2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一理科数学试卷
黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学2015—2016学年度上学期高三期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A．B．C．D．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A．B．C．D．3、函数的反函数为A．B．C．D．4、在等差数列中，若，则的值为A．20 B．40 C．60 D．805、函数的值域是A．B．C．D．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A．B．C．D．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A．3 B．2 C．1 D．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A．B．C．4 D．9、若，，则A．B．C．D．10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A．B．C．D．11、给出下列4个命题：①在△中，“”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A．1 B．2 C.3 D．412、已知为偶函数，且，在区间上，，则函数零点的个数为A．4 B．5 C.6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数则= ．16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值。
18、（本小题满分12分）三角形中，三内角，，成等差数列，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求，.19、（本小题满分12分）已知，其中.（Ⅰ）求函数的最值；（Ⅱ）若在区间上为增函数，求的取值范围。
2016届黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅2．化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．32 B．C．48 D．4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A． B．C．D．5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）A．1 B．2 C．D．7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．18．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x≤2或x≥3}C．D．9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C ﹣ABD的外接球表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π11．已知数列{c n}的前n项和为T n，若数列{c n}满足各项均为正项，并且以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n}为“抛物数列”．已知数列{b n}为“抛物数列”，则（）A．{b n}一定为等比数列B．{b n}一定为等差数列C．{b n}只从第二项起为等比数列D．{b n}只从第二项起为等差数列12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为．14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=．15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是．16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：（1）数列{a n+2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P 关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，∴A∩B={0}；故选：B．2．化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R）．【解答】解：=，故选C3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．32 B．C．48 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得该四棱锥是底面为正方形，高为2的正四棱锥；所以该四棱锥的体积是×42×2=．故选：B．4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A． B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角，根据点P（2，0）到此渐近线的距离为，可求出倾斜角α的值，进而得到a，b的关系，再由双曲线的基本性质c2=a2+b2得到a与c 的关系，得到答案．【解答】解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为α所以⇒a=b，因此，故选A．6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）A．1 B．2 C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由单调区间可知f（）=1．【解答】解：∵f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴f max（x）=f（）=1，且（，1）为f（x）在第一象限内的第一个最高点，∴sin=1，=，∴ω=2．故选B．7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1【考点】二次函数的性质．【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．【解答】解：由f（x）=ax2+bx是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，得a2﹣2a﹣3=0，解得：a=﹣1（舍）或a=3．再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．则a+b=3+0=3．故选：A．8．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x≤2或x≥3}C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由已知可知，ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣；根据一元二次方程根与系数的关系可求a，b，进一步解方程．【解答】解：由题意ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣，∴﹣+（﹣）=，﹣×（﹣）=﹣，解得a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a≥0为x2﹣5x+6≥0，其解集为x≤2或x≥3，故不等式的解集为{x|x≤2或x≥3}，故选：B．9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．【解答】解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C ﹣ABD的外接球表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C﹣ABD的外接球直径，从而求出外接球的表面积．【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC ⊥CD ，BA ⊥AD ；三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径为BD=2，外接球的表面积为4πR 2=π=8π．故选：C ．11．已知数列{c n }的前n 项和为T n ，若数列{c n }满足各项均为正项，并且以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n }为“抛物数列”．已知数列{b n }为“抛物数列”，则（ ） A ．{b n }一定为等比数列 B ．{b n }一定为等差数列C ．{b n }只从第二项起为等比数列D ．{b n }只从第二项起为等差数列 【考点】数列的函数特性．【分析】以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，可得T n =++．当n ≥2时，c n =T n ﹣T n ﹣1，化为：（c n +c n ﹣1）（c n ﹣c n ﹣1﹣1）=0，由于数列{c n }满足各项均为正项，可得c n ﹣c n ﹣1=1，即可得出．【解答】解：∵以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，∴aT n =+c n +b ，即T n =++．当n=1时，ac 1=+ac 1+b ，化为﹣c 1+=0，解得c 1=或c 1=．当n ≥2时，c n =T n ﹣T n ﹣1=++﹣，化为：（c n +c n ﹣1）（c n﹣c n ﹣1﹣1）=0，∵数列{c n }满足各项均为正项， ∴c n ﹣c n ﹣1=1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，首项为c 1． 故选：B ．12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于【考点】导数的运算．【分析】构造g（x）=f（x）sinx，根据已知条件判断g（x）与g′（x）的关系，再构造h（x）=，判断h（x）的单调性，利用单调性得出结论．【解答】解：∵[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，∴f（x）sinx＜f′（x）sinx+f（x）cosx．令g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx＞f（x）sinx=g（x）．∴g′（x）﹣g（x）＞0．令h（x）=，则h′（x）=＞0．∴h（x）是增函数．∴h（ln）＜h（ln），即＜，化简得f（ln）sin（ln）＜0.6f（ln）sin（ln）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为x2+（y+1）2=1．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），根据垂直、和中点在对称轴上这两个条件求出m，n的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆C的标准方程．【解答】解：圆A（x﹣1）2+y2=1的圆心A（1，0），半径等于1，设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），则有=﹣1，且=﹣，解得m=0，n=﹣1，故点C（0，﹣1）．由于对称圆C的半径和圆A（x﹣1）2+y2=1的半径相等，故圆C的方程为x2+（y+1）2=1，故答案为x2+（y+1）2=1．14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanβ，再利用两角差的正切公式求得tan （α+β）的值．【解答】解：∵tanα=﹣，cosβ=，α∈（，π），β∈（0，），∴sinβ==，tanβ==2，∴tan（α+β）===1，故答案为：1．15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是[﹣8，+∞）．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】由题意可得﹣a≤x+（x＞0）的最小值，运用基本不等式，可得右边函数的最小值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，即为﹣a≤x+（x＞0）的最小值，由x+≥2=8，当且仅当x=4取得最小值8，即有﹣a≤8，解得a≥﹣8．故答案为：[﹣8，+∞）．16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为（2，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），利用=a+b，可得cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可35得a+b＞1，利用a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），即可得出结论．【解答】解：由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），∵=a+b，∴cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可得1=a2+b2+2abcos（α﹣β）＜（a+b）2，∴a+b＞1，∴a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），∴＞＞＞2，∴的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，利用三角函数恒等变换的应用进一步化简可得，结合范围0＜A＜π，即可得解．（2）由已知及余弦定理可得1=AC2+AB2﹣AC•AB，利用基本不等式解得AC•AB≤1，从而得解．【解答】解：（1）由正弦定理知，即，∴，∴，∵0＜A＜π，∴．（2）在△ABC中，BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA，且BC=1，∴1=AC2+AB2﹣AC•AB，∵AC2+AB2≥2AC•AB，∴1≥2AC•AB﹣AC•AB，即AC•AB≤1，当且仅当AC=AB=1时，AC•AB取得最大值1，此时．18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0，解方程组，可得直线l恒过定点，即可得出结论；（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求t的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．【解答】（1）证明：直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0令，解得x=y=2∴直线l恒过定点A（2，2），（2，2），代入可得22+22﹣12﹣16+16＜0，∴t∈R时，证明直线l与圆C总相交（2）解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，圆心C（3，4），半径为3∴CA的斜率为2，∴l的斜率为﹣∵直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0的斜率为∴=﹣∴t=﹣∵|CA|==∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2=4．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明．（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，∵M、N分别为棱AA1、CC1的中点，∴MN∥AC，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴MN⊥BD，∵BB1⊥AC，∴MN⊥BB1，∵BB1∩BD=B，∴MN⊥平面BB1D．（2）∵AA1⊥AB，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，则M（2，0，1），D（0，0，0），N（0，2，1），Q（0，1，2），易求得面MDN的一个法向量为，则面QMD的一个法向量为，则，所以二面角Q﹣MD﹣N的余弦值为．20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：（1）数列{a n+2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），+2n﹣1=（a n+1），∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1∴a n+2n﹣1=，化为a n+1=3a n+2n，变形为：a n+1+2n+1=3，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为3，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣2n+1+．21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P 关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及直线方程的运用，即可得到定值．【解答】解：（1）椭圆E：的焦点为（±，0），设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=，即有椭圆C的方程为；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），则，设点P（x1，y1），则P1（x1，﹣y1），设Q（x2，y2），则P1Q方程为，令y=0，，由得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4=0，则．则，故，所以mn=4．所以mn是定值，定值为4．22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通过讨论a的范围确定函数的单调性，从而求出a的范围．【解答】解：（1）①当b≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；②当b＞0时，减区间为，增区间为．（2）由题意得e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）显然a≤0时，e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，下面考虑a＞0时的情况：h（0）=0，h′（x）=e x+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，当0＜a≤1时，h′（x）≥0，所以h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）为增函数，所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1满足题意；当a＞1时，h′（0）=2﹣2a＜0，又，所以一定存在，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），所以h（x）在（0，x0）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，x∈（0，x0），不满足题意．综上，a取值范围为（﹣∞，1]．2016年8月1日。
2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学(理)试题(解析版)
2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知集合{}{}2cos 0,sin 2700A B x x x A B ==+=⋂o o ，，则为（ ）A ．{}01-，B ．{}11-，C ．{}1-D ．{}0 【答案】C【解析】试题分析：由于c o s 01,s i n 27==- 故{}1,1A =-，由于()210x x x x +=+=，故{}0,1B x =-，从而{}1A B ⋂=-．【考点】1、特殊角三角函数值；2、一元二次方程；3、集合的交集．2．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C【解析】试题分析：本题考察命题的否定是否定结论，“最多有一个”的否定就是“至少有两个”．【考点】1、命题的否定；2、反证法．【易错点晴】对于命题的否定，只是否定结论，不否定结论．3．用数学归纳法证明不等式“241321...2111>++++n n n （n ＞2）”过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项)1(21+k B ．增加了两项++121k )1(21+kC ．增加了两项++121k )1(21+k ，又减少了一项11+k D ．增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k【答案】C【解析】试题分析：当n k =时，左边为111122k k k+++++ ，当1n k =+时，左边为()111111111112212322122k k k k k k k k +++=++++++++++++++ ，故增加了两项()112121k k +++，又减少了一项11k +．【考点】1、数学归纳法；2、数列． 4．若两个正数b a ,满足24a b +<，则222-+=a b z 的取值范围是（ ）A ．{}|11z z -≤≤B ．{}|11z z -≥≥或z C ．{}|11z z -<< D ．{}|11z z ->>或z 【答案】D【解析】试题分析：将a 看成x ，b 看成y ，则24x y +<，()2212221y y z x x --+==⋅--，z 的几何意义就是区域24x y +<内的点(),x y 与点()1,2- 连线的斜率乘以12．作出可行域如下图所示，由图可知，连线斜率的取值范围是()(),22,-∞-⋃+∞，故{}|11z z ->>或z ． 【考点】1、线性规划——斜率型；2、换轨与转化的思想；3、数形结合的思想． 5．已知函数()cos f x x x ωω=+（0ω>）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D【解析】试题分析：()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，函数()f x 图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，故函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⋅=，所以222T ππωπ===；函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象沿x 轴向左平移6π个单位得，()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=++=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故()g x 为偶函数，并在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以A 、C 错误．2sin 20442g πππ⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误．因为263x ππ≤≤，所以4233x ππ≤≤，[]2cos22,1x ∈-，所以D 正确． 【考点】1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性． 6．,,,a b c d R +∈ 设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++则下列判断中正确的是（ ）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S << 【答案】B【解析】试题分析：令1a b c d ====，则1111433333S =+++=，故选B ． 【考点】特殊值法．7．已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C ．2 D 【答案】A【解析】试题分析：因为1331,,a a a 成等比数列，所以23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，将11a =带入上式，解得2d =（0d =不合题意，舍去），所以221,n n a n S n =-=，所以2221621687122321311n n S n n n a n n n +++===++-≥+-+++，等号成立的条件是711n n +=+，即1n =，因为n 是自然数，故2n =时取得最小值为4． 【考点】1、等差数列、等比数列；2、基本不等式；3、最值问题．8．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n>1，n ∈N ）个点，相应的图案中总的点数记为n a（ ）A．20102011 D ．20112012【答案】A 【解析】试题分析：由图象可得()()191112(2)131,11n n n a n n n a a n n n n+=+-+=-==---，所以23344521420199991111...1...22320132a a a a a a a a ++++=-+-+，故选A ．【考点】1、合情推理与演绎推理；2、数列裂项求和法．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A．． C． D．【答案】C【解析】试题分析：画出该四面体D ABC -的直观图如下图所示由三视图及直观图可知，,,3,2C D C B C DA D CB C⊥⊥===AD BD AB =====故选C ．【考点】三视图．10．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直 【答案】D【解析】试题分析：依题意可知四边形ADFE 为菱形，对角线AF 与DE 互相垂直平分，故A 正确，在旋转过程中DE 始终垂直GF 和'GA ，故'DE AGF ⊥平面，所以恒有平面GF A '⊥平面BCDE ，故B 正确．当'AG ABC ⊥平面时，三棱锥EFD A -'的体积取得最大值，故C 正确．因为//EF BD ，故异面直线E A '与BD 所成的角为'FEA ∠，旋转过程中有可能为直角，故D 错误．【考点】1、立体几何折叠问题；2、立体几何面面垂直的判定定理；3、异面直线所成的角．11．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c << 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，当≠x 时，()()()()()'''0xf x f x xf x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦+==>，即当0x >，时，()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增．令()()g x xf x =，则12a g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()()222b f g =⋅=，()()ln 2ln 2ln 2c f g =⋅=，1ln 222<< ，a c b ∴<<，选A ．【考点】1、函数的奇偶性与单调性；2、函数与导数；3、化归与转化的思想．【思路点晴】本题突破口在于()()'f x f x x +变形为()'xf x x⎡⎤⎣⎦，这是一种非常常见的题型，例如：已知()()'0f x xfx +>，可以得到()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增．本题还考察了函数的奇偶性，即对于()22b f =-⋅-，要利用()f x 是奇函数，变形为()22f ⋅，对与11ln ln 22c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭要变形为()ln 2ln 2f ⋅．最后，还需要会比较1,2,ln 22的大小．12．分析函数()f x 的性质： ①()f x 的图象是中心对称图形； ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞；④方程(())1f f x =其中描述正确个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：①因为()()f x f x -=≠- ，所以函数不是奇函数，所以错误；②因为()()3f x f x -===，所以函数()f x 关于直线32x =对称，所以正确；③由②可得()32f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭故函数()f x 的值域为,)+∞，所以正确；④令()t f x =，则方程(())1f f x =等价于()10f t =，即0,3t t ==，由③可知()3t f x =>，故t 不存在，所以④错误．【考点】1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多．我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口．本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数()f x 满足()()2f a x f x -=,则有函数()f x 关于直线x a =对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值． 二、填空题13．已知a 与b 的夹角为︒60，1=a 且22=-b a ，则b = _________．【答案】2【解析】试题分析：依题意有22222=4444cos602a b a a b b b b --⋅+=-⋅⋅+=，解得2b =．【考点】向量的模与向量数量积的运算． 14．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 【答案】64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．【考点】柯西不等式．15．如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面M ENF 始终成立；③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________． 【答案】①②④【解析】试题分析：①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()MF f x ==()f x 在[]01，上不是单调函数；④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数． 【考点】1、线面平行的证明；2、面面垂直的证明；3、函数的单调性；4、不规则几何体体积求法．【方法点晴】线面平行的证明，只需要在平面MENF 内找一条直线和AC 平行就可以，这个很容易得到；面面垂直的证明，需要在一个平面内，找到另一个平面的垂线，本题只要将目标瞄准EF ，很快就能得到结论；四边形的周长，需要用勾股定理先把表达式求出来，再根据表达式判断函数的单调性；不规则几何体求体积，主要方法就是切割成规则的几何体，本题就是将其分解成两个三棱锥来解决．16．若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1|a a a e e⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或【解析】试题分析：令()()()()()1,ln ,f x ax g x x ax M x f x g x =-=+=⋅，令()'1110,ax g x a x x x a+=+===-． （1）当0a =时，()ln M x x =-，不符合题意； （2）当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒为负，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上恒为正；()g x 在()0,+∞上单调递增，则需1ln 10g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭,此时a e =，符合题意； （3）当0a <时，()f x 在()0,+∞恒为负；()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()g x 在1x a=-处取得极大值也即是最大值，()11ln 10g x g a a ⎛⎫⎛⎫≤-=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a e ≤-．【考点】1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想．【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想．题目的突破口在于对条件(1)(ln )0ax x ax -+≥的处理，把它变成两个函数相乘，()f x 是一次函数，()g x 是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式．利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了．对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力． 三、解答题17．已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求()f A 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3π=C ；(Ⅱ) 0()f A <≤【解析】试题分析：（1）利用正弦定理对2sin 2sin sinC A B =进行角化边，变为ab c 22=，再代入余弦定理公式即可．（2）由“()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π”得()f x 的最小正周期为π，故2==2Tπω，然后利用三角恒等变形，化简()sin =sin 233f x x x ππω⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于23A B π+=，且02B π<<，所以62A ππ<<，20233A ππ<-<，从而可求得()f A 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为C ab b a cos 622=+,由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+所以ab c C 4cos 2= 又因为B A C sin sin 2sin 2=,则由正弦定理得:ab c 22=，所以21424cos 2===ab ab ab c C ，所以3π=C（Ⅱ）3()sin()cos cos )6223f x x x x x x ππωωωωω=--=-=-由已知2,2==ωπωπ，则()),3f A A π=- 因为3C π=，23B A π=-，由于0,022A B ππ<<<<，所以62A ππ<< 所以20233A ππ<-<，根据正弦函数图象，所以0()f A <≤【考点】1、解三角形：正弦定理和余弦定理；2、三角恒等变换；3、三角函数周期与值域．18．已知命题p ：函数()22f x x ax =+-在[－2,2]内有且仅有一个零点．命题q ：220x ax ++≤在区间[1,2]内有解．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】{|a a >-【解析】试题分析：因为“p 且q ”是假命题，所以命题p 和命题q 中一真一假或都为假．对于命题p ，因为212=+8020a x x ∆>+=-<，，函数()f x 必定有一个正跟和一个负根，结合()f x 对称轴和图象即可得出结论．对于命题q ，利用分离常数法，2a x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，即a 小于等于2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值．试题解析：先考查命题p ：若a ＝0，则容易验证不合题意；故()020(2)0a f f <⎧⎪-≥⎨⎪<⎩解得a<－1或()020(2)0a f f >⎧⎪≥⎨⎪-<⎩解得a>1因此a<－1或a>1 再考查命题q ：因为x ∈[1，2] ， 所以a≤－(x ＋2x)在[1，2]上有解．可知当且仅当[]1,2x =时等号成立，因此a ≤-当命题p 和命题q都真时a ≤-因为命题“p 且q”是假命题，所以命题p 和命题q 中一真一假或都为假 综上，a的取值范围为{|a a >-．【考点】1、含有逻辑连接词且或非命题真假性的理解；2、二次函数零点分布． 19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++ ，求数列{}nb 的通项公式；（3）令()4n nn a b c n N *=∈，求数列{}n c 的前 n 项和n T ． 【答案】（1）n a n 2=；（2）)13(2+=nn b ；（3）432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n ． 【解析】试题分析：（1）已知n S 求n a ，代入111,1,1n nn a S n a S S n -==⎧=⎨->⎩求解得2n a n =．（2）利用111231n n n n b a a +++-==+，得出1n b +的表达式，进而求出n b ．（3）先利用前面得出的结论，求出3n n c n n =⋅+，然后利用分组求和法和错位相减法求解．试题解析：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）－（n －1）n ＝2n ，a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 3分 （2）()1221313131n n nb b b a n =+++≥+++ ，① 11212131313131n nn n n b b b ba +++=++++++++ ② ②－①得，111231n n n n b a a +++=-=+，得b n ＋1＝2（3n ＋1＋1），又当n=1时，b 1=8，所以)13(2+=n n b ．（3）4n n n a b c =＝n （3n＋1）＝n ·3n＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋ ＋c n ＝（1×3＋2×32＋3×33＋ ＋n ×3n）＋（1＋2＋ ＋n ），令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋ ＋n ×3n ，① 则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋ ＋n ×3n ＋1②，－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋ ＋3n －n ×3n ＋1＝3(31)31n --－n ×3n ＋1 ∴1(21)334n n n H +-⨯+=， ∴数列{c n }的前n 项和432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n ． 【考点】1、数列已知n S 求n a ；2、数列求和——分组求和法、错位相减法． 20．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD CF ⊥，且FA AD ⊥，//EF AD ，EF AF a ==．（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）353a ．【解析】试题分析：（1）先证明B D A F ⊥,结合已知A F A D ⊥可得A F ABCD ⊥平面 ，从而得出结论．（2）利用P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，构造平行四边形来证明．（3）不规则几何体求体积，将其切割为一个三棱锥和一个四棱锥来求．注意利用（1）（2）问的结论． 试题解析：（1）连接AC ，因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，由已知,BD CF AC CF C ⊥⋂=，所以BD ACF ⊥平面，所以BD AF ⊥，又因为,AF AD AD BD D ⊥⋂=，所以AF ABCD ⊥平面，所以平面ADEF 垂直于平面ABCD ．（Ⅱ）作PS AB ⊥，QT AD ⊥，EM AD ⊥，S T M 、、是垂足．在ABF ∆中，::12PS AF BP BF ==：,12PS AF =． 在直角梯形ADEF 中，1122QT EM AF ==． ∴//PS QT ,∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴//PQ ST ． 而ST ⊂平面ABCD ，∴//PQ 平面ABCD ．（Ⅲ）2231115=V +=(2)23323ABCDEF F ABCD C DEF V V a a a a a --⋅⋅+⋅⋅=多面体四棱锥三棱锥 【考点】1、面面垂直的证明；2、线面平行的证明；3、不规则几何体求体积． 21．设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++< 成立． 【答案】（1）1[,)2+∞；（2）3()f x x <；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）依题意，函数()f x 是定义域上的单调函数，其导数恒大于等于零或者恒小于等于零，求导之后利用分离常数法来解决．（2）构造新函数332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+，注意到()00g =，利用导数判断()g x 的单调性即可解决．（3）利用（2）得出结论，),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x ，对x 进行赋值，令x n =，n N +∈，即有2(1)ln(1),n n n -<+所以2(1)1n nen -⨯<+（n N +∈），进而华健不等式的左边每一项，最后求和就可以证明．试题解析：（1）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数．∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立．即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立．∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立． 综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞．（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+．令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=，即3()0f x x -<恒成立．故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < （3）法1：证明：由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2+<-x x x令x n =，n N +∈，即有2(1)ln(1),n n n -<+ 所以2(1)1n n en -⨯<+（n N +∈）因此201429(1)(3)2345(1)2n n n n e ee e n -⨯-⨯-⨯+++++<++++++=故对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++< 成立． 法2：数学归纳法证明：1、当1=n 时，左边=10=e ，右边=2241=⨯，原不等式成立． 2、设当k n =时，原不等式成立，即2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-k k e e e e k k则当1+=k n 时，左边=222)1()1()11()1(924102)3(=⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-++<+++++k k k k k k e k k e e e ee 只需证明2)4()1(2)3(2)1(+⨯+<+++⨯-k k e k k k k 即证22)1(+<+⨯-k e k k ，即证)2ln()1(2+<+⨯-k k k 由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立由1、2知，原不等式成立【考点】1、导数的运算；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、恒成立问题．【思路点睛】本题第一问考查分离常数法解不等式问题，分离常数法是解不等式恒成立问题可以首先采用的方法．第二问是利用导数证明不等式，基本的思路是先直接作差构造一个函数，然后利用导数作为工具，求出函数的单调区间，结合特殊点就可以求解出结论．第三问是在第二问的基础上，对自变量x 进行赋值，转化为数列的问题来求解．三个问题，考查三个基本方法，是一个不错的题目．22．已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若133b ≥， 求()()12g x g x -的最小值．【答案】(1) 1a =；(2)402ln 39-． 【解析】试题分析：(1)切点为()11，，利用()f x 在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，可得得出()'12f =,解方程即可．(2)先对()g x 进行求导，得出12,x x 的关系，根据112122211()()ln()2x x x g x g x x x x -=--，考虑令12xt x =，构造一个新的函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦来求解．试题解析：（1）由题可得()1af x x'=+ 由题意知(1)12f a '=+=，即1a =（2）由21()ln (1)2g x x x b x =+--，2(1)1()x b x g x x--+'=令2()0,(1)10g x x b x '=--+= 即12121,1x x b x x +=-=而2212121221()110022(1)9x x x x t b x x x x t +=++=++=-≥由12x x <，即01t <<，解上不等式可得：109t <≤而11212221111()()ln()ln ()22x x x g x g x t t x x x t -=--=-- 构造函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦由221(1)0,,()092t t h t t -⎛⎤∈=-< ⎥⎝⎦， 故()h t 在定义域内单调递减，min 140()()2ln 399h t h ==- 所以()()12g x g x -的最小值为402ln 39- 【考点】1、函数的切线问题；2、导数研究函数的性质；3、化归与转化的思想． 【思路点睛】本题第一问是函数的切线问题，只要牢牢把握住切点和斜率，此类问题会很快解决．第二问是压轴问，突破口有两个地方，一个是“12,x x 是函数的极值点”转化为函数导数等于零；另一个是题目要求解()()12g x g x -的表达式，先求出该式子，再用换元法解决．解决此类问题，采用步步稳盈，层层推进的方法，将题目的文字语言逐步用数学式子表示出来，问题也就迎刃而解了．。
大庆实验中学届高三考前得分训练数学试题及答案(二)(理)
大庆市实验中学2016年高三得分训练（二）数学试题（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则AB =( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．若复数43(cos )(sin )i 55=-+-z θθ是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4-θπ的值为( )A ．7-B ．17-C ．7D ．7-或17-3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，记S n 是数列{}n a 的前n 项和，则5S = ( )A ．32B ．62C ．27D ．81 4．已知函数()sin()(0,)2=+><f x x ωϕωϕπ的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线12=x π对称 B ．关于直线512=x π对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻 的概率为( ) A ．110B ．23C ．13D ．146．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时, 2()log (1f x x =+）,则(31)f = ( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 7．若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框（1）中应填入的是( ) A ．6?i >B ．6?i ≤C ．5?i >D ．5?i <8．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有( ) A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 9．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为A ．514B ．513C ．49D ．5910．已知变量,x y 满足48050,10x y x y y +-+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥若目标函数(0)z ax y a =+>取到最大值6，则a 的值为( )A ．2B ．54C ．524或 D ．2-11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A ．8πB ．252πC ．12πD ．414π12.设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)m ∈+∞，都存在唯一的R ∈x ，满足22(())2f f x a m am =+，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[)2,+∞D ．()2,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．14．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则AE B D ⋅＝ ．15．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6+=+b C a c π．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．18．(本小题满分12分)为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ,90BCD ∠=,PA ABCD⊥底面ABM ∆是边长为2的等边三角形，PA DM ==（Ⅰ）求证：平面PAM PDM ⊥平面；（Ⅱ）若点E 为PC 中点,求二面角P M D E --的余弦值．20．（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．21．（本题满分12分）已知函数ln ()(0)1x xf x a a x =-<-． （Ⅰ）当(0,1)x ∈时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）若()(1)()h x x x f x =-⋅,且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ．求证：121x x +>．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线； （Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．A 二、填空题13．6480- 14．2- 152 16．311,44-⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17．解答：（Ⅰ）12sin (sin cos )sin sin 2B C C A C +⋅=+，sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，sin cos sin sin B C B C C =+，cos 1B B =+，所以2sin()16-=B π，得3=B π． ………6分（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3=B π，,AD AC ∴=∴=，由正弦定理知，4sin x BAC =∠sin BAC ∠=. ………12分解法二：由（Ⅰ）知3=B π，又M 为BC 中点， 2a BM MC ∴==， 在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+-222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-3,2a c b ∴=∴=，由正弦定理知，sin a BAC ∠sin BAC ∠=. 18 ．解：（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56， 故X ～5(3,)6B ，3315()()()66k k kP x k C -==，0,1,2,3k =， 52EX np ==.（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.19．解答：（Ⅰ）ABM ∆是边长为2的等边三角形, 底面ABCD 是直角梯形，CD ∴=又3,DM CM =∴=314,AD ∴=+=222,.AD DM AM DM AM ∴=+∴⊥又,PA ABCD ⊥底面,DM PA ∴⊥,DM PAM ∴⊥平面DM PDM ⊂∴平面，平面.PAM PDM ⊥平面 ………6分（Ⅱ）以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴， 过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则CM P 设平面PMD 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111130,40y y +=+=⎪⎩取113,(3,x n =∴= ………8分E 为PC中点，则E， 设平面MDE 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222230,+20y x y +=+=取2213,(3,).2x n =∴= ………10分 由121213cos 14n n n n θ⋅==u r u u ru r u u r ．∴二面角P M D E --的余弦值为1314． ………12分 20．解答：（Ⅰ）设点200(,)2x P x p ，由22x py =得22x y p=，求导'x y p =，因为直线PQ 的斜率为1，所以1x p=且200102x x p --=，解得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． ………4分（Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则121200,,22x x y y x y ++== ()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--， 即02(4)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,4). ………6分联立0022002:2()228024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得2200044(28)0x x x ∆=--⇒-＞＜AB 12x =-=， ………8分设()4,0C 到AB的距离d CM =12ABC S AB d ∆∴=⋅=8=， ………10分 当且仅当22004162x x +=-，即20±=x 时取等号，ABC S ∆∴的最大值为8. ……12分21．解答：（Ⅰ）21ln '(),(1)x x f x x --=-设()1ln ,g x x x =--则1'()1,g x x =-∴当(0,1)x ∈时，'()0()(1)0,'()0,g x g x g f x <∴>=∴>()f x ∴在(0,1)上单调递增． ………4分（Ⅱ）22()ln (0),h x x x ax ax a =-+< '()2ln 2,h x x x x ax a ∴=+-+ ''()2ln 23h x x a ∴=-+''()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，当(2)a x e -=时，''()0,''(1)320,h x h a <=->∴必存在(2)(e ,1),a α-∈使得''()0,h x =即2ln 230,a α-+='()h x ∴在(0,)α上单调递减，在(,)α+∞上单调递增，当0x α<<时，'()(2ln 12)(2ln 2ln 2)0h x x x a a x x a α=+-+=+-+<又'()20,'(1)10,h a h a αα=-<=->则存在0(,1),x α∈使0'()0,h x =()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，当0(0,)x x ∈时，()[ln (1)]0h x x x x a x =--< 又(1)0,h =不妨设12,x x <则10020,1,x x x x <<<<由（Ⅰ）知21010112202022()()()()()()()()()()f x f x h x f x x x f x f x h x f x x x ⎧<>-⎫⎪⇒⎬⎨><-⎪⎭⎩，2202221011()()()()()()f x x x h x h x f x x x ∴->=>-，222211212112()()()(1)0, 1.x x x x x x x x x x ∴---=-+->∴+> ………12分22．解答：（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点，而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ∥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线. ………5分 （Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF ∆∆≌，∴CF FE =，设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =⋅， 即279+5x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC == ………10分 23．解答：（Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. ………5分（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅= ………10分24． 解答：（Ⅰ） 函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m .………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由柯西不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b++++1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++， 当且仅当15,2626a b ==时取等号， 47a b ∴+的最小值为23. ………10分。
2016届黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(理科)(解析版)
黑龙江省大庆市2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，∴a≥2，故选：D．【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）A．B．10C．4D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【解答】解：x+i=，∴x=﹣i=﹣1﹣3i，∴|x|=，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣ln|x|D．y=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．【解答】解：选项A，y=x2是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项B，y=﹣x3，是奇函数，不合题意；选项C，y=﹣ln|x|是偶函数，当x＞0时，y=﹣lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；选项D，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．5．下列说法中不正确的个数是（）①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件．A．OB．1C．2D．3【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：①全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，正确．故不正确的是②．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．7．记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[﹣1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x﹣，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．故选：A．【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2016呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2B．C．D．V=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．9．（5分）（2016漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）（w＞0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，]，则x0=（）A．B．C．D．【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题．10．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，点A为⊙C与x轴负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M，若|OA|=|OM|，则直线AB的斜率为（）A．﹣2B．C．2D．4【分析】因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，则CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．【解答】解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，由题意CM⊥AB，因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，根据题意，OA=OM=2，所以， =，所以sin ∠OCM=，tan ∠OCM=﹣2（∠OCM 为钝角），而∠OCM 与∠OAM 互补，所以tan ∠OAM=2，即直线AB 的斜率为2． 故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x+a 的图象与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B ．（﹣，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f （x ）与x 轴仅有一个交点，可转化成f （x ）极大值＜0或f （x ）极小值＞0即可．【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x+a 的导数为f ′（x ）=3x 2﹣2x ﹣1， 当x ＞1或x ＜﹣时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； 当﹣＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． 即有f （1）为极小值，f （﹣）为极大值． ∵f （x ）在（﹣∞，﹣）上单调递增， ∴当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞；又f （x ）在（1，+∞）单调递增，当x →+∞时，f （x ）→+∞，∴当f （x ）极大值＜0或f （x ）极小值＞0时，曲线f （x ）与x 轴仅有一个交点． 即a+＜0或a ﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若||=1，||=，，且，则向量与的夹角为．【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出．【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵，且，∴=（+）=+=||2+||||cosθ=0，即1+cosθ=0，即cosθ=﹣，∵0≤θ≤π∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．14．已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为15．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1+a2017=10=2a1009，∵数列{a n}是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15．故答案为：15．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设变量x，y满足约束条件，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为2．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（2，6），由图易得目标函数在（2，6）取最大值8，即8=2ab+6，∴ab=1，∴a+b≥2=2，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为2．故答案为：2．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB 上，则的最小值为﹣．【分析】求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．【解答】解∵椭圆=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0），可得AB的方程为x﹣2y+2=0，设P（m，n），则=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=，即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2016大庆一模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a=4a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）可知{b n}为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得b n，利用裂项法，可求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a=4a2a6得a=4，∴q2=，由已知a n＞0，∴q=，由a1+2a2=1，得2a1=1，∴a1=，∴数列{a n}的通项公式为a n=．（2）b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=﹣（1+2+…+n）=﹣∴==﹣2（），∴数列{}的前n项和=﹣2[（1﹣）+（）+…+（）]=﹣．【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．18．（12分）（2016大庆一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=（，c﹣2b），=（sin2C，1），且满足=0．（1）求∠A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．【分析】（I）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosC+c﹣2b=0，由余弦定理整理得b2+c2﹣a2=bc，可求cosA=，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（II）由正弦定理及恒等变换的应用可得△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=2sin（B+）+1，结合范围0＜B＜，可求＜sin（B+）≤1，即可得解周长的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）∵=0，∴sin2C+c﹣2b=，…（2分）∴，即2acosC+c﹣2b=0，…（3分）由余弦定理得：2a+c﹣2b=0，…（4分）整理得b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．…（6分）（II）∵cosA=，∴sinA=，…（7分）由正弦定理得：==，…（8分）△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+[sinB+sin（B+）]=2sin（B+）+1，…（10分）∵0＜B＜，∴＜B＜，∴＜sin（B+）≤1，…（11分）因此2＜l≤3，故△ABC周长的取值范围为（2，3]．…（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016大庆一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，AC=BC，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角F﹣AE﹣B的余弦值．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（1）由四边形ABCD是菱形，AC=BC，可得△ABC为正三角形．∴AE⊥BC．又∵BC∥AD，∴AE⊥AD …（1分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．…（4分）（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（I）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．…（5分）在Rt△EHA中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA=．…（6分）∴AH=，又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．…（8分）由（I）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又E，F分别是BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．…（9分）∴=（，0，0），=（，，1）．．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，∴…（10分）取z=﹣1，则=（0，2，﹣1），为平面AEF的一个法向量．又PA⊥平面ABC，∴=（0，0，1）为平面ABE的一个法向量．∴cos＜，＞===，故所求二面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016大庆一模）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于n∈N+，证明：．【分析】（1）求导，f′（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，；由f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），求导，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln＜，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，…（1分）∵f′（0）=0，∴=0，∴a=1．∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（x＞﹣1），…（2分）于是f′（x）==（x＞﹣1），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（4分）（2）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2），则g′（x）=﹣2x+=﹣，令g′（x）=0，得x=1或x=﹣（舍），当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．…（7分）方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．∴，即亦即，∴ln3﹣1＜b＜ln2+，故所求实数b的取值范围为{b丨ln3﹣1＜b＜ln2+}．…（9分）证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）＜+，即ln＜①…（10分）∴＞ln，＞ln，＞ln，…，＞ln，将上面n个式子相加得：+++…+＞ln+ln+ln+…+ln=ln（n+1），故：．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题．21．（12分）（2016大庆一模）从抛物线G：x2=2py（p为常数且p＞0）外一点P引抛物线G的两条切线PA和PB（切点为A、B），分别与x轴相交于点C、D，若AB与y轴相交于点Q．（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；（2）四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（I）设A，B的坐标，求出切线PA，PB的方程，解出P点坐标，设Q坐标和直线AB方程，联立方程组得出P，Q点的坐标关系证明CD平分PQ，求出C，D坐标，得出CD的中点，代入PQ方程即可得出PQ平分CD，于是得出结论；（II）若四边形PCQD能否为矩形，则|PQ|=|CD|，列方程解出p，t的关系得出Q坐标．【解答】解：（I）由x2=2py得y=，∴y′=．设A（x1，），B（x2，），则直线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），①直线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），②由①、②解得x=，y=，∴P点坐标为（，）．设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t．由得x2﹣2pkx﹣2pt=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣2pt，∴P（pk，﹣t），∴线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分．在①中，令y=0，解得x=，∴C（，0）；同理得D（，0），∴线段CD的中点坐标为（，0），即（，0）．又∵直线PQ的方程为y=﹣x+t，∴线段CD的中点（，0）在直线PQ上，即线段CD被线段PQ 平分，∴四边形PCQD是平行四边形．（II）若四边形PCQD是矩形，则|PQ|=|CD|，即==，解得t=．∴当点Q为（0，）（即抛物线G的焦点）时，四边形PCQD为矩形．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2016大庆一模）如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CDCB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．【分析】（1）要证CE2=CDCB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CDCB，代入CE即可得出CD的长．【解答】（1）证明：连接BE．∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°…（2分）∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO …（4分）∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，∴，∴CE2=CDCB …（6分）（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=，∴CE=OC﹣OE=﹣1 …（8分）由（1）CE2=CDCB得：（﹣1）2=2CD，∴CD=3﹣…（10分）【点评】本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016大庆一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．（I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．【分析】（1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=，即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0．由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．即x2+（y﹣）2=3．（II）由（1）知曲线C的圆心为（0，），半径r=．∴曲线C的圆心到直线l的距离d==．∴|AB|=2=2=2．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016大庆一模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式：f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．【分析】（1）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（2）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（1）f（x）=，当x≤﹣2时，由f（x）＞0得﹣x+3＞0，解得x≤﹣2，当﹣2＜x＜时，由f（x）＞0得﹣3x﹣1＞0，解得﹣2＜x＜﹣，当x≥时，由f（x）＞0得x﹣3＞0，解得x＞3，综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣或x＞3}；（2）∵f（x）+3|x+2|=|2x﹣1|+2|x+2|=|1﹣2x|+|2x+4|≥|（1﹣2x）+（2x+4）|=5，∴由题意可知|a﹣1|≤5，解得﹣4≤a≤6，故所求a的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}．【点评】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于中档题．。
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三12月月考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2cos 0,sin 2700A B x x x A B ==+=⋂o o ，，则为（ ）A ．{}01-，B ．{}11-，C ．{}1-D ．{}0【答案】C考点：1、特殊角三角函数值；2、一元二次方程；3、集合的交集．2.用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反 设内容为（ ）A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C 【解析】试题分析：本题考察命题的否定是否定结论，“最多有一个”的否定就是“至少有两个”． 考点：1、命题的否定；2、反证法．【易错点晴】对于命题的否定，只是否定结论，不否定结论. 要熟记常见词语的否定形式：3.用数学归纳法证明不等式“242...21>++++n n n （n ＞2）”过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项++121k )1(21+kC.增加了两项++121k )1(21+k ，又减少了一项11+k D.增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k【答案】C考点：1、数学归纳法；2、数列． 4.若两个正数b a ,满足24a b +<，则222-+=a b z 的取值范围是（ ）A. {}|11z z -≤≤B. {}|11z z -≥≥或zC. {}|11z z -<<D. {}|11z z ->>或z 【答案】D 【解析】试题分析：将a 看成x ，b 看成y ，则24x y +<，()2212221y y z x x --+==⋅--，z 的几何意义就是区域24x y +<内的点(),x y 与点()1,2- 连线的斜率乘以12．作出可行域如下图所示，xy B (2,0)COA (1,-2)由图可知，连线斜率的取值范围是()(),22,-∞-⋃+∞，故{}|11z z ->>或z ． 考点：1、线性规划——斜率型；2、换轨与转化的思想；3、数形结合的思想．5.已知函数()cos f x x x ωω=+（0ω>）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性． 6.,,,a b c d R +∈ 设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S << C ．23S << D ．34S <<【答案】B 【解析】试题分析：令1a b c d ====，则1111433333S =+++=，故选B. 考点：特殊值法．7.已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D【答案】A考点：1、等差数列、等比数列；2、基本不等式；3、最值问题．8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n>1，n∈N *）个点，相 应的图案中总的点数记为n a（ ） A．20102011 D ．20112012【答案】A 【解析】试题分析：由图象可得()()191112(2)131,11n n n a n n n a a n n n n+=+-+=-==---，所以2334452014201599991111112013...1 (12232013201420142014)a a a a a a a a ++++=-+-++-=-=，故选A ． 考点：1、合情推理与演绎推理；2、数列裂项求和法．9.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A.C.D.【答案】C考点：三视图．10.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋 转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D考点：1、立体几何折叠问题；2、立体几何面面垂直的判定定理；3、异面直线所成的角． 11.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ， 若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，当0≠x 时，()()()()()'''0xf x f x xf x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦+==>，即当0x >，时，()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增. 令()()g x xf x =，则12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()222b f g =⋅=，()()ln 2ln 2ln 2c f g =⋅=，1ln 222<<，a c b ∴<<，选A ． 考点：1、函数的奇偶性与单调性；2、函数与导数；3、化归与转化的思想．【思路点晴】本题突破口在于()()'f x f x x +变形为()'xf x x⎡⎤⎣⎦，这是一种非常常见的题型，例如：已知()()'0f x xf x +>，可以得到()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增.本题还考察了函数的奇偶性，即对于()22b f =-⋅-，要利用()f x 是奇函数，变形为()22f ⋅，对与11lnln 22c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭要变形为()ln 2ln 2f ⋅.最后，还需要会比较1,2,ln 22的大小.12.分析函数()f x 的性质：①()f x 的图象是中心对称图形；②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞；④方程(())1f f x =有两个解．其中描述正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B考点：1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多.我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口.本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数()f x 满足()()2f a x f x -=,则有函数()f x 关于直线x a =对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知a 与b 的夹角为︒60，1=a 且22=-b a ，则b =_________.【答案】2 【解析】试题分析：依题意有22222=4444cos 602a b a a b b b b --⋅+=-⋅⋅+=，解得2b =．考点：向量的模与向量数量积的运算． 14.在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则 所填三个正整数的和的最小值是_________. 【答案】64考点：柯西不等式．15.如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直 线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________．【答案】①②④ 【解析】试题分析：①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()MF f x ==，所以()f x 在[]01，上不是单调函数； ④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数. 考点：1、线面平行的证明；2、面面垂直的证明；3、函数的单调性；4、不规则几何体体积求法. 【方法点晴】线面平行的证明，只需要在平面MENF 内找一条直线和AC 平行就可以，这个很容易得到；面面垂直的证明，需要在一个平面内，找到另一个平面的垂线，本题只要将目标瞄准EF ，很快就能得到结论；四边形的周长，需要用勾股定理先把表达式求出来，再根据表达式判断函数的单调性；不规则几何体求体积，主要方法就是切割成规则的几何体，本题就是将其分解成两个三棱锥来解决. 16.若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1|a a a e e⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或考点：1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想． 【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想.题目的突破口在于对条件(1)(ln )0ax x ax -+≥的处理，把它变成两个函数相乘，()f x 是一次函数，()g x 是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式.利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了.对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足226cos a b ab C +=， 且2sin 2sin sin C A B =. （Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求()f A的取值范围．【答案】（Ⅰ）3π=C ；(Ⅱ) 0()f A <≤考点：1、解三角形：正弦定理和余弦定理；2、三角恒等变换；3、三角函数周期与值域． 18.已知命题p ：函数()22f x x ax =+-在[－2,2]内有且仅有一个零点．命题q ：220x ax ++≤在区间[1,2]内有解．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】{|a a >-考点：1、含有逻辑连接词且或非命题真假性的理解；2、二次函数零点分布．19.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b b a =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()4n n n a b c n N *=∈，求数列{}n c 的前 n 项和n T . 【答案】（1）n a n 2=；（2）)13(2+=n n b ；（3）432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n . 【解析】试题分析：（1）已知n S 求n a ，代入111,1,1n nn a S n a S S n -==⎧=⎨->⎩求解得2n a n =.（2）利用111231n n n n b a a +++-==+，考点：1、数列已知n S 求n a ；2、数列求和——分组求和法、错位相减法．20.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD CF ⊥，且FA AD ⊥， //EF AD ，EF AF a ==.（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）353a ．（Ⅱ）作PS AB ⊥，QT AD ⊥，EM AD ⊥，S T M 、、是垂足.在ABF ∆中，::12PS AF BP BF ==：,12PS AF =. 在直角梯形ADEF 中，1122QT EM AF ==. ∴//PS QT ,∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴//PQ ST .而ST ⊂平面ABCD ，∴//PQ 平面ABCD . 9分 （Ⅲ）2231115=V +=(2)23323ABCDEF F ABCD C DEF V V a a a a a --∙∙+∙∙=多面体四棱锥三棱锥 考点：1、面面垂直的证明；2、线面平行的证明；3、不规则几何体求体积.21.设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<成立． 【答案】（1）1[,)2+∞；（2）3()f x x <；（3）见解析．试题解析：（1）∵222()211mx x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数．∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立．即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立． ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立．综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞．（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+．令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+ 则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=，即3()0f x x -<恒成立．故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x <（3）法1：证明：由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立由1、2知，原不等式成立考点：1、导数的运算；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、恒成立问题．【思路点睛】本题第一问考查分离常数法解不等式问题，分离常数法是解不等式恒成立问题可以首先采用的方法.第二问是利用导数证明不等式，基本的思路是先直接作差构造一个函数，然后利用导数作为工具，求出函数的单调区间，结合特殊点就可以求解出结论.第三问是在第二问的基础上，对自变量x 进行赋值，转化为数列的问题来求解.三个问题，考查三个基本方法，是一个不错的题目.22.已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若133b ≥， 求()()12g x g x -的最小值． 【答案】(1) 1a =；(2) 402ln 39-．试题解析：（1）由题可得()1a f x x'=+由题意知(1)12f a '=+=，即1a = （2）由21()ln (1)2g x x x b x =+--，2(1)1()x b x g x x --+'= 令2()0,(1)10g x x b x '=--+= 即12121,1x x b x x +=-= 而2212121221()110022(1)9x x x x t b x x x x t +=++=++=-≥ 由12x x <，即01t <<，解上不等式可得：109t <≤ 而11212221111()()ln ()ln ()22x x x g x g x t t x x x t-=--=-- 构造函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦ 由221(1)0,,()092t t h t t -⎛⎤∈=-< ⎥⎝⎦， 故()h t 在定义域内单调递减，min 140()()2ln 399h t h ==-所以()()12g x g x -的最小值为402ln 39- 考点：1、函数的切线问题；2、导数研究函数的性质；3、化归与转化的思想．【思路点睛】本题第一问是函数的切线问题，只要牢牢把握住切点和斜率，此类问题会很快解决.第二问是压轴问，突破口有两个地方，一个是“12,x x 是函数的极值点”转化为函数导数等于零；另一个是题目要求解()()12g x g x -的表达式，先求出该式子，再用换元法解决.解决此类问题，采用步步稳盈，层层推进的方法，将题目的文字语言逐步用数学式子表示出来，问题也就迎刃而解了.高考一轮复习：。
黑龙江省大庆市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
大庆市高三年级第一次质量检测试题数 学(理科）2016．03注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分)一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}=20,A x x B x x a -<=<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（A)(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D)[2,)+∞（2）若复数z 满足ii i z -=+2，则复数z 的模为（A)10 (B ）10 (C)4 （D)3（3)下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是(A)2y x = （B ）3y x =- （C ）ln y x =- （D)2xy =（4）双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程是（A ） 22148x y -= (B ）22184y x -= （C)22124x y -=(D ）22142x y -=（5）给出下列说法：①命题“32,10x R xx ∀∈-+≤”的否定是“0,x R ∃∈320010x x -+>"；②若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题； ③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b ac =的既不充分也不必要条件其中不正确的个数为（A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）3 （6）已知直线l ⊥平面α， 直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥βl m ⇒⊥；②αβ⊥⇒l ∥m ;③l ∥m ⇒αβ⊥;④l m αβ⊥⇒⊥，其中正确的是（A ）①②③ （B)②③④ (C)②④ （D ）①③ (7）记定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果存在0[,]xa b ∈，使得()()b af x dx f x b a=-⎰ 成立,则称0x 为函数()f x 在[,]a b 上的“平均值点".那么函数3()2f x xx =+在[1,1]-上“平均值点"的个数为（A ）1 （B ）2 （C)3 （D ）4 （8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三数学考前得分训练试题(一)理
某某市实验中学2016年高三得分训练（一）数学试题（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求.1. 设全集I R =，集合{}3log ,3A y y x x ==>，{B x y == ，则( )(A)A B ⊆(B)AB A = (C)A B =Φ (D)()IAB ≠Φ2.设i 为虚数单位，则复数34ii-=( ) (A)43i -- (B)43i -+(C)43i +(D)43i -3.在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，且c =，4B π= ，面积2S = ，则b 等于()(A)2(B)525 4. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( ) (A)36种(B)30种(C)24种(D)6种5. 已知,,αβγ 为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥ ，βγ⊥ ，则α∥γ ；命题:q 若α上不共线的三点到β 的距离相等，则α∥β .对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) (A)命题“p q ∧”为真 (B)命题“p q ∨⌝”为假 (C)命题“p q ∨”为假(D)命题“p q ⌝∧”为真6.如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )(A).⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1(C).⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12(D).⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()(A)22(B)21(C)42(D)41 9.如图，在由x ＝0，y ＝0，x ＝2π及y ＝x cos 围成区 域内任取一点，则该点落在x ＝0，y ＝sinx 及y ＝cosx 围成的区 域内（阴影部分）的概率为( )(A)1－22 (B)2－1 (C)212-(D)3－22 10. 设,,A B C 是圆221x y += 上不同的三个点，且0OA OB ⋅=，若存在实数,λμ 使得OC OA OB λμ=+，则实数,λμ 的关系为( )(A)221λμ+= (B)111λμ+= (C)1λμ⋅= (D)1λμ+=11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) (A).n2n －1(B).n ＋12n －1＋1(C).2n －12n －1(D).n ＋12n ＋112.定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ） (A)233(B)-3 (C)1 (D)3 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: : 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是________．14.已知向量()(),1,4,2a m b n ==- ，0,0m n >>，若a ∥b ，则18m n+的最小值________． 15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别 交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离 心率为________．16．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2sin sin sin 2A BA B -+224+=（1）求角C 的大小；（2）若b ＝4，△ABC 的面积为6，求边c 的值．18. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．20（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．21． （本题满分12分）已知函数()ln 1(0).f x a x a =+> （1）当1a =且1x >时，证明：4()31f x x >-+；（2）若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，某某数a 的取值X 围；（3）当12a =时，证明：12()2(11)n i f i n n +=>+-+∑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N,过N 点的切线交CA 的延长线于P 。
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2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一理科数
学试卷
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设全集，集合，，则（）A．B．C．D．
2. 设为虚数单位，则复数（）
A．B．C．D．
3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，
，，则b等于（）
B．5 C．D．25
A．
4. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）
A．36种B．30种C．24种D．6种
5. 已知为互不重合的三个平面，命题若，，则
∥；命题若上不共线的三点到的距离相等，则∥.对以上两个命题，下列结论中正确的是（）
A．命题“”为真B．命题“”为假
C．命题“”为假D．命题“”为真
6. 如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
8. 把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）
A．B．C．D．
9. 如图，在由x＝0，y＝0，x＝及y＝围成区域内任取一点，则该点落在x＝0，y＝sinx及y＝cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）
A．1－B．－1
C．
D．3－2
10. 设A，B，C是圆上不同的三个点，且，存在实数使得，实数的关系为（）
A．
B．
C．D．
11. 设数列{a
n }的前n项和为S
n
，且a
1
＝a
2
＝1，{nS
n
＋（n＋2）a
n
}为等差数
列，则a
n
＝（）
A．B．C．D．
12. 定义区间的长度为（），函数
的定义域与值域都是，则区间
取最大长度时实数的值为（）
B．-3 C．1 D．3
A．
二、填空题
13. 如下图是判断“实验数”的程序框图，在[30，80]内的所有整数中，“实
验数”的个数是______________．
14. 已知向量（2m，1）（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则
的最小值为_____．
三、未知
15. 若?是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
四、填空题
16. 在正项等比数列中，，. 则满足
的最大正整数的值为
五、解答题
17. 在中，内角所对的边分别为，已知
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为6，求边长的值.
18. 如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；
（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABC
A．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆
，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，
其中．设直线的斜率分别为．
（1）求的值；
（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得
？若存在，求值；若不存在，说明理由；
（3）求证：直线必过点．
21. 已知函数
（1）当且时，证明：；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为OA上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。
（1）求证：PM2=PA·PC
（2）若圆O的半径为，OA=OM,求MN的长。
23. 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，它与曲
线C：交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．
24. 设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.。