2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 章末复习课3 Word版含解析

爱看书的康强
爱看书的康强
题型一 合情推理与演绎推理
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到
特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进
一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，
也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者
是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
例 1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含
两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…则每组内各数之
爱看书的康强
爱看书的康强
和f(n) (n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三
角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？
(1)答案 f(n)＝n3
解析 由于1＝13,3＋5＝8＝2
3
，

7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝4
3
，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数
n的关系式为f(n)＝n3.
(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos
2α＋cos2β＋cos2
γ＝1.

③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R
＝
a
2＋b2＋c2
2
.

反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一
些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
跟踪训练1 下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．
①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆；
②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
答案 ② ③④
题型二 综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分
析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互
爱看书的康强
爱看书的康强
渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加
解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．
例 2 用综合法和分析法证明．
已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.

证明 (分析法)
要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．

只要证明4sin αcos α≤
sin α
1－cos α
.

∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
只要证明4cos α≤
1
1－cos α
.

上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．

∵1－cos α>0，
∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·41－cos α＝4，
当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．
∴4≤
1
1－cos α
＋4(1－cos α)成立．

∴不等式2sin 2α≤
sin α
1－cos α
成立．

(综合法)
∵
1
1－cos α
＋4(1－cos α)≥4，

(1－cos α>0，当且仅当cos α＝
1
2，即α＝π3
时取等号)

∴4cos α≤11－cos α.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.

∴2sin 2α≤sin α1－cos α.
跟踪训练 2 求证：sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
爱看书的康强
爱看书的康强
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得
sin2α＋β
sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α
.

题型三 反证法
反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结
论．
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是
“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可
以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的．
例 3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：1＋xy<2或1＋yx<2中至少有一个成立．

证明 假设1＋xy<2和1＋yx<2都不成立，
则有
1＋xy≥2和1＋y
x
≥2同时成立．

因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故
1＋xy<2与1＋y
x
<2至少有一个成立．

反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都
不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．

跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，
有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c
2

≥2ac，
爱看书的康强
爱看书的康强
从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，
与已知矛盾，故原命题成立．
[呈重点、现规律]
直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和

分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方
法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是
从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．