BC 且QNh BC故四边形BCQ为平行四边形，所以BN// CQ又BN?平面PAB且CQ平面PAB 所以CQ/平面PAB(n)如图，取AD的中点M连接BM取BM的中点Q连接BO PO由(1)知PA= AM= PM= 2,所以△ APM为等边三角形，所以POL AM 同理BOL AM.因为平面PADL平面ABCD所以POh BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB OD OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0) D(0,3,0) A(0 －1,0) B( 0,0) P(0,0 ) C( 2,0)则=(,3,0).因为Q为DP的中点，故Q所以=.设平面AQC的法向量为m= (x , y , z),则可得令y =—，贝U x= 3, z = 5.故平面AQC勺一个法向量为m^ (3，—, 5).设直线PD与平面AQC所成角为0.贝U sin 0 = |cos 〈，n〉| ==.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆勺左，右焦点，分别是椭圆勺上顶点和右顶点，且，离心率.(I)求椭圆的方程；(H)设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值【答案】(I) ； (n).【解析】试题分析：(1) 由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|ln 0A x x =>，3|11B x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．()1,2【答案】C【解析】分别利用对数不等式和分式不等式的解法化简集合A ，B ，然后利用交集运算求解. 【详解】因为集合{}{}|ln 0|1A x x x x =>=>，{3|1|11B x x x x ⎧⎫=<=<-⎨⎬+⎩⎭或}2x >， 所以A B =()2,+∞故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式和分式不等式的解法，属于基础题. 2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D【解析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．3．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．4C ．9D ．2【解析】作出不等式组表示的平面区域，根据图形找到最优解，代入目标函数可得解. 【详解】作出不等式组20201x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图：联立2020x yx y+-=⎧⎨--=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，所以(1,1)M，由图可知，直线23z x y=+经过点(1,1)M时，z取最小值，所以23z x y=+的最小值为21315⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了利用线性规划求目标函数的最值，解题关键是正确作出可行域并找到最优解，属于基础题.4．已知等差数列{}n a的首项12a=，前n项和为nS，若810=S S，则18a=（）A．4-B．2-C．0D．2【答案】B【解析】设等差数列{}n a的公差为d，由810S S=和1a2=得d，即可得18a.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，由810S S=，得910a a+=，所以12170a d+=，且1a2=，所以d=417-，得181417217217a a d⎛⎫=+=+⨯-=-⎪⎝⎭.故选B本题考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 5．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2+6x+2=0的根，则2169a a a 的值为（ ） A． B． CD．【答案】B【解析】由韦达定理得a 3a 15=2，由等比数列通项公式性质得：a 92=a 3a 15=a 2a 16=2，由此求出答案． 【详解】解：∵在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2-6x+2=0的根， ∴a 3a 15=2＞0，a 3+a 15=6＞0 ∴a 2a 16=a 3a 15=2， a 92=a 3a 15=2， ∴a 9∴2169a a a = 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<两条相邻对称轴为512x π=和34x π=，若3(0)5f =，则()6f π=（ ） A ．45- B ．35C ．35D ．45【答案】C【解析】由相邻对称轴可得周期，即得ω值，再由函数对称轴可得φ取值，结合()305f =得到A ，从而可求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭值. 【详解】由函数()f x 两相邻对称轴为512x π=和34x π=，可知35-=24123T πππ=，即22=3T ππω=，则=3ω，∴()()sin 3f x A x φ=+， ∵34x π=为对称轴，∴33+=+k 42ππφπ⨯，即97=-+k =k -244πππφππ，0φπ<<， 所以=4πφ，即()sin 34f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又()305f =，则3sin ==45A A π，即=A 所以()354f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33=6564545f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C . 【点睛】本题考查正弦函数解析式的求法，考查正弦函数周期和正弦函数的对称性，考查计算能力，属于中档题7．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.8．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D【解析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值．【详解】 解：已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．9．在空间四边形ABCD 中，若AB BC CD DA ===，且AC BD =，E F 、分别是AB CD 、的中点，则异面直线AC EF 与所成角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】设空间四边形ABCD 的边长为2，作AD 的中点 并且连接MF 、EM ，在△EMF 中可由余弦定理能求出异面直线所成的角． 【详解】在图1中连接DE ，EC ，因为AB BC CD DA ====AC BD =，得DEC ∆为等腰三角形，设空间四边形ABCD 的边长为2，即AB BC CD DA ====AC BD ==2，在DEC ∆中，DE EC == 1CF =,得EF .在图2取AD 的中点M ，连接MF 、EM ，因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴MF＝1，EM ＝1，∠EFM 是异面直线AC 与EF 所成的角．在△EMF 中可由余弦定理得：cos∠EFM＝222221122?222FE MF ME FE MF +-+-==，∴∠EFM＝45°,即异面直线所成的角为45°． 故选B图1 图2 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.10．若函数1()xf x ae x=-在其定义域上只有3个极值点，则实数a 的取值范围（ ） A ．2,(1,)4e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．2,4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()21,1,4e e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由函数1()xf x ae x =-，求导21()x f x ae x '=+，根据函数1()xf x ae x=-在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个极值点，转化为21()0x f x ae x'=+=在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，即 21x a x e=-⋅在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，令()21x g x x e=-⋅，用导数法作出函数()g x 图象，利用数形结合法求解.【详解】因为函数1()xf x ae x=-， 所以21()xf x ae x '=+， 因为函数1()xf x ae x=-在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个极值点，所以21()0x f x ae x'=+=在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点， 即 21xa x e=-⋅在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点， 令()21x g x x e =-⋅，则 ()2xx g x x e +'=⋅ ， 当2x <-或 0x >时， ()0g x '>，当 20x -<<时，()0g x '>，当2x =-时，()224e g =-，作出函数()g x 图象，如图所示：所以24e a <-故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 11．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点A ，B 满足4AF FB =，若A ，B 的准线上的射影分别为M ，N 且MFN ∆的面积为5,则AB =（ ） A ．94B ．134C ．214D ．254【答案】D 【解析】分别利用5MFNS、AFCABD 对应边成比例、抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到． 【详解】过点A 作x 轴的垂线垂足于C ，交NB 的延长线于点D．设221212,,,22y y A y B y p p，则12MN y y .5MFNS1210y y p ①AFCABDAF ACABAD ，即11245y y y124y y ②2212,2222y y AF AM FB BNppp p 22124()2222y y pp pp③联立①②③解得14y =，21y =-，2p =221225224y y AB p p p ∴=++=故选D【点睛】抛物线()2:20C y px p =>过焦点的弦长AB 可用公式12AB x x p =++ 得出．二、多选题12．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B ．()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A ，B ，C 正确，函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D 错误． 【详解】解：对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分， 所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确； 对于B ：因为函数3()f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数3()f x x =是该圆的“优美函数”， 故选项B 正确；对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上， 则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确； 对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形， 则函数()y f x =不一定是“优美函数”，如1()f x x=； 但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：，所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数” 的不充分不必要条件，故选项D 错误， 故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，属于中档题．三、填空题13．已知向量()1,1a =-，()1,0b =，则b 在a 方向上的投影为________． 【答案】2 【解析】先求出a b •，a ，b 再代入向量的投影公式计算即可． 【详解】因为a b •＝-1()11101-⨯+⨯=- ，()22112a =-+= ，1b =∴向量b 在向量a 方向上的投影•22a b a =- ． 故答案为2【点睛】本题考查了平面向量的数量积和模长及投影公式，属于基础题． 14．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2πα+的值等于______________ .【答案】45-【解析】根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论. 【详解】由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得cos α=，当cos 5α=时，则sin 5α=，此时4cos 2sin 222555παα⎛⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭；当cos α=时，则sin α=，此时4cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，4cos 225πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.15．已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ .【答案】1-【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭， 根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+， 解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.16．三棱锥P ABC -中，AB BC ==，6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】832π【解析】【详解】在ABC中，61cos30521515B-===-⨯⨯，B为钝角，126sin125B=-=，ABC的外接圆半径562sin446bRB===，12OP=，该三棱锥的外接球的半径为OC=256166()14+=，球的表面积1661668341642πππ⨯==四、解答题17．为了比较两种治疗某病毒的药分别称为甲药，乙药的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天）)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在()3,3x s x s -+之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合2（）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？48≈.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好；理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查..【解析】（1）根据等高条形图直接判断即可；（2）根据茎叶图的知识从数据集中性，中位数，平均数等方面判断说明； （3）分别计算平均数和标准差，根据题意判断即可. 【详解】解：（1）甲药的治愈率更高， （2）甲药的疗效更好， 理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好.理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和标准差分别为45681010111212221010x +++++++++==，4.8s ==≈，所以3 4.4x s -≈-，324.4x s +≈， 而2624.4>，应该对该患者进行进一步检查. 【点睛】本题考查等高条形图，茎叶图，数字特征等知识，考查运算能力与分析能力，是中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =ABC 的面积S ． 【答案】（1）3π．（2）3【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值． （2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】 （1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴， 2sin cos sin A C A ∴=，sin 0A ≠，1cos2C ∴=，(0,)C π∈，3C π∴∠=.（2）11cos 14B =，(0,)B π∈，53sin B ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+53111343214=+=，43533::sin :sin :sin ::8:5:77142a b c A B C ∴===， 设8a x =，5b x =，7c x =，在ACD △中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，22221251620x x x ∴=+-，1x ∴=，8a ∴=，5b =，7c =，1sin 1032ABCSab C ∴==. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 19．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,2,5AB CD AB CD，过A 、B 分别作,AECD BFCD ，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得,//AF BD DE CF ，得空间几何体ADEBCF ，如图2．（1）证明：//BE 面ACD ； （2）求三棱锥B ACD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】（1）通过构造平行四边形证得//OE DG （即//BE DG ），由此证得//BE 面ACD .（2）利用等体积法，将B ACD V -转化为A CDE V -来求得三棱锥的体积. 【详解】（1）连接BE 交AF 于O ，设G 是AC 中点，连接,DG OG .依题意可知1,2,2DE EF AB CF ====，而2AE BF ==，所以四边形ABFE 是正方形，所以AF BE ⊥.因为AF BD ⊥，BD BE B ⋂=，所以AF ⊥平面BDE ，所以AF DE ⊥.因为,DE AE AE AF A ⊥⋂=，所以DE ⊥平面ABFE ，而//DE CF ，所以CF ⊥平面ABFE .由于O 是AF 中点，G 是AC 的中点，所以//OG CF 且12OG CF =，而//DE CF ，且12DE CF =，所以//DE OG =，所以四边形EOGD 为平行四边形，所以//OE DG ，即//BE DG ，由于BE ⊂平面ACD ,DG ⊂面ACD ，所以//BE 面ACD .（2）由（1）知//BE 面ACD ，所以B 到平面ACD 的距离，等于E 到平面ACD 的距离.由于,,AE EF AE DE EF DE E ⊥⊥⋂=，所以AE ⊥平面EDFC .所以13B ACD A CDE CDE V V S AE --∆==⨯⨯112122323=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，并且椭圆经过点P(1，3)，直线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l 于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2214x y +=.(2) 存在2λ=，使得1232k k k +=．【解析】(1)根据已知得到a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2) 设直线AB 的方程为：()1y k x =-，利用韦达定理求出12323k k k +=-，336k k =-，即得1232k k k +=和λ的值.【详解】（1）因为椭圆的离心率为2，所以222114b a =-=⎝⎭，又椭圆过点1P ⎛ ⎝⎭，所以221314a b +=， 所以24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）设直线AB 的方程为：()1y k x =-，令4x =，则3y k =，所以点()43M k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，所以1212122211y y k k x x --+=+-- ()()1212112211k x k x x x ----=+--12112211k x x ⎫=-+⎪--⎝⎭()1212122221x x k x x x x ⎡⎤+-=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦． 由()22144y k x x y ，⎧=-⎨+=⎩，可得()2222148440kxk x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，所以221222228214244811414k k k k k k k k k-++=--+++2k =-．又因为33236k k k ==-，所以1232k k k +=， 所以存在2λ=，使得1232k k k +=． 【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是求出韦达定理求出122k k k +=3k k =21．已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：若对于任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使不等式20()ln f x a a a+>-成立.【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）求出原函数的导函数，当0a ≤时，导函数恒大于0，然后利用二次函数的判别式对a 分类讨论，求出导函数在不同区间内的符号，得到原函数的单调性.（2）(a ∈时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，()max ()122f x f a ==-由已知可得不等式222ln a a a a -+>-都成立，等价于2ln 320a a a +-+>对(a ∈恒成立，记()2ln 32h a a a a =+-+，只需证()0>h a 恒成立即可.【详解】（1）()2122122(0)'x ax x x x xf a x -+=+-=>，记()2221g x x ax =-+.当0a ≤时，因为0x >，所以()1g x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <≤时，因为()2420a ∆=-≤，所以()0g x ≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()00x g x >⎧⎨>⎩，解得22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间22a a ⎛-+⎪⎝⎭上单调递减，在区间⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）知道当(a ∈时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增， 所以(]0,1x ∈时，函数()f x 的最大值是()122f a =-，对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()20ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的(a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，即对任意的(a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立， 记()2ln 32h a a a a =+-+，则()10h =，()1(21)(1)2'3h a a a a a a--=+-=，因为(a ∈，所以()'0h a >，当对任意(a ∈，()()10h a h >=成立.所以：对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()2ln f x a a a +>-成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及证明不等式恒成立，属于难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），圆2C 的方程为()2224x y -+=，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥. （1）求曲线1C 与圆2C 的极坐标方程； （2）当002πθ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M ，N 两点，且2ON OM =，求2MC N 的面积.【答案】（1）22413sin ρθ=+；4cos ρθ=；（2）3. 【解析】(1)消去参数α，可得1C 的普通方程，再把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，可得1C 的极坐标方程；把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()2224x y -+=，可得圆2C 的极坐标方程；(2)把0θθ=代入22413sin ρθ=+，可得OM ；把0θθ=代入cos ρθ，可得ON ，利用2ON OM =解出202sin 3θ=，代入面积公式计算可得答案． 【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得1C 的普通方程为2214x y +=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，由()2224x y -+=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得4cos ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin M ρθ=+，把0θθ=代入cos ρθ，得04cos N ρθ=，则2ON OM =，得2N M ρρ=，则224N M ρρ=，即()2020164cos 13sin θθ=+，解得202sin 3θ=，201cos 3θ=，又002πθ<<，所以3M ρ==04cos N ρθ==， 所以()111201sin 2MC N OC N OC M N M S S S OC ρρθ=-=-△△△122=⨯=【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查极径的几何意义，考查三角形的面积公式，属于中档题．23．已知函数()|1|||f x x x a =++-． （1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集； （2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围．【答案】（1）-2,3（）；（2）13a a ≥≤-或【解析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min ()1f x a =+，从而得12a +≥或12a +≤-，进而可得解. 【详解】努力的你，未来可期!精品 （1）当2a =时，原不等式可化为1-12212535215x x x x x <-≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-<<-<⎩⎩⎩或或解得()2,3x ∈- 所以不等式的解集为()2,3-（2）由题意可得min ()2f x ≥,1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+ 当(1)()0x x a +-≤时取等号.min ()1f x a ∴=+12a +≥或12a +≤-， 即1a ≥或3a ≤-【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.。
精品解析：2020届黑龙江省大庆实验中学高三综合训练(四)英语试题(解析版)
大庆实验中学2020届高三综合训练（四）英语试卷第一部分：听力(共两节，满分30分)第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段材料后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the woman need to do?A. Order some red wineB. Buy some wool pantsC. Have her clothes cleaned2. What row are the speakers in?A. Row 23B. Row 13C. Row 113. What are the speakers mainly talking about?A. A restaurantB. A jobC. Fast food4. How many students are there in the speakers' class?A. 21B. 20C. 185. Which place impressed the man most in Beijing?A. The Great WallB. The Forbidden CityC. The National Grand Theater第二节（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话。
每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话前，你将有时间阅读每个小题，听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间，每段对话读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6. Where is the woman's scarf?A. On the bedB. On the sofaC. In the bag7. What did the woman forget to pack?A. Her glovesB. Her hatC. Her coat听第7段材料，回答第8至9题。
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大庆实验中学2020届高三综合训练（四）数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求．1.已知复数(1)z i i =⋅-，则||z =（ ）A.12B.22C. 12【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则，求得1z i =+，再结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数(1)1z i i i =⋅-=+，所以22112z =+=故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则和复数模的计算公式是解答的关键，意在考查计算能力，属于容易题. 2.设集合{}2|120A x x x =+-<，{|23}B x x =+<，则A B =（ ）A. {|7}x x <B. {|23}x x -<C. {|23}x x -<<D.{|43}x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和根式不等式，即可求得集合,A B ，再求交集即可. 【详解】容易得{|43}A x x =-<<，{|27}B x x =-<， 所以{|23}AB x x =-<故选：B.【点睛】本题考查集合交集的运算，属基础题.3.已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A. a b b b < B. b b a b <C. a b a a <D. a a b a <【答案】B 【解析】 【分析】根据条件对,a b 赋值，令14a =，12b =，计算选项的值即可比较出大小. 【详解】取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.【点睛】本题考查不等式比较大小，涉及特殊值法计算，属于基础题. 4.为了得到3()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将()cos2g x x =的图象（ ） A. 向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】为了得到函数33()sin 2sin 248f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，可以将函数()cos 2sin 2sin 224g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移8π个单位.故选：D ．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 5.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于23C的方程为（ ）A. 2214x y +=B. 22163x y +=C. 22142x y +=D.22143x y += 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得2a b =，2c =222a b c =+即可求解. 【详解】由长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，即2a b =， 焦距等于2c =c =由222a b c =+，解得1b =，2a =，所以椭圆的标准方程：2214x y +=.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的标准方程，属于基础题. 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28114,33a a S +==，则20a =（ ） A. 19B. 18C. 17D. 20【答案】C 【解析】 【分析】用基本量法求解．即把已知条件用1a 和d 表示并解出，然后再由通项公式得解．【详解】由题意281111284111011332a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩． ∴20219117a =-+⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是基本量法．8.已知sin 21cos αα=+，则tan α=（ ）A. 43-B. 34-C.43D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式表示sin 21cos αα=+，可求出tan 22α=，再利用正切函数的二倍角公式可求出tanα的值.【详解】解：∵22sin cossin22tan21cos22cos2αααααα===+，∴22tan42tan31tan2ααα==--，故选：A.【点睛】本题考查正余弦函数以及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题.9.如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，2AB AD CD===，22BD=，90BDC∠=︒，将ABD△沿对角线BD折起至A BD'△，使平面A BD'⊥平面BCD，则四面体A BCD'中，下列结论不正确的是（）A. //EF平面A BC' B. 异面直线CD与A B'所成的角为90°C. 异面直线EF与A C'所成的角为60°D. 直线A C'与平面BCD所成的角为30°【答案】C【解析】【分析】运用线面平行的判定定理可判断A正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C错误；由线面角的求法，可判断D 正确.【详解】对于A：因为E，F分别为A D'和BD两边中点，所以//EF A B'，又EF⊄平面A BC'，所以//EF平面A BC'，故A正确；对于B：因为平面A BD'⊥平面BCD，交线为BD，且CD BD⊥，所以CD⊥平面A BD'，即CD A B⊥'，故B正确；对于C：取CD边中点M，连接EM，FM，则//EM A C'，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=，132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='， 则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题.10.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 63C. 642+D. 322+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+．∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 11.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 顶角为150的等腰三角形D. 顶角为120的等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A 值进而得C ,则形状可求【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题12.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线左支上一点，且()110PF OF OP ⋅+=（O 为坐标原点），2112cos 13PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B.53C.135D.137【答案】D 【解析】 【分析】取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+，根据题意可得1PF OM ⊥，则12PF PF ⊥，由215cos 13PF F ∠=可求出a ，c ，从而求得离心率. 【详解】如图，取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+， 由()110PF OF OP ⋅+=，得10PF OM ⋅=，即1PF OM ⊥. 因为OM 为12PF F ∆的中位线，所以12PF PF ⊥. 由2112cos 13PF F ∠=，设212PF =，则1213F F =，15PF =， 所以2127a PF PF =-=，12213c F F ==，得C 离心率为137c a =.故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y=-的最大值是________.【答案】2 3【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，利用z的几何意义，利用直线平移法即可求出最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max222 32333z=⨯-⨯=.故答案为：2 3【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，常用数形结合问题来求，本题属于基础题.14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．【答案】2 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图能求出该四棱锥的体积．【详解】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD AB ⊥、//AD BC ，2AD AB ==、1BC =，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，∴该四棱锥的体积为：1121222332ABCD V S PA +=⨯⨯=⨯⨯⨯=梯形．故答案为：2．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，属于中档题． 15.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 【答案】3π 【解析】 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变）， 得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.已知函数3()121f x x x =-+，2213,0()3(2)3,02x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨-++≤⎪⎩，若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________． 【答案】[10,17) 【解析】 【分析】原题等价于[()]f g x a =有6个不同的零点.先作出函数()f x 的图象，得到当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解；再作出函数()g x 的图象，得到当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解，求出(3),(4)f f -的值即得解.【详解】因为[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同）， 所以[()]f g x a =有6个不同的零点.3()121f x x x =-+,所以2()312=3(2)(2)f x x x x '=-+-，所以函数()f x 在(2,),(,2)+∞-∞-单调递增，在(2,2)-单调递减. 所以函数()f x 的图象如图所示，当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解. 函数()g x 的图象如图所示，当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解， 当3x =-时，(3)2736110f -=-++=； 当4x =时，(4)6448117f =-+=；若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为[10,17). 故答案为：[10,17).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；（2）若1PA =，22PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为3，试求:PE ED 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）:1:2PE ED = 【解析】 【分析】(1) 连接BD 交AC 于O ,连接EO ,再证明EO PB 即可. (2) 根据三棱锥E ACD -的体积为39可求得E 到平面ABCD 的距离为23,再根据PA ⊥平面ABCD 且1PA =即可求得:PE ED .【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵ABCD 为矩形,∴O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点,∴EO PB , ∵EO平面AEC ,PB平面AEC ,∴PB 平面AEC .（2）由题设3AD =,1CD =,∴ADC 的面积为32. ∵棱锥E ACD -3∴E 到平面ABCD 的距离h 3133=,即23h =. ∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,过E 在平面PAD 内作EF AD ⊥,垂足为F ,则EF ⊥平面ABCD , 而PA ⊥平面ABCD ,于是EFPA .∵1PA =,∴:2:3ED PD =.则:1:2PE ED =【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题,需要根据题意求出对应的高,再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题. 18.已知等差数列{}n a 中，公差0d >，且满足：2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为nS ，令()16nS f n n =+()*N n ∈，求()f n 的最大值. 【答案】（1）43n a n =-；（2）181. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）首先利用裂项求和法求出n S ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题设知：2314234514a a a a a a ⋅=⎧⎨+=+=⎩，∴2359a a =⎧⎨=⎩或2395a a =⎧⎨=⎩ ∵0d >，∴25a =，39a =. ∴43n a n =- （2）∵()()111111434144341n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1111111...41559434141n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴()211411616164651681465n nS n n f n n n n n n n+====≤++++++（当2n =时取等号） 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法、基本不等式求最值，属于基础题. 19.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二 【解析】 【分析】（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x==-=∑；乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P =因为12P P >故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F . 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 共7种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P =因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）定点为7(,0)3E ，59EA EB ⋅=-. 【解析】试题分析:（1）求得圆O 的方程，由直线和圆相切的条件:d r =，可得a 的值，再由离心率公式，可得c 的值，结合,,a b c 的关系，可得b ，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线(2)y k x =-和椭圆方程，得()222213121260kxk x k +-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ⋅为定值，定点,则可求解. 试题解析：（1）由e =得c a =，即c =① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222x y a +=，且与直线260x -+=相切，所以a ==2c =，所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=.（2）由()221{622x y y k x +==-得()222213121260k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，，所以21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，根据题意，假设x 轴上存在定点()0E m ，， 使得()2EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值， 则()()()()11221212EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+，，()()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()222231210613m m k m k -++-=+要使上式为定值，即与k 无关，()223121036m m m -+=-， 得73m =. 此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点703E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为59-.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 椭圆的标准方程,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，属于中档题，解决存在性问题应注意以下几点：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 21.已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=. （1）求函数ln ()xg x x=的单调区间； （2）若不等式()()f x g x ≥区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：4444ln 2ln 3ln 4ln 12342n n e++++< 【答案】（1）函数ln ()xg x x=的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞（2）12k e ≥（3）见解析.【解析】试题分析：（1）求出()'g x ，由()'0g x >，结合函数的定义域解得x 的范围，就是函数的增区间；（2）问题转化为k 大于等于()h x 的最大值，利用导数求得函数()h x 有最大值，且最大值为12e ，得到12k e≤；（3）先判断()42ln 1122x x x e x <⋅≥，得4444222ln 2ln 3ln 4ln 1111......234223n n e n ⎛⎫++++<+++ ⎪⎝⎭，用放缩法证明222111...123n +++<，即得要证的不等式. 试题解析：（1）∵()ln xg x x=，故其定义域为()0,+∞， ∴()21ln xg x x -'=，令()0g x '>，得0x e <<，令()0g x '<，得x e >. 故函数()ln xg x x=的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.（2）∵0x >，ln x kx x ≥，∴2ln x k x ≥，令()2ln xh x x=又()312ln xh x x-'=，令()0h x '=解得x =当x 在()0,+∞内变化时，()h x '，()h x 变化如下表由表知，当x =()h x 有最大值，且最大值为12e ，所以，12k e≥ （3）由（2）知2ln 12x x e ≤，∴42ln 11•2x x e x ≤（2x ≥） ∴444222ln2ln3ln 111123223n n e n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭()22211111111111111123122312231n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=--++-=-< ⎪⎪ ⎪⨯⨯--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴444222ln2ln3ln 11111232232n n e n e⎛⎫+++<+++< ⎪⎝⎭ 即444ln2ln3ln 1232n n e+++< 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得k 的最大值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线3:14x tl y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点()0,1P ，直线l 与曲线C 交于M ，N ，求11PM PN+的值. 【答案】（1）22144-=y x （2）15【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）借助直线参数方程中t 的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果.【详解】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-，即2222cos sin 4ρθρθ-=-. ∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=-，即22144-=y x . （2）将直线3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），令'=5t t 转换为：35415x t y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（'t 为参数），代入曲线22144-=y x ， 得到：'2'740750t t +-=， 所以''12407t t +=-，''12757t t =-（'1t 和'2t 为M 和N 对应的参数）， 则''12''1211t t PM PN t t -+==15=. 故11PM PN +. 【点睛】本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|25||21|f x x x =--+.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】【分析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分类讨论求并集 ()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）由题可知：()56,21544,2216,2x f x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩即12x -或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++. 令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=，当且仅当()()25210x x -+≤时，即15,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取得等号. 所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。